Giải gần đúng phương trình đa thức

1

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này ñược thực hiện và hoàn thành tại trường ðại học Sư phạm Hà
Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Phó giáo sư – Tiến sĩ Tạ Duy
Phượng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất ñối với
thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ðại học sư phạm Hà
Nội 2, phòng Sau ðại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các thày cô ñã tạo
mọi ñiều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc chương trình cao học và hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các ñồng nghiệp, gia ñình, người thân, bạn
bè, …, ñã ñộng viên và tạo mọi ñiều kiện thuận lợi ñể tác giả hoàn thành bản
luận văn này.

Hà Nội, tháng 7 năm 2012
Tác giả




ðỗ Thị Huyền






2

LỜI CAM ðOAN

Tôi xin cam ñoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các ñề tài khác.
Tôi cũng xin cam ñoan rằng mọi sự giúp ñỡ cho việc thực hiện luận văn
này ñã ñược cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn ñã ñược chỉ rõ
nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 7 năm 2012
Tác giả




ðỗ Thị Huyền












3

MỤC LỤC
MỞ ðẦU 4

NỘI DUNG

6

Chương 1. ðánh giá nghiệm của phương trình ña thức

6

1.1. Số nghiệm của phương trình ña thức

6

1.1.1.Số nghiệm của phương trình ña thức trong một khoảng…………

6

1.1.2.Số nghiệm của phương trình ña thức trong một miền………… 14

1.2.ðánh giá khoảng (miền) chứa nghiệm của phương trình ña thức

19

1.2.1.ðánh giá khoảng chứa nghiệm của phương trình ña thức………. 19

1.2.2.ðánh giá miền chứa nghiệm của phương trình ña thức…………. 20

1.2.3.ðánh giá cận trên và cận dưới nghiệm dương của phương trình
ña thức……………………………………………………………………

27

Chương 2. Các phương pháp giải gần ñúng phương trình ña thức

32

2.1. Các phương pháp chung

32

2.1.1. Phương pháp Horner …………………………………

32

2.1.2. Phương pháp Lagrange…………………………………………. 36

2.1.3. Phương pháp Bernoulli…………………………………………. 39

2.1.4. Phương pháp Lobasepskii-Graeffe…………………………… 42

2.1.5. Phương pháp Laguerre………………………………

47

2.1.6. Phương pháp Lehmer-Schur……………………………………. 51

2.1.7. Phương pháp Baistow………………………………………… 53

2.2.Các phương pháp lặp tính tất cả các nghiệm của ña thức………. 57

2.2.1. Phương pháp lặp không sử dụng ñạo hàm 57

2.2.2. Phương pháp lặp có sử dụng ñạo hàm……………… 64

2.2.3. Trường hợp nghiệm bội……………………………………… 71

KẾT LUẬN ………………

76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77

4

MỞ ðẦU
1. Lí do chọn ñề tài
Xét ña thức
(
)
1
0 1 1 0
0 ( 0).
n n
n n n
f x a x a x a x a a
−
−
= + + + + = ≠

V
ớ
i
1
n
=
và
2
n
=
ta có công th
ứ
c nghi
ệ
m
ñể
gi
ả
i ph
ươ
ng trình

(
)
0.
n
f x
=

V

ớ
i
3
n
=
và
4
n
=
ta c
ũ
ng có công th
ứ
c nghi
ệ
m
ñể
gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
0
n
f x
=
(công th
ứ

c Cardano ho
ặ
c công th
ứ
c Ferrari), nh
ư
ng các công th
ứ
c
ấ
y khá c
ồ
ng k
ề
nh, ch
ứ
a nhi
ề
u c
ă
n th
ứ
c, vì v
ậ
y không thu
ậ
n l
ợ
i trong s
ử

d
ụ
ng,
và c
ũ
ng ch
ỉ
tính
ñượ
c g
ầ
n
ñ
úng nghi
ệ
m thông qua tính g
ầ
n
ñ
úng c
ă
n th
ứ
c.
V
ớ
i n
≥
5 thì nói chung ph
ươ

ng trình
(
)
0
n
f x
=
không gi
ả
i
ñượ
c (không có
công th
ứ
c bi
ể
u di
ễ
n nghi
ệ
m qua các h
ệ
s
ố

0 1
, , ,
n
a a a
và các phép toán s

ố
h
ọ
c
c
ơ
b
ả
n. Vì v
ậ
y ph
ả
i xây d
ự
ng các ph
ươ
ng pháp gi
ả
i g
ầ
n
ñ
úng ph
ươ
ng trình
ñ
a
th
ứ
c

(
)
0
n
f x
=
(không c
ầ
n qua công th
ứ
c nghi
ệ
m).
M
ặ
c dù
ñ
ã có các ph
ươ
ng pháp chung gi
ả
i g
ầ
n
ñ
úng ph
ươ
ng trình phi tuy
ế
n

(
)
0
f x
=
(ph
ươ
ng pháp chia
ñ
ôi, ph
ươ
ng pháp dây cung, ph
ươ
ng pháp l
ặ
p,
ph
ươ
ng pháp ti
ế
p tuy
ế
n và các c
ả
i biên), nh
ư
ng
ñ
a th
ứ

c có nh
ữ
ng
ñặ
c thù
riêng, vì v
ậ
y c
ầ
n xây d
ự
ng các ph
ươ
ng pháp gi
ả
i s
ố
riêng cho
ñ
a th
ứ
c. H
ơ
n
n
ữ
a, b
ở
i vì không gian các hàm
ñ

a th
ứ
c trù m
ậ
t trong không gian các hàm liên
t
ụ
c, nên nghiên c
ứ
u các tính ch
ấ
t c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c và ph
ươ
ng pháp gi
ả
i chúng c
ũ
ng
có ý ngh
ĩ
a quan tr
ọ
ng trong nghiên c
ứ

u các tính ch
ấ
t và ph
ươ
ng pháp gi
ả
i
ph
ươ
ng trình phi tuy
ế
n
(
)
0.
f x
=

2. Mục ñích nghiên cứu
Tìm hi
ể
u và trình bày các ph
ươ
ng pháp gi
ả
i g
ầ
n
ñ
úng ph

ươ
ng trình
ñ
a th
ứ
c
(
)
0.
n
f x
=

5

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hi
ể
u các ph
ươ
ng pháp gi
ả
i g
ầ
n
ñ
úng ph
ươ
ng trình
ñ

a th
ứ
c
(
)
0.
n
f x
=

4. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu
ðố
i t
ượ
ng nghiên c
ứ
u:
ð
a th
ứ
c
(
)
0.
n
f x
=

Ph
ạ

m vi nghiên c
ứ
u: Các bài báo và các tài li
ệ
u trong và ngoài n
ướ
c liên
quan
ñế
n gi
ả
i g
ầ
n
ñ
úng ph
ươ
ng trình
ñ
a th
ứ
c.
5. Phương pháp nghiên cứu
S
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp nghiên c

ứ
u tài li
ệ
u.
S
ử
d
ụ
ng các ki
ế
n th
ứ
c và công c
ụ
c
ủ
a gi
ả
i tích và gi
ả
i tích s
ố

ñể
ti
ế
p c
ậ
n và
gi

ả
i quy
ế
t v
ấ
n
ñề
.
6. Dự kiến ñóng góp của luận văn
Xây d
ự
ng lu
ậ
n v
ă
n thành m
ộ
t tài li
ệ
u t
ổ
ng quan và tham kh
ả
o t
ố
t cho sinh
viên và h
ọ
c viên cao h
ọ

c v
ề
gi
ả
i g
ầ
n
ñ
úng ph
ươ
ng trình
ñ
a th
ứ
c.
C
ộ
ng tác v
ớ
i Thày h
ướ
ng d
ẫ
n, b
ổ
sung và hoàn ch
ỉ
nh b
ả
n th

ả
o cu
ố
n sách
Phương trình ña thức
.
6

NỘI DUNG
Chương 1
ðÁNH GIÁ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ðA THỨC
1.1. Số nghiệm của phương trình ña thức
1.1.1. Số nghiệm của phương trình ña thức trong một khoảng
Xét bài toán tìm s
ố
nghi
ệ
m th
ự
c c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i các h

ệ
s
ố

th
ự
c

( )
1 2
0 1 2 1
0
0
n
n n n n i
n n i
i
f x a x a x a x a x a a x
− − −
−
=
= + + + + + = =
∑
(1.1.1)
trên
ñ
o
ạ
n
[

]
, .
a b

N
ă
m 1690, trong bài báo Traite d’Algebre c
ủ
a mình, Rolle
ñ
ã ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng, gi
ữ
a hai nghi
ệ
m liên ti
ế
p c
ủ
a (1.1.1),
ñ
a th
ứ
c
ñạ
o hàm

(
)
f x
′
có
nghi
ệ
m. T
ừ

ñ
ây suy ra, n
ế
u ph
ươ
ng trình (1.1.1) có
m
nghi
ệ
m trên
ñ
o
ạ
n
[
]
,
a b
thì ph
ươ

ng trình
(
)
0
f x
′
=
có ít nh
ấ
t
1
m
−
nghi
ệ
m trên
ñ
o
ạ
n
[
]
, .
a b

ðịnh lí 1.1.1.1
(Hermite, 1866; Poulain, 1867)
N
ế
u

ñ
a th
ứ
c (1.1.1) có các h
ệ
s
ố
th
ự
c và
ñ
a th
ứ
c

( )
0
0
, 0,
n
n i
i n
i
g x c x c c
−
=
= ≠
∑

ch

ỉ
có các nghi
ệ
m th
ự
c, thì
ñ
a th
ứ
c

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
0 1

n n
n
h x c f x c f x c f x
−

= + + +

có s
ố
nghi
ệ
m th
ự
c t
ố
i thi
ể
u b
ằ
ng nghi
ệ
m th
ự
c c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c
(
)
.
f x
N

ế
u
(
)
f x

ch
ỉ
có nghi
ệ
m th
ự
c thì m
ỗ
i nghi
ệ
m b
ộ
i c
ủ
a
(
)
0
h x
=
c
ũ
ng là nghi
ệ

m b
ộ
i c
ủ
a
(
)
.
f x

ðị
nh lí Hermite-Poulain là m
ộ
t công c
ụ
quan tr
ọ
ng
ñể
ch
ứ
ng minh s
ự
t
ồ
n
t
ạ
i nghi
ệ

m trong m
ộ
t s
ố
tr
ườ
ng h
ợ
p. Ví d
ụ
:
7

(a) Gi
ả
s
ử

ñ
a th
ứ
c
0
( ) 0
n
n i
n i
i
g x a x
−

=
= =
∑
ch
ỉ
có nghi
ệ
m th
ự
c. Gi
ả
s
ử

0
0,
n
a a
≠
t
ứ
c là ph
ươ
ng trình
( ) 0
g x
=
không có nghi
ệ
m

0.
x
=

ðặ
t
1
,
y
x
=
ta
suy ra ph
ươ
ng trình
0
( ) 0
n
i
i
i
g x a x
=
= =
∑
cũng chỉ có các nghiệm thực.
(b) ðặt
(
)
.

n
f x x
= Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 ( )
; 1 ; ; ( ) 1 1 ;
n n k n k
f x nx f x n n x f x n n n k x
− − −
′ ′′
= = − = − − +
( )
( 2) 2 2 ( 1) ( )
! !
( ) 1 3 ; ( ) ; ( ) !
2! 1!
n n n
n n
f x n n x x f x x f x n
− −
= − = = =

Áp dụng ñịnh lí 1.1.1.1 với
0
( )
n
n i
n i
i
g x a x
−
=
=
∑
ta suy ra, ña thức
( )
2 1
0 1 2 1
!
! !
2!
n n
n n
n
h x n a n a x a x na x a x
−
−
= + + + +
cũng chỉ có các nghiệm thực. Do ñó ña thức
0
( )

0
! !
n
i
i
i
h x a
x
n i
=
= =
∑
cũng chỉ có
các nghiệm thực.
(c) Ký hiệu toán tử vi phân
: .
Df f
′
=
Khi ấy ña thức
(
)
h x
trong ðịnh lí
Hermite-Poulain có thể viết dưới dạng toán tử
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
1
0 1
.
n n
n
h x c D f x c D f x c f x g D f x
−
= + + + =
Vì
0
0
n
c c
≠
nên
(
)
0
0 0.
g c
= ≠
Khai tri
ể

n
( )
2
0 1 2
1

b b x b x
g x
= + + +
ch
ứ
ng
t
ỏ
r
ằ
ng
ñ
a th
ứ
c
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
0 1

n
n
x b f x b f x b f x
ϕ
′
= + + + có ít h
ơ
n ho
ặ
c b
ằ
ng
s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c
(
)
.
f x

Th
ậ
t v
ậ
y, ch
ỉ
c
ầ
n áp d
ụ
ng
ðị
nh lí Hermite-
Poulain cho
ñ
a th
ứ
c
(
)
x
ϕ
và s
ử
d
ụ
ng
ñẳ
ng th
ứ

c
(
)
(
)
(
)
.
f x g D x
ϕ
=

(d) V
ớ
i m
ỗ
i s
ố
th
ự
c b
ấ
t k
ỳ

(
)
,0 ,
n
α

∉ −

ñ
a th
ứ
c
(
)
(
)
f x xf x
α
′
+
có không
8

ít h
ơ
n s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c b

ậ
c
n
v
ớ
i các h
ệ
s
ố
th
ự
c.
ðịnh lí 1.1.1.2
(Obreshkov, 1963)
Gi
ả
s
ử

ñ
a th
ứ
c
(
)
f x
và
(
)
g x

có b
ậ
c khác nhau t
ố
i thi
ể
u là m
ộ
t b
ậ
c và
không có nghi
ệ
m chung. Khi
ấ
y
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
ñủ

ñể
các nghi
ệ
m c

ủ
a chúng
là th
ự
c, phân bi
ệ
t và tách nhau là
ñ
a th
ứ
c
(
)
(
)
(
)
h x f x g x
λ µ
= +
ch
ỉ
có
nghi
ệ
m th
ự
c phân bi
ệ
t v

ớ
i m
ọ
i s
ố
th
ự
c
λ
và
.
µ

Descartes
ñ
ã
ñư
a ra ph
ươ
ng pháp (qui t
ắ
c d
ấ
u Descartes) xác
ñị
nh c
ậ
n trên
c
ủ

a s
ố
nghi
ệ
m d
ươ
ng c
ủ
a m
ộ
t ph
ươ
ng trình
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố
th
ự
c.
V
ớ
i m
ộ
t

ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố
th
ự
c b
ậ
c
,
n
ta nói r
ằ
ng, gi
ữ
a hai h
ệ
s
ố
liên ti
ế
p
có m
ộ
t l

ầ
n
ñổ
i d
ấ
u, n
ế
u hai h
ệ
s
ố

ñ
ó trái d
ấ
u nhau. Ví d
ụ
, s
ố
l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u c
ủ
a
các h
ệ

s
ố
trong
ñ
a th
ứ
c
5 4 3
3 6 9 0
x x x
+ − + =
là
2.

ðịnh lí 1.1.1.3
(Descartes)
S
ố

N
nghi
ệ
m d
ươ
ng c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1.1.1) nh
ỏ

h
ơ
n ho
ặ
c b
ằ
ng s
ố
l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u V trong dãy các h
ệ
s
ố
c
ủ
a nó. N
ế
u
0
V N
− >
thì V – N là m
ộ
t s
ố

ch
ẵ
n.
ðịnh lí 1.1.1.4
N
ế
u t
ấ
t c
ả
các nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1.1.1) là th
ự
c, thì s
ố
nghi
ệ
m
d
ươ
ng b
ằ
ng s
ố

l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u trong dãy các h
ệ
s
ố
c
ủ
a
(
)
f x
. S
ố
nghi
ệ
m âm
b
ằ
ng s
ố
l
ầ
n
ñổ
i d

ấ
u trong dãy các h
ệ
s
ố
c
ủ
a
(
)
f x
−
.
ðịnh lí 1.1.1.5
Gi
ả
s
ử

0,
α
>
s
ố
nghi
ệ
m d
ươ
ng c
ủ

a ph
ươ
ng trình (1.1.1) l
ớ
n h
ơ
n s
ố

α

không l
ớ
n h
ơ
n s
ố
l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u V trong dãy

(
)
0
,
f

α α
=


(
)
1 0 1
,
f a a
α α
= +


(
)
2
2 0 1 2
,
f a a a
α α α
= + +

9

…

(
)
(
)

1
0 1
,
n n
n n
f f a a a
α α α α
−
= = + + +
và
V N
−
là m
ộ
t s
ố
ch
ẵ
n.
Áp d
ụ
ng
ñị
nh lý này vào ph
ươ
ng trình
1
,
n
x f

n
 
 
 
ta suy ra r
ằ
ng s
ố
nghi
ệ
m
c
ủ
a ph
ươ
ng trình
(
)
0
f x
=
n
ằ
m trong kho
ả
ng
(
)
0; , 0,
α α

>
không l
ớ
n h
ơ
n
s
ố
l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u
V
c
ủ
a dãy

,
n
a


1
,
n n
a a
α

−
+


2
1 2
,
n n n
a a a
α α
− −
+ +
……….

2
1 2 0
,
n
n n n
a a a a
α α α
− −
+ + + +
và
V N
−
là m
ộ
t s
ố

ch
ẵ
n.
Gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình (1.1.1) có các h
ệ
s
ố
th
ự
c. Dãy

(
)
(
)
(
)
(
)
, , , ,
n
f x f x f x
′
(1.1.2)

ñượ
c g
ọ
i là dãy hàm Fourier.
Ký hi
ệ
u
( )
V x
là s
ố
l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u c
ủ
a các h
ệ
s
ố
trong dãy (1.1.2).

ðịnh lí 1.1.1.6
(Budan, 1826; Fourier, 1831)
Cho hai s
ố
th

ự
c tùy ý
α
và
β
,
.
α β
<
S
ố
nghi
ệ
m
N
c
ủ
a ph
ươ
ng trình
(1.1.1) n
ằ
m trong kho
ả
ng
(
)
,
α β
th

ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
(
)
(
)
N V V
α β
≤ −
.
N
ế
u
(
)
(
)
0
V V N
α β
− − >
, thì hi
ệ
u

(
)
(
)
V V N
α β
− −
là m
ộ
t s
ố
ch
ẵ
n.
ðị
nh lí 1.1.1.3 là h
ệ
qu
ả
c
ủ
a
ðị
nh lí 1.1.1.6. Th
ậ
t v
ậ
y, dãy (1.1.2) t
ạ
i

0
x
=

là
(
)
1 2 3 1 0
, , 2! , 3! , , 1 ! , ! .
n n n n
a a a a n a n a
− − −
−

(s
ố
l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u c
ủ
a h
ọ
hàm này b
ằ
ng s
ố

l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u c
ủ
a dãy các h
ệ
s
ố

0 1 2 1
, , , , ,
n n
a a a a a
−
trong
ñị
nh lí Descartes).
10
Khi
,
x
→ ∞
d
ấ
u c
ủ

a m
ọ
i hàm trong dãy (1.1.2)
ñề
u trùng v
ớ
i d
ấ
u c
ủ
a
0
,
a

ngh
ĩ
a là
(
)
0,
V
∞ =
(
)
0
V V
=
. S
ố

nghi
ệ
m d
ươ
ng c
ủ
a (1.1.1) là s
ố
nghi
ệ
m n
ằ
m
trong kho
ả
ng
(
)
0,
∞
và s
ố
l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u V c
ủ

a
(
)
f x
là
(
)
(
)
0 .
V V V
= − ∞

Ví dụ 1.1.1.1
S
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình

(
)
4 2
3 2 0
f x x x
= − + =

n
ằ
m trong kho
ả
ng
(
)
,0 ,
−∞
(
)
0,2 ,
(
)
2,3 ,
(
)
3,
+∞
là xác
ñị
nh theo B
ả
ng 1.1.
x

−∞

0 2 3

+∞

(
)
4 2
3 2
f x x x
= − +

+ +2 -2 +56 +
(
)
' 3
4 6
f x x x
= −

- 0 +20 +90 +
(
)
'' 2
12 6
f x x
= −

+ -6 +42 +102 +
(
)
'''
24

f x x
=
- 0 +48 +72 +
(
)
(
)
4
24
f x
=

+24 +24 +24 +24 +24
( )
V x

4 2 1 0 0
B
ả
ng 1.1
T
ừ
B
ả
ng 1.1 ta th
ấ
y r
ằ
ng có hai nghi
ệ

m n
ằ
m trong kho
ả
ng
(
)
,0 ,
−∞
trong
m
ỗ
i kho
ả
ng
(
)
0,2
và
(
)
2,3
có m
ộ
t nghi
ệ
m, không có nghi
ệ
m nào n
ằ

m trong
kho
ả
ng
(
)
3, .
+∞

Laguerre
ñ
ã m
ở
r
ộ
ng
ñị
nh lí v
ề
d
ấ
u các nghi
ệ
m c
ủ
a Descartes.
ðịnh lí 1.1.1.7
(Laguerre)
Gi
ả

s
ử
chu
ỗ
i
(
)
2
0 1 2

n
n
f x a a x a x a x
= + + + + +

v
ớ
i các h
ệ
s
ố
th
ự
c h
ộ
i t
ụ
khi
.
x

α
<
Khi
ấ
y s
ố
không
ñ
i
ể
m c
ủ
a
(
)
f x
trong
11
kho
ả
ng
[0, )
α
không th
ể
v
ượ
t quá s
ố
l

ầ
n
ñổ
i d
ấ
u trong dãy các h
ệ
s
ố
. N
ế
u s
ố

l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u là h
ữ
u h
ạ
n và chu
ỗ
i h
ộ
i t
ụ

t
ạ
i
,
x
α
=
thì hi
ệ
u gi
ữ
a s
ố
l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u
c
ủ
a dãy h
ệ
s
ố
và s
ố
không
ñ

i
ể
m c
ủ
a hàm
(
)
f x
là m
ộ
t s
ố
nguyên ch
ẵ
n.
ðịnh lí 1.1.1.8
(Laguerre)
Gi
ả
s
ử

(
)
1 2
0 1 2 1

n n n
n n
f x a x a x a x a x a

− −
−
= + + + + +
là
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i các h
ệ

s
ố
th
ự
c, và gi
ả
s
ử
v
ớ
i
0
α
>
ta có

(
)

(
)
1 2
0 1 1
.
n n
n
f x f
b x b x b
x x
α
α α
− −
−
= + + + +
− −

Khi
ấ
y s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a
(
)
f x
l

ớ
n h
ơ
n
α
b
ằ
ng s
ố
l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u c
ủ
a dãy
(
)
0 1 1
, , , ,
n
b b b f
α
−
ho
ặ
c nh
ỏ

h
ơ
n m
ộ
t s
ố
nguyên ch
ẵ
n.
Gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình (1.1.1) ch
ỉ
có nghi
ệ
m
ñơ
n.
L
ậ
p h
ọ
hàm s
ố

(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
, , , , , const,
k k
f x f x R x R x R x
−
′
=
(1.1.3)
theo qui t
ắ
c sau
ñ
ây:
Chia
(
)
f x
cho
(
)
f x

′
và ký hi
ệ
u ph
ầ
n d
ư
là
(
)
1
.
R x
−
Sau
ñ
ó chia
(
)
f x
′

cho
1
( )
R x

ñượ
c ph
ầ

n d
ư
là
(
)
2
.
R x
−

Ti
ế
p t
ụ
c quá trình này cho t
ớ
i khi
ñượ
c
(
)
const.
k
R x
=

Quá trình trên th
ự
c ch
ấ

t là quá trình tìm
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a
(
)
f x
và
(
)
.
f x
′

Vì ph
ươ
ng trình (1.1.1)
ñượ
c gi
ả
thi
ế
t là ch
ỉ
có nghi

ệ
m
ñơ
n nên
(
)
f x
và
(
)
f x
′
nguyên t
ố
cùng nhau, ngh
ĩ
a là
ướ
c chung l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a chúng, hay ph
ầ
n
d
ư
cu

ố
i cùng
(
)
k
R x
trong quá trình chia
ở
trên s
ẽ
là m
ộ
t s
ố
khác không. Gi
ả

s
ử
quá trình chia k
ế
t thúc sau
k
b
ướ
c, ta ký hi
ệ
u ph
ầ
n d

ư
cu
ố
i cùng là
(
)
.
k
R x
−
T
ừ

ñ
ây ta
ñượ
c ph
ầ
n d
ư
cu
ố
i cùng
(
)
k
R x
trong dãy (1.1.3).
12
H

ọ
hàm s
ố
(1.1.3)
ñượ
c g
ọ
i là h
ọ
hàm Sturm. Nh
ữ
ng hàm s
ố
trong (1.1.3)
ñượ
c g
ọ
i là hàm Sturm.
Chúng ta c
ũ
ng g
ọ
i các h
ọ
hàm nh
ậ
n
ñượ
c t
ừ

h
ọ
hàm (1.1.3) khi nhân v
ớ
i
m
ộ
t s
ố
d
ươ
ng là h
ọ
hàm Sturm.
H
ọ
hàm Sturm có th
ể

ñượ
c m
ở
r
ộ
ng b
ằ
ng cách thay h
ọ
hàm Sturm (1.1.3)
b

ằ
ng h
ọ
hàm
ñ
a th
ứ
c b
ấ
t k
ỳ
(không nh
ấ
t thi
ế
t ph
ả
i
ñượ
c tính qua
ñạ
o hàm nh
ư

trong h
ọ
hàm Sturm):
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
1 2 1
, , , , , ,
m m
f x f x f x f x f x
−
…
(1.1.4)
th
ỏ
a mãn các tính ch
ấ
t (t
ươ
ng t
ự
các tính ch
ấ
t c
ủ
a h
ọ
hàm Sturm(1.1.3)):
1) Hai hàm c

ạ
nh nhau không
ñồ
ng th
ờ
i b
ằ
ng 0 t
ạ
i m
ộ
t
ñ
i
ể
m;
2) N
ế
u hàm
ở
trong dãy b
ằ
ng 0 t
ạ
i
x c
=
thì giá tr
ị
t

ạ
i
ñ
ó c
ủ
a hàm bên ph
ả
i
và bên trái ph
ả
i có d
ấ
u ng
ượ
c nhau;
3) Hàm cu
ố
i cùng
(
)
m
f x
không
ñổ
i d
ấ
u.

ðị
nh lí sau xác

ñị
nh chính xác s
ố
nghi
ệ
m th
ự
c c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ
a th
ứ
c
(1.1.1).
ðịnh lí 1.1.1.9 (
Sturm,1829)
Gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình (1.1.1) ch
ỉ
có nghi
ệ
m

ñơ
n. S
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a nó n
ằ
m
trong kho
ả
ng
(
)
,
a b
b
ằ
ng
( ) ( ),
V a V b
−
trong
ñ
ó
( )
V a
và
( )

V b
là s
ố
l
ầ
n
ñổ
i
d
ấ
u c
ủ
a dãy (1.1.3) t
ạ
i
x a
=
và
.
x b
=

ðịnh lí 1.1.1.10
S
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a

ñ
a th
ứ
c (1.1.1) trong kho
ả
ng
(
)
,
a b
t
ố
i thi
ể
u b
ằ
ng
( ) ( ) ,
V a V b
−
trong
ñ
ó
( )
V a
và
( )
V b
là s
ố

l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u c
ủ
a dãy (1.1.3) t
ạ
i
x a
=
và
.
x b
=

ðịnh lí 1.1.1.11
Cho
ñ
a th
ứ
c
(
)
f x
v
ớ
i các h

ệ
s
ố
th
ự
c,
( )
V x
là s
ố
l
ầ
n
ñổ
i d
ấ
u c
ủ
a dãy
(
)
(
)
(
)
(
)
2
, , , , ,
n

h h h
f x f x f x f x
∆ ∆ ∆
13
trong
ñ
ó
(
)
(
)
(
)
,
h
f x f x h f x
∆ = + −

(
)
(
)
(
)
1 1
, 1,2, ,
k k k
h
f x f x h f x k
− −

∆ = ∆ + − ∆ =
S
ố
nghi
ệ
m d
ươ
ng trong kho
ả
ng
(
)
,
a b
c
ủ
a
( )
f x
không v
ượ
t quá
(
)
(
)
1
,
V a V b
−

trong
ñ
ó
,
b a mh
− =

m
là s
ố
nguyên và
(
)
1
1 .
a a n h
= − −

Ví dụ 1.1.1.2
Tính giá tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố

(
)
3
9 61 60

f x x x
= − +
, t
ạ
i m
ộ
t s
ố

ñ
i
ể
m, ta
ñượ
c
x

(
)
3
9 61 60
f x x x
= − +

0 60
1 8
2 10
3 20
B
ả

ng 1.2
Theo B
ả
ng 1.2 ta không th
ể
kh
ẳ
ng
ñị
nh
ñượ
c r
ằ
ng, kho
ả
ng (1;2) ch
ứ
a
nghi
ệ
m hay không. Tính
3 9
2 8
f
 
= −
 
 
ta th
ấ

y kho
ả
ng (1;2) ch
ứ
a 2 nghi
ệ
m.
H
ơ
n n
ữ
a,
1
3
1
2
x
< <
và
2
3
1.
2
x
< <

L
ậ
p h
ọ

hàm Sturm:
L
ấ
y
(
)
3
f x
chia cho
(
)
2
27 61
f x x
′
= −
ta
ñượ
c

(
)
(
)
3 2
3 27 183 180 27 61 122 180.
f x x x x x x= − + = − − +
V
ậ
y ch

ọ
n
( )
1
122 180
61 90.
2
x
R x x
− +
= = − +

L
ấ
y
(
)
61
f x
′
chia cho
(
)
1
61 90.
R x x
= − +

( ) ( )
2

2 2 2
90 27 90 27
61 61 27 61 61 90 27 61 .
61 61
f x x x x
× ×
 
′
= × − = − + + −
 
 

14
V
ậ
y
(
)
3 2
2
61 90 27 8281.
R x = − × =
H
ọ
hàm Sturm:
(
)
(
)
(

)
3 2
1 2
9 61 60; ' 27 61; 61 90; 8281.
f x x x f x x R x x R= − + = − = − =
ðể
tìm kho
ả
ng nghi
ệ
m, ta l
ậ
p B
ả
ng 1.3:
x

(
)
f x

(
)
'
f x

R
1
(x) R
2

=8281 V(x)
−∞

−

+
−

+ 3
0 60
−
61
−
90 + 2
1 8
−
34
−
29 + 2
2 + + + + 0
+
∞
+ + + + 0
B
ả
ng 1.3
Vì
( ) (0) 1
V V
−∞ − =

nên ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m âm.
Vì
(1) (2) 2
V V
− =
nên ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m d
ươ
ng trong kho
ả
ng
(1;2).
Nh
ậ
n xét r
ằ
ng vì
(
)
(
)

3 2
9 61 60 3 9 27 20
x x x x x− + = + − + nên ph
ươ
ng trình
3
9 61 60 0
x x
− + =
có ba nghi
ệ
m
1 2 3
4 5
3; ; .
3 3
x x x
= − = =

Ph
ươ
ng pháp b
ả
ng nhi
ề
u khi d
ẫ
n ta t
ớ
i d

ự

ñ
oán sai l
ầ
m là m
ộ
t kho
ả
ng ch
ỉ

ch
ứ
a m
ộ
t nghi
ệ
m, m
ặ
c dù có th
ể
nó ch
ứ
a
ñế
n 3 nghi
ệ
m.
Kết luận

Ph
ươ
ng pháp b
ả
ng có th
ể
d
ẫ
n
ñế
n nh
ữ
ng d
ự

ñ
oán sai l
ầ
m v
ề
s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a
ph
ươ
ng trình, còn ph

ươ
ng pháp Sturm luôn cho k
ế
t lu
ậ
n chính xác.
1.1.2. Số nghiệm của phương trình ña thức trong một miền
Nguyên lý Argument kh
ẳ
ng
ñị
nh r
ằ
ng


( )
1
VarArg ,
2
C
N P f z
π
− =
15
trong
ñ
ó
N
và

P
là s
ố
không
ñ
i
ể
m và c
ự
c
ñ
i
ể
m c
ủ
a hàm
f
trong mi
ề
n m
ở

D
c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng ph

ứ
c,
C
là
ñườ
ng cong Jordan và là biên c
ủ
a
;
D


(
)
VarArg
C
f z
là s
ự
thay
ñổ
i c
ủ
a
(
)
Ar
gf z
d
ọ

c theo
ñườ
ng cong
C
v
ớ
i
ñị
nh
h
ướ
ng d
ươ
ng.
Cauchy là ng
ườ
i
ñầ
u tiên áp d
ụ
ng nguyên lí Argumen
ñể
xác
ñị
nh s
ố

nghi
ệ
m c

ủ
a
ñ
a th
ứ
c
( )
0
0
n
n i
i
i
f z a z
−
=
= =
∑
(1.1.5)
trên m
ộ
t mi
ề
n ph
ứ
c
ñ
ã cho. Do
ñ
a th

ứ
c không có c
ự
c nên nguyên lí Argumen
ñượ
c
ñơ
n gi
ả
n hóa. Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s
ử

ñ
a th
ứ
c (1.1.5) không có nghi
ệ
m trên
ñườ
ng cong
ñ
óng
C
và s

ố
các nghi
ệ
m n
ằ
m
ở
bên trong
C
là
1 2
, , ,
k
u u u
và
các nghi
ệ
m
ở
bên ngoài C là
1 2
, , , .
m
v v v

Kí hi
ệ
u

(

)
cos isin , 1,2, , ;
p p p p
z u r p k
ϕ ϕ
− = + =


(
)
cos isin , 1,2, , ;
p p p p
z v t p m
ψ ψ
− = + =


(
)
(
)
(
)
(
)
cos sin ,
f z R P x iQ x
φ φ
= + = +

T
ừ

ñẳ
ng th
ứ
c
( )
( ) ( )
( )
0
1 1
cos sin ,
k m
s s
s s
f z a z u z v R
φ φ
= =
= − − = +
∏ ∏

n
ế
u
(
)
0
cos isin ,
a r

ϕ ϕ
= +
thì ta có

1 1
.
k m
s s
s s
φ ϕ ϕ ψ
= =
= + +
∑ ∑

Vì
(
)
(
)
(
)
(
)
cos isin
f z R P x iQ x
φ φ
= + = +
nên
16

( ) ( )
(
)
( )
cos ; sin ; tan .
P x
P x R Q x R
Q x
φ φ φ
= = =

Khi
z
ch
ạ
y trên
ñườ
ng cong
,
C
các góc
, 1,2, ,
i
i k
ϕ
=
t
ă
ng theo
2

π
và
các góc
, 1,2, ,
i
i m
ψ
=
không thay
ñổ
i giá tr
ị
(xem Hình 1.1).
ð
i
ề
u này có
ngh
ĩ
a là sau m
ộ
t vòng quay c
ủ
a
z
trên
,
C
argument c
ủ

a
(
)
f z
t
ă
ng
2 .
k
π

Hình 1.1

Nh
ậ
n xét r
ằ
ng v
ớ
i m
ỗ
i thay
ñổ
i c
ủ
a
φ
theo
2 ,
π

tan
φ

ñổ
i d
ấ
u hai l
ầ
n t
ừ
giá
tr
ị
âm sang giá tr
ị
d
ươ
ng. Do
ñ
ó, sau khi
z
ch
ạ
y trên
ñườ
ng cong
C

ñượ

c m
ộ
t
vòng,
φ
t
ă
ng lên
2 .
k
π
Kí hi
ệ
u
p
là s
ố
l
ầ
n
tan
φ
tri
ệ
t tiêu khi
φ

ñ
i t
ừ

âm sang
d
ươ
ng và kí hi
ệ
u
q
là s
ố
l
ầ
n thay
ñổ
i d
ấ
u c
ủ
a
tan
φ
, khi
φ

ñ
i t
ừ
d
ươ
ng sang
âm. Khi

ấ
y
2 .
p q k
− =

Nh
ư
v
ậ
y, ta có
ñị
nh lí.
ðịnh lí 1.1.2.1
S
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c
(
)
(
)
(

)
f z P z iQ z
= +
n
ằ
m trên mi
ề
n gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
0
x
y
u
p

p
ϕ

s
v

s
ψ

17

ñườ
ng cong
ñơ
n gi
ả
n
ñ
óng C b
ằ
ng n
ử
a hi
ệ
u s
ố
l
ầ
n thay
ñổ
i c
ủ
a
Q
P
t
ừ
âm
sang d
ươ
ng và t

ừ
d
ươ
ng sang âm khi z quay m
ộ
t vòng quanh C.
ðị
nh lí này
ñượ
c ch
ứ
ng minh trên c
ơ
s
ở
xét s
ự
thay
ñổ
i c
ủ
a Argument và
có m
ộ
t lo
ạ
t h
ệ
qu
ả

sau
ñ
ây.
Hệ quả 1
N
ế
u
ñ
a th
ứ
c
(
)
f z
và g(z) th
ỏ
a mãn b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c |
(
)
f z
|>|g(z)| trên
ñườ
ng cong
ñ

óng
C
thì ph
ươ
ng trình
(
)
0
f z
=
và
(
)
(
)
0
f z g z
+ =
có cùng
s
ố
nghi
ệ
m bên trong
.
C

Chứng minh
Gi
ả

s
ử
(
)
0
f z
=
có
p
nghi
ệ
m bên trong
.
C
Khi
ấ
y
(
)
Ar
gf z
t
ă
ng
2
p
π
sau
m
ộ

t vòng quay c
ủ
a
z
quanh
.
C

ð
i
ể
m

(
)
( )
1 1
g z
u
f z
+ = +

thu
ộ
c
ñĩ
a có tâm t
ạ
i
ñ

i
ể
m (1;0) và bán kính nh
ỏ
h
ơ
n 1. Do
ñ
ó
(
)
Ar 1
g u
+

không th
ể
thay
ñổ
i giá tr
ị
c
ủ
a nó sau m
ộ
t vòng quay c
ủ
a
z
quanh

.
C

Theo
ðị
nh lí 1.1.2.1, t
ừ

(
)
[
]
(
)
[
]
Ar 1 Ar Ar 1
gf z u gf z g u
+ = + +

suy ra
ñ
a th
ứ
c
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )( )

1 1
g z
f z g z f z f z u
f z
 
+ = + = +
 
 

c
ũ
ng có
p
nghi
ệ
m bên trong
.
C

Hệ quả 2
Nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñạ
i s
ố

(
)
0
f z
=
là các hàm liên t
ụ
c theo các h
ệ

s
ố
c
ủ
a nó.
Chứng minh
18
Gi
ả
s
ử

( ) 0
f
α
=
và trong
ñĩ
a

{
}
:| |D z z
ρ
α ρ
= − ≤

ñ
a th
ứ
c
(
)
f z
không có
nghi
ệ
m. Vì
(
)
0
f z
≠
trên
{
}
:| | ,
C z z
ρ
α ρ

= − =
nên t
ồ
n t
ạ
i
ñ
a th
ứ
c
(
)
g z
sao
cho
f g f
− <
trên
C
ρ
và các h
ệ
s
ố
c
ủ
a
(
)
g z

sai khác các h
ệ
s
ố
t
ươ
ng
ứ
ng
c
ủ
a
(
)
f z
t
ươ
ng
ñố
i nh
ỏ
. Theo
ðị
nh lí 1.1.2.1, s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a

(
)
g z
bên
trong
C
ρ
b
ằ
ng b
ộ
i c
ủ
a
.
α
Vì
ρ
có th
ể
ch
ọ
n tùy ý nên suy ra
ñ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ

ng
minh.

Hệ quả 3
N
ế
u
lim , 0,1, , ,
im i
m
a a i n
→∞
= =
thì các nghi
ệ
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c

(
)
1 2
0 1 2
,
n n n
m m m m nm

f z a z a z a z a
− −
= + + + +

h
ộ
i t
ụ
t
ớ
i các nghi
ệ
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c

(
)
1 2
0 1 2
,
n n n
n
f z a z a z a z a
− −
= + + + +

và n
ế
u nghi
ệ
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c
( )
m
f z
là nh
ữ
ng s
ố
th
ự
c thì nghi
ệ
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c
(

)
f z
c
ũ
ng là nh
ữ
ng s
ố
th
ự
c.
Hệ quả 4
Gi
ả
s
ử
các h
ệ
s
ố
c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c

(
)

1 2
1 2 0

n n n
n n n
f z a z a z a z a
− −
− −
= + + + +

th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
0 1 1 1
.
p p p n
a a a a a a
− +
> + + + + + +

Khi
ñ
ó
ñ

a th
ứ
c
(
)
f z
có
ñ
úng p nghi
ệ
m n
ằ
m trong
ñĩ
a
ñơ
n v
ị

(
)
{
}
0;1 : 1 .
C z z
= <

Chứng minh
Trên
ñườ

ng tròn
(
)
{
}
0;1 : 1 ,
S z z
= =
ta có
(
)
0 1 1 1
.
p p
p p p n p p
f z a z a a a a a a a z
− +
− ≤ + + + + + + < =

19
T
ừ

ðị
nh lí 1.1.2.1 suy ra r
ằ
ng s
ố
nghi
ệ

m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
(
)
0
f z
=
và
0
p
p
a z
=
trong
ñĩ
a
(
)
{
}
0;1 : 1
C z z
= <
b
ằ
ng nhau, t
ứ

c là b
ằ
ng
.
p

Hệ quả 5
(Pellet, 1924)
Xét ph
ươ
ng trình
ñ
a th
ứ
c

(
)
1
1 0
.
n n
n n
f z a z a z a
−
−
= + + +

Gi
ả

s
ử
ph
ươ
ng trình
(
)
1 1
0 1 1 1
0
p p n
p p n
F z a a z a z a z a z
− +
− +
= + + + + + + =

có hai nghi
ệ
m d
ươ
ng
, , ,
α β α β
<
khi
ñ
ó
ñ
a th

ứ
c
(
)
f z
có
ñ
úng
p
nghi
ệ
m
trong
ñĩ
a z
α
≤
và không có nghi
ệ
m trong mi
ề
n
.
z
α β
< <

Nguyên lí Argumen c
ũ
ng

ñượ
c áp d
ụ
ng trong
ñị
nh lí sau.
ðịnh lí 1.1.2.2
(Biehler, 1879, Hermite, 1879)

N
ế
u ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
(
)
f z U z iV z
= +
có nghi
ệ
m ch
ỉ
n
ằ
m v
ề

m
ộ
t phía
c
ủ
a tr
ụ
c th
ự
c, trong
ñ
ó U(z) và V(z) là các
ñ
a th
ứ
c th
ự
c, thì các nghi
ệ
m c
ủ
a
ph
ươ
ng trình U(z)=0 và V(z)=0 là th
ự
c và
ñ
ôi m
ộ

t tách nhau.
N
ế
u các nghi
ệ
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c có các h
ệ
s
ố
th
ự
c U(z) và V(z) ch
ỉ
có nghi
ệ
m
th
ự
c và
ñ
ôi m
ộ
t tách nhau thì nghi
ệ

m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
(
)
f z U z iV z
= +

n
ằ
m v
ề
m
ộ
t phía c
ủ
a tr
ụ
c th
ự
c.

1.2. ðánh giá khoảng (miền) chứa nghiệm của ña thức
1.2.1. ðánh giá khoảng chứa nghiệm của ña thức

C
ậ
n trên c
ủ
a kho
ả
ng ch
ứ
a nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố

th
ự
c.
Xét bài toán tìm c
ậ

n trên c
ủ
a kho
ả
ng ch
ứ
a nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ
a
th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố
th
ự
c.
ðịnh lí 1.2.1.1
Gi
ả
s

ử

ñ
a th
ứ
c
20
(
)
1 2
0 1 2 1

n n n
n n
f x a x a x a x a x a
− −
−
= + + + + +
(1.2.1)
có h
ệ
s
ố
th
ự
c, và gi
ả
s
ử

0 1 2 1
0, 0, , , 0, 0.
m m
a a a a a
−
> ≥ ≥ ≥ <

N
ế
u
0
a
α
−
là s
ố
l
ớ
n nh
ấ
t theo giá tr
ị
tuy
ệ
t
ñố
i c
ủ
a các h
ệ

s
ố
âm c
ủ
a
ñ
a
th
ứ
c (1.2.1), thì có th
ể
ch
ọ
n
1
1
m
α
+
làm c
ậ
n trên c
ủ
a nghi
ệ
m th
ự
c.
ðịnh lí 1.2.1.2
Gi

ả
s
ử

ñ
a th
ứ
c v
ớ
i các h
ệ
s
ố
th
ự
c (1.2.1) có h
ệ
s
ố

0
1
a
=
và m h
ệ
s
ố
âm
; ; ;

i j k
α α α
− − −
Khi
ấ
y có th
ể
ch
ọ
n
( ) ( )
1 1
max , ,
i j
m m
α α
 
 
 
làm c
ậ
n trên
c
ủ
a nghi
ệ
m th
ự
c d
ươ

ng.
1.2.2. ðánh giá miền chứa nghiệm của ña thức
Mi
ề
n ch
ứ
a nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ
a th
ứ
c h
ệ
s
ố
b
ấ
t k
ỳ
.
Các
ñị
nh lí d
ướ
i

ñ
ây cho
ñ
ánh giá nghi
ệ
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c b
ấ
t k
ỳ
(h
ệ
s
ố
không
nh
ấ
t thi
ế
t ph
ả
i là các s
ố
th
ự

c).
ðịnh lí 1.2.2.1
(Cauchy, 1829)
Gi
ả
s
ử

(
)
1 2
0 1 2 1 0
, 0
n n n
n n
f z a z a z a z a z a a
− −
−
= + + + + + ≠
(1.2.2)
là m
ộ
t
ñ
a th
ứ
c b
ấ
t k
ỳ

. Khi
ấ
y m
ọ
i không
ñ
i
ể
m c
ủ
a nó n
ằ
m trong
ñĩ
a tròn có
tâm t
ạ
i g
ố
c t
ọ
a
ñộ
và bán kính là nghi
ệ
m th
ự
c
ñơ
n d

ươ
ng c
ủ
a ph
ươ
ng trình

1 2
0 1 2 1
| | .
n n n
n n
a r a r a r a r a
− −
−
= + + + +
ðịnh lí 1.2.2.2
(Cauchy, 1829)

M
ọ
i nghi
ệ
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c (1.2.2) th

ỏ
a mãn b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c

0
1 max .
i
a
z
a
≤ +
ðặ
t
{
}
1
max , , ,
n
a a a
=

{
}
0 1
min , , .

n
a a a
−
′
=

21
ðịnh lí 1.2.2.3
M
ọ
i nghi
ệ
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c (1.2.2) th
ỏ
a mãn b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c

0
1 .

n
n
a
a
z
a a a
≤ ≤ +
′
+

ðịnh lí 1.2.2.4
N
ế
u m
ọ
i h
ệ
s
ố
c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c (1.2.2)
ñề
u d
ươ
ng thì m

ọ
i nghi
ệ
m z c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c
th
ỏ
a mãn
,
z
α β
≤ ≤
trong
ñ
ó
1 2
0 1 1
min , , , ,
n
n
a a a
a a a
α
−
 

=
 
 
1 2
0 1 1
max , , , .
n
n
a a a
a a a
β
−
 
=
 
 

ðịnh lí 1.2.2.5
Gi
ả
s
ử

0, 0,1, , ,
i
d i n
> =
và
1 1 2 2 0
.

n n n n
d a d a d a d
− −
≥ + + +

Khi
ñ
ó không có nghi
ệ
m nào c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ
a th
ứ
c (1.2.2) (v
ớ
i
0
1
a
=
)
có mô
ñ
un l
ớ
n h

ơ
n
1 1
2
1 2 0
max , , , .
n
n n n
n n
d d d
d d d
− −
 
   
 
 
   
   
 
 

ðịnh lí 1.2.2.6
Không có nghi
ệ
m z nào c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ

a th
ứ
c (1.2.2) (v
ớ
i
0
1
a
=
) có
mô
ñ
un l
ớ
n h
ơ
n
( )
( )
1
1
2
1 2
max , , ,
n
n
n a n a n a
 
 
 

hoặc
1
2 1
max , 1,2, , .
n
k
k
k
n
a k n
C
 
−
=
 
 

ðịnh lí 1.2.2.7 (Joyal, Labelle và Rahman, 1967)
Nếu
(
)
max :0 1
j
B a j n
= ≤ < −
thì m
ọ
i nghi
ệ
m c

ủ
a
ñ
a th
ứ
c

(
)
1
1 0

n n
n
f z z a z a
−
−
= + + +
(1.2.3)
ch
ứ
a trong hình tròn
( )
2
1 1
1
1 1 4 .
2
n n
z a a B

− −
 
≤ + + − +
 
 

22
Chứng minh
N
ế
u
( )
2
1 1
1
1 1 4 ,
2
n n
z a a B
− −
 
> + + − +
 
 
thì
1.
z
>

Th

ậ
t v
ậ
y, vì
0
B
>
nên

( )
2
1 1 1 1
1 1 4 1 1 2.
n n n n
a a B a a
− − − −
+ + − + > + + − ≥

H
ơ
n n
ữ
a, vì
1
z
>
và
( )
2
1 1

1
1 1 4
2
n n
z a a B
− −
 
> + + − +
 
 
nên

(
)
(
)
1
1 0
n
z z a B
−
− − − >
.
Nhân bi
ể
u th
ứ
c trên v
ớ
i

1
1
n
z
z
−
−
ta
ñượ
c
1
1
1
0.
1
n
n n
n
z
z a z B
z
−
−
−
− − >
−

Nh
ư
ng

1 1
2 2
1
1
1 1
n n
n
z z
z z z
z z
− −
−
−
> = + + + +
− −

nên
( )
1
2 2
2 3
2 3 0
1 .
1
n
n
n n
n n
z
B B z z z a z a z a

z
−
−
− −
− −
> + + + + ≥ + + +
−

Mặt khác,
1
1
1 1
.
n n
n n
n n
z a z z a z
−
−
− −
− ≤ +
Suy ra
1
1 2 3
1 1 2 3 0

n n
n n n n
n n n n
z a z z a z a z a z a

−
− − −
− − − −
+ ≥ − > + + +

Vậy
(
)
1 2 3
1 2 3 0
0.
n n n n
n n n
f z z a z a z a z a
− − −
− − −
> + − + + + >

Hệ quả 1
Mọi nghiệm của ña thức (1.2.3) nằm trong hình tròn

(
)
1
1 1 4 ,
2
z B
′
≤ + +
23

trong ñó
1 1 1
0 1
max , 0.
n k k
k n
B a a a a
− − −
< ≤ −
′
= − =

Hệ quả 2
Mọi nghiệm của ña thức (1.2.3) chứa trong hình tròn

( )
1
2
1 ,
z B
′′
≤ +

trong ñó
(
)
1 1 1
0 1
max 1 , 0.
n k k

k n
B a a a a
− − −
< ≤ −
′′
= − + =

ðịnh lí 1.2.2.8 (Joyal, Labelle, Rahman, 1967)
ðặ
t
1
2
0
, 1.
n
p
p
j
j
B a p
−
=
 
= >
 
 
∑
M
ọ
i nghi

ệ
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c (1.2.2) ch
ứ
a trong
hình tròn
,
z k
≤
trong
ñ
ó
(
)
1
max 1,
n
k a
−
≥ là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ

ng trình

( )
(
)
1
1 1
1 0, 1.
q
q
q
n
z a z B
q p
−
− − − = + =

ðịnh lí 1.2.2.9
(Joyal, Labelle, Rahman, 1967)
N
ế
u
1 0
,
n n
a a a
−
≥ ≥ ≥
thì m
ọ

i nghi
ệ
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c

(
)
1
1 0

n n
n n
f z a z a z a
−
−
= + + +
(1.2.4)
ch
ứ
a trong hình tròn
0 0
.
n
n
a a a

z
a
− +
≤

Hệ quả
N
ế
u
1 0
0,
n n
a a a
−
≥ ≥ ≥ ≥
thì m
ọ
i nghi
ệ
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c (1.2.4) ch
ứ
a trong
hình tròn
ñơ

n v
ị
.
ðịnh lí 1.2.2.10
Gi
ả
s
ử

ij
A a
 
=
 
là m
ộ
t ma tr
ậ
n ph
ứ
c
n n
×
và gi
ả
s
ử
R
i
là t

ổ
ng các
mô
ñ
un c
ủ
a các ph
ầ
n t
ử
ngoài
ñườ
ng chéo trên dòng th
ứ

.
i
Khi
ấ
y m
ỗ
i giá tr
ị

riêng c
ủ
a A n
ằ
m trong hình tròn
, 1, , .

ii i
z a R i n
− ≤ =

K
ế
t qu
ả
c
ũ
ng
ñ
úng n
ế
u ta xét các c
ộ
t c
ủ
a
.
A

24
Trong các
ứ
ng d
ụ
ng,ta th
ườ
ng s

ử
d
ụ
ng các hình tròn l
ớ
n h
ơ
n

{
}
: , 1,2, , .
ii i
C z z a R i n
= ≤ + =
ðị
nh lí d
ướ
i
ñ
ây m
ở
r
ộ
ng k
ế
t qu
ả
c
ổ

ñ
i
ể
n c
ủ
a Cauchy.
ðịnh lí 1.2.2.11
(Ballieu, 1947)
Gi
ả
s
ử

1 2 1
, , ,
n
A A A
−
là dãy các s
ố
d
ươ
ng b
ấ
t k
ỳ
,
0 1
0, 1.

A A
= =
Khi
ấ
y m
ọ
i
nghi
ệ
m c
ủ
a (1.2.4) th
ỏ
a mãn b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c
0 1
1 1
max .
i
i
i n
i n i
a
A
z

A a A
≤ ≤ −
+ +
 
≤ +
 
 
 
(1.2.5)
Chứng minh
Kí hi
ệ
u
0
1
1
0 0 0
1 0 0
,
0 0 1
n
n
n
n
a
a
a
a
C
a

a
−
 
−
 
 
 
−
 
=
 
 
 
 
−
 
 
⋯
⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯

(
)
1 2
diag , , , .
n
P A A A
=

Xây d
ự
ng ma tr
ậ
n

0
1
2 1
2
1
1
3 2
3
2
1 1
0 0 0
0 0
.
0 0
0 0
n
n
n
n n
n
n n
a
A
a

A a
A
A a
P CP
A a
A
A a
A a
A
A a
−
− −
 
−
 
 
 
−
 
 
 
=
−
 
 
 
 
 
−
 

 
⋯
⋯
⋯
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯
(1.2.6)
Các giá tr
ị
riêng c
ủ
a (1.2.6) là không
ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c (1.2.4) nên áp d
ụ
ng
25

ðị
nh lí 1.2.2.10 ta có ngay
ðị
nh lí 1.2.2.11.

Ch
ọ
n
1 2 1
1,
n
A A A
−
= = = =
khi
ấ
y (1.2.5) chính là
ñ
ánh giá Cauchy.
ðịnh lí 1.2.2.12
(Datt, Govil, 1978)
M
ọ
i nghi
ệ
m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c
(
)
1

1 0

n n
n
P z z a z a
−
−
= + + +
n
ằ
m trong hình
xuy
ế
n
( ) ( )
0
0
1
1 ,
2 1 1
n
a
z A
A An
λ
−
≤ ≤ +
+ +

trong

ñ
ó
0
λ
là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
1 1 1 0
n
x Ax
− + + =

trong kho
ả
ng
(
)
0,1
và
0 1

max .
j
j n
A a
≤ ≤ −
=

Ch
ứ
ng minh d
ự
a trên B
ổ

ñề
sau.
Bổ ñề

Gi
ả
s
ử

( )
( )
1
1 ,
1
n
f x x

Ax
= − +
+
trong
ñ
ó n là s
ố
nguyên d
ươ
ng và
0.
A
>

Khi
ấ
y n
ế
u
1
nA
≤
thì
(
)
f x
là hàm t
ă
ng khi
0.

x
≥
N
ế
u
1
nA
<
thì t
ồ
n t
ạ
i s
ố

0
δ
>
sao cho f(x) là t
ă
ng trong kho
ả
ng
[
]
0,
δ
và f(x) có duy nh
ấ
t nghi

ệ
m
trong kho
ả
ng
(
)
0,1 .

Chứng minh ðịnh lí 1.2.2.12

Theo Marden (1949) ta có
( )
1
0
1
.
1
n
j
n
n n
j
z
P z z A z z A
z
−
=
−
≥ − = −

−
∑

Do
ñ
ó v
ớ
i m
ọ
i
0,
λ
>
trên hình tròn
1 ,
z A
λ
= +
ta có

( )
(
)
1 1
( ) 1 0,
n
n
A
P z A
λ

λ
λ
+ −
= + − >
(1.2.7)
nếu
( )
1
1 .
1
n
A
λ
λ
> −
+