Điểm kỳ dị và nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Phạm Thị Hồng Hương
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn
“Điểm kỳ dị và nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến
tính” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Phạm Thị Hồng Hương
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Một số kiến thức cơ bản về chuỗi hàm . . . . . 6
1.1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Sự hội tụ đều của chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. Chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4. Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5. Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2. Tổng quan về phương trình vi phân tuyến tính . . 14
1.2.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2. Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3. Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số . . . . . . 15
1.3. Điểm kỳ dị của phương trình vi phân tuyến tính và sự phân loại
22
1.3.1. Khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2. Phân loại điểm kỳ dị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chương 2. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính
tại điểm thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1. Ý tưởng của phương pháp . . . . . . 29
2.2. Một số ví dụ . . . . . . 30
2.3. Mở rộng khái niệm về điểm thường . . . . . 38
2.4. Vấn đề bán kính hội tụ của nghiệm chuỗi . . . . . 41
i
2.5. Phương trình Euler . . . . . . . 44
2.5.1. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt. . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5.2. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực bằng nhau. . . . . . . . . . 47
2.5.3. Phương trình đặc trưng có cặp nghiệm phức liên hợp. . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.4. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Chương 3. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính
trong lân cận của điểm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1. Nghiệm chuỗi trong lân cận của điểm kỳ dị chính quy. . . . . 53
3.1.1. Ý tưởng của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.2. Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân
cận của một điểm kỳ dị chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2. Phương trình Bessel . . . . . . 71
3.2.1. Phương trình Bessel cấp 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.2. Phương trình Bessel cấp
1

2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2.3. Phương trình Bessel cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
ii
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Như ta đã biết việc tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến
tính được dựa trên cơ sở xác định một hệ nghiệm cơ bản của phương
trình vi phân thuần nhất cùng với việc tìm một nghiệm riêng của phương
trình đó. Nghiệm tổng quát của phương trình cần giải là tổng nghiệm
riêng của phương trình đó với nghiệm tổng quát của phương trình vi
phân tuyến tính thuần nhất tương ứng. Nhưng cho đến nay, người ta
cũng chỉ đưa ra được quy trình hệ thống để xây dựng hệ nghiệm tổng
quát của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số. Đối với
phương trình vi phân tuyến tính mà hệ số là hàm của biến độc lập, việc
tìm nghiệm ở dạng tổ hợp của các hàm số sơ cấp của một số phương
trình vi phân rất khó (nếu không muốn nói là không thể). Điều này cũng
xảy ra ngay cả khi phương trình vi phân có dạng rất đơn giản. Chẳng
hạn, như phương trình dưới đây
y

− 2x.y

+ y = 0.
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, mà ta không thể tìm
được nghiệm riêng dưới dạng một hàm số sơ cấp. Tuy nhiên, việc giải các
phương trình như dạng phương trình trên đây là rất quan trọng vì nó
nảy sinh từ các vấn đề thực tiễn liên quan đến nhiều bài toán trong lĩnh

vực Vật lý. Chẳng hạn, nó liên quan đến phương trình Schr¨odinger trong
1
cơ học lượng tử. Vì vậy, chúng ta cần thiết phải xây dựng các phương
pháp nhằm tìm nghiệm cho các phương trình dạng này. Một trong các
phương pháp thông dụng là tìm nghiệm của phương trình dưới dạng
chuỗi lũy thừa
y(x) =
∞

n=0
a
n
x
n
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ ··· + a
n
x
n
+ ··· .
Cơ sở Toán học của phương pháp này là thay thế biểu thức trên cùng
các đạo hàm của nó vào phương trình vi phân cần giải. Từ đó, xác định
giá trị của các hằng số a

0
, a
1
, a
2
, sao cho nó nghiệm đúng phương trình
vi phân đã cho. Sau khi đồng nhất các hệ số trong hệ thức nhận được,
ta thu được nghiệm của phương trình đó.
Tuy nhiên, cơ sở của phương pháp này như đã nói ở trên chỉ có giá trị
khi chuỗi lũy thừa ứng với các hệ số tìm được phải là chuỗi hội tụ. Chuỗi
lũy thừa có nhiều các tính chất đẹp đẽ, điều đó cho phép người ta có thể
thực hiện nhiều quá trình tính toán thuận lợi. Dĩ nhiên, miền hội tụ của
chuỗi lũy thừa thu được là một tập hợp khác rỗng và nếu chuỗi lũy thừa
có bán kính hội tụ R thì trong khoảng hội tụ của chuỗi (−R, R). Trong
khoảng hội tụ ta có thể lấy đạo hàm và tích phân từng số hạng của chuỗi.
Chuỗi mới nhận được (sau khi lấy đạo hàm hoặc tích phân) cũng có bán
kính hội tụ như chuỗi ban đầu. Điều đó dẫn tới ý tưởng tìm nghiệm của
phương trình vi phân dưới dạng chuỗi lũy thừa. Được sự định hướng của
người hướng dẫn, tôi chọn đề tài: “Điểm kỳ dị và nghiệm chuỗi của
phương trình vi phân tuyến tính” để hoàn thành luận văn đào tạo
Thạc sĩ khoa học chuyên ngành Toán học.
Để có thể giải quyết được vấn đề đặt ra, chúng tôi bố cục luận văn thành
2
ba chương
Chương 1. Ở đây, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về
phương trình vi phân, sâu hơn là lý thuyết chung đối với phương trình
vi phân tuyến tính và lý thuyết chuỗi hàm. Ở đây những kiến thức căn
bản nhất liên quan đến việc tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân
tuyến tính. Cũng để thuận lợi trong việc trình bày các phương pháp
nghiên cứu vấn đề đặt ra, trong phần này chúng tôi cũng trình bày một

cách chi tiết việc phân loại các điểm của phương trình vi phân dưới góc
độ của hàm giải tích.
Chương 2. Chương này được giành cho việc trình bày một cách tỉ
mỉ về phương pháp và kỹ thuật tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi
phân tuyến tính tại điểm thường. Ngoài ra việc phân tích tường minh ý
tưởng của vấn đề, các kỹ thuật trong việc tìm nghiệm chuỗi cũng được
minh họa qua các ví dụ cụ thể.
Chương 3. Trong chương này, chúng tôi trình bày về phương pháp
tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của
điểm kỳ dị và minh họa áp dụng của phương pháp này trong việc giải
phương trình Bessel.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân
tuyến tính. Cụ thể
- Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính
tại điểm thường.
3
- Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trinh vi phân tuyến tính
trong lân cận của điểm kỳ dị chính quy.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày sự phân loại các loại điểm kỳ dị và phương pháp tìm nghiệm
chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Sự phân loại điểm kỳ dị của phương trình vi phân tuyến tính.
- Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến
tính.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tra mạng, tìm kiếm tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định
hướng của người hướng dẫn.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài

Tìm ra phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến
tính. Cụ thể như sau
- Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính
tại điểm thường.
- Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính
4
trong lân cận của điểm kỳ dị chính quy.
5
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số kiến thức cơ bản về chuỗi hàm
1.1.1. Một số khái niệm
Trong phạm vi nghiên cứu của luận văn, chúng tôi chỉ đề cập đến các
khái niệm và kết quả căn bản về chuỗi hàm số thực. Trước hết, ta giới
thiệu một số khái niệm cơ bản về dãy hàm. Cho dãy hàm {u
n
(x)}
∞
n=1
xác định trên tập X. Điểm x
0
∈ X gọi là điểm hội tụ của dãy hàm đã
cho nếu dãy số {u
n
(x
0
)} hội tụ. Tập hợp
X
0
=


x ∈ X : {u
n
(x)} hội tụ

được gọi là miền hội tụ của dãy hàm. Khi đó, với mỗi x ∈ X
0
, đặt
u(x) = lim
n→∞
u
n
(x),
ta được một hàm u(x) xác định trên tập X
0
và dãy hàm {u
n
(x)} được
gọi là hội tụ điểm về hàm u(x) trên X
0
. Phát biểu dưới dạng khác: dãy
hàm {u
n
(x)} được gọi là hội tụ điểm về hàm u(x) trên tập X nếu với mọi
ε > 0 cho trước và với mỗi x ∈ X tồn tại số nguyên dương N = N(x, ε)
sao cho với mọi n ≥ N ta có
|u
n
(x) − u(x)| < ε.
6

Điểm x
1
được gọi là điểm phân kỳ của dãy hàm nếu dãy số {u
n
(x
1
)}
phân kỳ.
Dãy hàm {u
n
(x)} được gọi là hội tụ đều về hàm u(x) trên tập X nếu
với mọi ε > 0 cho trước tồn tại số nguyên dương N = N(ε) sao cho với
mọi n ≥ N ta có
|u
n
(x) − u(x)| < ε, với mọi x ∈ X.
Cho dãy hàm {u
n
(x)} xác định trên tập X. Khi đó tổng vô hạn
u
1
(x) + u
2
(x) + · · · + u
n
(x) + · · · =
∞

n=1
u

n
(x) (1.1)
được gọi là một chuỗi hàm xác định trên X. Hàm u
n
(x) gọi là số hạng
tổng quát thứ n của chuỗi. Tổng
S
n
(x) = u
1
(x) + u
2
(x) + · · · + u
n
(x) (1.2)
được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi.
Điểm x
0
được gọi là điểm hội tụ (tương ứng, phân kỳ) của chuỗi hàm
(1.1) nếu x
0
là điểm hội tụ (tương ứng, phân kỳ) của dãy tổng riêng
(1.2). Nếu X
0
là miền hội tụ của dãy hàm {S
n
(x)}, thì ta cũng gọi X
0
là
miền hội tụ của chuỗi (1.1). Nếu S

n
(x) → u(x) trên X
0
, thì chuỗi hàm
(1.1) được gọi là hội tụ về hàm u(x). Khi đó, ta cũng viết
∞

n=1
u
n
(x) = u(x), x ∈ X
0
và u(x) được gọi là tổng của chuỗi hàm (1.1).
1.1.2. Sự hội tụ đều của chuỗi hàm
Định nghĩa 1.1. Chuỗi hàm (1.1) được gọi là hội tụ đều trên X nếu
dãy {S
n
(x)} hội tụ đều trên X.
7
Nếu các hàm u
k
(x); k = 1, 2, liên tục, có đạo hàm, khả tích trên X,
thì dãy tổng riêng của nó {S
n
(x)} cũng có tính chất tương ứng. Từ các
tính chất hội tụ đều của dãy hàm, ta có các tính chất tương ứng của
chuỗi hàm như sau
Định lý 1.1. Giả sử chuỗi
∞


n=1
u
n
(x) gồm các hàm liên tục trên tập X.
Nếu chuỗi hàm hội tụ đều về hàm u(x), thì u(x) cũng là hàm liên tục.
Định lý 1.2. Giả sử chuỗi
∞

n=1
u
n
(x) gồm các hàm liên tục trên [a, b].
Nếu chuỗi là hội tụ đều về hàm u(x), thì u(x) khả tích trên [a, b] và
∞

n=1
b

a
u
n
(x)dx =
b

a
u(x)dx.
Định lý 1.3. Giả sử chuỗi
∞

n=1

u
n
(x) gồm các hàm có đạo hàm liên tục
trên [a, b]. Nếu chuỗi
∞

n=1
u
n
(x) hội tụ về hàm u(x) và chuỗi
∞

n=1
u

n
(x) hội
tụ đều trên [a, b], thì u(x) có đạo hàm trên [a, b] và
u

(x) =
∞

n=1
u

n
(x).
1.1.3. Chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối
Định nghĩa 1.2. Chuỗi hàm

∞

n=1
u
n
(x) gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
∞

n=1
|u
n
(x)| hội tụ.
Hiển nhiên ta thấy rằng, chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ. Tuy nhiên, điều
ngược lại chưa chắc đúng.
Định lý 1.4. (Weierstrass) Cho chuỗi hàm
∞

n=1
u
n
(x). Giả sử
|u
n
(x)| ≤ c
n
, với mọi n và mọi x ∈ X.
8
Khi đó, nếu chuỗi số
∞


n=1
c
n
hội tụ, thì chuỗi hàm
∞

n=1
u
n
(x) hội tụ tuyệt
đối và đều trên X.
Ví dụ 1.1. Xét tính hội tụ tuyệt đối và đều của chuỗi hàm
∞

n=1
sin nx
n
3
trên R.
Ta có




sin nx
n
3





≤
1
n
3
; với mọi n và mọi x ∈ R.
Ngoài ra, như ta đã biết chuỗi số
∞

n=1
1
n
3
hội tụ. Từ định lý trên, ta suy
ra rằng chuỗi hàm
∞

n=1
sin nx
n
3
hội tụ tuyệt đối và đều trên R.
1.1.4. Chuỗi luỹ thừa
Việc trình bày về chuỗi lũy thừa có sự liên quan trực tiếp đến vấn đề
trình bày trong luận văn. Tuy nhiên, các kiến thức này tương đối quen
thuộc đối với những người nghiên cứu chỉ cần mức độ ban đầu trong
lĩnh vực giải tích, nên chúng tôi chỉ tóm lược các kết quả có tính chất
căn bản nhất và cũng không trình bày các chứng minh ở đây. Trước hết
là khái niệm về chuỗi lũy thừa
Định nghĩa 1.3. Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng

a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ ··· + a
n
x
n
+ ··· =
∞

n=0
a
n
x
n
(1.3)
hoặc
a
0
+ a
1
(x − x
0
) + a
2

(x − x
0
)
2
+ ··· =
∞

n=0
a
n
(x − x
0
)
n
, (1.4)
trong đó x
0
, a
0
, a
1
, a
2
, là những hằng số thực.
9
Trong chuỗi (1.4) điểm x
0
(điểm x
0
= 0 trong chuỗi (1.3)) được gọi là

tâm của chuỗi lũy thừa. Chuỗi lũy thừa bao giờ cũng hội tụ tại tâm của
nó. Do đó miền hội tụ của chuỗi lũy thừa khác rỗng. Chuỗi (1.3) nhận
được từ chuỗi (1.4) bằng phép đổi biến X = x−x
0
, nên về mặt lý thuyết
ta chỉ cần nghiên cứu chuỗi (1.3) là đủ.
Định lý 1.5. (Định lý Abel) Nếu chuỗi (1.3) hội tụ tại x
0
= 0, thì nó
hội tụ tuyệt đối và đều tại mọi x mà |x| < |x
0
|.
Từ Định lý Abel ta thấy rằng miền hội tụ của chuỗi lũy thừa thực là
một miền cân đối trên đường thẳng thực. Điều này dẫn đến khái niệm
sau
Định nghĩa 1.4. Số R được gọi là bán kính của chuỗi (1.3) nếu với mọi
x mà |x| < R thì chuỗi hội tụ, với mọi x mà |x| > R thì chuỗi phân kỳ.
Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ta có kết quả sau
Định lý 1.6. (Cauchy-Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa (1.3) và
lim
n→∞




a
n+1
a
n





= ρ hoặc lim
n→∞

|a
n
| = ρ.
Khi đó, bán kính hội tụ của chuỗi đã cho là R =
1
ρ
(nếu ρ = 0 thì
R = +∞; nếu ρ = +∞ thì R = 0).
Ví dụ 1.2. Xét sự hội tụ của chuỗi
∞

n=1
(x + 1)
n
n2
n
. (1.5)
Bởi vì
a
n
=
1
n2
n

, a
n+1
=
1
(n + 1)2
n+1
,
10
nên
lim
n→∞




a
n+1
a
n




= lim
n→∞




n2

n
(n + 1)2
n+1




=
1
2
lim
n→∞
n
n + 1
=
1
2
.
Do đó, bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = 2. Theo Định lý Abel,
chuỗi (1.5) hội tụ nếu |x + 1| < 2 hay −3 < x < 1.
Tại x = 1, chuỗi (1.5) trở thành chuỗi điều hoà
∞

n=1
1
n
nên chuỗi phân kỳ.
Tại x = −3, chuỗi (1.5) trở thành chuỗi
∞


n=1
(−1)
n
n
, đây là chuỗi điều hoà
đan dấu nên hội tụ (theo tiêu chuẩn Leibnitz).
Vậy bán kính hội tụ của chuỗi (1.5) là R = 2. Miền hội tụ của chuỗi là
−3 ≤ x < 1.
Dưới đây là một số tính chất nổi bật của tổng chuỗi lũy thừa
Định lý 1.7. (Tính liên tục) Giả sử chuỗi lũy thừa (1.3) có bán kính
hội tụ R > 0. Khi đó, tổng S(x) của chuỗi lũy thừa là một hàm số liên
tục trong (−R, R).
Định lý 1.8. (Tích phân từng số hạng) Giả sử chuỗi lũy thừa (1.3) có
bán kính hội tụ R > 0. Khi đó tổng S(x) của chuỗi lũy thừa là một hàm
số khả tích trên mọi đoạn con [a, b] ⊂ (−R, R) và
b

a
S(x)dx =
∞

n=0
a
n
b

a
x
n
dx.

Đặc biệt, nếu x ∈ (−R, R) thì
x

0
S(t)dt =
∞

n=0
a
n
x
n+1
n + 1
.
Định lý 1.9. (Tính khả vi và đạo hàm từng số hạng) Giả sử chuỗi lũy
thừa (1.3) có bán kính hội tụ R > 0 và S(x) =
∞

n=0
a
n
x
n
, x ∈ (−R, R).
11
Khi đó
(i) Chuỗi luỹ thừa
∞

n=0

na
n
x
n−1
nhận được bằng cách đạo hàm từng
chuỗi lũy thừa đã cho, cũng có bán kính hội tụ là R.
(ii) Tổng của chuỗi lũy thừa là một hàm số khả vi trong khoảng hội
tụ (−R, R). Thêm nữa, ta có

∞

n=0
a
n
(x)
n


=
∞

n=0
na
n
(x)
n−1
.
1.1.5. Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa
Định nghĩa 1.5. Hàm f(x) được gọi là khai triển thành chuỗi lũy thừa
trên (−R, R) nếu có chuỗi lũy thừa

∞

n=0
a
n
x
n
sao cho
f(x) =
∞

n=0
a
n
x
n
;
với mọi x ∈ (−R, R).
Nhận xét. Bằng tính toán đơn giản, ta thấy rằng khi hàm f(x) khai
triển được thành chuỗi lũy thừa dạng (1.3) trên khoảng (−R, R), thì
hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp trên khoảng đó và ta có
f
(k)
(0) = k!a
k
; với mọi k = 0, 1, 2,
Từ ý tưởng đó, khi hàm f(x) khả vi vô hạn lần trên khoảng (−R, R),
thì ta có thể thiết lập chuỗi lũy thừa mà các số hạng của nó được xác
định từ đẳng thức trên đây. Từ đó, người ta đưa ra khái niệm
Định nghĩa 1.6. Giả sử f là một hàm khả vi vô hạn trong một lân cận

12
nào đó của điểm x
0
, thì chuỗi
S(x) =
∞

n=0
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
được gọi là chuỗi Taylor của hàm f(x) tại điểm trong lân cận của điểm
x
0
. Khai triển Taylor tại điểm x
0
= 0, có dạng
S(x) =
∞

n=0
f
(n)

(0)
n!
x
n
,
được gọi là chuỗi MacLaurin của hàm f(x).
Tuy nhiên, vấn đề đặt ra là khi nào chuỗi Taylor của một hàm f(x) nào
đó hội tụ về chính hàm đó. Người ta đã chỉ ra rằng không phải chuỗi
Taylor của hàm f(x) luôn hội tụ về chính hàm đó. Điều kiện dưới đây
cho phép chuỗi Taylor của f(x) luôn hội tụ về chính hàm đó.
Định lý 1.10. (Điều kiện đủ để một hàm khai triển được thành chuỗi
Taylor) Nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho


f
(n)
(x)


≤ M; với mọi
n = 0, 1, 2, và với mọi x ∈ (−R, R) thì ta có
f(x) =
∞

n=0
f
(n)
(0)
n!
x

n
.
Dưới đây là khai triển của một số hàm sơ cấp thành chuỗi Taylor
sin x = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
7!
+ ···+ (−1)
n−1
x
2n−1
(2n − 1)!
+ ··· ; −∞ < x < +∞
cos x = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
−

x
6
6!
+ ··· + (−1)
n
x
2n
(2n)!
+ ··· ; −∞ < x < +∞
e
x
= 1 + x +
x
2
2!
+
x
3
3!
+ ··· +
x
n
n!
+ ··· ; −∞ < x < +∞
(1 + x)
α
= 1 + αx +
α(α − 1)
2!
x

2
+ ··· +
α(α − 1) (α −n + 1)
n!
x
n
+ ···
ln(1 + x) = x −
x
2
2
+
x
3
3
+ ··· + (−1)
n−1
x
n
n
+ ··· ; −1 < x ≤ 1
13
arctan x −
∞

n=0
(−1)
n
x
2n+1

2n + 1
= x −
x
3
3
+
x
5
5
−
x
7
7
+ ··· ; −1 < x ≤ 1
1.2. Tổng quan về phương trình vi phân tuyến tính
1.2.1. Một số khái niệm
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n là phương trình có dạng
y
(n)
+ p
n−1
(x)y
(n−1)
+ · · · + p
1
(x)y

+ p
0
(x)y = f(x), (1.6)

trong đó p
n−1
(x), p
n−2
(x), , p
1
(x), p
0
(x) và f(x) là các hàm liên tục trên
khoảng (a, b) nào đó.
Vế trái của (1.6) thường được ký hiệu là L
n
[y] và gọi là toán tử vi phân
tuyến tính cấp n. Hiển nhiên, toán tử L
n
[y] có tính chất
L
n
[αy
1
+βy
2
] = αL
n
[y
1
] + βL
n
[y
2

] ; với mọi α, β ∈ R.
Tổng quát ta có
L
n

n

k=1
c
k
y
k

=
n

k=1
c
k
L
n
[y
k
]; với mọi c
k
∈ R.
Với ký hiệu như thế, phương trình (1.6) được viết dưới dạng
L
n
[y] = f(x).

Phương trình L
n
[y] = 0 gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất tương ứng của phương trình L
n
[y] = f(x). Trong trường hợp
p
i
(x); i = 0, 1, , n − 1, là các hằng số thì phương trình (1.6) được
gọi là phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số.
14
1.2.2. Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
Định nghĩa 1.7. Hệ gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình
L
n
[y] = 0 gọi là hệ nghiệm cơ bản của phương trình đó.
Định lý 1.11. Nếu y
1
, y
2
, , y
m
là các nghiệm độc lập tuyến tính của
phương trình L
n
[y] = 0, thì nghiệm tổng quát của phương trình có dạng
y =
m

k=1

c
k
y
k
(x),
trong đó c
1
, c
2
, , c
m
là các hằng số tùy ý.
Định lý 1.12. Giả sử ˜y là một nghiệm riêng của phương trình vi phân
tuyến tính không thuần nhất L
n
[y] = f(x), và y
1
, y
2
, , y
n
là một hệ
nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất L
n
[y] = 0 tương ứng với
phương trình đã cho. Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình L
n
[y] =
f(x) là
y(x) = ˜y(x) +

n

k=1
c
k
y
k
(x).
1.2.3. Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
hệ số hằng số
Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số là phương
trình có dạng
L
n
[y] = y
(n)
+ p
n−1
y
(n−1)
+ · · · + p
1
y

+ p
0
y = 0, (1.7)
trong đó p
n−1
, p

n−2
, , p
0
là các hằng số thực.
Để xây dựng cấu trúc nghiệm của phương trình này, trước hết ta tìm
15
nghiệm riêng của nó dưới dạng y = e
λx
, trong đó hằng số λ được xác
định sao cho y là nghiệm của phương trình đó. Các đạo hàm của nghiệm
trên được tính toán đơn giản là
y

= λe
λx
, y

= λ
2
e
λx
, , y
(n)
= λ
n
e
λx
.
Thay vào phương trình (1.7) ta nhận được
L

n
[y] = L
n

e
λx

=

λ
n
+ p
n−1
λ
n−1
+ ··· + p
1
λ + p
0

e
λx
= 0.
Bởi vì e
λx
= 0 nên từ phương trình trên ta suy ra
P
n
(λ) = λ
n

+ p
n−1
λ
n−1
+ ··· + p
1
λ + p
0
= 0. (1.8)
Điều đó cho thấy, nếu λ là một nghiệm của phương trình (1.8) thì y = e
λx
là một nghiệm của phương trình (1.7). Phương trình (1.8) được gọi là
phương trình đặc trưng của phương trình (1.7). Đa thức P
n
(λ) gọi là đa
thức đặc trưng của phương trình (1.7).
Như vậy, hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.7) được xây dựng trên
cơ sở các nghiệm của phương trình đặc trưng. Để xây dựng được hệ
nghiệm cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số,
ta cần một số bổ đề sau trong việc xử lý các nghiệm của phương trình
đặc trưng.
Bổ đề 1.1. Nếu λ
1
, λ
2
, , λ
m
là các nghiệm khác nhau của phương trình
(1.8) thì
e

λ
1
x
, e
λ
2
x
, , e
λ
m
x
là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến tính
thuần nhất (1.7).
16
Bổ đề 1.2. Nếu λ
1
là một nghiệm bội m của phương trình (1.8) thì các
hàm
e
λ
1
x
, xe
λ
1
x
, , x
m−1
e
λ

1
x
là các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến
tính thuần nhất (1.7).
Bổ đề 1.3. Nếu α ± iβ là cặp nghiệm phức bội m của phương trình
(1.8), thì hệ các hàm
e
αx
cos βx, xe
αx
cos βx, , x
m−1
e
αx
cos βx
và
e
αx
sin βx, xe
αx
sin βx, , x
m−1
e
αx
sin βx
là 2m nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình (1.7).
Từ “định lý cơ bản của đại số”, đa thức đặc trưng P
n
(λ) có đúng n
nghiệm kể cả nghiệm bội. Do đó, từ các bổ đề trên cho phép ta xây dựng

được đúng n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (1.7). Từ đó,
ta nhận được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.
Ví dụ 1.3. Giải phương trình
y
(5)
+ y

− 10y

= 0.
Phương trình trên đây có phương trình đặc trưng là
λ
5
+ λ
3
− 10λ
2
= 0.
Các nghiệm của phương trình đặc trưng là λ = 0 (bội 2), λ = 2 (nghiệm
đơn) và cặp nghiệm phức đơn liên hợp λ = −1 ± 2i. Do đó, theo các bổ
17
đề đã xây dựng ở trên, ta có hệ nghiệm cơ bản của phương trình đã cho
là
e
0x
= 1, xe
0x
= x, e
2x
, e

−x
cos2x, e
−x
sin 2x.
Từ đó, ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y = c
1
+ c
2
x + c
3
e
2x
+ c
4
e
−x
cos2x + c
5
e
−x
sin 2x,
trong đó c
i
; i = 1, 5 là các hằng số.
Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng
số. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có hệ số hằng là
phương trình có dạng
y
(n)

+ p
n−1
y
(n−1)
+ ··· + p
1
y

+ p
0
y = f(x), (1.9)
trong đó p
0
, p
1
, , p
n−1
là các hằng số, f(x) liên tục trên khoảng (a, b)
nào đó.
Để nhận được nghiệm tổng quát của phương trình (1.9), trước hết ta
cần tìm một nghiệm riêng của phương trình. Tuy nhiên, việc tìm một
nghiệm riêng của phương trình này không hẳn đơn giản. Chúng tôi đưa
ra một số trường hợp f(x) có dạng đặc biệt mà ta có thể tìm nghiệm
riêng của phương trình này một cách đơn giản như sau
(i) Dạng thứ nhất: f(x) = e
αx
P
k
(x), trong đó P
k

(x) là một đa thức
bậc k của x. Ta phân biệt hai trường hợp sau
+ Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng, thì ta có
thể tìm nghiệm riêng dưới dạng
y = e
αx
Q
k
(x);
18
+ Nếu α là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng, thì ta có
thể tìm nghiệm riêng của phương trình dưới dạng
y = x
m
e
αx
Q
k
(x),
trong đó Q
k
(x) là một đa thức bậc k của x.
Ví dụ 1.4. Giải phương trình
y

+ 3y

− 4y = x.
Phương trình đặc trưng của phương trình này là λ
2

+ 3λ − 4 = 0 và nó
có hai nghiệm phân biệt λ
1
= 1, λ
2
= −4. Do đó y
1
= e
x
và y
2
= e
−4x
là hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất tương ứng. Vế phải
của phương trình có dạng e
αx
P
1
(x) với α = 0 và P
1
(x) = x. Vì α = 0
không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng, nên ta tìm nghiệm
riêng của phương trình dưới dạng
˜y(x) = e
0x
Q
1
(x) = Ax + B.
Khi đó
˜y


(x) = A, ˜y

(x) = 0.
Thay vào phương trình đã cho ta được hệ thức 3A − 4(Ax + B) = x.
Đồng nhất các hệ số của lũy thừa cùng bậc của x ta tìm được
A = −
1
4
, B = −
3
16
.
Như vậy, ta được một nghiệm riêng của phương trình là ˜y(x) = −
1
4
x−
3
16
.
Vậy nghiệm tổng quát của nó là
y = c
1
e
x
+ c
2
e
−4x
−

1
4
x −
3
16
,
19
với c
1
, c
2
là các hằng số.
(ii)Dạng thứ hai: f(x) = e
αx
[P (x) cos βx + Q(x) sin βx], trong đó
P (x), Q(x) là những đa thức bậc có thể khác nhau và α, β là các hằng
số. Ta cũng xét hai khả năng
+) Nếu α + iβ không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta
tìm nghiệm riêng ˜y(x) của phương trình dưới dạng
˜y(x) = e
αx
[R(x) cos βx + S(x) sin βx];
+) Nếu α + iβ là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng thì ta
tìm nghiệm riêng ˜y(x) của phương trình dưới dạng
˜y(x) = x
m
e
αx
[R(x) cos βx + S(x) sin βx],
trong đó R(x) và S(x) là những đa thức có bậc bằng bậc lớn nhất của

các đa thức P(x) và Q(x).
Ví dụ 1.5. Giải phương trình
y

+ y

− 2y = e
x
(cos x − 7 sin x).
Phương trình đặc trưng của phương trình đã cho là
λ
2
+ λ − 2 = 0
và nó có hai nghiệm phân biệt λ
1
= 1, λ
2
= −2. Do đó y
1
= e
x
và
y
2
= e
−2x
là hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất trên. Vế
phải của phương trình có dạng
e
αx

[P (x) cos βx + Q
m
2
(x) sin βx],
20
với α = 1, β = 1, P
0
(x) = 1, Q
0
(x) = −7. Vì α + iβ = 1 + i không là
nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng ˜y(x) của
phương trình dưới dạng
˜y(x) = e
x
(A cos x + B sin x).
Khi đó
˜y

(x) = e
x
[(A + B) cos x + (B − A) sin x];
˜y

(x) = e
x
(2B cos x − 2A sin x).
Thay vào phương trình ta được
e
x
[(−A + 3B) cos x − (3A + B) sin x] = e

x
(cos x − 7 sin x).
Đồng nhất các hệ số của cos x và sin x ta được A = 2, B = 1. Do đó
nghiệm riêng của phương trình là ˜y(x) = e
x
(2 cos x + sin x). Vậy nghiệm
tổng quát của phương trình là
y = c
1
e
x
+ c
2
e
−2x
+ e
x
(2 cos x + sin x),
với c
1
, c
1
là hằng số.
(iii)Dạng thứ ba: f(x) = f
1
(x)+f
2
(x)+···+f
m
(x), trong đó mỗi hàm

f
k
(x) có dạng trong hai dạng đã xét trên đây. Trước hết ta tìm nghiệm
riêng ˜y
k
của từng phương trình L
n
[y] = f
k
(x); k = 1, 2, , m. Khi đó
nghiệm riêng của phương trình L
n
[y] = f(x) là
˜y(x) = ˜y
1
(x) + ˜y
2
(x) + ··· + ˜y
m
(x).
Ví dụ 1.6. Giải phương trình
y

− y = xcos
2
x.
21