Khung trong không gian Hilbert

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của cô giáo - tiến sĩ Nguyễn Quỳnh Nga. Tác giả
xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với cô. Cô đã
dành nhiều thời gian hướng dẫn, chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và
kinh nghiệm quí báu, luôn động viên để tác giả vươn lên trong học tập
và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Hà
Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô, đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao
học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường THPT Yên Lãng và Tổ
Toán - Tin đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả học tập và hoàn thành
tốt luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn sự gúp đỡ động viên của gia đình,
bạn bè, các thành viên lớp cao học Toán Giải tích khóa 2010 -2012 để
tác giả hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Đỗ Thủy Tiên
i
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng
được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Đỗ Thủy Tiên
ii
Mục lục

Mở đầu 1
1 MỘT SỐ KẾT QUẢ VÀ KHÁI NIỆM BAN ĐẦU 4
1.1. Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert . . . 4
1.2. Phép chiếu trực giao và phần bù trực giao . . . . . . . . 7
1.3. Toán tử đẳng cự bộ phận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Tổng trực tiếp của các không gian Hilbert . . . . . . . . 11
2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT KHUNG 14
2.1. Khung trong không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . 15
2.2. Khung nhìn từ quan điểm giãn nở . . . . . . . . . . . . . 17
2.3. Khung đối ngẫu luân phiên . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1. Khung đối ngẫu chính tắc . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2. Khung đối ngẫu luân phiên . . . . . . . . . . . . 36
3 KHUNG BÙ VÀ TÍNH RỜI 42
3.1. Tính chất bù nhau và rời nhau của các khung . . . . . . 42
iii
3.2. Các đặc trưng của tính tương đương, tính rời nhau và tính
bù nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3. Một vài kết quả khác về khung đối ngẫu luân phiên . . . 58
Kết luận 72
Tài liệu tham khảo 73
iv
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khung trong không gian Hilbert được Duffin và Schaeffer [5] đưa
ra chính thức vào năm 1952 khi nghiên cứu một số bài toán về chuỗi
Fourier không điều hòa. Tuy nhiên, ý tưởng của Duffin và Schaeffer
dường như không tạo nên sự quan tâm cho các nhà khoa học ngoài lĩnh
vực đó cho đến khi bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [4] ra
đời vào năm 1986. Kể từ đó, lý thuyết khung nhận được sự quan tâm
rộng rãi bởi nhiều nhà Toán học, Vật lý học, Sinh vật học, Kỹ sư,. . . .

Khung thường được sử dụng trong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, nén dữ liệu
và trong lý thuyết mẫu. Gần đây, khung còn được sử dụng trong các lý
thuyết quang học cũng như các nghiên cứu về các không gian Besov, lý
thuyết không gian Banach. Ngược lại, các công cụ mạnh từ lý thuyết
toán tử và lý thuyết không gian Banach lại được sử dụng để nghiên cứu
trong lý thuyết khung [1].
Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về lý thuyết khung trong
không gian Hilbert, được sự đồng ý hướng dẫn của cô giáo - tiến sĩ
Nguyễn Quỳnh Nga, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu “Khung trong
không gian Hilbert” để thực hiện luận văn tốt nghiệp.
2
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan về cơ sở của lý thuyết khung và các tính
chất bù nhau và rời nhau của các khung trong không gian Hilbert.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Làm rõ lý thuyết cơ bản cho khung;
Làm rõ tính bù và tính rời của khung và các tính chất có liên quan.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Khung trong không gian Hilbert.
Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài nước liên
quan đến khung trong không gian Hilbert.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp
cận vấn đề.
Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các
bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới.
3
6. Đóng góp mới
Luận văn là một tài liệu tổng quan về lý thuyết khung trong không
gian Hilbert.

Chương 1
MỘT SỐ KẾT QUẢ VÀ KHÁI
NIỆM BAN ĐẦU
Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một vài kết quả cơ bản sẽ
dùng trong chương sau. Các kết quả này được tham khảo từ tài liệu [6],
[8].
1.1. Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian
Hilbert
Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian
Hilbert K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số
c > 0 sao cho
T x ≤ c x, với mọi x ∈ H. (1.1.1)
Ký hiệu B (H, K) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ
H vào K. Khi H = K thì B (H, K) được ký hiệu đơn giản là B (H).
Chuẩn của T ∈ B (H, K) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất
4
5
thỏa mãn (1.1.1). Nói một cách tương đương,
T  = sup {T x : x ∈ H, x ≤ 1}
= sup {T x : x ∈ H, x = 1}.
Mệnh đề 1.1.1. Giả sử H, K, L là các không gian Hilbert. Nếu T ∈
B (H, K) thì tồn tại duy nhất một phần tử T
∗
∈ B (K, H) sao cho
T
∗
x, y = x, T y, (x ∈ K, y ∈ H) .
Hơn nữa,
i) (aS + bT )
∗

= aS
∗
+ bT
∗
.
ii) (RS)
∗
= S
∗
R
∗
.
iii) (T
∗
)
∗
= T .
iv) I
∗
= I.
v) Nếu T khả nghịch thì T
∗
cũng khả nghịch và

T
−1

∗
= (T
∗

)
−1
, trong
đó S, T ∈ B (H, K) , R ∈ B (K, L) và a, b ∈ C.
Toán tử T
∗
ở Mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán
tử T.
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử T ∈ B (H, K) và S ∈ B (K, L). Khi đó
i) T x ≤ T x, ∀x ∈ H.
ii) ST  ≤ ST .
iii) T  = T
∗
.
iv) T
∗
T  = T 
2
.
Khi T ∈ B (H) và x, y ∈ H, ta có đồng nhất thức phân cực sau
T x, y =
1
4
{T (x + y) , x + y −T (x −y) , x −y
+i T (x + iy) , x + iy −i T (x −iy) , x −iy}.
6
Cho T ∈ B (H). T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T
∗
= T ,
là unita nếu T

∗
T = T T
∗
= I. T được gọi là chuẩn tắc nếu T
∗
T = T T
∗
.
T được gọi là dương (ký hiệu T ≥ 0) nếu T x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H.
T, K ∈ B (H) , T ≥ K nếu T − K ≥ 0.
Chú ý rằng với mỗi T ∈ B (H) thì T
∗
T x, x = T x, T x ≥ 0 với
mọi x ∈ H. Do đó T
∗
T là dương.
Mệnh đề 1.1.3. Giả sử T ∈ B (H). Khi đó
i) T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu T x, x là thực với mọi x ∈ H. Đặc
biệt, toán tử dương là tự liên hợp.
ii) T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương
đương là bảo toàn tích vô hướng) từ H lên H.
iii) T là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu T x = T
∗
x với mọi x ∈ H.
Mệnh đề 1.1.4. Giả sử T ∈ B (H). Khi đó các điều sau đây là tương
đương
i) T là dương.
ii) T = S
2
trong đó S là toán tử dương.

iii) T = V
∗
V trong đó V ∈ B (H).
Toán tử S trong ii), là duy nhất và được gọi là căn bậc hai của T ,
ký hiệu là T
1
2
.
Bổ đề 1.1.5. Giả sử T ∈ B (H) và {e
i
} và {f
j
} là cở sở trực chuẩn của
H. Khi đó

i
T e
i
, e
i
 =

j
T f
j
, f
j
.
Từ Bổ đề 1.1.5, đại lượng


i
T e
i
, e
i
 độc lập với sự lựa chọn cơ
sở trực chuẩn của H. Ta gọi đại lượng này là vết của T và ký hiệu là
7
tr (T ).
Vết của toán tử T có các tính chất tương tự như vết của ma trận.
Mệnh đề 1.1.6. Giả sử T, S ∈ B (H) , α, β ∈ C.Khi đó
i) tr (αS + βT ) = αtr (S) + βtr (T ).
ii) tr (ST ) = tr (T S).
iii) Nếu S và T là đồng dạng (tức là tồn tại một toán tử khả nghịch
V ∈ B (H) sao cho T = V
−1
SV ) thì tr (S) = tr (T ).
Mệnh đề 1.1.7. Giả sử M là một không gian con đóng của không gian
Hilbert H và P là phép chiếu trực giao từ H lên M. Khi đó tr (P) =
dim (M).
1.2. Phép chiếu trực giao và phần bù trực giao
Giả sử H là một không gian Hilbert, u, v ∈ H và X, Y là các tập
con của H. Ta nói u trực giao với v nếu u, v = 0 và u trực giao với Y
nếu u, y = 0 với mọi y ∈ Y và X trực giao với Y nếu x, y = 0 với
mọi x ∈ X, y ∈ Y . Kí hiệu Y
⊥
là tập tất cả các vectơ trong H và trực
giao với Y .
Mệnh đề 1.2.1. Nếu Y là một không gian con đóng của không gian
Hilbert H thì mỗi phần tử x ∈ H có thể biểu diễn được dưới dạng x =

y + z, trong đó y ∈ Y và z ∈ Y
⊥
. Hơn nữa, y là phần tử duy nhất trong
Y , gần nhất với x.
Ta viết H = Y ⊕Y
⊥
và Y
⊥
được gọi là phần bù trực giao của Y
trong H.
8
Phương trình P (y + z) = y,

y ∈ Y, z ∈ Y
⊥

xác định một toán
tử tuyến tính P : H → H. P được gọi là phép chiếu trực giao từ
H lên Y . Chú ý rằng I − P là phép chiếu trực giao từ H lên Y
⊥
và
(I − P) (y + z) = z,

y ∈ Y, z ∈ Y
⊥

.
Do y, z = 0 khi y ∈ Y và z ∈ Y
⊥
, ta có

P (y + z)
2
= y
2
≤ y
2
+ z
2
= y + z
2
,
P (y + z) , y + z = y, y + z = y
2
≥ 0.
Do đó P là bị chặn với P  ≤ 1 và P là dương (do đó P là tự liên
hợp). Do P y = y với mọi y ∈ Y, P  = 1 trừ trường hợp Y = {0} và
P = 0.
Chú ý rằng P
2
= P và Y = {P x : x ∈ H} = {y ∈ H : P y = y} và
Y
⊥
= {z ∈ H : P z = 0}.
Ngược lại, giả sử P ∈ B (H) và P
2
= P = P
∗
. Khi đó P là phép
chiếu trực giao từ H lên Y = {Px : x ∈ H}.
Như vậy có một quan hệ 1 – 1 giữa các không gian con đóng Y của

một không gian Hilbert H và các phép chiếu trực giao trên H.
Cho T ∈ B (H, K), trong đó H, K là các không gian Hilbert. Ta
ký hiệu
KerT = {x ∈ H : T x = 0},
RanT =

y ∈ K : y = Tx với x ∈ H

.
Mệnh đề 1.2.2. Giả sử T ∈ B (H). Khi đó
H = Ker (T ) ⊕Ran (T
∗
) = Ker (T
∗
) ⊕Ran (T ).
9
1.3. Toán tử đẳng cự bộ phận
U ∈ B (H, K) được gọi là một đẳng cự nếu Ux = x với
mọi x ∈ H. Điều kiện cần và đủ để U ∈ B (H, K) là một đẳng cự là
U
∗
U = I. Thật vậy, do Ux
2
= x
2
nên U
∗
Ux, x = Ux, Ux =
Ux
2

= x
2
= x, x với mọi x ∈ H.
Từ đồng nhất thức phân cực, ta có U
∗
Ux, y = x, y với mọi
x, y ∈ H. Từ đó U
∗
Ux = x với mọi x ∈ H và U
∗
U = I.
Chú ý rằng các điều kiện U
∗
U = I và UU
∗
= I là không tương
đương. Điều kiện UU
∗
= I được thỏa mãn nếu U
∗
là một đẳng cự. Trong
trường hợp này ta gọi U là đối đẳng cự.
Nếu toán tử tuyến tính U là đẳng cự trên phần bù trực giao của
hạt nhân của nó thì ta gọi U là toán tử đẳng cự bộ phận. Ví dụ các đẳng
cự, đối đẳng cự và các phép chiếu trực giao là các toán tử đẳng cự bộ
phận.
Ta có thể dễ dàng kiểm tra rằng nếu U là toán tử đẳng cự bộ phận
và U = 0 thì U = 1.
Mệnh đề 1.3.1. Một toán tử U là một toán tử đẳng cự bộ phận nếu và
chỉ nếu U

∗
U là một phép chiếu trực giao. Điều này cũng đúng nếu và
chỉ nếu UU
∗
là phép chiếu trực giao. Trong trường hợp này U
∗
U là phép
chiếu trực giao trên phần bù trực giao [KerU]
⊥
của nhân KerU và UU
∗
là phép chiếu trực giao trên không gian ranU. Ta ký hiệu supp (U) =
[KerU]
⊥
.
Chứng minh.
Giả sử U là một đẳng cự bộ phận. Ký hiệu P là một phép chiếu
10
trực giao lên supp (U), lấy x, y ∈ supp (U). Khi đó
P x, y = x, y = Ux, Uy = U
∗
Ux, y.
Từ y là một vectơ tùy ý trong supp (U), điều này chỉ ra rằng P x = U
∗
Ux
với mọi x ∈ supp (U). Nếu v ∈ H thì v = x + z với x ∈ supp (U) và
z ∈ ker (U). Như vậy P z = 0 = Uz, và do đó
P v = Px = x = U
∗
Ux = U

∗
Uv.
Do v tùy ý trong H, nên P = U
∗
U. Ta vừa chứng minh được, nếu U là
một đẳng cự thì U
∗
U là phép chiếu trực giao lên supp (U).
Ngược lại, giả sử rằng U : H → K là một toán tử tuyến tính với
tính chất U
∗
U là một phép chiếu trực giao. Lấy P = U
∗
U và E = P H.
Khi đó với x bất kỳ thuộc E, ta có P x = x và do vậy
x
2
= x, x = Px, x = U
∗
Ux, x = Ux
2
.
Như vậy U|
E
là một đẳng cự. Hơn nữa, với y ∈ E
⊥
, ta có
Uy
2
= U

∗
Uy, y = P y, y = 0.
Điều này cùng với U|
E
là một đẳng cự, kéo theo rằng supp (U) = E.
Như vậy U là một đẳng cự bộ phận.
Ở phần thứ hai, ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu một toán tử U là
một đẳng cự bộ phận thì U
∗
cũng là một đẳng cự bộ phân. Thật vậy,
giả sử rằng U là một đẳng cự bộ phận. Khi đó theo những gì ta đã
chứng minh, U
∗
U là một phép chiếu trực giao lên supp (U). Chú ý rằng
supp (U
∗
) = (ker U
∗
)
⊥
= ran (U). Vì vậy, nếu z ∈ supp (U
∗
) thì z = Ux
với x ∈ supp (U), và như vậy z = x, do U là đẳng cự trên supp (U).
Điều này chỉ ra
U
∗
z = U
∗
Ux = x = z.

11
Như vậy, U
∗
là một đẳng cự bộ phận.
Mệnh đề được chứng minh. 
1.4. Tổng trực tiếp của các không gian Hilbert
Khi H
1
, , H
k
là các không gian Hilbert và K là tập của tất cả
các bộ k {x
1
, , x
k
} với x
j
∈ H
j
(j = 1, , k), ta có một cấu trúc không
gian Hilbert trên K, trong đó các toán tử đại số, tích trong và chuẩn
được định nghĩa bởi
a {x
1
, , x
k
} + b {y
1
, , y
k

} = {ax
1
+ by
1
, , ax
k
+ by
k
},
{x
1
, , x
k
}, {y
1
, , y
k
} = x
1
, y
1
 + + x
k
, y
k
,
{x
1
, , x
k

} =

x
1

2
+ + x
k

2

1
2
.
Không gian Hilbert K được gọi là tổng trực tiếp của H
1
, , H
k
và được
ký hiệu bởi H
1
⊕ ⊕H
k
hoặc
k

j=1
⊕H
j
. Các phần tử trong H

1
⊕ ⊕H
k
cũng được kí hiệu là x
1
⊕ ⊕ x
k
.
Với mỗi j = 1, , k, tập H

j
bao gồm những bộ k có các thành
phần bằng không ngoại trừ vị trí thứ j, là một không gian con đóng
của H
1
⊕ ⊕ H
k
. Ánh xạ U
j
: H
j
→ H

j
, định nghĩa bởi U
j
x =
{0, , 0, x, 0, , 0}(với x ở vị trí thứ j) là một đẳng cấu từ H
j
vào H


j
.
Các không gian con H

1
, , H

k
là các cặp trực giao, và
k

j=1
H

j
= K.
Giả sử rằng H
1
, , H
k
là các không gian con trực giao với nhau
từng đôi một của không gian Hilbert H, và
k

j=1
H
j
= H. Khi đó, các phép
chiếu trực giao tương ứng E

1
, , E
k
từ H lên H
1
, , H
k
có tổng I. Toán
tử tuyến tính U : H → K, được định nghĩa bởi Ux = {E
1
x, , E
k
x},
12
ánh xạ H
j
vào H

j
và H vào K (= H
1
⊕ ⊕ H
k
), và là một unita do
Ux
2
=
k

j=1

E
j
x
2
=





k

j=1
E
j
x





2
= x
2
(x ∈ H) .
Nghịch đảo của nó U
−1
mang {x
1
, , x

k
} của K vào x
1
+ + x
k
. Trong
đẳng cấu này, ta xem H như một tổng trực tiếp trong của H
1
, , H
k
và
K như tổng trực tiếp ngoài; thỉnh thoảng, ta đồng nhất H với K và H
j
với H

j
.
Nếu H
j
, K
j
là các không gian Hilbert và T
j
∈ B (H
j
, K
j
) (j = 1, , k),
đẳng thức T {x
1

, , x
k
} = {T
1
x
1
, , T
k
x
k
}(x
1
∈ H
1
, , x
k
∈ H
k
) định
nghĩa một toán tử tuyến tính T từ H
1
⊕ ⊕H
k
vào K
1
⊕ ⊕K
k
, được
gọi là tổng trực tiếp
k


j=1
⊕T
j
của T
1
, , T
k
. Với
c = sup {T
j
 : j = 1, , k},
ta có
T {x
1
, , x
k
} =

T
1
x
1

2
+ + T
k
x
k


2

1
2
≤

T
1

2
x
1

2
+ + T
k

2
x
k

2

1
2
≤ c

x
1


2
+ + x
k

2

1
2
= c {x
1
, , x
k
},
vì vậy T bị chặn, với T  ≤ c. Tuy nhiên, với mọi j = 1, , k và x ∈ H
j
,
T
j
x = {0, , 0, T
j
x, 0, , 0}
= T {0, , 0, x, 0, , 0}
≤ T {0, , 0, x, 0, , 0} = T x.
13
Như vậy, T
j
 ≤ T , (j = 1, , k), do đó c ≤ T  và vì vậy T  = c.
Từ
T
∗

{y
1
, , y
k
}, {x
1
, , x
k
} = {y
1
, , y
k
}, T {x
1
, , x
k
}
= {y
1
, , y
k
}, {T
1
x
1
, , T
k
x
k
}

=
k

j=1
y
j
, T
j
x
j

=
k

j=1
T
∗
y
j
, x
j

= {T
∗
1
y
1
, , T
∗
k

y
k
}, {x
1
, , x
k
},
khi x
j
∈ H
j
và y
j
∈ K
j
, (j = 1, , k), suy ra rằng
T
∗
{y
1
, , y
k
} = {T
∗
1
y
1
, , T
∗
k

y
k
}.
Chúng ta đã chứng minh rằng





n

j=1
⊕T
j





= sup {T
j
 : j = 1, , k},

n

j=1
⊕T
j

∗

=
n

j=1
⊕T
∗
j
;
và rõ ràng rằng
k

j=1
⊕(aS
j
+ bT
j
) = a

k

j=1
⊕S
j

+ b

k

j=1
⊕T

j

,

k

j=1
⊕R
j

k

j=1
⊕S
j

=

k

j=1
⊕R
j
S
j

,
khi S
j
, T

j
∈ B (H
j
, K
j
) , R
j
∈ B (K
j
, L
j
) và a, b ∈ C.
Chương 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT KHUNG
Trong nghiên cứu không gian vectơ một trong những khái niệm
quan trọng nhất là cơ sở, cho phép mỗi phần tử ở trong không gian được
viết như là một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở. Tuy
nhiên, điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không có sự phụ thuộc tuyến tính
giữa các thành phần là có thể và đôi khi chúng ta thậm chí muốn các
thành phần trực giao tương ứng với một tích trong. Điều này làm cho
khó tìm hoặc thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ
sung và đây là lí do mà người ta mong muốn tìm một công cụ linh hoạt
hơn.
Khung là công cụ như vậy. Một khung cho một không gian vectơ
được trang bị một tích trong cũng cho phép mỗi phần tử trong không
gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong
khung, nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung là không
cần thiết. Về trực giác, ta có thể nghĩ một khung như là một cơ sở được
cho thêm vào một số phần tử.
Các kết quả của chương này có thể tham khảo trong [2], [3], [7].

14
15
2.1. Khung trong không gian hữu hạn chiều
Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều, được trang bị một
tích trong ·, ·. Nhớ lại rằng một dãy {e
j
}
m
j=1
trong V là một cơ sở của
V nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn
i) V = span {e
j
}
m
j=1
;
ii) {e
j
}
m
j=1
là độc lập tuyến tính, nghĩa là nếu
m

j=1
c
j
e
j

= 0 với các hệ số
vô hướng {c
j
}
m
j=1
thì c
j
= 0, (j = 1, , m).
Như một hệ quả của định nghĩa này, mọi f ∈ V có một biểu diễn
duy nhất theo các thành phần trong cơ sở, tức là, tồn tại các hệ số vô
hướng duy nhất {c
j
}
m
j=1
sao cho
f =
m

j=1
c
j
e
j
. (2.1.1)
Nếu {e
j
}
m

j=1
là một cơ sở trực chuẩn, nghĩa là là một cơ sở với
e
i
, e
j
 = δ
ij
=



0 nếu i = j
1 nếu i = j
,
thì hệ số {c
j
}
m
j=1
rất dễ tìm, đó chính là tích trong của f trong (2.1.1)
với một e
j
tùy ý
f, e
j
 =

m


i=1
c
i
e
i
, e
j

=
m

i=1
c
i
e
i
, e
j
 = c
j
,
vì vậy
f =
m

j=1
f, e
j
e
j

. (2.1.2)
Bây giờ ta giới thiệu về khung; ta sẽ chứng minh rằng một khung
{f
j
}
m
j=1
cũng cho ta một biểu diễn như (2.1.1).
16
Định nghĩa 2.1.1. Một họ đếm được của các vectơ {f
j
}
j∈J
trong V được
gọi là một khung của V nếu tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho
Af
2
≤

j∈J
|f, f
j
|
2
≤ Bf
2
, ∀f ∈ V. (2.1.3)
Các số A, B được gọi là các cận khung. Chúng không là duy nhất.
Cận khung dưới tối ưu là supremum trên tất cả các cận khung dưới, và
cận khung trên tối ưu là infimum trên tất cả các cận khung trên. Chú

ý rằng các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự. Khung là chuẩn
hóa, nếu f
j
 = 1,

với mọi j ∈ J

.
Trong một không gian vectơ hữu hạn chiều sẽ là không tự nhiên
(mặc dù có thể) khi xét các họ {f
j
}
j∈J
có vô hạn các phần tử. Trong
phần này chúng ta chỉ xem xét các họ hữu hạn {f
j
}
m
j=1
, m ∈ N. Với hạn
chế này, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz chỉ ra rằng
m

j=1
|f, f
j
|
2
≤
m


j=1
f
j

2
f
2
với mọi f ∈ V , nghĩa là, điều kiện khung trên tự động được thỏa mãn.
Tuy nhiên, ta có thể tìm một cận khung trên tốt hơn
m

j=1
f
j

2
.
Để cho điều kiện dưới trong (2.1.3) thỏa mãn, cần thiết rằng
span {f
j
}
m
j=1
= V . Điều kiện này là đủ; mọi dãy hữu hạn là một khung
cho bao tuyến tính của nó.
Mệnh đề 2.1.2. [2] Cho {f
j
}
m

j=1
là một dãy trong V . Khi đó {f
j
}
m
j=1
là
một khung cho span {f
j
}
m
j=1
.
Chứng minh.
Chúng ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các f
j
đều bằng
17
không. Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với B =
m

j=1
f
j

2
. Bây giờ lấy
W : = span {f
j
}

m
j=1
và xem xét ánh xạ liên tục
φ : W → R, φ (f) :=
m

j=1
|f, f
j
|
2
.
Hình cầu đơn vị trong W là compact, vì vậy ta có thể tìm g ∈ W với
g = 1 sao cho
A :=
m

j=1
|g, f
j
|
2
= inf

m

j=1
|f, f
j
|

2
: f ∈ W, f = 1

.
Rõ ràng là A > 0. Bây giờ lấy f ∈ W, f = 0, ta có
m

j=1
|f, f
j
|
2
=
m

j=1





f
f
, f
j






2
f
2
≥ Af
2
.
Mệnh đề được chứng minh. 
Hệ quả 2.1.3. [2] Một họ các phần tử {f
j
}
k
j=1
trong V là một khung
của V khi và chỉ khi span {f
j
}
k
j=1
= V .
Hệ quả 2.1.3 chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số
phần tử cần thiết để làm cơ sở. Đặc biệt, nếu {f
j
}
k
j=1
là một khung của
V và {g
j
}
m

j=1
là một tập hữu hạn tùy ý các vectơ trong V thì {f
j
}
k
j=1
∪
{g
j
}
m
j=1
cũng là một khung của V .
2.2. Khung nhìn từ quan điểm giãn nở
Cho H là không gian Hilbert phức khả li. Ký hiệu B (H) là đại
số của tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H. N là tập các số tự
18
nhiên, Z là tập các số nguyên. Ta dùng J chung cho các tập đếm được
như N, Z, Z
2
, N ∪ N,. . . .
Một dãy {x
j
: j ∈ N} của không gian vectơ H được gọi là một
khung nếu có các hằng số A, B > 0 sao cho
Ax
2
≤

j

|x, x
j
|
2
≤ Bx
2
(2.2.1)
với mọi x ∈ H. Các hằng số tối ưu (tối đa cho A và tối thiểu cho B)
được gọi là các cận khung tối ưu. Khung {x
j
} được gọi là một khung
chặt nếu A = B và được gọi là Parseval nếu A = B = 1. Một dãy {x
j
}
được gọi là một cơ sở Riesz nếu nó là một khung và cũng là một cơ sở
cho H theo nghĩa: với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất một dãy {α
j
} trong
C sao cho x =

α
j
x
j
với sự hội tụ trong chuẩn.
Lưu ý rằng một cơ sở Riesz đôi khi được định nghĩa là một cơ sở
được lấy từ một cơ sở trực chuẩn bằng cách áp dụng một toán tử tuyến
tính khả nghịch bị chặn. Điều này là tương đương với định nghĩa của
chúng ta (xem Mệnh đề 2.2.5). Rõ ràng từ tổng tuyệt đối trong (2.2.1),
các khái niệm về khung (và cơ sở Riesz) có ý nghĩa với bất kỳ tập hợp

con đếm được của H và không phụ thuộc vào thứ tự dãy. Do đó sẽ không
có sự nhầm lẫn trong khi nói về một khung hoặc cơ sở Riesz với tập chỉ
số là một tập đếm được J.
Từ định nghĩa, một tập {x
j
: j ∈ J} là một khung Parseval khi và
chỉ khi
x
2
=
∞

j=1
|x, x
j
|
2
(2.2.2)
với mọi x ∈ H. Hiển nhiên một cơ sở trực chuẩn là một khung Parseval.
Hơn nữa, nếu {x
j
} là một khung Parseval, thì (2.2.2) suy ra x
j
 ≤ 1
19
với mọi j. Ngoài ra, nếu x
k
là một vectơ đơn vị thì (2.2.2) cho thấy nó
phải trực giao với tất cả các vectơ x
j

khác ở trong khung. Vì vậy một
khung Parseval của các vectơ đơn vị là một cơ sở trực chuẩn. Mặt khác,
một số các vectơ trong một khung chặt có thể là vectơ - không. Nếu H
là không gian Hilbert không, thì một tập chỉ số đếm được bất kỳ của
các vectơ không đáp ứng định nghĩa của một khung Parseval (miễn là ta
quy ước A = B = 1 trong trường hợp này). Giả sử {x
j
: j ∈ J} là một
khung Parseval cho H. Giả sử rằng {x
i
: i ∈ Λ} ⊂ {x
j
: j ∈ J} cũng là
một khung Parseval cho H, Λ ⊂ J. Nếu j /∈ Λ thì
x
j

2
=

k∈J
|x
j
, x
k
|
2
=

i∈Λ

|x
j
, x
i
|
2
.
Do đó

k /∈Λ
|x
j
, x
k
|
2
= 0. Vì thế x
j
, x
j
 = 0, suy ra x
j
= 0. Vì vậy cách
duy nhất để mở rộng một khung để được một khung Parseval là thêm
các vectơ không.
Nếu {x
n
} là một khung mà không là cơ sở Riesz và không phải là
một dãy các vectơ không trên không gian Hilbert không thì ta gọi {x
n

}
là một khung thực sự.
Ta nói các khung {x
j
: j ∈ J} và {y
j
: j ∈ J} trên các không gian
Hilbert H, K tương ứng là tương đương unita nếu có một toán tử unita
U : H → K thỏa mãn Ux
j
= y
j
với mọi j ∈ J. Ta nói chúng đồng
dạng (hay đẳng cấu) nếu có một toán tử tuyến tính bị chặn khả nghịch
T : H → K sao cho T x
j
= y
j
với mọi j ∈ J.
Điều quan trọng cần lưu ý là hai khái niệm trên (tương đương unita
và đẳng cấu) phần nào hạn chế và thực tế là hạn chế hơn khái niệm
tương đương của các khung mà một số nhà lý thuyết muốn. Đặc biệt,
đẳng cấu của các khung không phải là bất biến theo hoán vị. Ví dụ , nếu
20
{e
1
, e
2
} là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert hai chiều H
2

thì
{e
1
, e
2
, 0, 0} và {0, 0, e
1
, e
2
} là các khung Parseval cho H
2
với chỉ số thuộc
J = {1, 2, 3, 4}. Nhưng chúng không đẳng cấu vì không tồn tại toán tử
khả nghịch T : H
2
→ H
2
sao cho T e
1
= 0, T e
2
= 0, T 0 = e
1
, T 0 = e
2
.
Để giải thích ý nghĩa hình học và có được sức mạnh của các định lý thì
ta cần phân biệt giữa các lớp tương đương của các khung như vậy. Hơn
nữa, vì lý do tương tự nên chúng ta không định nghĩa mối liên hệ tương
đương giữa hai khung với hai tập chỉ số khác nhau.

Giả sử rằng {x
n
} là một dãy trong H sao cho
x =

n
x, x
n
x
n
,
với mọi x ∈ H (hội tụ có thể là hội tụ yếu hoặc theo nghĩa hội tụ chuẩn).
Khi đó {x
n
} là một khung Parseval cho H. Thật vậy với mọi x ∈ H, ta
có
x
2
= lim
n→∞

n

k=1
x, x
k
x
k
, x


= lim
n→∞
n

k=1
x, x
k
x
k
, x
= lim
n→∞
n

k=1
|x, x
k
|
2
=
∞

k=1
|x, x
k
|
2
.
Ví dụ 2.2.1. Cho H, K là các không gian Hilbert với H ⊂ K, {e
i

}
∞
i=1
là
một cơ sở trực chuẩn của K. Ký hiệu P là phép chiếu trực giao từ K
lên H, x
i
= P e
i
với mọi i. Nếu x ∈ H tùy ý thì
x
2
=

j
|x, e
j
|
2
(2.2.3)
và
x =

j
x, e
j
e
j
. (2.2.4)
21

Từ x = P x và x
j
= P e
j
ta có x, e
j
 = x, x
j
, (2.2.3) trở thành (2.2.2)
và do đó {x
j
} là một khung Parseval cho H. Hơn nữa, lấy P tác động
vào hai vế của (2.2.4) ta có
x =

j
x, x
j
x
j
(2.2.5)
với mọi x ∈ H. Công thức (2.2.5) được gọi là công thức khôi phục cho
{x
j
}.
Ví dụ 2.2.2. Giả sử {e
1
, e
2
, e

3
} là một cơ sở trực chuẩn của không gian
Hilbert ba chiều K. Một cơ sở trực chuẩn khác của K là

1
√
3
(e
1
+ e
2
+ e
3
) ,
1
√
6
(e
1
− 2e
2
+ e
3
) ,
1
√
2
(e
1
− e

3
)

.
Do đó

1
√
3
(e
1
+ e
2
) ,
1
√
6
(e
1
− 2e
2
) ,
1
√
2
e
1

là một khung Parseval cho H = span {e
1

, e
2
} (không gian tuyến tính
sinh bởi hai vectơ e
1
, e
2
).
Ví dụ 2.2.3. Cho K = L
2
(T) trong đó T là đường tròn đơn vị với độ đo
Lebesgue chuẩn hóa. Khi đó

e
ins
: n ∈ Z

là một cơ sở trực chuẩn tiêu
chuẩn cho L
2
(T). Nếu E ⊆ T là tập đo được bất kỳ thì

e
ins


E
: n ∈ Z

là một khung Parseval cho L

2
(E). Khung này có thể nhận từ việc áp dụng
tất cả lũy thừa nguyên của toán tử nhân M
e
is
lên vectơ χ
E
. Với mỗi E
khác nhau,

e
ins


E
: n ∈ Z

là các khung không tương đương unita.
Ví dụ 2.2.4. Lấy H = C
2
, e
1
= (0, 1) , e
2
=

√
3
2
,

1
2

, e
3
=

√
3
2
, −
1
2

.
{e
1
, e
2
, e
3
} là một khung chặt với cận khung là
3
2
. Thật vậy, với x =