ệ bất phương trình toàn phương và ứng dụng vào lý thuyết tối ưu

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS.Nguyễn Năng Tâm.
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS.Nguyễn
Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình tôi làm luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học
sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học
chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá
trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới ban giám hiệu trường THPT Nhã Nam, sở
giáo dục và đào tạo Bắc Giang, bạn bè và người thân đã tạo điều kiện
cho tôi trong suốt quá trình theo học và quá trình hoàn thiện bản luận
văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
Thân Văn Trung
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm. Số liệu và các
kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp
với các đề tài khác.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
Thân Văn Trung
Mục lục
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Mở đầu 6
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 8
1.1 Không gian R
n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Sự hội tụ của dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Tập mở, tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Tập bị chặn và tập Compact . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Dạng toàn phương và hệ bất phương trình toàn phương . 12
1.3.1 Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TOÀN PHƯƠNG
VÀ ỨNG DỤNG 16
2.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn phương
lồi và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4
Chương 3. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TOÀN PHƯƠNG
THUẦN NHẤT, TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG 26
3.1 Sơ lược về hàm toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Sự tồn tại nghiệm của hệ thuần nhất, hệ tổng quát . . . 28
3.2.1 Hệ hai bất phương trình toàn phương . . . . . . . 28
3.2.2 Hệ ba bất phương trình toàn phương . . . . . . . 42
3.2.3 Điều kiện tối ưu cho bài toán "miền tin cậy" . . . 54
Kết luận 58
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
BẢNG KÝ HIỆU
∅ tập rỗng

x ∈ X x thuộc tập X
x /∈ X x không thuộc tập X
A \ B hiệu của tập A và tập B
A ∪ B hợp của tập A và tập B
A ∩ B giao của tập A và tập B
R tập hợp số thực
R
n
không gian vectơ n chiều
R
n
+
tập các vectơ không âm của R
n
intR
n
+
phần trong của R
n
+
S
n×n
tập các ma trân đối xứng cỡ n × n
R
m×n
tập các ma trận cấp m × n
||x|| chuẩn của x
∇f gradient của f
< x, y > tích vô hướng của hai vectơ x và y
x

T
chuyển vị của x
A
T
ma trận chuyển vị của A
Q ≥ 0 ma trận Q nửa xác định dương
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nhiều vấn đề trong Toán học liên quan đến các bất phương trình
toàn phương. Những bất phương trình toàn phương thường xuất hiện
một cách tự nhiên trong nhiều lĩnh vực của Toán học như: Tối ưu hóa,
điều khiển tối ưu và kỹ thuật.
Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã nghiên cứu hệ những bất phương
trình toàn phương với những khía cạnh khác nhau cùng những ứng dụng
của chúng và đã thu được nhiều kết quả lý thú. Sự tồn tại nghiệm của
hệ bất phương trình toàn phương đóng vai trò quan trọng trong việc
nghiên cứu bài toán tối ưu xác định bởi một hàm mục tiêu toàn phương.
Nhận biết được vai trò quan trọng của những bất phương trình toàn
phương, sau khi được học những kiến thức của chương trình cao học
chuyên ngành Giải tích và được sự động viên của PGS.TS Nguyễn Năng
Tâm tôi quyết định chọn đề tài
“Hệ bất phương trình toàn phương và ứng dụng
vào lý thuyết tối ưu”
để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về hệ bất phương trình toàn phương.
- Áp dụng những kết nghiên cứu đã biết về hệ bất phương trình toàn
phương vào nghiên cứu bài toán tối ưu toàn phương.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về hệ bất phương trình toàn phương lồi và ứng dụng của nó

vào nghiên cứu bài toán tối ưu
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
6
7
- Đối tượng: Các bất phương trình toàn phương và toàn phương lồi.
- Phạm vi: Các bất phương trình toàn phương hữu hạn chiều, sự tồn tại
nghiệm của chúng.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu của giải tích toán học dựa trên những
tài liệu có liên quan đến bất phương trình toàn phương.
- Phân tích, tổng hợp kết quả.
6. Đóng góp của luận văn
- Nghiên cứu làm rõ sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn
phương lồi, ứng dụng trong lí thuyết tối ưu
- Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà toán học nghiên
cứu và công bố về bất phương trình toàn phương lồi.
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Không gian R
n
Định nghĩa 1.1.1. Với R là tập số thực, ta kí hiệu R
n
là tập tấp cả các
bộ được sắp n số thực: x = (x
1
, x
2
, , x
n
); x

i
∈ R, 1 ≤ i ≤ n, x
i
được
gọi là tọa độ thứ i của x.
Với cặp phần tử trong R
n
: x = (x
1
, x
2
, , x
n
), y = (y
1
, y
2
, , y
n
) ta
gọi tổng x + y là phần tử trong R
n
cho bởi
x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y

2
, , x
n
+ y
n
).
Với mỗi λ ∈ R, x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
ta gọi tích của x với số vô
hướng λ là phần tử
λx = (λx
1
, λx
2
, , λx
n
).
Đặc biệt, ta kí hiệu −x = (−x
1
, −x
2
, , −x
n
) và 0 = (0, 0, , 0).

Ta có R
n
cùng với hai phép toán trên là một không gian vectơ trên
trường số thực R.
Do đó, mỗi phần tử x ∈ R
n
được gọi là một n-vectơ hay một vectơ
thực n chiều .
1.1.1 Tích vô hướng
Với mỗi cặp vectơ x, y ∈ R
n
ta định nghĩa tích vô hướng của x và y
là số thực sau
< x, y >= x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ + x
n
y
n
.
9
Rõ ràng, tích vô hướng < ., . > là một ánh xạ từ R
n
×R

n
vào R. Các
tính chất của tích vô hướng được thể hiện trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1.1. Với mọi x, y, z ∈ R
n
và λ ∈ R ta có:
a) < x, x >≥ 0
b) < x, x >= 0 ⇔ x = 0
c) < x, y >=< y, x >
d) < λx, y >=< x, λy >= λ < x, y >
e) < x, y + z >=< x, y > + < x, z > .
Hai vectơ x và y được gọi là trực giao với nhau được kí hiệu là x ⊥ y
nếu < x, y >= 0.
1.1.2 Chuẩn
Với mỗi vectơ x ∈ R
n
, ta gọi chuẩn của x là số thực ||x|| được định
nghĩa bởi
||x|| =
√
< x, x > =

x
2
1
+ x
2
2
+ + x
2

n
.
Định lý 1.1.1. Với mọi x, y ∈ R
n
ta có:
a) ||x|| ≥ 0
b) ||x|| = 0 ⇔ x = 0
c) ||λ|| = |λ|.||x||
d) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||
1.1.3 Sự hội tụ của dãy
Cho (x
k
)
k∈N
⊂ R
n
là một dãy các vectơ. Ta nói dãy này hội tụ về
vectơ x ∈ R
n
, và kí hiệu
x = lim
k→∞
x
k
.
Nếu dãy số thực ||x
k
− ¯x||
k∈N
hội tụ về không. Tức là

x = lim
k→∞
x
k
⇐⇒ lim
k→∞
||x
k
− ¯x||) = 0.
10
1.2 Tập lồi và hàm lồi
1.2.1 Tập lồi
Cho x, y ∈ R
n
. Đoạn thẳng nối x, y kí hiệu là [x, y], là tập hợp các
điểm
z = tx + (1 − t)y, ∀t ∈ [0, 1].
Khái niệm tập lồi là một khái niện quan trọng trong lí thuyết tối ưu.
Tập lồi là tập mà với hai điểm bất kì của nó, đoạn thẳng nối hai điểm
đó chứa trọn trong nó.
Định nghĩa 1.2.1. Tập X ⊂ R
n
được gọi là lồi nếu
λx + (1 − λ)y ∈ X, ∀x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1].
Theo định nghĩa tập ∅ là tập lồi.
Ví dụ 1.2.1. Các tam giác và hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi.
Hình cầu đơn vị trong R
n
là tập lồi.
1.2.2 Tập mở, tập đóng

Định nghĩa 1.2.2. Cho X ⊂ R
n
là tập lồi. Ta gọi vectơ v ∈ R
n
, v = 0,
là phương lùi xa của X nếu
∀x ∈ X, ∀t > 0 =⇒ x + tx ∈ X
Định nghĩa 1.2.3. Cho x
0
∈ R
n
,  > 0, ta gọi tập
B(x
0
, ) = {x ∈ R
n
: ||x − x
0
|| < }
là hình cầu mở trong R
n
có tâm tại x
0
, bán kính .
Định nghĩa 1.2.4. Tập U ⊂ R
n
gọi là mở nếu với mọi x
0
∈ U, tồn tại
 > 0 sao cho B(x

0
, ) ⊂ U.
Tập F ⊂ R
n
gọi là đóng nếu U = R
n
\F là mở.
Nếu tập F là tập lồi thì ta gọi nó là tập lồi đóng.
11
1.2.3 Tập bị chặn và tập Compact
Định nghĩa 1.2.5. Tập B trong R
n
là tập bị chặn nếu tồn tại m > 0
sao cho ||x|| ≤ m với mọi x ∈ B.
Định nghĩa 1.2.6. Tập B trong R
n
là tập compact nếu mọi dãy {x
k
}
trong B đều có dãy con {x
k
m
} hội tụ đến điểm x
∗
∈ B.
1.2.4 Hàm lồi
Cho X là một tập lồi khác rỗng trong không gian R
n
, f là một hàm
số thực xác định trên tập X.

Hàm f được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ X và λ ∈ (0, 1) ta có
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y).
Nếu bất đẳng thức trên là chặt với mọi x = y, ta nói f lồi chặt trên X.
Hàm f gọi là lõm trên X khi và chỉ khi (−f) là một hàm lồi trên X,
trong đó (−f) được xác định bởi (−f)(x) = −f(x) với mọi x ∈ X.
Ví dụ 1.2.2. Hàm hằng f : X → R, f(x) = α, với mọi x ∈ X là một
hàm lồi.
Hàm afin f : R → R
n
, f(x) =< c, x > +α với mọi x ∈ R là một
hàm lồi.
Hàm f : R
n
→ R, f(x) = x
3
là một hàm không lồi trên R. Thật
vậy với x = −1, y = 0, λ =
1
2
ta có
f(λx + (1 − λ)y) = −
1
8
; λf(x) + (1 − λ)f(y) = −
1
2
chứng tỏ f(λx + (1 −λ)y) > λf(x) + (1 −λ)f(y) . Vậy f(x) = x
3
không
là hàm lồi trên R.

12
1.3 Dạng toàn phương và hệ bất phương trình toàn
phương
1.3.1 Dạng toàn phương
Dạng toàn phương trong R
n
là một ánh xạ f : R
n
→ R xác định bởi:
f(x) =< x, Qx >,
trong đó, x = (x
1
, x
2
, , x
n
)
T
và
Q =








a
11

a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn








là ma trận đối xứng, x
1
, , x
n
gọi là các biến.

Đôi khi ta viết f(x) = x
T
Qx thay cho f(x) =< x, Qx >. Ma trận Q
được gọi là ma trận của dạng toàn phương.
Định nghĩa 1.3.1. Hàm toàn phương là hàm có dạng:
f(x) =
1
2
< x, Qx > + < q, x > +c,
trong đó x ∈ R
n
, Q là ma trận đối xứng cấp n, q ∈ R
n
là vectơ, c ∈ R .
Ví dụ 1.3.1. Cho hàm toàn phương f(x) =
1
2
{x
2
1
+ 2x
2
2
− 6x
1
x
2
}. Rõ
ràng f(x) là dạng toàn phương. Ma trận Q có dạng Q =



1 −3
−3 2


Ví dụ 1.3.2. Cho hàm toàn phương g(x) =
1
2
{2x
2
1
−3x
2
2
−x
1
x
2
+8x
1
x
3
}.
Rõ ràng g(x) là dạng toàn phương 3 biến. Ma trận Q của dạng toàn
13
phương là
Q =






2
−1
2
4
−1
2
−3 0
4 0 0





Định nghĩa 1.3.2. Ma trận Q cấp n gọi là:
• Nửa xác định dương nếu < x, Qx >≥ 0, ∀x ∈ R
n
, kí hiệu là Q ≥ 0.
• Xác định dương nếu < x, Qx >> 0, ∀x ∈ R
n
, kí hiệu là Q > 0.
• Xác định âm nếu < x, Qx >< 0, ∀x ∈ R
n
, kí hiệu là Q < 0.
• Nửa xác định âm nếu < x, Qx >≤ 0, ∀x ∈ R
n
, kí hiệu là Q ≤ 0.
Định lý 1.3.1. Q là ma trận nửa xác định dương khi và chỉ khi
f(x) =

1
2
< x, Qx > + < q, x >
là hàm lồi.
Chứng minh. Vì Q là nửa xác định dương nên
với mọi x, y ∈ R
n
:< x − y, Q(x − y) >≥ 0, suy ra
1
2
< x, Qx > +
1
2
< y, Qy >≥< x, Qy > .
Do đó, với mọi x, y ∈ R
n
, ∀λ ∈ [0, 1] ta có:
f [λx + (1 − λ)y] =
λ
2
2
< x, Qx > +λ < q, x > +
(1 − λ)
2
2
< y, Qy >
+ (1 − λ) < c, y > +λ(1 − λ) < x, Qy >
≤
λ
2

2
< x, Qx > +λ < q, x >
+
(1 − λ)
2
2
< y, Qy > +(1 − λ) < q, y >
+ λ(1 − λ)

1
2
< x, Qx >
1
2
< y, Qy >

≤ λf(x) + (1 − λ)f(y).
Vậy f là hàm lồi.
14
Nhận xét 1.3.1. Ma trận Q là nửa xác định dương khi và chỉ khi
f(x) =
1
2
< x, Qx > + < q, x > +c
là hàm lồi.
1.4 Bài toán tối ưu
1.4.1 Định nghĩa
Cho C ⊂ R
n
, f : C → R là hàm số.

Bài toán tối ưu (xác định bởi f và C) là bài toán tìm giá trị nhỏ nhất
(hoặc lớn nhất) của f trên C, kí hiệu





min(max)f(x)
x ∈ C.
(1.1)
Khi đó, tập C gọi là tập ràng buộc, f(x) gọi là hàm mục tiêu. Mỗi vectơ
x ∈ C là một phương án chấp nhận được hoặc lời giải của (1.1). Một lời
giải x
∗
∈ C gọi là nghiệm tối ưu (toàn cục) nếu
f(x
∗
) ≤ f(x); ∀x ∈ C.
Một lời giải x ∈ C được gọi là nghiệm tối ưu địa phương nếu nó có một
lân cận mở W ⊂ R
n
của x sao cho
f(x) ≤ f(x), ∀x ∈ W ∩ C.
Tập hợp các nghiệm tối ưu toàn cục của (1.1) gọi là tập nghiệm của
(1.1).
Nhiều khi C được cho bởi
{x ∈ R
n
| g
i

(x) ≤ 0 (i = 1, , m)},
15
trong đó g
i
: R
n
→ R, i = 1, , m là các hàm số.
Các bất phương trình g
i
(x) ≤ 0 gọi là các ràng buộc.
Chú ý: Ta có max{f(x) | x ∈ C} = −min{−f(x) | x ∈ C}. Vì vậy
ta chỉ xét các bài toán tìm cực tiểu là đủ.
Ví dụ 1.4.1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x
2
với x ≥ 0 là 0 đạt
được khi x = 0.
Ví dụ 1.4.2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x
2
+ 2x + 2 là 1 đạt
được khi x = −1.
Kết luận chương 1:
Chúng ta đã trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian R
n
, và
một số tập con của nó, tập lồi, hàm lồi sẽ được dùng trong các chương
sau.
Chương 2
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH TOÀN
PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứa sự tồn tại nghiệm của hệ

bất phương trình toàn phương lồi. Nội dung của chương này chủ yếu lấy
từ [5] và các trích dẫn trong đó.
Để xét sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn phương lồi,
trước hết ta có định nghĩa sau
Định nghĩa 2.0.1. Hệ bất phương trình toàn phương là hệ có dạng





















f
1
(x) =
1

2
< x, Q
1
x >+ < q
1
, x > +c
1
≤ 0
f
2
(x) =
1
2
< x, Q
2
x >+ < q
2
, x > +c
2
≤ 0
. . .
f
m
(x) =
1
2
< x, Q
m
x >+ < q
m

, x > +c
m
≤ 0
(2.1)
trong đó f
i
(x) =
1
2
< x, Q
i
x >+ < q
i
, x > +c
i
với 1 ≤ i ≤ n, là các hàm
toàn phương. Nếu f
1
(x), f
2
(x), , f
m
(x) là các hàm lồi thì (2.1) là hệ bất
phương trình toàn phương lồi.
Gọi tập nghiệm của (2.1) là X. Ta có X là tập đóng (vì f
i
liên tục).
Định lý 2.0.1. Nếu các f
i
(x), i = 1, , m trong (2.1) là các hàm lồi thì

X là tập lồi. Do đó, X lồi đóng.
Chứng minh. Lấy x, y ∈ X và t ∈ [0, 1]. Ta cần chỉ ra
tx + (1 − t)y ∈ X.
17
Thật vậy lấy i ∈ {1, , m} vì f là hàm lồi ta được
f
i
(x) ≤ 0, f
i
(y) ≤ 0
Ta có
f
i
(tx+(1 − t)y) =
1
2
< tx + (1 − t)y, Q(tx + (1 − t)y) >
+ < q
i
, tx + (1 − t)y > +c
i
=
1
2
< tx, Q(tx + (1 − t)y) > +
1
2
< (1 − t)y, Q(tx + (1 − t)y) >
+ < q
i

, tx > + < q
i
, (1 − t)y > +c
i
=
1
2
< tx, Qtx > +
1
2
< tx, Q(1 − t)y > +
1
2
< (1 − t)y, Qtx >
+
1
2
< (1 − t)y, Q(1 − t)y > + < q
i
, tx > + < q
i
, (1 − t)y > +c
i
=
1
2
t
2
< x, Qx > +
1

2
t(1 − t) < x, Qy > +
1
2
(1 − t)t < y, Qx >
+
1
2
(1 − t)
2
< y, Qy > +t < q
i
, x > +(1 − t) < q
i
, y > +c
i
= (
1
2
t
2
< x, Qx > +t < q
i
, x > +c
i
)
+ (
1
2
(1 − t)

2
< y, Qy > +(1 − t) < q
i
, y > +c
i
)
+ (t(1 − t)[< x, Qy > + < y, Qx >]).
Ta có (t(1−t)[< x, Qy > + < y, Qx >≤ t(1−t)(< x, Qx >)+ < y, Qy >
nên:
(
1
2
t
2
< x, Qx > +t < q
i
, x > +c
i
)
+ (
1
2
(1 − t)
2
< y, Qy > +(1 − t) < q
i
, y > +c
i
)
+ (t(1 − t)[< x, Qy > + < y, Qx >] ≤ 0.

vậy
tx + (1 − t)y ∈ X.
18
Do đó, X là tập lồi.
Ta cần chỉ ra X là tập đóng. Thật vậy, giả sử x
k
∈ X với k = 1, 2, là
dãy hội tụ về ¯x.
Do x
k
∈ X nên f
i
(x
k
) ≤ 0, ∀i ta suy ra f
i
(¯x) ≤ 0, ∀i. Vậy ¯x ∈ X nên
X là tập lồi đóng.
2.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn
phương lồi và ứng dụng
Xét hệ bất phương trình toàn phương lồi
f
i
(x) ≤ 
i
, i = 1, 2, , m, 
i
≥ 0,
trong đó f
i

(x) =
1
2
x
T
Qx+ < q
i
, x > +c
i
là hàm toàn phương với i =
1, , m. Ta kí hiệu X() là tập nghiệm của hệ trên.
Định lý 2.1.1. Cho  = (
k
1
, 
k
2
, , 
k
m
), 
k
i
≥ 0. Kí hiệu X() là tập
nghiệm của hệ sau:
X() = {x ∈ R
n
| f
i
(x) ≤ 

k
i
; i = 1, 2, , m}.
Giả sử, với một dãy dương {
k
i
} dần tới 0 với i = 1, 2, , m, ta có,
X() = ∅. Khi đó tập hợp
X(0) = {x ∈ R
n
| f
i
(x) ≤ 0; i = 1, 2, , m} = ∅.
Chứng minh. Ta chứng minh định lí bằng phương pháp qui nạp toán học
theo m (số bất phương trình toàn phương).
Với m = 1 giả sử f
1
(x) ≤ 
k
1
có một nghiệm là x
k
khi 
k
1
dần tới 0.
Nói cách khác
1
2
(x

k
)
T
Q
1
x
k
+ q
T
1
x
k
+ c
1
≤ 
k
1
; ∀k. (2,2)
Nếu {x
k
} có dãy con bị chặn thì tập các điểm tụ của dãy con đó thuôc
X(0) và ta có X(0) = ∅.
19
Nếu không, ta có thể giả sử ||x
k
|| → ∞.
Trong trường hợp này chia (2.2) cho ||x
k
||
2

và cho k → ∞, sử dụng
Q
1
≥ 0 ta được
0 ≤ lim
k→∞
sup
(x
k
)
T
Q
1
x
k
||x
k
||
2
≤ 0
và
lim
k→∞
sup
q
T
1
x
k
||x

k
||
≤ 0.
Từ điều kiện Q
1
≥ 0, ta thu được lim
k→∞
Q
1
x
k
||x
k
||
= 0.
Bằng cách lấy dãy con (nếu cần thiết), ta giả sử u = lim
k→∞
x
k
||x
k
||
.
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1.1: q
T
1
u < 0.
Vì Q
1

u = 0, ta thấy u như phương lùi xa của {x ∈ R
n
: f
1
(x) ≤ 0} với
mọi t > 0, ta xét
f
1
(tu) =
1
2
t
2
u
T
Q
1
u + tq
T
1
u + c
1
= c
1
+ tq
T
1
u ≤ 0,
với t = |
c

1
q
1
T u
|.
Trường hợp 1.2: q
T
1
u = 0 và Q
1
u = 0.
Không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng {x
k
} là nghiệm có
chuẩn nhỏ nhất của f
1
(x) ≤ 
k
1
.
Xét hệ tuyến tính
Q
1
x = Q
1
x
k
; q
T
1

x = q
T
1
x
k
. (2.3)
Rõ ràng, tồn tại nghiệm ¯x
k
của (2.3) sao cho
||¯x
k
|| ≤ ρ(||Q
1
x
k
|| + |q
T
1
x
k
|)
với ρ > 0 không đổi, không phụ thuộc vào k (xem[3]).
Vì f
1
(¯x
k
) = f
1
(x
k

) ≤ 
k
1
và x
k
là nghiệm chuẩn nhỏ nhất, ta có:
||x
k
|| ≤ ||¯x
k
|| ≤ ρ(||Q
1
x
k
|| + |q
T
1
x
k
|).
Chia cả hai vế cho


|x
k


| và cho k → ∞, ta được:
1 ≤ ρ(||Q
1

u|| + |q
T
1
u|).
20
Mâu thuẫn với Q
1
u = 0 và q
T
1
u = 0.
Vậy khi m = 1 ta có điều phải chứng minh.
Bây giờ, ta giả sử (theo phương pháp qui nạp) rằng định lí đúng với
m ≤ l.
Xét trường hợp m = l + 1. Cho {x
k
} là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất
trong X(), nếu {x
k
} có dãy con bị chặn thì tập hợp tất cả các điểm tụ
của dãy con bị chặn này đều nằm trong X(0) và định lí hiển nhiên đúng.
Xét ||x
k
|| → ∞. Như trước, ta cho u = lim
k→∞
x
k
||x
k
||

. Bằng lập luận tương
tự như đã sử dụng trong trường hợp 1.1, ta có:
u
T
Q
i
u = 0; q
T
i
u ≤ 0, i = 1, 2, , l + 1.
Vì Q
i
≥ 0 ta suy ra Q
i
u = 0, ∀i. Ta lại xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 2.1:
Tồn tại j sao cho q
T
j
u < 0. Không mất tính tổng quát, giả sử j = l + 1,
từ đó hệ






















f
1
(x) ≤ 
k
1
f
2
(x) ≤ 
k
2
. . .
f
l
(x) ≤ 
k
l
có nghiệm với mỗi k. Theo giả thiết qui nạp, tồn tại x thỏa mãn






















f
1
(x) ≤ 0
f
2
(x) ≤ 0
. . .
f
l
(x) ≤ 0.

21
Xét véc tơ x(t) = x + tu, t > 0 thì ta có
f
i
(x(t)) = f
i
(x) + t∇f
i
(x)
T
u +
t
2
2
u
T
Q
i
u
= f
i
(x) + t(Q
i
x + q
i
)
T
u
≤ f
i

(x)
≤ 0, ∀t > 0, i = 1, 2, . . . , l.
Hơn nữa, ta có
f
l+1
(x(t)) = f
l+1
(x) + t(Q
l+1
x + q
l+1
)
T
u +
t
2
2
u
T
Q
l+1
u
= f
l+1
(x) + tq
T
l+1
u ≤ 0, ∀t ≥ |
f
l+1

(x)
q
T
l+1
u
|.
Cho t
∗
= |
f
l+1
(x)
q
T
l+1
u
| từ đó suy ra x(t
∗
) là một nghiệm trong X(0).
Trường hợp 2.2: q
T
i
u = 0, Q
i
u = 0 với i = 1, 2, , l + 1.
Xét hệ tuyến tính














q
T
i
x = q
T
i
x
k
Q
i
x = Q
i
x
k
i = 1, 2, , l + 1.
(2.4)
Khi đó, tồn tại ¯x
k
thỏa mãn (2.4) sao cho
||¯x
k

|| ≤ ρ(
l+1

i=1
(||Q
i
x
k
|| + |q
T
i
x
k
|)),
ở đây, ρ phụ thuộc k.
Từ (2.4) ta có f
i
(¯x
k
) = f
i
(x
k
≤)
k
i
, i = 1, 2, , l + 1). Vì x
k
là nghiệm có
chuẩn nhỏ nhất trong X(

k
).
Ta có:
||x
k
|| ≤ ||¯x
k
|| ≤ ρ(
l+1

i=1
(||Q
i
x
k
|| + |q
T
i
x
k
|)), ∀k.
22
Chia hai vế cho ||x
k
|| và cho k → ∞ ta được
1 ≤ ρ(
l+1

i=1
(||Q

i
u|| + |q
T
i
u|)).
Dẫn tới điềm mâu thuẫn với q
T
i
u = 0 và Q
i
u = 0 với 1, 2, , l + 1.
Ví dụ 2.1.1. Ví dụ này chỉ ra rằng tính lồi của các hàm số
f
i
, i = 1, 2, , m trong định lý là cần để Định lí 2.1.1 đúng.
Xét hệ bất phương trình tuyến tính sau: 1 ≤ xy ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 0.
Rõ ràng hệ này không có nghiệm, tức là X = Ø. Mặt khác, hệ bị nhiễu
1 ≤ xy ≤ 1, 0 ≤ x ≤ , có nghiệm với mỗi  > 0. Do đó X() = Ø. Điều
này chứng tỏ Định lí 2.1.1 không còn đúng nếu tính lồi của các hàm
f
i
, i = 1, 2, , m, mất đi.
Hệ quả 2.1.1. Với ánh xạ tuyến tính tuyến tính (hoặc affine), sự tạo
ảnh của miền lồi trong R
n
được xác định bởi ràng buộc toàn phương lồi
là tập đóng.
Chứng minh. Cho miền lồi X = X(0) và cho y = Ax + a là ánh xạ afine,
ở đây, A là ma trận và a véc tơ có số chiều tương ứng với chỉ số của ma
trận.

Để chứng minh khẳng định trên ta chỉ ra tập hợp
Y = {y | y = Ax + a, ∀x ∈ X}
là tập đóng.
Xét dãy hội tụ {y
k
} ⊂ Y , với lim
k→∞
y
k
= y
∗
, khi đó tồn tại {x
k
∈ X}
sao cho:
||y
∗
− Ax
k
− a||
2
≤ ||y
∗
− y
k
||, f
i
(x
k
) ≤ 0, i = 1, 2, , m, ∀k. (2.5)

Xét hệ phương trình toàn phương lồi (biến x) sau:
||y
∗
− Ax
k
− a|| ≤ 0, f
i
(x) ≤ 0, i = 1, 2, m.
23
Từ (2.5), hệ này có nghiệm khi vế phải của bất phương trình thứ nhất
bị nhiễu trên ||y
∗
−y
k
||, ∀k. Cho k → ∞ và sử dụng Định lí 2.1.1, ta kết
luận rằng hệ trên có nghiệm x
∗
.
Mặt khác, tồn tại x
∗
∈ X sao cho y
∗
= Ax
∗
+ a, y
∗
∈ Y . Do đó Y là
tập đóng.
2.2 Ứng dụng
Sau đây ta xét vài ứng dụng của hệ bất phương trình toàn phương.

Hệ quả 2.2.1. Xét bài toán có ràng buộc toàn phương lồi sau:




































min{f
0
(x) =
1
2
x
T
Q
0
x + q
T
0
x}
với điều kiện :
1
2
x
T
Q
1
x + q
T
1
x + c

1
≤ 0
1
2
x
T
Q
2
x + q
T
2
x + c
2
≤ 0
. . . . . .
1
2
x
T
Q
m
x + q
T
m
x + c
m
≤ 0,
(2.6)
trong đó Q
i

là ma trận đối xứng, nủa xác định dương với i = 0, 1, 2, , m.
Giả sử hàm mục tiêu f
0
(x) bị chặn dưới trên miền ràng buộc (2.6), khi
đó bài toán có nghiệm tối ưu.
Chứng minh. Giả sử f
∗
> −∞ là kí hiệu của cận dưới đúng của f
0
(x)
trên miền chấp nhận được của (2.6). Khi đó, tồn tại dãy x
k
trong miền
chấp nhận được sao cho:
f
0
(x
k
) ≤ f
∗
+
1
k
, f
i
(x
k
) ≤ 0, i = 1, 2, , m.
24
Theo định lí 2.1.1, ta có f

0
(¯x) ≤ f
∗
, f
i
(¯x) ≤ 0, i = 1, 2, , m, nghĩa là
¯x là một nghiệm. Điều đó chứng tỏ (2.6) có nghiệm tối ưu.
Có thể đưa ra câu hỏi liệu có thể bỏ được tính lồi của hàm mục tiêu
f
0
trong bài toán trên.
Ví dụ sau chỉ ra rằng điều đó là không thể.
Ví dụ 2.2.1. Xét bài toán tối ưu hóa sau trong R
4
.






















min{f
0
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = −2x
1
x
2
+ x
3
x
4
+ x
2
1
}
với điều kiện :
f

1
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = x
2
1
− x
3
≤ 0
f
2
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = x
2
2
− x
4

≤ 0.
Rõ ràng là f
0
không lồi nhưng f
1
và f
2
lồi.
Hơn nữa, từ x
3
≥ x
2
1
và x
4
≥ x
2
2
, ta có x
3
x
4
≥ x
2
1
x
2
2
.
Do đó, một mặt, mọi véc tơ chấp nhận được (x

1
, x
2
, x
3
, x
4
)
T
, ta cố
định được
f
0
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) ≤ −2x
1
x
2
+ x
2
1
x
2

2
+ x
2
1
= (x
1
x
2
− 1)
2
+ x
2
1
− 1
≥ −1. (2.7)
Mặt khác, xét dãy (x
k
1
, x
k
2
, x
k
3
, x
k
4
) = (
1
k

, k,
1
k
2
, k
2
), k = 1, 2, Ta có dãy
(x
k
1
, x
k
2
, x
k
3
, x
k
4
)
T
là chấp nhận được và
f(x
k
1
, x
k
2
, x
k

3
, x
k
4
) = (
1
k
2
− 1) → −1,
cùng với (2.7), chỉ ra rằng cận dưới đúng của f
0
trên tập chấp nhận được
là −1. Tuy nhiên bất đẳng thức (2.6) cũng chỉ ra rằng cận dưới đúng
này không thể đạt được bằng bất cứ véc tơ chấp nhận được nào.
25
Nhận xét 2.2.1. Ví dụ trên cho ta thấy nếu tập chấp nhận được liên
quan đến bất phương trình toàn phương lồi không tuyến tính và ma trận
Hessian của hàm mục tiêu có hai giá trị riêng âm, khi đó cận dưới đúng
có thể không đạt được.
Kết luận chương 2: Trong chương này chúng ta đã trình bày một
số kết quả về sự tồn tại nghiệm của hệ bất phương trình toàn phương,
ứng dụng của hệ bất phương trình toàn phương vào lý thuyết tối ưu.