Biến dạng của dao động mạng tinh thể

LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


4
B GIO DC V O TO
TRNG I HC S PHM H NI 2



TH THU THY




BIN DNG CA DAO NG
MNG TINH TH

LUN VN THC S VT Lí










H NI, 2009
B GIO DC V O TO
TH THU THY VT Lí CHT RN KHểA 11
LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


5
TRNG I HC S PHM H NI 2


TH THU THY

BIN DNG CA DAO NG
MNG TINH TH

Chuyờn ngnh: Vt lý cht rn
Mó s: 60 44 07





LUN VN THC S VT Lí




Ngi hng dn khoa hc:
TS. NGUYN TH H LOAN






H NI, 2009

LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


6
Lời cảm ơn

Lun vn ny c hon thnh di s hng dn ca TS. Nguyn Th
H Loan. Vi lũng kớnh trng v bit n sõu sc nht, em xin chõn thnh cm
n nhng nh hng ỳng n v nhng hng dn ca cụ.
Tụi xin by t lũng bit n ca mỡnh ti tt c cỏc thy giỏo, cỏc cụ giỏo
trong khoa Vt lớ trng i hc S phm H Ni 2 ó nhit tỡnh ging dy,
to iu kin giỳp tụi trong sut thi gian hc tp v lm Lun vn.
Tụi xin c gi li cm n ti cỏc ng nghip ti trng Cao ng
Cụng nghip Cm Ph, bn bố v nhng ngi thõn trong gia ỡnh ó ng
viờn, giỳp , to ng lc cho tụi hon thnh Lun vn ny. c bit, tụi xin
chõn thnh cm n Ban giỏm hiu trng Cao ng Cụng nghip Cm Ph
v cỏc thnh viờn trong khoa Khoa hc C bn ó to iu kin v giỳp
tụi trong sut thi gian 2 nm qua.
Tụi xin chõn thnh cm n!
H Ni, thỏng 9 nm 2009.
Hc viờn

Th Thu Thy
.







LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


7
LI CAM OAN

Qua quỏ trỡnh nghiờn cu Lun vn v ti: Bin dng ca dao
ng mng tinh th tụi ó tip cn c mt trong nhng lnh vc phỏt trin
nht hin nay, ú l dao ng bin dng lng t. Qua õy cng giỳp tụi bc
u i vo nghiờn cu tớnh cht vt lý ca mt mụi trng m c.
Tụi xin cam oan Lun vn ny c hon thnh do s c gng tỡm
hiu nghiờn cu ca bn thõn cựng vi s hng dn ch bo tn tỡnh v hiu
qu ca T.S Nguyn Th H Loan. õy l ti khụng trựng vi cỏc ti

khỏc v kt qu t c khụng trựng vi kt qu ca cỏc tỏc gi khỏc.
H Ni, thỏng 9 nm 2009
Hc viờn


Th Thu Thy











LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


8
LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


9
Mục lục

Trang

M U
.

4
NI DUNG
..

6
Chng 1 DAO NG MNG TINH TH

1.1. Dao ng t iu hũa


6
1.2. Dao ng mng tinh th

14
1.2.1. Chui nguyờn t cựng loi

14
1.2.2. Chui hai nguyờn t khỏc loi

21
Chng 2 DAO NG BIN DNG


2.1. Dao ng t Boson bin dng q


35
2.2. Dao ng t cú thng kờ vụ hn
38
2.3. Dao ng t bin dng q tng quỏt
39
Chng 3 DAO NG BIN DNG MNG TINH TH

3.1. Dao ng mng tinh th bin dng q ca chui nguyờn t
cựng loi

43
3.1.1. Dao ng bin dng q 43
3.1.2. Dao ng mng tinh th bin dng q ca chui nguyờn t
cựng loi ..

46
3.2. Dao ng mng tinh th bin dng q ca chui hai nguyờn t

khỏc loi

51
3.2.1. Dao ng bin dng q cho h nhiu thnh phn 51
3.2.2. Dao ng mng tinh th bin dng q ca chui hai
nguyờn t khỏc loi .

54
3.2.3. Thng kờ ca dao ng mng tinh th bin dng q cho
chui hai nguyờn t khỏc loi .

62
KT LUN
.

64
LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


10
DANH MC CC CễNG TRèNH
.

65
TI LIU THAM KHO
.

66


















LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ

Biến dạng của dao động mạng tinh thể


11
M U
1. Lớ do chn ti
Dao ng bin dng lng t ang c nhiu nh Vt lý trong v ngoi
nc quan tõm nghiờn cu bi chỳng cú nhiu ng dng trong cỏc mụ hỡnh
Vt lý. Vớ d chỳng liờn quan n nhng vn a dng trong Vt lý lý
thuyt nh nghiờn cu nghim ca nhng phng trỡnh Yõng Bascter lng
t, vn tỏn x ngc lng t, mu hũa tan chớnh xỏc trong C hc thng
kờ, trong quang lng t, s quay v s rung ng ca ht nhõn v c bit l
trong mụi trng m c, dao ng mng tinh th .
Theo xu hng trong v ngoi nc, tụi ỏp dng hỡnh thc lun dao ng
bin dng nghiờn cu tớnh cht vt lý ca mụi trng m c. Mt trong
nhng ng dng ú l nghiờn cu dao ng bin dng ca chui nguyờn t
cựng loi v chui hai nguyờn t khỏc loi.
Lun vn i vo nghiờn cu Bin dng ca dao ng mng tinh th
2. Mc ớch nghiờn cu
- Nghiờn cu dao ng bin dng ca mng tinh th.
- Tỡm ph nng lng ca dao ng mng.
- Tớnh thng kờ trờn quan im ca cỏc dao ng bin dng.
3. Nhim v nghiờn cu
- Nghiờn cu dao ng mng tinh th
- Nghiờn cu dao ng bin dng
- Nghiờn cu dao ng bin dng mng tinh th
4. i tng v phm vi nghiờn cu
Nghiờn cu dao ng mng tinh th bin dng.
5. Phng phỏp nghiờn cu
- Cỏc phng phỏp nghiờn cu ca Vt lý lý thuyt.

- Cỏc phng phỏp nghiờn cu ca Vt lý cht rn.
LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


12
6. Nhng úng gúp mi ca ti
- a ra mt cụng c hin i nghiờn cu dao ng mng tinh th.
- Tỡm ph nng lng v thng kờ ca dao ng mng trong hỡnh thc
lun dao ng bin dng.
7. Cu trỳc lun vn
Chng 1: Dao ng mng tinh th
Nghiờn cu dao ng mng tinh th núi chung v dao ng mng tinh
th cho chui nguyờn t cựng loi v chui hai nguyờn t khỏc loi.
Chng 2: Dao ng bin dng
- Nghiờn cu dao ng bin dng ca cỏc Boson.
- Nghiờn cu mt s dao ng khỏc (tuõn theo thng kờ khỏc thng kờ
Bose Einstein v thng kờ Fermi Dirac, vớ d thng kờ Para, thng kờ vụ
hn )
Chng 3: Dao ng bin dng ca mng tinh th
- p dng hỡnh thc lun dao ng bin dng nghiờn cu dao ng
bin dng ca chui nguyờn t cựng loi.
- p dng dao ng bin dng nghiờn cu dao ng bin dng ca
chui hai nguyờn t khỏc loi.

LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


13
NI DUNG

Chng 1
DAO NG MNG TINH TH

1.1. Dao ng t iu hũa
Hamiltonian ca dao ng t iu hũa cú dng:
2 2
2
2
1

2 2
d
H kx
m dx

(1.1)
thun tin khi vit cỏc cụng thc, thay cho cỏc toỏn t ta x v
xung lng
d
i
dx


ta dựng cỏc toỏn t ta v xung lng chớnh tc mi


x q mx
d d
i p i
dx dx
m





H thc giao hoỏn gia

p
v

q

,
p q pq qp

Xột


i d d
pq mx i x
dx dx
m











i d d
qp mx i x
dx dx
m

pq qp pq qp i




Do ú


,
p q pq qp i

Hamiltonian (1.1) cú th biu din qua

p
v

q

2 2
2
2
2 2 2 2

.
i d d
p p
dx m dx
m
k
kx mx q
m





Do ú

2 2 2
1


2
H p q


(1.2)
LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


14
Ta li t



2

2
p a a
q i a a











2

2
p a a a a

2
2

2
a aa a a a










2 2

2
q a a a a

2
2

2
a aa a a a








Hamiltonian (1.2) c vit thnh

2 2
2 2
1


2 2 2
H a aa a a a a aa a a a

2
H aa a a




(1.3)
Cỏc toỏn t

,a a

cú th biu din ngc li qua

p
v

q

2

2

a a p
a a i q











1 2 2 1

2
2
1 2 2 1

2
2
a p i q p i q
a p i q p i q

Vỡ


,
p q pq qp i




2 2
pq a a i a a

2
2

2
i
a aa a a a







LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể

15



2 2
qp i a a a a








2
2

2
i
a aa a a a







Nờn

,
p q pq qp i aa a a i




1
aa a a



hay

, 1
a a




(1.4)
Hamiltonian (1.3) tr thnh

1


2 1
2 2
H a a a a

(1.5)
Vic nghiờn cu ph nng lng ca dao ng t iu hũa quy v bi
toỏn tỡm cỏc vecto riờng v tr riờng ca Hamiltonian (1.5), trong ú cỏc toỏn
t

a
v

a

tha món h thc giao hoỏn (1.4). tỡm iu ú ta nh ngha
mt toỏn t mi nh sau:


N a a


(1.6)
v cú cỏc h thc giao hoỏn gia toỏn t ny vi cỏc toỏn t

a
v

a





,
N a Na aN a aa aa a aa a a a a




(1.7)
Hay



1
Na a N





,
N a Na a N a aa a a a a aa a a a

(1.8)
Hay



1
Na a N



Kớ hiu
n
l vecto riờng ca toỏn t

N
ng vi tr riờng n

N n n n

(1.9)
T (1.9) ta suy ra


0
n N n n a a n
n
n n n n

(1.10)
LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


16
vỡ

2
0
n
n n r dr




v

2

0
n
n a a n a r dr

Vy: Cỏc tr riờng ca toỏn t

N
l cỏc s khụng õm.
Bõy gi ta xột vecto trng thỏi thu c bng cỏch tỏc dng toỏn t

a
lờn
n
. ú l vecto trng thỏi

a n
. Tỏc dng lờn vecto trng thỏi ny toỏn t

N

v s dng cụng thc (1.7), ta cú




1 1 1
Na n a N n a n n n a n


H thc trờn cú ngha l

a n
cng l vecto riờng ca

N
nhng vi tr
riờng n 1. Tng t nh vy, d dng chng minh rng
2

a n
,
3

a n
, .
cng l cỏc vecto riờng ca

N
ng vi cỏc tr riờng n 2, n 3,




1 1
1
2
2 2
2 3
3 3

2


2


3





p p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p
Na n Naa n aN a a n
aNa n a n

a aN a a n a n
a Na n a n
a aN a a n a n
a Na n a n
a N n pa n
na n pa n
n p a n

















p
a n

l mt vecto riờng ca

N

ng vi tr riờng n p.
Tip theo ta xột vecto trng thỏi thu c bng cỏch tỏc dng toỏn t

a


lờn
n
. ú l vecto trng thỏi

a n

. Tỏc dng lờn vecto trng thỏi ny toỏn t

N
v s dng cụng thc (1.8), ta cú





1 1 1
Na n a N n a n n n a n



LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


17
H thc trờn cú ngha l

a n

cng l mt vecto riờng ca

N
ng vi tr
riờng n +1









1
1
1
2
2 2

2 3








2


2
p
p p
p p
p p
p p
p p
Na n Na a n a N a a n
a N a n a n
a a N a a n a n
a N a n a n
a a N a a n a n

3 3


3





p p
p p
p p
p
a N a n a n
a N n p a n

n a n p a n
n p a n












p
a n


l mt vecto riờng ca

N
ng vi tr riờng n + p.
Nh vy,

2

a n

,

3

a n

, . cng l cỏc vecto riờng ca

N
ng vi
cỏc tr riờng n + 2, n + 3,
Nu
n
l mt vecto riờng ca toỏn t

N
ng vi tr riờng n thỡ vi p =
1, 2, 3, .,

p
a n
cng l mt vecto riờng ca toỏn t

N
ng vi tr riờng n p
v


p
a n

cng l mt vecto riờng ca toỏn t

N
ng vi tr riờng n + p nu
chỳng khỏc khụng.
Kt hp hai kt lun trờn ta thy rng nu n l mt tr riờng ca

N
thỡ
chui cỏc s khụng õm n 1, n 2, n 3, cng l cỏc tr riờng ca

N
. Vỡ
chui ny gim dn nờn phi tn ti mt s khụng õm nh nht n
min
. Xột vecto
trng thỏi
min
n
ng vi tr riờng nh nht n
min
. Rừ rng l
min

0
a n

(1.11)
LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


18
vỡ, nu
min

0
a n

thỡ ú l vecto trng thỏi ng vi tr riờng n
min
1 < n
min
, trỏi
vi gi thit n
min
l tr riờng nh nht. T (1.11) ta suy ra
min min


0
a a n N n

Mt khỏc, theo nh ngha ca n
min

min min min

N n n n

So sỏnh hai phng trỡnh trờn ta i n kt lun sau.
Tr riờng nh nht ca toỏn t

N
l n
min
= 0. Vecto trng thỏi ng vi tr
riờng nh nht ca

N
c ký hiu l
0
. Vecto trng thỏi ny tha món iu
kin:

0 0
a


Khi ú

0
a

t l vi vecto riờng
1
ca

N
ng vi tr riờng n = 1

2

0
a

t l vi vecto riờng
2
ca

N
ng vi tr riờng n = 2,


0
n
a

t l vi vecto riờng
n
ca

N

ng vi tr riờng n
Vỡ
1 1


2 2
H a a N








Nờn
0
l vecto riờng ca

H
ng vi tr riờng
0
1
2
E




1

l vecto riờng ca

H
ng vi tr riờng
1
1 3
1 ,
2 2
E







n
l vecto riờng ca

H
ng vi tr riờng
1
2
n
E n

Vy cỏc trng thỏi dng ca dao ng t iu hũa cú nng lng giỏn
on vi cỏc giỏ tr cỏch u nhau: hiu s nng lng gia hai trng thỏi k
nhau luụn luụn bng cựng mt lng t nng lng


. Trng thỏi
0
cú
nng lng thp nht l
0
E
. Trng thỏi tip theo
1
vi nng lng
LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


19
1 0
E E

cú th xem l kt qu ca vic thờm mt lng t nng lng



vo trng thỏi
0
. Trng thỏi tip theo
2
vi nng lng
2 1 0
2
E E E



cú th c xem l kt qu ca vic thờm mt lng t nng lng


vo
trng thỏi
1
, cng cú ngha l thờm hai lng t nng lng


vo trng
thỏi
0
, Nu ta ly gc nng lng l
0

E
thỡ cú th coi
0
l trng thỏi
khụng cha mt lng t no,
1
l trng thỏi cha mt lng t,
2
l trng
thỏi cha hai lng t, .
n
l trng thỏi cha n lng t. Toỏn t

N
cú
cỏc tr riờng nguyờn khụng õm cỏch nhau mt n v c oỏn nhn l toỏn
t s lng t nng lng. Toỏn t

a
khi tỏc dng lờn
n
cho mt trng thỏi
t l vi
1
n

v do ú c oỏn nhn l toỏn t hy lng t nng lng.
Toỏn t

a

khi tỏc dng lờn
n
cho mt trng thỏi t l vi
1
n

v do ú
c oỏn nhn l toỏn t sinh lng t nng lng. Nu ta tng tng rng
lng t nng lng l mt ht thỡ

N
s l toỏn t s ht,

a
s l toỏn t hy
ht v

a

l toỏn t sinh ht. Khi ú trng thỏi
n
vi nng lng
n
E n


s
l trng thỏi cha n ht. ú l biu din s ht ca dao ng t iu hũa.
Trong C hc lng t, trng thỏi dng ca mt dao ng t iu hũa cú th

coi l tp hp ca nhiu ht, mi ht cú nng lng bng


. Khỏi nim
ht a vo õy ch cho tin. Thc cht ú ch l cỏc gi ht, mt
khỏi nim quan trng v hu hiu khi nghiờn cu cỏc trng thỏi kớch thớch
trong Vt lý cỏc mụi trng ụng c.
Cui cựng, ta hóy tớnh cỏc h s t l
, ,
n n n

trong cỏc h thc


1 , 1 , 0
n
n n n
a n n a n n n a



(1.12)
sao cho cỏc vecto trng thỏi l trc giao chun húa
mn
m n



LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


20
T cỏc biu thc (1.10), (1.12) v s dng iu kin trc giao chun húa
va vit trờn, ta cú
2 2

1 1
n n
n n a a n n n




v

1n n a a n n aa n



2 2
1 1 1
n n
n n n n

Coi
,
n n

l cỏc s thc, ta rỳt ra
, 1
n n
n n



Ta cng cú



1 1
0
2 2
0 0 1
3 3
0 1 0 1 2
0 1 1

0 0 1

1 2

2 3

!
n n n
n n
n n
n
a a a a
a a a
a a a
n n n
















v do ú

2 2

1 0 0 !
n
n
n n
n n a a n




Coi
n

l thc, ta rỳt ra
1
!
n
n



Vy ta thit lp c





0 0

1 0

1 1 0
1

0
!
n
N n n n
a
a n n n n
a n n n n
n a
n







(1.13)

LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể

21
1.2. Dao ng mng tinh th
1.2.1. Chui nguyờn t cựng loi
Chui cỏc nguyờn t cựng loi xp t cỏch u nhau mt khong bng a
(hng s mng tinh th) trờn trc Ox, mi nguyờn t cú khi lng M v
chuyn ng quanh v trớ cõn bng ca nú.





Hỡnh 1.1: Chui nguyờn t cựng loi
Ta ca nguyờn t th n v trớ cõn bng
n
x na

dch chuyn ca nguyờn t th n

,
n n
u t u x t


Gi thit th nng gia hai nguyờn t k nhau, cỏc nỳt th n v n + 1 t
l vi bỡnh phng di tng i

1n n
u t u t

v b qua tng tỏc gia cỏc nỳt khụng k nhau. Khi ú th nng ton phn
ca h l

2
1
2
n n
n
u u t u t







: h s t l
ng nng ton phn ca h


2
2
n
n
du t
M
T

dt






Xung lng ca nguyờn t th n ng vi ta

n
u t
l
O x
a a
n
n - 1

n + 1
2
F


1
F


LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


22


n
n
du t
p t M
dt


ng nng ton phn

2
1
2
n
n
T p t
M



Nng lng ton phn ca h

2
2
1
1
2 2
n n n
n n
E p t u t u t
M







Khi lng t húa ta thay hm

n
p t
bng toỏn t xung lng

n
p
v hm

n
u t
bng toỏn t ta suy rng

n
u
liờn hp vi

n
p
. Hamiltonian ca h tr
thnh

2
2
1
1


2 2
n n n
n n
H p u u
M




(1.14)
Gia cỏc toỏn t

n
u
v

n
p
cú cỏc h thc giao hoỏn



,
m n nm
u p i




Ta cú:


,
m n m n n m
u p u p p u




m m
n n
m m
n n
m
nm

n
u i i u
u u
i u u
u u
u
i i
u




















, 0
n m n m m n n m m n

u u u u u u u u u u





,
n m n m m n
p p p p p p




2 2
2
0
n m m n
n m m n
i i i i
u u u u
u u u u

LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


23
Cỏc toỏn t

n
u
v

n
p
tng ng vi nỳt th n v ph thuc vo ta
n
x

ca nỳt ny. Ta khai trin cỏc toỏn t ny theo cỏc súng phng vi vecto súng
nm trong vựng Brillouin th nht

1

1

n
ikx
n k
k
u e u
N


(1.15)

1
1

n
ikx
n k
k
p e p
N


(1.16)
Nhõn hai v ca (1.15) vi
'
n
ik x
e

ri ly tng
0
n



ta c

1 '
'
0
1

n
n
i k k x
ik x
n k
n k
u e e u
N







Theo khai trin Fourier ta cú

'
, '
1
n
i k k x
k k
n
e
N






1
'
, ' '
0

n
ik x
n k k k k
n k
u e N u Nu

0
1

n
ikx
k n
n
u e u
N





(1.17)
Tng t nhõn hai v ca (1.16) vi
'
n
ik x
e

ri ly tng
0
n



ta cng thu

c:
0
1

n
ikx
k n
n
p e p
N





(1.18)
Ta tỡm h thc giao hoỏn gia

k
p
v
'

k
u



' ' '

,
k k k k k k
p u p u u p







' '
0 0 0 0
'
0 0
'
'
, '
0 0 0
1 1

1

n m m n
n m
n m
n
ikx ik x ik x ikx
n m m n
n m m n
i kx k x

n m m n
n m
i kx k x
i k k x
nm k k
n m n
e p e u e u e p
N N
e p u u p
N
i i
e e i
N N

LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


24


' ' '

,
k k k k k k
u u u u u u





' '
0 0 0 0

'
0 0
1 1

1

0
n m m n
n m
ikx ik x ik x ikx
n m m n
n m m n
i kx k x
n m m n
n m
e u e u e u e u
N N
e u u u u
N

' ' '

,
k k k k k k
p p p p p p





' '
0 0 0 0
'
0 0
1 1

1

0
n m m n
n m
ikx ik x ik x ikx
n m m n
n m m n
i kx k x
n m m n
n m
e p e p e p e p

N N
e p p p p
N











Mt khỏc, thay (1.15), (1.16) vo (1.14) ta c


1 1
'
2
'
'
1 1

n n
ik x ikx
n k k
n n k k
p e p e p
N N

1 1 '
'
'
1 1 1
, ' '
'
1


n
i k k x
k k
k k n
k k k k k k
k k k
e p p
N
p p p p

2
1 1 1

n n n n n n
n n
u u u u u u

1 1
1 1
' '
'
'
1 1 '
'
'
'
1 1
'
, ' '
'
1
1
1
1
2
1 1

1

1 1

1 1

1 1

2

2 1 cos
4 sin
n n n n
n
ik x ik x ikx ikx
k k
n k k
i k k x
ik a ika
k k
k k n
ik a ika
k k k k
k k
ika ika
k k
k
ika ika
k k
k
k k
k
k
e e u e e u
N N
e e e u u
N
e e u u
e e u u
e e u u

ka u u
ka
























2
k k
u u

Do ú, Hamiltonian (1.14) tr thnh
LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


25

1
2
1


2 sin
2 2
k k k k
k
ka
H p p u u
M

Thay

2 2
4
sin
2
ka
k
M




Ta thu c


1
2
1 1


2 2
k k k k
k
H p p M k u u
M

(1.19)
t




2
k k k
k
M k u a a






(1.20)


1

2
k k k

k
p i a a
M





(1.21)
Tỏc dng trỏi v tỏc dng phi (1.20) lờn (1.21) ta c

2
2

2
k k k k k k k k
i
u p a a a a a a









2
2

2
k k k k k k k k
i
p u a a a a a a









,

2 2
2

,
k k k k k k k k
k k k k
i
u p p u a a a a
i i a a

Khi
'k k
thỡ
' , '

,
k k k k
a a





(1.22)
(1.20) v (1.21) cú th c vit li

2

k k k
M k
a a u

2

k k k
a a i p
M k










1

2
1

2
k k k
k k k
i
a M k u p
M

k
i
a M k u p
M
k

















LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể

26
Hay


1

2
k k k
i
a M k u p
M
k












' ' '

,
k k k k k k

a a a a a a














' '
' '
2
' ' ' '
' ' ' '
' '
1

2
1

2
1

[

2
1

]
1

, ,
2
k k k k
k k k k
k k k k k k k k
k k k k k k k k
k k k k
i i
M k u p M k u p
k
M M
i i
M k u p M k u p
k
M M
M k u u u u i k p u u p
k
i k u p p u p p p p
M
i k p u u p
k

, ' , '
0
2
k k k k
i
i i

Vy

'

, 0
k k
a a

(1.23)

' ' '

,
k k k k k k
a a a a a a

' '
' '
2
' ' ' '
' ' ' '
1

2
1

2
1

[
2
1

]
1
2
k k k k
k k k k
k k k k k k k k
k k k k k k k k
i i
M k u p M k u p
k
M M
i i

M k u p M k u p
k
M M
M k u u u u i k p u u p
k
i k u p p u p p p p
M

' '
, ' , '

, ,
1
0
2
k k k k
k k k k
i k p u u p
k
i k i i
k

Vy
'

, 0
k k
a a




(1.24)
Thay (1.20), (1.21) vo (1.19) ta c
LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


27

2
k k k
u a a
M k









2
k k k
M k
p i a a






Hay



2

k k k
u a a
M k









2
k k k
M k
p i a a










2
k k k k k k
M k
p p a a a a

2
k k k k k k k k
M k
a a a a a a a a










2
k k k k k k
u u a a a a
M k

2
k k k k k k k k
a a a a a a a a
M k






(1.19) tr thnh

1
2
1
1
1


[
2 2
1

]
2 2

2

2
k k k k k k k k
k
k k k k k k k k
k k k k
k
k k k k
k
M k
H a a a a a a a a
M
M k a a a a a a a a

M k
k
a a a a
k
a a a a

Theo h thc giao hoỏn (1.22) ta cú

1 1
k k k k k k k k
a a a a a a a a



Do ú
LUậN VĂN THạC Sỹ

vật lý

Lớp Cao học K11 - VLCR

Đỗ Thị Thu Thuỷ
Biến dạng của dao động mạng tinh thể


28





1 1

2 1 ons
2
k k k k
k k
k
H a a k a a c t








Cú th chn gc tớnh nng lng sao cho const cụng thc trờn bng 0
v cui cựng ta nhn c


1


k k
k
H k a a





(1.25)

Kt lun: Mng tinh th n gin m ta ang xột c din t trong lý
thuyt lng t bng Hamiltonian (1.25) vi cỏc toỏn t

k
a
v

k
a

tha món
cỏc h thc giao hoỏn (1.22), (1.23), (1.24). Vỡ vy cú th coi mng tinh th
dao ng nh mt h nhiu ht:

k
a
l toỏn t hy ht cú vecto súng
k

, xung
lng
k


v nng lng

k


, cũn

k
a

l toỏn t sinh ht nh th. Trong
thc t, ta khụng cú cỏc ht tht m ch cú cỏc trng thỏi dao ng khỏc nhau
ca mng tinh th c mụ t ging nh mt h ht m thụi. iu ny cú
ngha l cỏc phonon khụng phi l cỏc ht tht m ch l cỏc gi ht. Cỏc gi
ht thng c gi l cỏc chun ht. Ta ang xột dao ng ca chui nguyờn
t cựng loi l cỏc súng õm khi vecto súng rt bộ. Cỏc phonon trong trng
hp ny c gi l cỏc phonon õm.
1.2.2. Chui hai nguyờn t khỏc loi
Xột chui nguyờn t gm hai loi khỏc nhau, loi th nht cú khi lng
M
1
, loi th hai cú khi lng M
2
, xp xen k, cỏch u nhau mt khong
bng a (hng s mng tinh th l 2a, mi ụ c s cha hai nguyờn t) trờn trc
Ox, mi nguyờn t chuyn ng quanh v trớ cõn bng ca mỡnh.





O

x
a a a
M

2

M
2

M
1

M
1

u
2n+2
u
2n

v
2n+1
v
2n-1
Hỡnh 1.2: Chui hai nguyờn t khỏc loi