Lớp nghiệm Hölder của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Hà Tiến
Ngoạn. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy
trong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất
nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng
dạy chuyên nghành Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp
đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác
giả học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
Dương Thanh Nga
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Tác giả
Dương Thanh Nga
Mục lục
Mở đầu 1
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1 Không gian H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Thế vị Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Không gian H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson . . . . . . . 7
1.2.1 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Tính giải được của bài toán Dirichlet . . . . . . . 11
1.2.5 Đánh giá H¨older cho đạo hàm cấp hai . . . . . . . 12
1.2.6 Tính chất liên tục H¨older của nghiệm trên biên . 18
2 LỚP NGHIỆM H
¨
OLDER CỦA PHƯƠNG TRÌNH EL-
LIPTIC CẤP HAI 22
2.1 Bài toán Dirichlet cho phương trình Elliptic cấp hai . . 22
2.2 Các đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Đánh giá H¨older cho phương trình hệ số hằng số . 23
2.2.2 Đánh giá tiên nghiêm bên trong miền . . . . . . 25
2.2.3 Đánh giá tiên nghiệm trên toàn miền . . . . . . . 30
2.3 Tính giải được của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . 37
iii
iv
2.3.1 Phương pháp liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2 Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . 38
2.4 Độ trơn của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.1 Độ trơn của nghiệm bên trong miền . . . . . . . . 45
2.4.2 Độ trơn của nghiệm trong toàn miền . . . . . . . 47
Kết luận 50
Tài liệu tham khảo 51
v
BẢNG KÝ HIỆU
R
n
không gian Euclid n-chiều
R

n
+
nửa không gian R
n
= {x ∈ R
n
|x
n
> 0}
∂S tập của các điểm trên biên
¯
S bao đóng của S, = ∂S ∩ S
C
0
(Ω) tập các hàm liên tục trên Ω
C
0
(
¯
Ω) tập các hàm liên tục trên
¯
Ω
C
k
(Ω) tập các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp ≤ k trong Ω
với (k ≥ 0, k ∈ Z hoặc k = ∞)
C
k
(Ω) tập tất cả các hàm trong C
k

(Ω) có đạo hàm đến cấp ≤ k
liên tục mở rộng đến
¯
Ω
C
k
0
(Ω) tập các hàm trong C
k
(Ω) có giá compact trong Ω
B
R
(x
0
) hình cầu tâm x
0
bán kính R trong R
n
C(∗, , ∗) hằng số C chỉ phụ thuộc vào các đại lượng bên trong
dấu ngoặc đơn
T là siêu phẳng x
n
= 0.
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng nhằm nghiên cứu tính giải được của
các bài toán biên cùng các tính chất định tính của nghiệm.
Đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, người ta chỉ ra
rằng không thể nghiên cứu tính giải được của các bài toán chỉ thuần túy
trong không gian các hàm số khả vi hai lần liên tục. Điều này có nghĩa

rằng khi các hệ số và vế phải của phương trình chỉ là các hàm số liên
tục thì nghiệm của nó có thể không phải là hàm khả vi hai lần liên tục.
Xuất phát từ lí do nói trên chúng tôi mạnh dạn chon đề tài cho
luận văn của mình là “Lớp nghiệm H¨older của bài toán Dirichlet
cho phương trình tuyến tính cấp hai”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình
elliptic tuyến tính cấp hai trên không gian H¨older và độ trơn của nghiệm
trong không gian H¨older.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Không gian H¨older
2. Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson
3. Bài toán Dirichlet cho phương trình Elliptic tuyến tính cấp hai
trên không gian H¨older
4. Phương pháp tiếp cận Schauder và các đánh giá tiên nghiệm
5. Tính giải đươc của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic
2
tuyến tính cấp hai trên không gian H¨older
6. Độ trơn của nghiệm thuộc không gian H¨older
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Không gian gian Holder, bài toán Drichlet cho phương trình Poisson,
bài toán Dirichlet cho phương trình ellliptic tuyến tính cấp hai.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết: thu thập tài liệu, đọc và phân tích , tổng hợp
để được một nghiên cứu tổng quan về lớp nghiệm Holder của phương
trình elliptic tuyến tính loại hai.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Tổng quan về lớp nghiệm H¨older của phương trình tuyến tính cấp
hai.
Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian H
¨older
1.1.1 Thế vị Newton
Phương trình Laplace trong R
n
có dạng
∆u :=
n

j=1
∂
2
u
∂x
2
= 0.
Nghiệm của phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa.
Ta biết nghiệm cơ bản của phương trình Laplace cho bởi:
Γ(x − y) = Γ(|x − y|) =





1
n(2 − n)ω
n
|x − y|
2−n

, n > 2
1
2π
log |x − y| , n = 2
(1.1)
trong đó ω
n
là thể tích của hình cầu đơn vị trong R
n
. Hàm số Γ(x) là
hàm điều hòa tại điểm x = 0.
Cho mỗi hàm f khả vi trên miền Ω, thế vị Newton của hàm f là
hàm ω(x) được định nghĩa trên R
n
bởi
ω (x) =

Ω
Γ (x − y) f(y)dy (1.2)
Trong biểu diễn của công thức Green ta có với mọi u(x) ∈ C
2
(Ω) ∩
3
4
C(
¯
Ω)
u(y) =

∂Ω

(u(x)
∂Γ
∂ν
x
− Γ(x − y)
∂u(x)
∂ν
x
)dS
x
+

Ω
Γ(x − y)∆u(x)dx, (1.3)
với mọi y ∈ Ω. Trong đó ν
x
là vecto pháp tuyến đơn vị ngoài tai điểm
x ∈ ∂Ω.
Chúng ta thấy khi ∂Ω đủ trơn, từ công thức (1.3) suy ra một
hàm C
2
(Ω) có thể biểu diễn bằng tổng hàm điều hòa và thế vị Newton.
1.1.2 Không gian H¨older
Nếu cho hàm f trong công thức (1.2) thuộc C
∞
0
(Ω), chúng ta
thấy bằng cách viết:
ω (x) =


Ω
Γ (x − y) f (y) dy =

R
n
Γ (x − y) f (y) dy
=

R
n
Γ (z) f (x − z) dz
ta thấy ω ∈ C
∞

¯
Ω

. Mặt khác, nếu f liên tục thì thế vị Newton ω không
nhất thiết phải khả vi hai lần. Đã chỉ được ra rằng, có một lớp các hàm
f thuận lợi để làm việc. Đó là lớp hàm H¨older liên tục được giới thiệu
dưới đây.
Cho x
0
∈ R
n
và f là một hàm xác định trên tập bị chặn D có
chứa điểm x
0
. Nếu 0 < α < 1, chúng ta nói hàm f liên tục H¨older với số
mũ α tai x

0
nếu
[f]
α,x
0
= sup
D
|f(x) − f(x
0
)|
|x − x
o
|
α
(1.4)
là hữu hạn. Ta gọi [f]
α,x
0
là hệ số α-H¨older của f tại x
0
đối với D. Như
vậy, f liên tục H¨older tại điểm x
0
thì f phải liên tục tại điểm x
0
.
Trong công thức (1.4) xác định và α = 1 thì nói f liên tục
Lipschitz tại x
0
.

5
Ví dụ: f là hàm xác định trong B
1
(0), f (x) = |x|
β
, 0 < β < 1 là
liên tục H¨older với hệ số β tại điểm x = 0.
Khi β = 1 thì f liên tục Lipschitz.
Khái niệm liên tục H¨older là dễ dàng mở rộng trên toàn bộ tập
D (không nhất thiết bị chặn). Hàm f là liên tục H¨older với số mũ α
trong tập D nếu
[f]
α;D
= sup
x,y∈D,x=y
|f(x) − f(y)|
|x − y|
α
(1.5)
(0 < α < 1) là hữu hạn.
Ta nói f là liên tục H¨older địa phương với số mũ α trong D nếu
hàm f liên tục H¨older với số mũ α trên mọi tập compact của D.
Chú ý:
Hai khái niệm trên là trùng nhau khi D là tập compact.
Ta chú ý rằng liên tục địa phương H¨older là tính chất mạnh hơn liên
tục H¨older theo từng điểm trong tập compact.
Một hàm liên tục H¨older địa phương sẽ là liên tục H¨older theo
từng điểm trong D và nó cũng bị chặn trong D. Liên tục H¨older được
chứng minh là một đại lượng định tính của tính liên tục, nó đặc biệt phù
hợp với việc nghiên cứu của các phương trình vi phân đạo hàm riêng.

Trong một nghĩa nào đó nó cũng được xem như là khả vi phân số. Điều
này cho ta thấy sự mở rộng của các không gian hàm khả vi. Cho Ω là
một tập mở trong R
n
và k là một số nguyên không âm. Không gian
H¨older C
k,α

¯
Ω

(C
k,α
(Ω)) được định nghĩa như là các không gian con
của C
k

¯
Ω

(C
k
(Ω)) gồm các hàm mà đạo hàm riêng thứ k đều liên tục
H¨older (liên tục H¨older địa phương) với số mũ α trong Ω. Để đơn giản
chúng ta viết:
C
0,α

¯
Ω


= C
α

¯
Ω

C
0,α
(Ω) = C
α
(Ω)
6
(với 0 < α < 1)
Cũng tương tự ta thiết lập
C
k,0

¯
Ω

= C
k

¯
Ω

C
k,0
(Ω) = C

k
(Ω)
Ta xem các không gian C
k
(Ω) (C
k

¯
Ω

) được bao hàm bên trong
các không gian C
k,α
(Ω) (C
k,α

¯
Ω

) với (với 0 ≤ α ≤ 1). Chúng ta chỉ
kí hiệu không gian C
k,α
0
(Ω) là không gian các hàm thuộc C
k,α
(Ω) có giá
compact trong Ω.
Ta đặt
[u]
k,0;Ω

=


D
k
u


0;Ω
= sup
|β|=k
sup
Ω


(D
β
u)


(1.6)
[u]
k,α;Ω
=

D
k
u

α;Ω

= sup
|β|=k

D
β
u

α;Ω
(k = 0, 1, 2, ).
Với các nửa chuẩn chúng ta có thể định nghĩa các chuẩn liên quan.
||u||
C
k
(
¯
Ω
)
= |u|
k,Ω
= |u|
k,0;Ω
=
k

j=0
[u]
j,0;Ω
=
k


j=0


D
k
u


0;Ω
(1.7)
||u||
C
k,α
(
¯
Ω
)
= |u|
k,α;Ω
= |u|
k;Ω
+ [u]
k,α;Ω
= |u|
k;Ω
+

D
k
u


α;Ω
tương ứng trên không gian C
k

¯
Ω

và C
k,α

¯
Ω

.
Giới thiệu thêm chuẩn không thứ nguyên trên C
k

¯
Ω

và C
k,α

¯
Ω

.
Nếu Ω là miền bị chặn, d = diam Ω, ta có:
||u||


C
k
(
¯
Ω
)
= |u|

k,Ω
=
k

j=0
d
j
[u]
j,0;Ω
=
k

j=0
d
j

D
j
u

0;Ω

(1.8)
||u||

C
k,α
(
¯
Ω
)
= |u|

k,α;Ω
= |u|

k;Ω
+ d
k+α
[u]
k,α;Ω
= |u|

k;Ω
+ d
k+α

D
k
u

α;Ω

.
7
Các không gian C
k

¯
Ω

, C
k,α

¯
Ω

được trang bị chuẩn bên trên
là các không gian Banach.
Chú ý: Tích của các hàm liên tục H¨older là liên tục H¨older.
Thật vậy, u ∈ C
α

¯
Ω

, v ∈ C
β

¯
Ω

; uv ∈ C

γ

¯
Ω

và γ =
min (α, β)
||u||
C
γ
(
¯
Ω
)
≤ max

1, d
α+β−2γ

||u||
C
α
(
¯
Ω
)
||v||
C
β
(

¯
Ω
)
(1.9)
||uv||

C
γ
(
¯
Ω
)
≤ ||u||

C
α
(
¯
Ω
)
||v||

C
β
(
¯
Ω
)
.
Chúng ta chỉ quan tâm các miền Ω mà thỏa mãn quan hệ bao

hàm C
k

,α


¯
Ω

⊂ C
k,α

¯
Ω

khi α + k < α

+ k

.
Chú ý: Mối quan hệ này nhìn chung là không đúng. Cụ thể xét
miền với biên không trơn sau.
Ω := {(x, y) ∈ R
2
| y < |x|
1/2
, x
2
+ y
2

< 1},
với mỗi β, 1 < β < 2 cho u (x, y) = (sgnx) y
β
nếu y ≥ 0, y ≤ 0. Rõ ràng
u ∈ C
1

¯
Ω

. Tuy nhiên nếu 1 > α > β/2, dễ dàng thấy được u
¯
∈ C
α

¯
Ω

và do đó C
1

¯
Ω

¯
⊂C
α

¯
Ω


.
1.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson
1.2.1 Bài toán Dirichlet
Cho Ω là một miền bị chặn trong R
n
, còn u ∈ C
2
(Ω), hàm
u(x)thỏa mãn phương trình Laplace
∆u = 0
với mọi x ∈ Ω được gọi là hàm điều hòa trong Ω. Dạng không thuần
nhất của phương trình Laplace
∆u = f (1.10)
8
được gọi là phương trình Poisson.
Bài toán đi tìm hàm u(x) thỏa mãn phương trình (1.10) trong Ω
với điều kiện biên u = ϕ là bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson.
1.2.2 Công thức tích phân từng phần
•Trường hợp n = 1

b
a
f

(x) g (x) dx = f (x) g (x) |
b
a
−


b
a
f (x) g

(x) dx (1.11)
• Trường hợp nhiều biến (n ≥ 2)
Giả sử Ω là miền bị chặn trong R
n
, với biên trơn ∂Ω. Với x ∈ ∂Ω,
ta kí hiệu ν (x) = (ν
1
(x), ν
2
(x), , ν
n
(x)) là vecto pháp tuyến ngoài đơn
vị tại x = (x
1
, x
2
, , x
n
). Khi đó ta có

Ω
f
x
j
(x) g (x) dx =


∂Ω
f (x) g (x) ν
j
(x)dS
x
−

Ω
f (x) g
x
j
(x) dx (1.12)
trong đó dS
x
là phần tử diên tích trên ∂Ω.
1.2.3 Một số bổ đề
Cho Γ là một hàm điều hòa với x = y. Ta có các đánh giá đạo hàm
sau:
|D
i
uΓ(x − y)| ≤
1
nω
n
|x − y|
1−n
|D
ij
uΓ(x − y)| ≤
1

ω
n
|x − y|
−n
(1.13)


D
β
uΓ(x − y)


≤ C|x − y|
2−n−|β|
C = C(n, |β|).
Bổ đề 1.1. Cho f là một hàm bị chặn và khả tích trong Ω, ω là thế vị
Newton của f thì ω ∈ C
1
(R
n
) và mọi x ∈ Ω,
D
i
ω (x) =

Ω
D
i
Γ (x − y) f (y) dy, (i = 1, 2, , n) (1.14)
9

trong đó D
i
là toán tử đạo hàm riêng theo biến thứ i, D
i
=
∂
∂x
i
.
Chứng minh. Từ đánh giá của (1.13) cho DΓ, hàm
v(x) =

Ω
D
i
Γ(x − y)f(y)dy
là được xác định. Để chỉ ra v = D
i
ω, ta cố định hàm η trong C
1
(R) thỏa
mãn 0 ≤ η ≤ 1, 0 ≤ η

≤ 2, η(t) = 0 với t ≤ 1, η(t) = 1 với t ≥ 2 và xác
định với ε > 0
ω
ε
(x) =

Ω

Γη
ε
f(y)dy,
Γ = Γ(x − y), η
ε
= η(|x − y| /ε).
Rõ ràng, ω
ε
∈ C
1
(R
n
) và
v(x) − D
i
ω
ε
(x) =

|x−y|≤2ε
D
i
{(1 − η
ε
)Γ}f(y)dy
sao cho
|v(x) − D
i
ω
ε

(x)| ≤ sup |f|

|x−y|≤2ε
(|D
i
Γ| +
2
ε
|Γ|)dy
≤ sup |f|





2nε
n − 2
, n > 2
4ε(1 + |log 2ε|) , n = 2
Do đó, ω
ε
và D
i
ω
ε
hội tụ đều trong tập con compact của R
n
đến ω
và v tương ứng khi ε → 0. Do đó, ω ∈ C
1

(R
n
) và D
i
ω = v.
Bổ đề 1.2. Cho f là một hàm bị chặn và liên tục H¨older địa phương
(với số mũ α ≤ 1) trong Ω và cho ω là thế vị Newton của f. Khi đó
ω ∈ C
2
(Ω), ∆ω = f trong Ω và với mọi x ∈ Ω:
D
ij
ω(x) =

Ω
0
D
ij
Γ(x − y)(f(y) − f(x))dy (1.15)
10
−f(x)

∂Ω
0
D
i
Γ(x − y)ν
j
(y)dS
y

,
ở đây Ω
0
là miền bất kì chứa Ω, f được thác triển bằng 0 ngoài miền Ω,
D
ij
=
∂
2
∂x
i
∂x
j
.
Chứng minh. Từ đánh giá của công thức (1.13) cho D
2
Γ hàm f ∈ Ω liên
tục H¨older theo từng điểm, hàm
u(x) =

Ω
0
D
ij
Γ(f(y) − f(x))dy − d(x)

∂Ω
0
D
i

Γν
j
(y)dS
y
,
cho v = D
i
ω và xác định với ε > 0
v
ε
(x) =

Ω
D
i
Γn
ε
f(y)dy,
ở đây η
ε
là hàm được đưa ra Bổ đề trước. Rõ ràng, v
ε
∈ C
1
(Ω) , ta thu
được
D
j
v
ε

(x) =

Ω
D
j
(D
i
Γη
ε
)f(y)dy
=

Ω
D
j
(D
i
Γη
ε
)(f(y) − f(x))dy + f(x)

Ω
0
D
j
(D
i
Γη
ε
)dy

=

Ω
0
D
j
(D
i
Γη
ε
)(f(y) − f(x))dy − f(x)

∂Ω
0
D
i
Γν
j
(y)dS
y
,
với ε là nhỏ tùy ý. Do đó, phép trừ
|u(x) − D
j
v
ε
(x)| =






|x−y|≤2ε
D
i
{(1 − η
ε
)D
j
Γ}(f(y) − f(x))dy




≤ [f]
α;x

|x−y|≤2ε
(|D
ij
Γ| +
2
ε
|D
i
Γ|)|x − y|
α
dy
≤ (
n

α
+ 4)[f]
α;x
(2ε)
α
với 2ε < dist(x, ∂Ω). Do đó D
i
v
ε
hội tụ đều đến u trên tập con compact
của Ω khi ε → 0, và từ v
ε
hội tụ đều đến v = D
i
ω trong Ω, ta thu được
11
ω ∈ C
2
(Ω) và u = D
ij
ω. Hơn nữa, đặt Ω
0
= B
R
(x) trong (1.15), ta có
với R đủ lớn,
∆ω(x) =
1
nω
n

R
n−1
f(x)

|x−y|=R
ν
i
(y)ν
i
(y)dS
y
= f(x).
1.2.4 Tính giải được của bài toán Dirichlet
Định nghĩa 1.1. Cho Lu = f với c ≤ 0 trong miền bị chặn Ω. Cho
ϕ là một hàm bị chặn trên ∂Ω, liên tục tại x
0
∈ ∂Ω. Thì một dãy
hàm {w
+
i
(x)}, ({w
−
i
(x)}) trong C
0
(
¯
Ω) là một barrier trên (dưới) trong
Ω tương đối cho L, f và ϕ tại x
0

nếu:
i) w
+
i
(x) (w
−
i
(x)) là hàm trên (hàm dưới) trong Ω tương đối với ϕ
trong Ω
ii) w
+
i
→ ϕ (x
0
),(w
−
i
→ ϕ (x
0
)) khi i → ∞.
Nếu cả barrier trên và barrier dưới cùng tồn tại tại một điểm
thì nó sẽ barrier tại một điểm.
Định nghĩa 1.2. Xét điểm x
0
∈ Ω là chính quy tại x
0
∈ ∂Ω nếu tồn tại
một barrier tại điểm đó.
Định lí 1.1. Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson trong miền bị
chặn là giải được với giá trị biên liên tục tùy ý nếu và chỉ nếu mọi điểm

trên biên đều chính quy.
Định lí 1.2. Cho Ω là một miền bị chặn và giả sử mỗi điểm trên biên
∂Ω là chính quy. Nếu f chặn, liên tục H¨older địa phương trong Ω, bài
toán Dirichlet: ∆u = f trong Ω, u = ϕ trên biên ∂Ω, có nghiệm duy
nhất đối với hàm biên ϕ liên tục bất kì.
Chứng minh. Ta định nghĩa ω là thế vị Newton của f và đăt v = u − ω
thì bài toán ∆u = f trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω, có duy nhất nghiệm (theo
Định lí 1.1).
12
1.2.5 Đánh giá H¨older cho đạo hàm cấp hai
Bổ đề 1.3. Cho B
1
= B
R
(x
0
), B
2
= B
2R
(x
0
) là hai hình cầu đồng tâm
trong R
n
. Giả sử f ∈ C
α
(
¯
B

2
), 0 < α < 1 và ω là thế vị Newton của f
trong B
2
. Khi đó ω ∈ C
2,α
(
¯
B
1
) và


D
2
ω



0,α;B
1
≤ C|f|

0,α;B
2
(1.16)


D
2

ω


0;B
1
+ R
α

D
2
ω

α;B
1
≤ C(|f|
0;B
2
+ R
α
[f]
α;B
2
),
ở đây C = C(n, α), và f

được định nghĩa bởi (1.8)
Chứng minh. Với bất kì x ∈ B
1
, từ công thức (1.15) ta có:
D

ij
ω(x) =

B
2
D
ij
Γ(x−y)(f(y)−f(x))dy−f(x)

∂B
2
D
i
Γ(x−y)ν
j
(y)dS
y
do đó bằng (1.13)
|D
ij
ω(x)| ≤
|f(x)|
nω
n
R
1−n

∂B
2
dS

y
+
[f]
α;x
ω
n

B
2
|x − y|
α−n
dy (1.17)
≤ 2
n−1
|f(x)| +
n
α
(3R)
α
[f]
α;x
≤ C
1
(|f(x)| + R
α
[f]
α;x
),
ở đây C
1

= C
1
(n, α).
Tiếp theo cho bất kì điểm ¯x ∈ B
1
, từ công thức (1.15) ta có:
D
ij
ω(¯x) =

B
2
D
ij
Γ(¯x − y)(f(y) − f(¯x))dy
−f(¯x)

∂B
2
D
i
Γ(¯x − y)ν
j
(y)dS
y
.
Đặt δ = |x − ¯x|, ξ =
1
2
(x + ¯x), chúng ta thu được kết quả từ phép

trừ
D
ij
ω (¯x) − D
ij
ω (x) = f (x) I
1
+ (f (x) − f (¯x)) I
2
+ I
3
+ I
4
13
+ (f (x) − f (¯x)) I
5
+ I
6
,
ở đây các tích phân I
1
, I
2
,I
3
, I
4
, I
5
, I

6
được cho bởi,
I
1
=

∂B
2
(D
i
Γ(x − y) − D
i
Γ(¯x − y)ν
j
(y)) dS
y
I
2
=

∂B
2
D
i
Γ (¯x − y) ν
j
(y)dS
y
I
3

=

B
δ
(ξ)
D
ij
Γ(x − y)(f(x) − f(y))dy
I
4
=

B
δ
(ξ)
D
ij
Γ (¯x − y) (f(y) − f(¯x)) dy
I
5
=

B
2
−B
δ
(ξ)
D
ij
Γ (x − y) dy

I
6
=

B
2
−B
δ
(ξ)
(D
ij
Γ (x − y) − D
ij
Γ (¯x − y))(f(¯x) − f(y)))dy.
Có thể đánh giá các tích phân như sau:
|I
1
| ≤ |x − ¯x|

∂B
2
|DD
i
Γ(ˆx − y)| dS
y
cho ˆx nằm giữa x và ¯x,
≤
n
2
2

n−1
|x − ¯x|
R
, do |ˆx − y| ≥ R với y ∈ ∂B
2
,
≤ n
2
2
n−α

δ
R

α
, do δ = |x − ¯x| < 2R,
|I
2
| ≤
1
nω
n
R
1−n

∂B
2
dS
y
= 2

n−1
|I
3
| ≤

B
δ
(ξ)
|D
ij
Γ(x − y)| |f(x) − f(y)| dy
≤
1
ω
n
[f]
α;x

B
3δ/2
(x)
|x − y|
α−n
dy =
n
α

3δ
2


α
[f]
α;x
.
|I
4
| ≤
n
α
(
3δ
2
)
α
[f]
α;x
, như trong đánh giá I
3
.
Lấy tích phân từng phần
|I
5
| =





∂(B
2

−B
δ
(ξ))
D
i
Γ(x − y)ν
j
(y)dS
y




≤





∂B
2
D
i
Γ(x − y)ν
j
(y)dS
y





+





∂B
δ
(ξ)
D
i
Γ(x − y)ν
j
(y)dS
y




14
≤ 2
n−1
+
1
nω
n

δ
2


1−n

∂B
δ
(ξ)
dS
y
= 2
n
.
|I
6
| ≤ |x − ¯x|

B
2
−B
δ
(ξ)
|DD
ij
Γ (ˆx − y)| |f(¯x − f(y))| dy,
cho ˆx nằm giữa x và ¯x,
≤ cδ

|y−ξ|≥δ
|f(¯x) − f(y)|
|ˆx − y|
n+1

dy, c = n(n + 5)/ω
n
≤ cδ[f]
α;x

|y−ξ|≥δ
|¯x − y|
α
|ˆx − y|
n+1
dy
≤ c

3
2

α
2
n+1
δ[f]
α;x

|x−y|≥δ
|ξ − y|
α−n−1
dy
do |¯x − y| ≤
3
2
|ξ − y| ≤ 3 |ˆx − y|

≤
c

1 − α
2
n+1
(
3
2
)
α
δ[f]
x;α
, c

= n
2
(n + 5).
Kết hợp lại ta có:
|D
ij
ω (¯x) − D
ij
ω (x)| ≤ C
2

R
−α
|f(x)| + [f]
α;x

+ [f]
α;¯x

|x − ¯x|
α
(1.18)
C
2
= C
2
(n, α). Đánh giá đó có được bằng kết hợp (1.17) và (1.18).
Nhận xét 1.3. Nếu Ω
1
, Ω
2
là miền sao cho Ω
1
⊂ B
1
, B
2
⊂ Ω
2
, và
f ∈ C
α

¯
Ω
2


, ω là thế vị Newton của f trên Ω
2
thì Bổ đề 1.3 vẫn đúng
với Ω
1
, Ω
2
thay thế B
1
, B
2
tương ứng trong (1.16) là :


D
2
ω



0,α;Ω
1
≤ C|f|

0,α;Ω
2
Từ Bổ đề này sẽ có những đánh giá H ¨older cho nghiệm của
phương trình Poisson.
Bổ đề 1.4. Giả sử u ∈ C

2
0
(R
n
), f ∈ C
α
0
(R
n
) thỏa mãn phương trình
Poisson ∆u = f trong R
n
. Khi đó u ∈ C
2,α
0
(R
n
) nếu B = B
R
(x
0
) là một
hình cầu chứa giá của u ta có:


D
2
u




0,α;B
≤ C|f|

0,α;B
; C = C(n, α) (1.19)
|u|

1;B
≤ CR
2
|f|
0;B
; C = C(n).
15
Định lí 1.4. Cho Ω là một miền trong R
n
và u ∈ C
2
(Ω), f ∈ C
α
(Ω)
thỏa mãn phương trình Poisson ∆u = f trong Ω. Khi đó u ∈ C
2,α
(Ω) và
với bất kì hai hình cầu đồng tâm B
1
= B
R
(x

0
), B
2
= B
2R
(x
0
)⊂⊂ Ω, ta
có :
|u|

2,α;B
1
≤ C(|u|
0;B
2
+ R
2
|f|

0,α;B
2
), (1.20)
ở đây C = C(n, α).
Chứng minh. Từ biểu diễn của công thức Green hoặc Bổ đề 1.2 ta có
thể viết cho x ∈ B
2
, u(x) = v(x) + ω(x), ở đây v là hàm điều hòa trong
B
2

và ω là thế vị Newton của f trong B
2
. Từ Bổ đề 1.1 và 1.3, ta có
R|Dω|
0;B
1
+ R
2


D
2
ω



0,α;B
1
≤ CR
2
|f|

0,α;B
2
R|Dv|
0;B
1
+R
2



D
2
v



0,α;B
1
≤ C|v|
0;B
2
≤ C(|u|
0;B
2
+R
2
|f|
0;B
2
).
Bất đẳng thức cuối cùng suy ra trực tiếp từ v = u − ω khi n > 2.
Khi n = 2 đặt u(x
1
, x
2
, x
3
) = u(x
1

, x
2
) ta có thể xét u là nghiệm
của phương trình Poisson trong một hình cầu trong R
3
và bất đẳng thức
thực hiện theo cùng một cách. Đánh giá cho u thu được bằng cách kết
hợp các bất đẳng thức.
Hệ quả 1.1. Bất kì dãy nghiệm bị chặn của phương trình Poisson ∆u =
f trong miền Ω với f ∈ C
α
(Ω) chứa một dãy con hội tụ đều trên mọi
miền con compact đến một nghiệm nào đó của phương trình này.
Cho x, y ∈ Ω mà có thể phù hợp với bất kì tập con mở của
R
n
, đặt d
x
= dist(x, ∂Ω) , d
x,y
= min(d
x
, d
y
). Ta định nghĩa cho u ∈
C
k
(Ω), C
k,α
(Ω),

[u]
∗
k,0;Ω
= |u|
∗
k;Ω
= sup
x∈Ω,|β|=k
d
k
x


D
β
u(x)


, (k = 0, 1, 2 )
16
|u|
∗
k;Ω
= |u|
∗
k,0;Ω
=
k

j=0

[u]
∗
j;Ω
;
[u]
∗
k,α;Ω
= sup
x,y∈Ω,|β|=k
d
k+α
x,y


D
β
u(x) − D
β
u(y)


|x − y|
α
, (0 < α ≤ 1) (1.21)
|u|
∗
k,α;Ω
= |u|
∗
k;Ω

+ [u]
∗
k,α;Ω
.
Trong kí hiệu này
[u]
∗
0;Ω
= |u|
∗
0;Ω
= |u|
0;Ω
.
Ta chú ý rằng |u|
∗
k;Ω
và |u|
∗
k,α;Ω
là các chuẩn tương ứng trên các
không gian con C
k
(Ω) và C
k;α
(Ω) mà chúng là hữu hạn. Nếu Ω là bị
chặn và d = diam Ω thì rõ ràng chuẩn bên trong miền và chuẩn trên
toàn miền là có liên quan
|u|
∗

k,α;Ω
≤ max

1, d
k+α

|u|
k,α;Ω
. (1.22)
Nếu Ω

⊂⊂ Ω và σ = dist

Ω

, ∂Ω

, khi đó
min

1, σ
k+α

|u|
k,α;Ω

≤ |u|
∗
k,α;Ω
. (1.23)

Định lí 1.5. Cho u ∈ C
2
(Ω), f ∈ C
α
(Ω) thỏa mãn ∆u = f trong tập
mở Ω của R
n
. Khi đó
|u|
∗
2,α;Ω
≤ C(|u|
0;Ω
+ |f|
2
0,α;Ω
) (1.24)
Ở đây C = C(n, α).
Chứng minh. Nếu hoặc |u|
0;Ω
hoặc |f|
(2)
0,α;Ω
là vô hạn, đánh giá (1.24) là
tầm thường. Cách khác cho x ∈ Ω, R =
1
3
d
x
, B

1
= B
R
(x), B
2
= B
2R
(x)
ta có đạo hàm cấp một Du và đạo hàm cấp hai D
2
u
d
x
|Du(x)| + d
2
x


D
2
u(x)


≤ (3R)|Du|
0;B
1
+ (3R)
2



D
2
u


0;B
1
≤ C(|u|
0;B
2
+ R
2
|f|

0,α;B
2
)
17
≤ C(|u|
0;Ω
+ |f|
2
0,α;Ω
)(do (1.19)).
Do đó ta thu được
[u]
∗
2;Ω
≤ C


|u|
0;Ω
+ |f|
(2)
0,α;Ω

. (1.25)
Đánh giá [u]
∗
2;α;Ω
ta cho x, y ∈ Ω với d
x
≤ d
y
. Khi đó
d
2+α
x,y


D
2
u(x) − D
2
u(y)


|x − y|
α
≤ (3R)

2+α

D
2
u

α;B
1
+3
α
(3R)
2



D
2
u(x)


+


D
2
u(y)



≤ C


|u|
0;B
2
+ R
2
|f|

0,α;B
2

+ 6[u]
∗
2;Ω
≤ C

|u|
0;Ω
+ |f|
(2)
0,α;B
2

( do (1.24)).
Định lí 1.6. Cho B là một hình cầu trong R
n
và f là một hàm trong
C
α
(B) với sup

x∈B
d
2−β
x
|f(x)| ≤ N < ∞, 0 < β < 1. Khi đó tồn tại duy
nhất một hàm u ∈ C
2
(B) ∩ C
o
(
¯
B) thỏa mãn phương trình ∆u = f trong
B, u = 0 trên ∂B. Hơn thế, u thỏa mãn đánh giá
sup
x∈B
d
−β
x
|u(x)| ≤ CN, (1.26)
ở đây hằng số C chỉ phụ thuộc vào β.
Chứng minh. Đánh giá (1.26) theo một cách đơn giản đối số barrier. Do
đó, cho B = B
R
(x
0
), r = |x − x
0
| và đặt
ω(x) =


R
2
− r
2

β
.
Bằng cách tính toán trực tiếp, ta có với r < R
∆ω(x) = −2β(R
2
− r
2
)
β−2

n(R
2
− r
2
) + 2 (1 − β) r
2

≤ −4β(1 − β)R
2
(R
2
− r
2
)
β−2

≤ −β(1 − β)R
β
(R − r)
β−2
.
18
Bây giờ giả sử rằng ∆u = f trong B, u = 0 trên ∂B. Do d
x
= R −r,
từ giả thiết ta có
|f(x)| ≤ Nd
β−2
x
= N(R − r)
β−2
≤ −C
0
N∆ω
ở đây C
0
=

β(1 − β)R
β

−1
,sao cho
∆(C
0
Nω + u) ≤ 0 trên B và C

0
Nω + u = 0 trên ∂B
∆(C
0
Nω − u) ≤ 0 trên B và C
0
Nω − u = 0 trên ∂B.
Do vậy, theo nguyên lí cực đại
|u(x)| ≤ C
0
Nω(x) ≤ CNd
β
x
(1.27)
với x ∈ B, hằng số C = 2/β(1 − β).
Cuối cùng cho thấy sự tồn tại của u, ta có
f
m
=












m , f ≥ m
f , |f| ≤ m
−m , f ≤ −m
và cho dãy {B
k
} là tâm các hình cầu B sao cho |f| ≤ k trong B
k
. Ta xác
định u
m
do ∆u
m
= f
m
trong B, u
m
= 0 trên ∂B.
Từ (1.26) ta có
sup
x∈B
d
−β
x
|u
m
(x)| ≤ C sup
x∈B
d
2−β
x

|f
m
(x)| ≤ CN
do đó dãy {u
m
} là đều bị chặn và ∆u
m
= f trong B
k
, với m ≥ k. Do đó
từ Hệ quả 1.1, áp dụng tiếp cho dãy các hình cầu B
k
, một dãy con của
{u
m
} hội tụ trong B đến u ∈ C
2
(B) thỏa mãn ∆u = f trong B. Thì khi
đó, |u(x)| ≤ CNd
β
x
và do đó u = 0 trên ∂B.
1.2.6 Tính chất liên tục H¨older của nghiệm trên biên
Ta đưa ra một số kí hiệu sau:
19
R
n
+
kí hiệu nửa mặt phẳng x
n

> 0
T : là siêu phẳng x
n
= 0
B
2
= B
2R
(x
0
), B
1
= B
R
(x
0
) là hai hình cầu đồng tâm x
0
∈
¯
R
n
B
+
2
= B
2
∩ R
n
+

, B
+
1
= B
1
∩ R
n
+
.
Bổ đề 1.5. Cho f ∈ C
α
(
¯
B
+
2
), ω là thế vị Newton của f trong B
+
2
thì
ω ∈ C
2,α
(
¯
B
+
1
) và



D
2
ω



0,α;B
+
1
≤ C|f|

0,α;B
+
1
(1.28)
C = C(n, α).
Chứng minh. Ta giả sử rằng B
2
giao với T vì nếu không kết quả đã có
trong Bổ đề 1.3. Phép biểu diễn (1.15) cố định với D
ij
ω với Ω
0
= B
+
2
.
Nếu hoặc i hoặc j = n, khi đó một phần biên tách rời

∂B

+
2
D
i
Γ(x − y)ν
j
(y)dS
y

=

∂B
+
2
D
i
Γ(x − y)ν
i
(y)dS
y

trên T triệt tiêu kể từ khi ν
i
hoăc ν
j
= 0. Đánh giá trong Bổ đề 1.3 cho
D
ij
ω (i hoặc j = n) khi đó tiến hành đúng như trước với B
2

thay thế
cho B
+
2
, B
δ
(ξ) thay thế cho B
δ
(ξ) ∩ B
+
2
và ∂B
2
thay thế ∂B
+
2
\T . Cuối
cùng, D
mn
ω có thể đánh giá từ phương trình ∆ω = f và đánh giá trên
D
kk
ω với k = 1, 2, , n − 1.
Định lí 1.7. Cho u ∈ C
2
(B
+
2
) ∩ C
0

(
¯
B
+
2
), f ∈ C
α
(
¯
B
+
2
) thỏa mãn ∆u = f
trong B
+
2
, u = 0 trên T . Khi đó u ∈ C
2,α
(
¯
B
+
1
) và có
|u|

2,α;B
+
1
≤ C(|u|

0;B
+
2
+ R
2
|f|

0,α;B
+
2
). (1.29)
Nhận xét 1.8. Nếu ngoài các điều kiện của Định lí 1.6 có thêm điều
kiện u có giá compact trong B
+
2
∪ T , ta thu được công thức


D
2
ω



0,α;B
+
1
≤ C|f|

0,α;B

+
2
20
Một số đánh giá đơn giản (mở rộng công thức (1.19))


D
2
u



0,α;B
+
2
≤ C|f|

0,α;B
+
2
. (1.30)
Trong trường hợp này chúng ta có công thức biểu diễn sau
u(x) = ω(x) =

B
+
2
[Γ(x − y) − Γ(x
∗
− y)] f(y)dy (1.31)

Cho Ω là một tập con mở của R
n
+
, với một phần biên mở T, x
n
= 0.
Với x, y ∈ Ω ta đặt
¯
d
x
= dist(x, ∂Ω\T ),
¯
d
x,y
= min(
¯
d
x
,
¯
d
y
).
Ta định nghĩa các đại lượng dưới đây
[u]
∗
k,0;Ω∪T
= [u]
∗
k;Ω∪T

= sup
x∈Ω,|β|=k
¯
d
k
x


D
β
u(x)


, (k = 0, 1, 2 )
|u|
∗
k;Ω∪T
= |u|
∗
k,0;Ω∪T
=
k

j=0
[u]
∗
j;Ω∪T
[u]
∗
k,α;Ω∪T

= sup
x,y∈Ω,|β|=k
¯
d
k+α
x,y


D
β
u(x) − D
β
u(y)


|x − y|
α
, (0 < α ≤ 1) (1.32)
|u|
∗
k,α;Ω∪T
= |u|
∗
k;Ω∪T
+ [u]
∗
k,α;Ω∪T
.
|u|
(k)

0,α;Ω∪T
= sup
x∈Ω
¯
d
k
x
|u(x)| + sup
x,y∈Ω
¯
d
k+α
x,y
|f(x) − f(y)|
|x − y|
α
.
Định lí 1.9. Cho Ω là một tập mở trong R
n
+
với một phần biên T trên
x
n
= 0 và cho u ∈ C
2
(Ω) ∩ C
o
(Ω ∪ T ), f ∈ C
α
(Ω ∪ T ) thỏa mãn ∆u = f

trong Ω, u = 0 trên T . Khi đó
|u|
∗
2,α;Ω∪T
≤ C(|u|
0;Ω
+ |f|
(2)
0,α;Ω∪T
) (1.33)
C = C(n, α).
Định lí 1.10. Cho B là hình cầu trong R
n
, u và f là các hàm trên
¯
B
thỏa mãn u ∈ C
2
(B) ∩ C
0
(
¯
B), f ∈ C
α
(
¯
B), ∆u = f trong B, u = 0 trên
∂B. Khi đó u ∈ C
2,α
(

¯
B).