Đánh giá số các giá trị riêng âm của toán tử Schrödinger trong trường hợp hai chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
NGUYỄN THỊ HÀ
ĐÁNH GIÁ SỐ CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG ÂM
CỦA TOÁN TỬ SCHR
¨
ODINGER
TRONG TRƯỜNG HỢP HAI CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội, 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————
NGUYỄN THỊ HÀ
ĐÁNH GIÁ SỐ CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG ÂM
CỦA TOÁN TỬ SCHR
¨
ODINGER
TRONG TRƯỜNG HỢP HAI CHIỀU
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí
Hà Nội, 2013
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Tạ Ngọc Trí,
người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong
quá trình thực hiện luận văn.

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo
trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán
giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và
nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên
và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Nguyễn Thị Hà
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Tạ Ngọc Trí.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Nguyễn Thị Hà
Bảng kí hiệu
R tập hợp số thực
R
n
không gian thực n-chiều
C tập hợp số phức
H không gian Hilbert
L
p
(X) không gian Lebesgue của các hàm p-khả tích
L
p
loc
(X) hàm khả tích địa phương

L
∞
(X) không gian Lebesgue của các hàm bị chặn hầu khắp nơi
L
∞
∞
(R
n
) không gian Lebesgue của các hàm bị triệt tiêu tại ∞
· chuẩn trong không gian
·
p
chuẩn trong không gian Banach L
p
·, · tích vô hướng
L(X, Y ) tập các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y
L = L(X, X)
L(H) tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên H
T
∗
toán tử liên hợp của toán tử T trong không gian Hilbert
T

toán tử liên hợp của toán tử T trong không gian Banach
T bao đóng của toán tử T
ρ(T ) tập giải được của toán tử T
R
T
giải được của toán tử T
D(T ) miền xác định của toán tử T

Ker(T ) nhân của toán tử T
Ran(T ) miền giá trị của toán tử T
v
inf cận dưới đúng
sup cận trên đúng
supp giá của hàm
σ(T ) phổ của toán tử T
σ
p
(T ) phổ điểm của toán tử T
σ
d
(T ) phổ rời rạc của toán tử T
σ
ess
(T ) phổ thiết yếu của toán tử T
µ
ψ
độ đo phổ
1 toán tử đơn vị
F phép biến đổi Fourier
S(R
n
) tập các hàm trơn giảm nhanh
ˆ
f = Ff phép biến đổi Fourier của f
ˇ
f = F
−1
f phép biến đổi Fourier ngược của f

C(U) tập các hàm số liên tục từ U vào C
C
∞
(U) tập các hàm số trong C(U) triệt tiêu tại ∞
C(U, V ) tập các hàm số liên tục từ U vào V
C
∞
c
(U, V ) tập các hàm trơn giá compact
χ
Ω
(·) biểu trưng của tập Ω
H
m
(R
n
) không gian Sobolev
H
0
toán tử tự do
H toán tử Schr¨odinger
∆ toán tử Laplace
i số phức đơn vị
e hàm mũ
vi
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nghiên cứu về lý thuyết phổ của toán tử Schr¨odinger đã thu hút được
sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Nó là sự kết hợp của giải tích hàm,
phương trình đạo hàm riêng và biến đổi Fourier. Việc nghiên cứu này có

vai trò quan trọng trong vật lý.
Trong cơ học lượng tử, chúng ta gặp toán tử Schr¨odinger −∆ + V .
Trong rất nhiều các trường hợp của V , phổ của toán tử −∆ + V có một
phần giống như phổ của toán tử Schr¨odinger tự do −∆, tức là [0, ∞) và
một số các giá trị riêng âm. Một số trường hợp, ta có thể đánh giá được
số các giá trị riêng âm đó. Việc làm này có ý nghĩa trong vật lý. Hiện
nay, việc nghiên cứu về số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger
trong trường hợp ba chiều R
3
đã có kết quả chứng minh cụ thể, được
giới thiệu trên khá nhiều tạp chí nghiên cứu toán học.
Vấn đề đặt ra là một số kết quả đó còn đúng trong trường hợp hai
chiều R
2
hay không? Để làm rõ vấn đề này, ta sẽ đi nghiên cứu chi tiết
nó.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết phổ, đặc biêt là về số
các giá trị riêng âm toán tử Schr¨odinger trong trường hợp R
2
, cùng với
sự giúp đỡ tận tình của TS. Tạ Ngọc Trí tôi đã chọn nghiên cứu đề tài:
“Đánh giá số các giá trị riêng của âm toán tử Schr¨odinger trong trường
hợp hai chiều”.
vii
2. Mục đích nghiên cứu
• Tìm hiểu về một số kết quả liên quan đến toán tử Schr¨odinger, phổ
của toán tử Schr¨odinger.
• Tìm hiểu về một số đánh giá số các giá trị riêng âm của toán tử
Schr¨odinger trong trường hợp ba chiều.
• Cần đánh giá được số các giá trị âm của toán tử Schr¨odinger trong

trường hợp hai chiều.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Trình bày các định nghĩa, các ví dụ cụ thể về toán tử Schr¨odinger,
phổ của toán tử Schr¨odinger.
• Chỉ ra một số các kết quả liên quan đến phổ của toán tử Schr¨odinger.
• Trình bày về một số đánh giá số các giá trị riêng âm của toán tử
Schr¨odinger trong trường hợp ba chiều.
• Đánh giá số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong
trường hợp hai chiều.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: toán tử Schr¨odinger, phổ của toán tử Schr¨odinger
và số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong trường hợp
hai chiều và ba chiều.
viii
• Phạm vi nghiên cứu: các tài liệu, các bài báo liên quan tới toán tử
Schr¨odinger, phổ của toán tử Schr¨odinger, một số đánh giá về số
các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp
cận vấn đề.
• Sử dụng các kiến thức trong lý thuyết phổ, lý thuyết toán tử, toán
tử tuyến tính bị chặn, toán tử trong không gian Hilbert, đại số
Banach.
6. Những đóng góp của luận văn
• Nêu các định nghĩa, ví dụ về toán tử Schr¨odinger và phổ của toán
tử Schr¨odinger. Chỉ ra các kết quả liên quan đến phổ của toán tử
Schr¨odinger.
• Trình bày về một số đánh giá các giá trị riêng âm của toán tử
Schr¨odinger trong trường hợp ba chiều.
• Đánh giá số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong

trường hợp hai chiều.
ix
Mục lục
Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Nội dung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Một số không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Không gian L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . 13
1.4. Toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . . . . . 16
1.5. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn. . . . . . . . . 20
Chương 2. Toán tử Schr¨odinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1. Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Một số kết quả liên quan đến phổ của toán tử Schr¨odinger . 30
2.2.1. Toán tử Schr¨odinger dạng H
0
+ V . . . . . . . . . . 30
2.2.2. Toán tử Schr¨odinger dạng −∆ −
λ
|x|
. . . . . . . . . . 32
2.2.3. Toán tử Schr¨odinger dạng −
N


j=1
∆
j
+
N

j<k
V
j,k
(x
j
− x
k
) 36
x
Chương 3. Đánh giá về số các giá trị riêng âm của toán tử
Schr¨odinger trong trường hợp hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1. Giới thiệu chung về các kết quả . . . . . . . . . . . . . 46
3.2. Đánh giá với các trường thế tốt . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. Đánh giá với một lớp rộng hơn các trường thế . . . . . . . . 52
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
xi
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này hệ thống lại một số khái niệm và kết quả về những không
gian, những toán tử, phổ của toán tử để làm cơ sở cho việc tiếp cận các
kiến thức ở chương tiếp theo. Các kết quả không chứng minh, xin xem
chi tiết hơn ở [1], [2], [3], [6], [7], [13], [14] và các tài liệu trích dẫn trong

đó.
1.1. Một số không gian
1.1.1. Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian vectơ trên trường số K
(R hoặc C). Một ánh xạ p : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu
nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) p(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X;
p(x) = 0 ⇔ x = θ (θ là kí hiệu phần tử không trong X);
(ii) p(λx) = |λ|p(x) với mọi số λ ∈ K và mọi x ∈ X;
(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ X.
Số p(x) được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ p(x), thông thường
ta kí hiệu x thay cho p(x).
1
Không gian vectơ X cùng với chuẩn · trong nó được gọi là một
không gian định chuẩn, kí hiệu (X, ·).
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử X là không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ X,
đặt
ρ(x, y) = (x −y).
Khi đó, ρ là một metric trên X.
Định nghĩa 1.1.3. Dãy (x
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi
là hội tụ đến x
0
∈ X nếu
lim
n→∞
x
n
− x

0
 = 0.
Khi đó, ta kí hiệu
lim
n→∞
x
n
= x
0
hoặc x
n
→ x
0
, khi n → ∞.
Mệnh đề 1.1.4. Dãy (x
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi là
một dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu
lim
m,n→∞
x
m
− x
n
 = 0.
Định nghĩa 1.1.5. Không gian metric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
Cauchy đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.6. Giả sử không gian định chuẩn X là không gian
metric đầy đủ (với khoảng cách ρ(x, y) = (x −y)). Khi đó X được gọi
là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.

2
1.1.2. Không gian L
p
Định nghĩa 1.1.7. Cho (X, S, µ) là một không gian đo được, nghĩa là
X là một tập và
(i) S là một σ – đại số trong X, nghĩa là S là một họ những tập con
của X sao cho
(a) ∅ ∈ S,
(b) A ∈ S ⇒ A
c
∈ S, A
c
là phần bù của A
(c) Nếu A
n
∈ S, ∀n thì
∞

n=1
A
n
∈ S,
(ii) µ là một độ đo xác định trên S, nghĩa là µ : S → [0, ∞) thỏa mãn
(a) µ(∅) = 0,
(b) Nếu (A
n
) là họ đếm được các phần tử rời nhau của S, thì
µ(
∞


n=1
A
n
) =
∞

n=1
µ(A
n
).
Phần tử của S gọi là tập đo được. Đôi khi ta viết |A| thay cho µ(A).
Tập A ∈ S với tính chất µ(A) = 0 gọi là tập có độ đo không. Ta nói
rằng, một tính chất nào đó đúng hầu khắp nơi trên X nếu tính chất đó
đúng khắp nơi trên X ngoại trừ một tập có độ đo không nào đó của X.
Hàm f : X → R gọi là đo được trên A nếu
∀a ∈ R : {x ∈ A : f(x) < a} ∈ S.
Trong trường hợp X = R
n
và S là những tập hợp đo được theo nghĩa
Lebesgue thì ta nói tắt f(x) là hàm đo được. Khi đó tích phân Lebesgue
3
của hàm f(x) trên tập đo được A được kí hiệu là

A
f(x)dµ(x) hoặc

A
f(x)d(x) hoặc

A

f(x)d
n
(x).
Nếu

A
f(x)d(x) < ∞ thì ta nói f(x) khả tích trên A. Ta luôn quy ước
hai hàm f và g đo được trên X là bằng nhau nếu chúng bằng nhau hầu
khắp nơi trên X, nghĩa là
µ{x ∈ X : f(x) = g(x)} = 0.
Định nghĩa 1.1.8. Cho (X, S, µ) là một không gian đo được. Kí hiệu
L
1
(X, µ) (hoặc L
1
) là không gian các hàm khả tích trên X với
f
L
1
= f
1
=

X
|f|dµ =

|f|.
Cho p ∈ R với 1 < p < ∞, kí hiệu, L
p
là không gian các hàm số f(x)

có lũy thừa bậc p khả tích trên X, nghĩa là |f(x)|
p
∈ L
1
với
f
L
p
= f
p
=


X
|f|
p
dµ

1/p
.
Kí hiệu L
∞
là không gian các hàm đo được trên X sao cho tồn tại
hằng số C để |f(x)| ≤ C hầu khắp nơi trên X với
f
L
∞
= f
p
= inf{C : |f(x)| ≤ C hầu khắp nơi trên X}.

Định nghĩa 1.1.9 (không gian L
p
). Cho (X, S, µ) là một không gian
đo được. Họ tất cả các hàm số f(x) có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < ∞) của
modun khả tích trên X, tức là sao cho
f
p
=



X
|f(x)|
p
dµ(x)


1/p
< ∞
gọi là không gian L
p
(X, µ).
4
Khi đó L
p
(X, µ) là tập các lớp tương đương (nghĩa là bằng nhau hầu
khắp nơi). Khi X là một tập đo được Lebesgue trong R
k
, µ là độ đo
Lebesgue thì ta viết L

p
(X). Nếu X = [a, b] ⊂ R
1
, µ là độ đo Lebesgue
thì ta viết L
p
(a, b) hoặc L
p
[a,b]
và nếu X = [0, 1] thì viết đơn giản L
p
.
Định lý 1.1.10. Các không gian L
p
với chuẩn cho bởi f
L
p
như trong
định nghĩa trên là những không gian Banach.
1.1.3. Không gian Sobolev
Cho Ω là một tập mở con của R
n
có biên là ∂Ω.
Định nghĩa 1.1.11. Cho số nguyên m > 0 và 1 ≤ p ≤ ∞. Không gian
Sobolev được định nghĩa như sau:
W
m,p
(Ω) = {u ∈ L
p
(Ω)|D

α
u ∈ L
p
(Ω), |α| ≤ m}.
W
m,p
là tập hợp tất cả các hàm thuộc L
p
(Ω) có đạo hàm suy rộng đến
m cũng thuộc L
p
(Ω).
Ta có C
∞
c
(Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact
trong Ω thì trù mật trong L
p
(Ω), với 1 ≤ p < ∞. Nếu φ ∈ C
∞
c
(Ω) thì
D
α
φ ∈ C
∞
c
(Ω), với mọi đa chỉ số α. Như vậy,
C
∞

c
(Ω) ⊂ W
m,p
(Ω) ⊂ L
p
(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞.
W
m,p
(Ω) là một không gian vectơ.
Trên W
m,p
(Ω) ta trang bị một chuẩn ·
m,p,Ω
như sau:
Với 1 ≤ p < ∞, ta định nghĩa
·
m,p,Ω
=




0≤|α|≤≤m
D
α
u
p
L
p
(Ω)




1/p
.
5
Với p = ∞, ta định nghĩa
u
m,∞,Ω
= max
0≤|α|≤m
D
α
u
L
∞
(Ω)
.
Trường hợp đặc biệt p = 2, ta kí hiệu W
m,2
(Ω) = H
m
(Ω), cho u ∈
H
m
(Ω), khi đó
u
m,Ω
= u
m,2,Ω

.
Ta định nghĩa
H
m
(R
n
) =

u ∈ L
2
(R
n
)


(1 + |ξ|
2
)
m/2
ˆu(ξ) ∈ L
2
(R
n
)

với chuẩn
u
2
H
m

(R
n
)
=

R
n
(1 + |ξ|
2
)
m
|ˆu(ξ)|
2
.
1.1.4. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.12. Cho H là một không gian vectơ trên trường số C
(gọi tắt là không gian vectơ phức).
Ánh xạ
H ×H → C
(x, y) → x, y
được gọi là một tích vô hướng trên H nếu nó thỏa mãn các điều kiện
sau:
(i) x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H;
x, x = 0 ⇔ x = θ ( θ là kí hiệu phần tử không trong H );
(ii) y, x = x, y với mọi x, y ∈ H;
6
(iii) x + x

, y = x, y+ x


, y với mọi x, x

, y ∈ H.
(iv) λx, y = λ x, y với mọi x ∈ H, mọi số λ ∈ C.
Các phần tử x, x

, y gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số x, y gọi
là tích vô hướng của hai nhân tử x và y.
Định nghĩa 1.1.13. Cho H là một không gian vectơ trên trường số
C. Ánh xạ B : H × H → C được gọi là một dạng tuyến tính rưỡi
(sesqiulinear form) nếu B(x
0
, ·) là tuyến tính, B(·, y
0
) là liên hợp tuyến
tính:
B(x + y, z + w) = B(x, y) + B(x, w) + B(y, z) + B(y, w),
B(ax, bx) = a
¯
bB(x, y)
với mọi x, y, z, w ∈ H, a, b ∈ C.
Định nghĩa 1.1.14. Không gian vectơ phức H được trang bị một dạng
tuyến tính rưỡi ·, · thỏa mãn x, x > 0 với mọi x ∈ H \{0}, được gọi
là không gian có tích vô hướng (0 kí hiệu là phần tử không trong H).
Khi đó, ·, · gọi là tích vô hướng trên H. Không gian có tích vô hướng
còn gọi là không gian tiền Hilbert.
Cho H là không gian tiền Hilbert. Với mỗi x ∈ H, ta đặt x =

x, x. Khi đó, ta có bất đẳng thức (Cauchy–Schwarz):
|(x, y)| ≤ xy, ∀x, y ∈ H.

Từ bất đẳng thức trên ta suy ra kết quả sau:
7
Mệnh đề 1.1.15. Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định
chuẩn, với chuẩn
x =

x, x.
Từ đây về sau, nếu không nói khác đi, ta luôn hiểu không gian tiền
Hilbert là không gian định chuẩn, với chuẩn x =

x, x.
Định nghĩa 1.1.16. Nếu không gian tiền Hilbert H với metric cho bởi
ρ(x, y) = (x, y) là một không gian metric đủ, thì H được gọi là không
gian Hilbert.
Từ đây trở đi, H sẽ luôn hiểu là không gian Hilbert.
1.2. Toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.2.1. Cho X, Y là các không gian vectơ định chuẩn trên
trường số K, ánh xạ T : X → Y tuyến tính nếu
T (αx + βy) = α(T x) + β(Ty)
với mọi x, y ∈ X và α, β ∈ K.
Ta nói rằng ánh xạ tuyến tính T là một toán tử tuyến tính bị chặn
(bounded linear operator) nếu tồn tại hằng số C sao cho
T x
Y
≤ Cx
X
với mọi x ∈ X.
Số T nhỏ nhất được gọi là chuẩn của T , kí hiệu là T  hoặc T
X,Y
.

Do đó,
T  = sup
x
X
=1
T x
Y
.
8
Khi X = Y thì T gọi là toán tử trên X. Khi Y = K thì toán tử tuyến
tính T được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Mệnh đề 1.2.2. Cho T là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn
X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó, các mệnh đề sau là tương
đương:
(i) T bị chặn;
(ii) T liên tục;
(iii) T liên tục tại điểm 0.
Định nghĩa 1.2.3. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Ta kí hiệu
L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X
vào không gian Y . Xét A, B là hai toán tử thuộc L(X, Y ), khi đó ta đưa
vào L(X, Y ) hai phép toán:
• Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là
A + B và được xác định bởi biểu thức
(A + B)(x) = Ax + Bx với mọi x ∈ X;
• Tích vô hướng của α ∈ C với toán tử A ∈ L(X, Y ) là một toán tử,
kí hiệu là αA và được xác định bởi biểu thức
(αA)(x) = α(Ax).
Dễ dàng kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai
phép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ. Khi đó, tập
L(X, Y ) trở thành một không gian vectơ trên trường C. Trong trường

9
hợp Y = C thì L(X, C) được gọi là không gian liên hợp của X, kí hiệu
là X
∗
. Nếu Y = X thì L(X, Y ) được kí hiệu gọn lại là L(X).
Chuẩn T trong L(X, Y ) được xác định bởi
T  = sup
x=0
T x
Y
x
X
, x ∈ X.
Không gian L(X, Y ) với chuẩn vừa nêu là một không gian định chuẩn.
Từ định nghĩa trên dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:
(i) T x ≤ T x với mọi x ∈ X.
(ii) Với mọi ε > 0, tồn tại x
ε
∈ X : T − ε < T x
ε
.
Mệnh đề 1.2.4. Nếu Y là đầy đủ thì L(X, Y ) là không gian Banach.
Từ mệnh đề trên suy ra X
∗
luôn là không gian Banach.
Định lý 1.2.5 ([6], Theorem VI.1, tr. 184). Kí hiệu L(H) là tập các
toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H. Cho T
n
là một dãy các toán
tử bị chặn và giả sử (T

n
x, y) hội tụ khi n → ∞ với mọi H. Khi đó tồn
tại L(H) sao cho T
n
w
−→ T (hội tụ yếu).
Nếu một dãy các toán tử T
n
trên không gian Hilbert có tính chất T
n
x
hội tụ với mọi x ∈ H, khi đó tồn tại T ∈ L(H) sao cho T
n
s
−→ T (hội tụ
mạnh).
Cho T ∈ L(X, Y ). Tập các vectơ x ∈ X sao cho T x = 0 được gọi là
nhân của T , kí hiệu là Ker(T ) = {x ∈ X|T x = 0}. Tập các vectơ y ∈ Y
sao cho y = T x với x ∈ X được gọi là miền giá trị của T , kí hiệu là
Ran(T ) = {y = Tx|x ∈ X}. Ta có Ker(T ) và Ran(T ) là các không gian
con.
10
Định nghĩa 1.2.6. Cho X và Y là hai không gian Banach, T là toán
tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y . Toán tử liên hợp (trong không gian
Banach) của T , kí hiệu là T

, là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y
∗
tới X
∗

được cho bởi công thức
(T

)(x) = (T x)
với ∀ ∈ Y
∗
, x ∈ X.
Định lý 1.2.7 ([6], Theorem VI.2, tr. 186). Cho X, Y là hai không gian
Banach. Ánh xạ T → T

là một phép đẳng cấu đẳng cự của L(X, Y ) vào
L(Y
∗
, X
∗
).
Đặc biệt, T là phép biến đổi tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert
H vào chính nó. Khi đó liên hợp không gian Banach của T là ánh xạ từ
H
∗
tới H
∗
. Cho C : H → H
∗
là ánh xạ ứng với mỗi y ∈ H, là phiếm hàm
tuyến tính bị chặn (y, ·) trong H
∗
. Xét C là một phép đẳng cự tuyến
tính liên hợp và toàn ánh. Chúng ta định nghĩa ánh xạ T
∗

bởi công thức
T
∗
= C
−1
T

C.
Khi đó T
∗
thỏa mãn
(x, T y) = (Cx)(T y) = (C
−1
T

Cx, y) = (T
∗
x, y).
T
∗
được gọi là liên hợp (trong không gian Hilbert) của T nhưng chúng
ta thường gọi là liên hợp và kí hiệu là T
∗
để phân biệt với T

. Chú ý
rằng ánh xạ T → T
∗
là tuyến tính liên hợp nghĩa là αT → αT
∗

, do C là
tuyến tính liên hợp.
11
Định lý 1.2.8 ([6], Theorem VI.3, tr. 186).
(a) T → T
∗
là phép đẳng cấu đẳng cụ tuyến tính liên hợp từ L(H) lên
L(H);
(b) (T S)
∗
= S
∗
T
∗
;
(c) (T
∗
)
∗
= T ;
(d) Nếu T có toán tử ngược bị chặn T
−1
thì T
∗
có toán tử ngược bị chặn
và (T
∗
)
−1
= (T

−1
)
∗
;
(e) Ánh xạ T → T
∗
luôn liên tục trong tôpô toán tử yếu và đều nhưng
nó chỉ liên tục trong tôpô toán tử mạnh nếu H là hữu hạn chiều;
(f) T
∗
T  = T 
2
.
Định nghĩa 1.2.9. Toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert được
gọi là tự liên hợp nếu T = T
∗
.
Định nghĩa 1.2.10. Nếu P ∈ L(H) và P
2
= P thì P được gọi là một
phép chiếu. Nếu thêm điều kiện thì P = P
∗
được gọi là phép chiếu trực
giao.
Định nghĩa 1.2.11. Cho X là không gian Banach, L(X) tà tập các
toán tử bị chặn trên X. Toán tử A ∈ L(X) được gọi là khả nghịch nếu
tồn tại toán tử B ∈ L(X) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán tử đơn vị
trong X). Khi đó, toán tử B được gọi là toán tử ngược của A và kí hiệu
là B = A
−1

.
Định lý 1.2.12. Nếu A ∈ L(X) là một toán tử tuyến tính thỏa mãn
A < 1, thì toán tử 1 −A là khả nghịch.
12
Định lý 1.2.13. Nếu toán tử A, B ∈ L(X) là khả nghich thì tích AB
cũng khả nghịch và
(AB)
−1
= B
−1
A
−1
.
Định lý 1.2.14. Nếu toán tử A ∈ L(X) khả nghịch và toán tử B ∈ L(X)
sao cho
A − B <
1
A
−1

thì toán tử B khả nghịch.
Định nghĩa 1.2.15. Toán tử T được gọi là compact nếu nó liên tục và
biến mỗi tập bị chặn thành tập compact tương đối, nghĩa là: Nếu M là
tập bị chặn thì T (M) là compact tương đối (T (M) compact).
Định nghĩa 1.2.16. Toán tử Hilbert–Schmidt T là toán tử trên H thỏa
mãn tính chất
∞

n=1
T e

n

2
< ∞,
với e
1
, , e
n
là một cơ sở trực chuẩn của H.
Toán tử Hilbert–Schmidt không chỉ là toán tử bị chặn mà còn com-
pact.
1.3. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.3.1. Cho X là không gian Banach trên trường số C,
L(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X, toán tử T ∈ L(X).
Phổ của toán tử T kí hiệu là σ(T ) là tập tất cả các số phức λ sao cho
đó T − λ1 không khả nghịch (tức là det(T − λ1) = 0), trong đó 1 là
toán tử đơn vị.
13
Định nghĩa 1.3.2. Cho T ∈ L(H). Tập hợp giải được của T xác định
bởi
ρ(T ) =

λ ∈ C|(T −λ)
−1
∈ L(H)

(1.1)
Chính xác hơn, số phức λ ∈ ρ(T ) khi và chỉ khi T − λ là song ánh với
toán tử ngược bị chặn. Phần bù của tập giải được gọi là phổ
σ(T ) = C\ρ(T ). (1.2)

của T . Đặc biệt, λ ∈ σ(T ) nếu T −λ có một hạt nhân không tâm thường.
Một vectơ ψ ∈ Ker(T − λ) được gọi là vectơ riêng và λ được gọi là giá
trị riêng trong trường hợp đó.
Hàm
R
T
: ρ(T ) → L(H)
λ → (T −λ)
−1
được gọi là giải được của T tại λ. Ta có công thức sau:
R
T
(λ)
∗
= ((T −λ)
−1
)
∗
= ((T −λ)
∗
)
−1
= (T
∗
− λ
∗
)
−1
= R
A

∗
(λ
∗
).
Đặc biệt,
ρ(T
∗
) = ρ(T )
∗
.
Định nghĩa 1.3.3. Cho T ∈ L(X).
(a) x = 0, x ∈ Xthỏa mãn T x = λx với λ ∈ C được gọi là vectơ riêng
của T, λ tương ứng được gọi là giá trị riêng. Nếu λ là một giá trị
riêng thì T − λ1 không là đơn ánh do đó λ thuộc phổ của T . Tập
các giá trị riêng được gọi là phổ điểm (point spectrum) của T , kí
hiệu là σ
p
(T );
14