Bổ đề S và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————  ——————
HÀ THỊ DUYÊN
BỔ ĐỀ S VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Hà Nội-2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————  ——————
HÀ THỊ DUYÊN
BỔ ĐỀ S VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm
Hà Nội-2013
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn
Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác
giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà
trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã
tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên
và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 07 năm 2013
Tác giả

Hà Thị Duyên
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2013
Tác giả
Hà Thị Duyên
v
Mục lục
Bảng kí hiệu và viết tắt vii
Mở đầu ix
Nội dung 1
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Không gian véc tơ Ơclit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Không gian các ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Bài toán tối ưu và hàm Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Bổ đề S 10
2.1 Bổ đề S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Một số chứng minh khác nhau của bổ đề S . . . . . . . . . 13
2.2.1 Phương pháp cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Phương pháp hiện đại . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3 Phương pháp chứng minh thứ ba . . . . . . . . . . 23
2.3 Một số trường hợp đặc biệt và phản ví dụ . . . . . . . . . 26
2.3.1 Một số trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . 26

vi
2.3.2 Một số kết quả tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Một số định lý luân phiên và ứng dụng của bổ đề S 35
3.1 Phân tích ổn định hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Hệ của hai bất đẳng thức toàn phương . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Hệ toàn phương thuần nhất . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 Hệ không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.3 Điều kiện cần và đủ của tối ưu toàn cục . . . . . . 49
3.3 Hệ của ba bất đẳng thức toàn phương . . . . . . . . . . . 52
3.3.1 Hệ toàn phương thuần nhất . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.2 Hệ không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.3 Điều kiện tối ưu đối với bài toán miền tin cậy . . . 65
3.4 Hệ của hữu hạn bất đẳng thức toàn phương. . . . . . . . 69
3.4.1 Điều kiện tối ưu cho quy hoạch toàn phương tổng
quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.2 Ứng dụng vào bài toán CDT . . . . . . . . . . . . . 74
3.5 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Kết luận 79
Tài liệu tham khảo 80
vii
Bảng kí hiệu và viết tắt
R : Tập hợp các số thực.
R
n
: Không gian Euclide n chiều.
R
n
+
: Tập hợp tất cả các véc tơ không âm của R

n
.
intR
n
+
: Phần trong của R
n
+
.
Y ⊂ X : Y là tập con của X.
dim(V ) : Số chiều của không gian V .
x, y : Tích vô hướng của hai véc tơ x, y.
domf : Miền xác định hữu hiệu của f.
epif : Đồ thị của hàm f.
sup : Cận trên đúng.
inf : Cận dưới đúng.
L
α
f : Tập mức dưới của f.
L (x, λ
1
, , λ
m
) : Hàm Lagrange.
|λ| : Giá trị tuyệt đối của số thực λ.
x : Chuẩn của phần tử x.
R
n×n
: Tập các ma trận cấp n ×n.
viii

S
n
: Không gian các ma trận đối xứng cấp n ×n.
S
n
+
: Tập hợp các ma trận đối xứng
nửa xác định dương cấp n × n.
I
n
: Ma trận đồng nhất cấp n × n.
P  0 : P là ma trận đối xứng xác định dương.
P 0 : P là ma trận đối xứng nửa xác định dương.
T rA : Vết của ma trận A.
A ∗ B : Vết của ma trận tích AB.
rankA : Hạng của ma trận A.
x = (x
1
, x
2
, , x
n
) : Véc tơ trong không gian R
n
.
x = (x
1
, x
2
, , x

n
) ≥ 0 : Các số x
i
≥ 0, i = 1, , n.
u
2:n
: Kí hiệu cho véc tơ (u
2
, , u
n
)
T
.
max : Giá trị lớn nhất.
min : Giá trị nhỏ nhất.
ix
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bổ đề S được Yakubovich đưa ra trong [6], là một kết quả nổi
tiếng của lý thuyết điều khiển, cho ta một điều kiện tương đương với tính
không âm của một hàm toàn phương bất kì f (x) trên một miền D xác
định bởi một bất phương trình toàn phương tùy ý g (x) ≤ 0 khi điều
kiện Slater (tồn tại x
0
để g

x
0

< 0) được thỏa mãn. Cụ thể là: Cho

f, g : R
n
→ R là hai hàm toàn phương. Khi đó, nếu tồn tại x
0
∈ R
n
sao
cho g

x
0

< 0 thì
[g (x) ≤ 0 ⇒ f (x) ≥ 0] ⇔ [∃µ ≥ 0, ∀x ∈ R
n
: f (x) + µg (x) ≥ 0] .
Bổ đề S được xem như một khái quát hóa những kết quả trước
đó của Hestenes - McShane và Dines [3]. Sau đó Megretsky - Treil mở
rộng kết quả cho không gian vô hạn chiều. Bổ đề S có những hệ quả hiệu
lực đáng ngạc nhiên trong tối ưu hóa thô (robust optimization) và trong
lý thuyết điều khiển, vì nó cho phép thay thế những bài toán tối ưu không
lồi cụ thể bằng những bài toán lồi giải được với thời gian đa thức [7]. Về
lịch sử và những ứng dụng của Bổ đề S có thể tìm thấy trong bản tổng
quan tuyệt vời của Polik - Terlaky [5].
Bổ đề S được chứng minh lần đầu tiên vào năm 1971. Từ đó đến
nay, Bổ đề S đã được chứng minh và mở rộng theo nhiều cách khác nhau.
Cùng với thời gian, Bổ đề S ngày càng tỏ ra là một công cụ hiệu quả, được
sử dụng rộng rãi trong lý thuyết điều khiển, đặc biệt trong phân tích ổn
x
định những hệ phi tuyến. Bổ đề S cũng có những ứng dụng quan trọng

trong Quy hoạch toàn phương. Chính vì thế, Bổ đề S luôn giữ được sự
quan tâm trong dạng phát biểu đẹp và đơn giản của nó.
Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã quan tâm nghiên cứu những
khía cạnh khác nhau của Bổ đề S (xem [5], [6] và những tài liệu dẫn trong
đó).
Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong
muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng
dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: " Bổ đề S và ứng dụng".
Luận văn bao gồm ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Bổ đề S.
Chương 3: Một số định lý luân phiên và ứng dụng của bổ đề S.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về Bổ đề S và những ứng dụng của nó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu Bổ đề S cùng một số ứng dụng của nó vào lý thuyết
tối ưu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng: Bổ đề S và ứng dụng vào nghiên cứu điều kiện tối
ưu.
+ Phạm vi: Trong không gian Ơclit.
xi
5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan
đến đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm.
6. Giả thuyết khoa học
+ Nghiên cứu và làm rõ được Bổ đề S.
+ Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà khoa học
nghiên cứu và công bố về Bổ đề S và ứng dụng.
1

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày những kiến thức cơ bản, được áp dụng cho
chương sau nên các kết quả không chứng minh. Các kết quả này được lấy
từ [2].
1.1 Không gian véc tơ Ơclit
Dưới đây là các định nghĩa và tính chất về không gian véc tơ Ơclit và
các kiến thức có liên quan như tích vô hướng, góc giữa hai véc tơ,. . .
Định nghĩa 1.1.1. Cho V là không gian véc tơ thực, tích vô hướng của
hai véc tơ x, y là một số thực , ký hiệu x, y thỏa mãn các tính chất sau:
1. x, y = y, x ∀x, y ∈ V
2. λx, y = λ x, y ∀x, y ∈ V
3.

x
1
+ x
2
, y

=

x
1
, y

+

x
2

, y

∀x
1
, x
2
, y ∈ V
4. x, x ≥ 0, x, x = 0 ⇔ x = 0 ∀x, y ∈ V
Không gian véc tơ thực hữu hạn chiều V trên đó xác định một tích vô
hướng gọi là không gian Ơclit, ký hiệu là E.
2
Định nghĩa 1.1.2. (Độ dài của một véc tơ) Giả sử E là một không gian
Ơclit. Khi đó chuẩn hay độ dài của một véc tơ x ∈ E là đại lượng
x :=

x, x.
Nhận xét 1.1.1. Trong R
n
ta định nghĩa tích vô hướng như sau:
x, y=
n

i=1
x
i
y
i
, x = (x
1
, , x

n
), y = (y
1
, , y
n
).
Định nghĩa 1.1.3. (Góc giữa hai véc tơ) Giả sử E là một không gian
Euclid. Với mọi véc tơ x, y = 0 của E, ta gọi góc giữa x và y là góc α với
0 ≤ α ≤ π sao cho
cosα =
x, y
x. y
.
Khái niệm trên phù hợp với khái niệm góc thông thường trong hình
học.
Theo định nghĩa trên hai véc tơ x, y vuông góc với nhau khi và chỉ khi
x, y = 0.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử S
1
, S
2
là hai tập hợp các véc tơ trong E.
Ta gọi S
1
trực giao (vuông góc) với S
2
nếu x, y = 0 với mọi véc tơ
x ∈ S
1
, y ∈ S

2
.
1.2 Không gian các ma trận
Phần này trình bày về các ma trận thường gặp và các phép toán trên
ma trận.
Định nghĩa 1.2.1. Cho m và n là hai số tự nhiên. Một m × n ma trận
là một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng và n cột. Kí hiệu (a
ij
), trong
đó a
ij
ký hiệu số ở dòng i cột j (i = 1, , m, j = 1, , n). Các số a
ij
được
gọi là các phần tử của ma trận.
3
Định nghĩa 1.2.2. (Ma trận vuông) Một ma trận vuông A = (a
ij
) là ma
trận có số dòng bằng số cột.
Số dòng của ma trận vuông gọi là cấp của ma trận đó.
Hệ các phần tử a
ii
của A có cùng chỉ số dòng và cột được gọi là đường
chéo chính của A.
Định nghĩa 1.2.3. Ma trận vuông I = (a
ij
) cấp n mà a
ij
= 1 nếu i = j,

và a
ij
= 0 nếu i = j được gọi là ma trận đơn vị cấp n.
Sau đây ta chỉ xét các ma trận có phần tử trong một trường số thực
R.
Định nghĩa 1.2.4. Cho A = (a
ij
), B = (b
ij
) và c ∈ R ta có thể định
nghĩa phép cộng A + B và phép nhân vô hướng cA như sau:
A + B = (a
ij
+ b
ij
) ,
cA = (ca
ij
).
Ta kí hiệu L(m, n) là tập hợp tất cả các m ×n ma trận.
Mệnh đề 1.2.1. L(m, n) là một không gian véctơ với
dim L(m, n) = mn.
Chứng minh. Ta có thể coi các m × n ma trận như là các bộ gồm m ×n
phần tử của R. Khi đó L(m, n) chính là không gian véc tơ R
mn
.
Định nghĩa 1.2.5. Giả sử A = (a
ij
) là một m × n ma trận và B = (b
jk

)
là một n × p ma trận. Ma trận tích AB là m × p ma trận (d
ik
) với
d
ik
= a
i1
b
1k
+ a
i2
b
2k
+ + a
in
b
nk
.
Phép nhân hai ma trận chỉ có thể thực hiện được khi ma trận thứ nhất
có số cột bằng số dòng của ma trận thứ hai.
4
Định nghĩa 1.2.6. Ma trận nhận được từ một ma trận A bằng việc đổi
các dòng thành các cột được gọi là ma trận chuyển vị của A, kí hiệu là
A
T
. Nếu A = (a
ij
) là một m ×n ma trận thì A
T

= (a

ji
) là một n ×m ma
trận với a

ji
= a
ij
(i = 1, , m, j = 1, , n).
Nhận xét 1.2.2. Phép chuyển vị có những tính chất sau:

A
T

T
= A,
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
,
(cA)
T
= c

A
T


.
Các tính chất này cho thấy ánh xạ A → A
T
là một đẳng cấu giữa hai
không gian véc tơ L(m, n) và L(n, m).
Định nghĩa 1.2.7. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Một ma trận
vuông B cấp n được gọi là ma trận nghịch đảo của A nếu
AB = BA = I.
Nếu A có ma trận nghịch đảo thì A được gọi là khả nghịch.
Nếu A là khả nghịch thì A có duy nhất một ma trận nghịch đảo.
Định nghĩa 1.2.8. Một ma trận vuông A = (a
ij
) được gọi là ma trận
đường chéo nếu a
ij
= 0 với mọi i = j, có nghĩa là tất cả các phần tử nằm
ngoài đường chéo chính của A đều bằng 0.
Định nghĩa 1.2.9. Một ma trận vuông A = (a
ij
) được gọi là ma trận
đối xứng nếu a
ij
= a
ji
với mọi chỉ số i, j. Điều này có nghĩa là
A
T
= A.
Ma trận A được gọi là một ma trận đối xứng lệch nếu a

ij
= −a
ji
với
mọi chỉ số i, j. Điều này có nghĩa là
A
T
= −A.
5
Định nghĩa 1.2.10. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n. Khi đó tích
vô hướng của hai ma trận A và B được xác định bởi
A ∗ B = T r(AB) =

n
i=1

n
j=1
a
ij
b
ji
,
trong đó a
ij
là phần tử (i, j) của A, b
ji
là phần tử (j, i) của B.
Nhận xét 1.2.3. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n. Khi đó ta có một
số tính chất :

1. A ∗B = T r(AB) = T r(BA).
2. A ∗

xx
T

= x
T
Ax với mọi x ∈ R
n
và a ∈ S
n
.
3. Nếu A và B là hai ma trận nửa xác định dương thì A ∗ B ≥ 0.
1.3 Tập lồi và hàm lồi
1.3.1 Tập lồi
Định nghĩa 1.3.1. Tập hợp C ⊂ X được gọi là lồi nếu với mọi cặp điểm
x, y ∈ C ta có (x, y) ⊂ C. Trong đó (x, y) = {λx + (1 − λ) y |λ ∈ [0, 1]}.
Nhận xét 1.3.1. Giao của một họ các tập lồi là lồi.
Nếu A và B là các tập lồi và α ∈ R, thì các tập A + B, αA cũng lồi.
Định nghĩa 1.3.2. (Nón lồi) Một tập K ⊂ X được gọi là nón nếu mọi
điểm k ∈ K và λ > 0 ta có λk ∈ K. Hơn nữa nếu K là tập lồi thì nó sẽ
được gọi là nón lồi. Một tổ hợp tuyến tính

m
i=1
λ
i
a
i

sẽ được gọi là một tổ
hợp dương nếu λ
i
≥ 0 với mọi i là tổ hợp dương không tầm thường nếu
tồn tại ít nhất một hệ số λ
i
dương chặt.
Nhận xét 1.3.2. Giao của một họ bất kỳ các nón lồi là một nón lồi.
6
Định lí 1.3.3. (Định lý Caratheodory) Giả sử dim X = n < ∞và A ⊂ X.
Lúc đó, với mọi X ∈ coA, x là một tổ hợp lồi của một họ không quá
n + 1 véc tơ thuộc A. Tức là tồn tại hệ {a
0
, a
1
, , a
m
} ⊂ A và các số
λ
0
, , λ
m
≥ 0, với m ≤ n, sao cho
m

0
λ
i
= 1 và x =
m


0
λ
i
a
i
.
Định lí 1.3.4. (Định lý tách tập lồi) Cho A và B là hai tập con của không
gian véc tơ X. Một phiếm hàm tuyến tính f ∈ X
∗
|{0} được gọi là tách A
và B nếu
f (a) ≤ f (b) (hoặc f (a) ≥ f (b)); a ∈ A, b ∈ B.
Điều này tương đương với tồn tại một số α ∈ R sao cho
f (a) ≤ α ≤ f (b) ∀a ∈ A, b ∈ B.
Lúc đó, ta nói siêu phẳng
H (f; α) = f
−1
(α) = {x ∈ X|f (x) = α},
tách A và B. Trường hợp B là tập một điểm B = {x
0
}, ta nói đơn giản
H (f; α) tách A và x
0
. Rõ ràng siêu phẳng tách hai tập, nếu có là không
duy nhất.
Định lí 1.3.5. (Định lý tách cơ bản) Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng,
coreA = ∅ và A ∩ B = ∅. Lúc đó tồn tại siêu phẳng tách A và B.
1.3.2 Hàm lồi
Định nghĩa 1.3.3. Hàm f : X → R được gọi là thuần nhất dương nếu

f (λx) = λf (x) ; ∀x ∈ X, ∀λ > 0.
7
Định nghĩa 1.3.4. (Hàm lồi) Cho hàm f : X → R ∪{−∞, ∞} thì
domf := {x ∈ X/f (x) < ∞}
là miền xác định hữu hiệu và
epif := {(α, x) ∈ R × X/f (x)  α}
là đồ thị (epigraph) của f.
Hàm f được gọi là thật nếu domf = ∅ và f (x) > −∞ với mọi x ∈ X.
Hàm f là một hàm lồi nếu epif là một tập lồi trong R ×X.
Mệnh đề 1.3.6. Cho f : X → R lồi khi và chỉ khi
f (λx
1
+ (1 −λ) x
2
)  λf (x
1
) + (1 − λ) f (x
2
) , ∀x
1
, x
2
∈ X, λ ∈ [0, 1] .
Định lí sau đây đưa ra một số tính chất quan trọng của hàm lồi đối
với bài toán cực trị.
Định lí 1.3.7. Chof : X → R là một hàm lồi thật.
(i) Mọi tập mức dưới
L
α
f := {x ∈ X/f (x)  α} (1.1)

là lồi (∀α ∈ R).
(ii) Mỗi điểm cực tiểu địa phương của f là một điểm cực tiểu toàn cục.
(iii) Mỗi điểm dừng của f là một điểm cực tiểu toàn cục.
1.4 Bài toán tối ưu và hàm Lagrange
Định nghĩa 1.4.1. (Bài toán tối ưu) Bài toán tối ưu tổng quát được phát
biểu như sau:
min f (x) với điều kiện x ∈ D, (P 1)
8
hoặc
max f (x) với điều kiện x ∈ D, (P 2)
trong đó D ⊆ R
n
được gọi là tập nghiệm chấp nhận được hay tập ràng
buộc và f : D → R là hàm mục tiêu. Mỗi điểm x ∈ D được gọi là một
nghiệm chấp nhận được hay một phương án chấp nhận được ( gọi tắt là
một phương án). Điểm x
∗
∈ D mà
f (x
∗
)  f (x) ∀x ∈ D
được gọi là nghiệm tối ưu, hoặc nghiệm tối ưu toàn cục, hoặc nghiệm cực
tiểu toàn cục, hoặc là nghiệm của bài toán (P1).Người ta còn gọi một
nghiệm tối ưu là một phương án tối ưu hay lời giải của bài toán đã cho.
Điểm x
∗
∈ D được gọi là nghiệm cực tiểu toàn cục chặt nếu
f (x
∗
) < f (x) ∀x ∈ D và x = x

∗
.
Không phải bài toán (P1) nào cũng có nghiệm cực tiểu toàn cục nếu bài
toán có nghiệm cực tiểu toàn cục thì cũng chưa chắc có nghiệm cực tiểu
toàn cục chặt.
Giá trị tối ưu (hay giá trị cực tiểu) của bài toán (P1) được kí hiệu là
min
x∈D
f (x) hoặc min {f (x) |x ∈ D}.
Nếu bài toán (P1) có nghiệm tối ưu là x
∗
thì
f (x
∗
) = min {f (x) |x ∈ D }.
Ta kí hiệu Arg min {f (x) |x ∈ D} là tập nghiệm tối ưu của bài toán
(P1). Nếu bài toán chỉ có một nghiệm tối ưu x
∗
thì có thể viết x
∗
=
arg min {f (x) |x ∈ D }.
Tương tự đối với bài toán (P2), ta cũng có các khái niệm như trên.
9
Định nghĩa 1.4.2. (Hàm Lagrange) Cho C là tập khác rỗng trong R
n
, f
i
:
C → R, b

i
∈ R, i = 0, 1, , m là những hàm xác định trên C. Xét bài toán
tối ưu :
min {f
0
(x) : x ∈ D}, (Q)
trong đó D = {x ∈ R
n
: x ∈ C, f
i
(x)  b
i
, i = 1, , m} là miền ràng buộc
của bài toán.
Để nghiên cứu điều kiện tối ưu của bài toán trên người ta quan tâm
đến hàm Lagrange
L (x, λ) := L (x, λ
1
, , λ
m
) := f
0
(x) +
m

i=1
λ
i
(f
i

(x) − b
i
)
xác định trên C ×R
m
+
, trong đó bộ số λ = (λ
1
, , λ
m
) gọi là các nhân tử
Lagrange.
1.5 Kết luận chương 1
Trong chương này ta đã trình bày định nghĩa, một số tính chất cơ bản
của không gian véc tơ Ơclit, không gian các ma trận, tập lồi và hàm lồi,
bài toán tối ưu và hàm Lagrange. Chương tiếp theo ta sẽ trình bày về bổ
đề S, các cách chứng minh bổ đề S.
10
Chương 2
Bổ đề S
Bổ đề S là một đề tài hay và có nhiều mối liên hệ giữa các lĩnh vực
khác nhau trong toán học. Hiện nay, bổ đề S vẫn được rất nhiều nhà toán
học say mê nghiên cứu. Chương này trình bày bổ đề S và các cách chứng
minh bổ đề S: như phương pháp cổ điển, hiện đại, và phương pháp chứng
minh cơ bản. Sau đó đưa ra một số kết quả đặc biệt và phản ví dụ. Và
cuối cùng ta sẽ phát biểu về bổ đề S tổng quát. Các kết quả này được lấy
từ [3], [5], [6].
2.1 Bổ đề S
Đầu tiên chúng ta sẽ trình bày Bổ đề Farkas, một định lý cơ bản của
giải tích lồi.

Bổ đề 2.1.1. (Bổ đề Farkas, [5]) Giả sử f, g
1
, , g
m
: R
n
→ R là những
hàm lồi. Giả thiết rằng điều kiện Slater đúng với g
1
, , g
m
nghĩa là tồn tại
một x ∈ R
n
sao cho g
j
(x) < 0, j = 1, , m. Khi đó hai khẳng định sau
tương đương:
11
(i) Hệ







f(x) ≤ 0
g
j

(x) ≤ 0, j = 1, , m
x ∈ R
n
(2.1)
là vô nghiệm.
(ii)Tồn tại λ
1
, , λ
m
≥ 0 sao cho
f(x) +
m

i=1
λ
i
.g
i
(x) ≥ 0 (2.2)
với mỗi x ∈ R
n
.
Chứng minh. Theo định lý tách tập lồi. Ta có tập hợp
K =

(p, q
1
, , q
m
) ∈ R

m+1
: ∃x ∈ R
n
, f(x) < p, g
i
(x) ≤ q
i
, i = 1, , m

là lồi và hệ (2.1) không giải được khi và chỉ khi điểm không không nằm
trong tập hợp lồi này.
Giả sử (p

, q

1
, , q

m
) ∈ K, khi đó
∃x

∈ R
n
: f (x

) < p

, g
i

(x

) ≤ q
i
, i = 1, , m.
Suy ra t (p, , q
m
)+(1 − t) (p

, , q

m
) = (tp + (1 −t) p

, , tq
m
+ (1 −t) q

m
).
Bây giờ ta đi chứng minh
(tp + (1 − t) p

, , tq
m
+ (1 −t) q

m
) ∈ K
nghĩa là tồn tại x

t
∈ R
n
sao cho
f (x
t
) < tp + (1 − t) q

; g
i
(x
t
) ≤ tq
i
+ (1 −q) q

i
, i = 1, , m, ∀x ∈ R
n
.
Thật vậy với x
t
= tx + (1 − t) x

ta có
f (tx + (1 −t) x

) ≤ tf (x) + (1 − t) f (x

) < tp + (1 − t) p


,
g (tx + (1 − t) x

) ≤ tg (x) + (1 − t) g (x

) < tq
1
+ (1 −t) q

1

Vậy K là tập lồi.
Giả sử hệ (i) là không giải được thì
12
L =

a = (p
∗
1
, q
∗
1
, , q
∗
m
)


p

∗
1
< 0, q
∗
j
< 0, ∀j = 1, , m

giao với K bằng rỗng. Theo định lý tách tập lồi thì K và L được tách bởi
một siêu phẳng. Suy ra tồn tại véc tơ t = (t
0,
, t
1
, , t
m
) (t = 0) thỏa mãn:
0 ≤ t, a = t
0,
p + t
1
q
1
+ + t
m
v
m
, ∀a ∈ K,
0 ≥ t, a
∗
 = t
0

p
∗
1
+ t
1
q
∗
1
+ + t
m
q
∗
m
, ∀a
∗
∈ L.
Giả sử tồn tại một t
i
, chọn a
∗
= (0, , −ε, 0, , 0), thì t
i
(−θ) ≤ 0, mâu
thuẫn. Suy ra t
i
≥ 0, ∀i = 1, , m.
Với θ > 0 bất kì ta có
0 ≤ λ
0
[f (x) + θ] + + λ

m
[g
m
(x) + θ]
Suy ra 0 ≤ t
0
f (x) + + t
m
g
m
(x) , ∀x ∈ R
n
.
Trường hợp t
0
= 0 không thỏa mãn điều kiện Slater. Suy ra t
0
> 0.
Vậy f (x) +
m

i=1
λ
i
g
i
(x) ≥ 0, ∀x ∈ R
n
.
Bổ đề đã được chứng minh.

Định lý mà chúng ta trình bày dưới đây là bổ đề S được chứng minh
bởi Yakubovich [6] vào năm 1971.
Định lí 2.1.1. (Bổ đề S, Yakubovich, [6]) Giả sử f, g : R
n
→ R là những
hàm toàn phương và giả sử điều kiện Slater thỏa mãn đối với g, nghĩa là
tồn tại x ∈ R
n
sao cho g (x) < 0. Khi đó các phát biểu sau tương đương:
(i) Không tồn tại x ∈ R
n
sao cho

f(x) < 0
g(x) ≤ 0
(2.3)
(ii) Có một số thực λ ≥ 0 sao cho
f(x) + λg(x) ≥ 0, ∀x ∈ R
n
. (2.4)
13
Nhận xét 2.1.2. Bổ đề Farkas đúng với số hàm là hữu hạn còn với bổ
đề S theo định lý trên thì chỉ đúng với hai hàm toàn phương và các hàm
này có thể là không lồi.
Nhận xét 2.1.3. Bổ đề S chỉ đúng với hai hàm toàn phương. Trong
trường hợp tổng quát có nhiều hơn hoặc bằng ba hàm toàn phương thì
bổ đề S không còn đúng nữa.
Nhận xét 2.1.4. Nếu điều kiện Slater không được thỏa mãn thì bổ đề S
không còn đúng nữa.
Ví dụ 2.1.5. Cho f (x) = x và g (x) = 5x

2
.
Ta thấy hệ

f (x) < 0
g (x) ≤ 0
là vô nghiệm, vì không thỏa mãn điều kiện Slater: nghĩa là không tồn tại
x ∈ R để g (x) < 0.
Thật vậy, giả sử có một số t ≥ 0 sao cho
f (x) + tg (x) = x + 5tx
2
= x (1 + 5tx) ≥ 0, ∀x ∈ R.
Trường hợp 1: Nếu t = 0 thì f (x) = x không thể lớn hơn 0 với mọi x ∈ R.
Trường hợp 2: Nếu t = 0 thì phương trình f (x) + tg (x) = 0 luôn có hai
nghiệm phân biệt x = 0, x =
1
−5t
. Điều này có nghĩa là f (x) + tg (x)
không thể lớn hơn hoặc bằng 0 trên R được.
Vậy bổ đề S không đúng khi điều kiện Slater không còn được thỏa mãn.
Sau đây chúng ta sẽ đi chứng minh bổ đề S.
2.2 Một số chứng minh khác nhau của bổ đề S
Trong mục này, chúng ta trình bày ba cách chứng minh cho bổ đề S.
Chúng ta bắt đầu với chứng minh nguyên bản của Yakubovich, sau đó
14
chúng ta trình bày một chứng minh hiện đại, và kết luận với một chứng
minh giải tích cơ bản.
2.2.1 Phương pháp cổ điển
Yakubovich sử dụng kết quả của tính lồi sau đây để chứng minh bổ đề
S.

Mệnh đề 2.2.1. (Dine, [3]) Cho f, g : R
n
→ R là các hàm toàn phương
thuần nhất. Khi đó tập K = {(f(x), g(x)) : x ∈ R
n
} ⊂ R
2
là tập lồi.
Chứng minh. Chúng ta sẽ kiểm tra theo định nghĩa của tập lồi.
Giả sử lấy hai điểm a = (a
f
, a
g
) và b = (b
f
, b
g
) thuộc K. Nếu hai điểm đó
và gốc tọa độ thẳng hàng thì hiển nhiên đoạn thẳng nối a và b thuộc vào
K, vì các hàm đó là thuần nhất.
Từ giờ chúng ta giả thiết rằng những điểm đó và gốc tọa độ không thẳng
hàng. Vì chúng thuộc K nên tồn tại các điểm x
a
, x
b
∈ R
n
sao cho
a
f

= f (x
a
) , a
g
= g(x
a
)
b
f
= f(x
b
), b
g
= g(x
b
).
Không mất tính tổng quát ta giả thiết
b
f
a
g
− a
f
b
g
= p
2
> 0.
Giả sử t ∈ (0, 1) là không đổi, chúng ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại x
t

∈ R
n
sao cho
(f(x
t
), g(x
t
)) = (1 −t) a + tb. (2.5)
Chúng ta đi tìm x
t
dưới dạng
x
t
= r (x
a
.cosϕ + x
b
. sin ϕ),
trong đó r và ϕ là các biến thực. Thay x
t
vào (2.5) ta có