Một số vấn đề về lý thuyết nội suy

Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

1
LỜI CẢM ƠN

Một lời cảm ơn không thể nói lên được hết lòng biết ơn to lớn của tôi, nhưng
tôi vẫn xin dành những lời đầu tiên trong bài luận văn nhỏ của mình để được bày
tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của tôi tới các thầy cô giáo, những người
đã dìu dắt, dạy dỗ tôi trong suốt thời gian qua.
Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Vă
n Khải đã tận tình hướng
dẫn, chỉ bảo, hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi học tập
nghiên cứu, giúp đỡ đóng góp ý kiến để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn.

Học viên


Nguyễn Thị Thảo Nguyên

Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

2
LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản thân
cùng sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Khải, các thầy, cô giáo trong
hội đồng bảo vệ và sự đóng góp của các bạn trong nhóm.
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã kế thừa thành quả của các nhà khoa học
với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằ
ng số liệu, kết quả nghiên cứu
trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Học viên


Nguyễn Thị Thảo Nguyên

Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

3
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa

Lời cảm ơn
1
Lời cam đoan
2
Mục lục
3
Mở đầu
5
Nội dung

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số vấn đề về đại số tuyến tính
7
1.2 Một số vấn đề về phân loại hàm số thực
14
1.3 Một số vấn đề

về hàm số biến số phức
24
Chương 2 Một số vấn đề về lý thuyết nội suy

2.1 Lý thuyết nội suy cổ điển
29
2.2 Một số bài toán tương tự và mở rộng của bài toán nội suy
38
Chương 3 Lý thuyết phần dư

3.1 Phần dư Cauchy đối với đa thức nội suy
49
3.2 Hàm lồi
52
3.3 Chọn mốc nội suy tối ưu
53
3.4 Tỷ sai phân và giá trị trung bình
58
3.5 Nội suy tại các điểm trùng nhau
59
3.6 Phần dư của đa thức nội suy
59
Chương 4 Sự hội tụ của quá trình nội suy

4.1 Sơ đồ tam giác nội suy
62
4.2 Định lí hội tụ với sơ đồ tam giác bị chặn
64

Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

4
4.3 Đồ thị và nội suy
67
Chương 5 Một số ứng dụng của đa thức nội suy trong toán sơ cấp

5.1 Sử dụng đa thức nội suy Taylor để xác định đa thức
70
5.2 Sử dụng đa thức nội suy Lagrange
70
5.3 Sử dụng đa thức nội suy Newton
105
5.4 Sử dụng đa thức nội suy Hermite để xác định đa thức
109
5.5 Một số bài t
ập
111
KẾT LUẬN
114
TÀI LIỆU THAM KHẢO
115

Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết nội suy – một lý thuyết toán học có lịch sử phát triển lâu dài gắn
liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới như Lagrange,
Newton, Chebyshev…
Lý thuyết nội suy còn là cơ sở cho nhiều lý thuyết toán học khác nhau, chẳng
hạn trong việc giải gần đúng phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm
riêng nhờ sai phân…
Bài toán cơ bản của lý thuyế
t nội suy là dựng một hàm đơn giản xấp xỉ một
hàm cho trước được cho bằng bảng hoặc là có công thức giải tích phức tạp. Từ
đó ta có thể tính gần đúng đạo hàm, gần đúng tích phân hay giải gần đúng một số
bài toán về phương trình đã nêu.
Về cơ bản bài toán nội suy cổ điển đã được sử dụng sớm bởi Newton vào
năm 1686, được Lagrange s

ử dụng, đề xuất lại năm 1795 và ước lượng sai số cổ
điển (định lí 3.11) được Cauchy thiết lập năm 1840.
Phần ứng dụng của lý thuyết nội suy rất đa dạng, nhưng trong luận văn này
tập trung quan tâm tới những ứng dụng trong toán sơ cấp và đây cũng là đóng
góp chủ yếu của luận văn.
Chính vì các lí do đó tôi đã chọn nghiên cứu đề
tài “Một số vấn đề về lý
thuyết nội suy” nhằm cung cấp một tài liệu cơ bản về các vấn đề liên quan đến
nội suy và ứng dụng của nó trong toán sơ cấp.
2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của lý thuyết nội suy.
- Nêu một số ứng dụng của lý thuyết nội suy đặc biệt là trong toán sơ c
ấp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu


Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

6
- Nghiên cứu về một số bài toán nội suy, một số công thức cơ bản của nội suy.
- Nghiên cứu lý thuyết phần dư cũng như sự hội tụ của quá trình nội suy.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của lý thuyết nội suy.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết nội suy và các vấn đề liên quan.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu chính là các phương pháp của giải tích toán h
ọc.
6. Đóng góp của luận văn
- Hệ thống lại một số vấn đề cơ bản của lý thuyết nội suy.

- Ứng dụng để giải một số bài toán sơ cấp bằng phương pháp nội suy.

















Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

7
Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Một số vấn đề về đại số tuyến tính
1.1.1 Định thức
Cho ma trận vuông
(
)
ij ij
,

nn
A
aa
×
=∈
R, ta gọi định thức của ma trận
A
là một
phần tử thuộc
R, kí hiệu là det
A
cho bởi

(
)
() ( ) ( )
11 2 2
det sgn . .
n
nn
S
A
aa a
σσ σ
σ
σ
∈
=
∑
. (1.1.1)

Khi đó det
A
được gọi là định thức cấp n và còn được kí hiệu là
A
hay

11 12 1
21 22 2
12




n
n
nn nn
aa a
aa a
aa a
(1.1.2)
Trong đó
n
S là tập tất cả các phép thế bậc n và
(
)
sgn
σ
là dấu của phép thế
(
(

)
sgn
σ
nhận giá trị là 1 nếu
σ
là phép thế chẵn,
(
)
sgn
σ
nhận giá trị là -1 nếu
σ
là phép thế lẻ).
* Các tính chất của định thức
a, Tính bất biến
'''
11 12 1 1 1
'''
21 22 2 2 2
'''
12
'''
11 12 1 1 11 12 1 1
'
21 22 2 2 21 22
'
12

jj n
jj n
n n nj nj nn
j
njn
jn
nn nj nn
aa aa a
aa aa a
aa aa a
aa a a aa a a
aa a a aa a
aa a a
+
+
+
=+
''
22
''
12

.

j
n
n n nj nn
a
aa a a

b, Tính thuần nhất


Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

8
11 12 1 1 11 12 1 1
21 22 2 2 21 22 2 2
12 12




j
njn
j
njn
n n nj nn n n nj nn
aa ka a aa a a
aa ka a aa a a
k
aa ka a aa a a
=

(Với k là hằng số).
c, Định thức của ma trận đơn vị bằng 1
10 0
01 0
det 1

00 1
n
E
=
= .
d, Trong định thức nếu đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) cho nhau thì định thức
đổi dấu.
e, Nếu định thức có hai dòng (hoặc hai cột) giống nhau thì định thức đó bằng 0.
f,
Định thức không thay đổi nếu nhân một cột hoặc một dòng của định thức với
một vô hướng rồi cộng vào cột hoặc dòng khác của nó.
g, Hai ma trận chuyển vị của nhau thì có định thức bằng nhau.
h, Từ ma trận
A
xóa đi dòng thứ i và cột thứ
j
của ma trận
A
ta nhận được ma
ij
A
là ma trận con của ma trận
A
. Kí hiệu

(
)
(
)
*
ij ij
1;1,
ij
A
Aijn
+
=
−≤≤ là phần
bù đại số của phần tử
ij
a trong ma trận
A
thì khi đó định thức có thể được tính
theo phần bù như sau.
*
ij ij
1
*
ij ij
1
.
n
i
n
j

AaA
aA
=
=
=
=
∑
∑

1.1.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính



Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

9
Cho hệ phương trình tuyến tính n ẩn
12
, , ,
n
x
xx

ij
1
1,
n
j
i

j
ax b
in
=
⎧
=
⎪
⎨
⎪
=
⎩
∑
(1.1.3)
Trong đó các
ij
;
i
ab là các phần tử cho trước thuộc trường số thực R,
ij
a được
gọi là các hệ số của ẩn,
i
b là các hệ số tự do, ma trận
(
)
ij
nn
Aa
×
= là ma trận các

hệ số.
Định lí 1.1.1 (Qui tắc Cramer). Nếu
ij
0Aa
=
≠ thì hệ phương trình tuyến tính
có một nghiệm duy nhất được cho bởi

det
det
1,
j
j
A
x
A
jn
⎧
=
⎪
⎨
⎪
=
⎩
(1.1.4)
Trong đó
j
A
là ma trận nhận được từ
A

bằng cách thay cột thứ
j
của
A

bằng cột hệ số tự do
(
)
;1,
i
bi n= .
Định lí 1.1.2 (Định lí loại trừ). Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

ij
1
0
1,
n
j
j
ax
in
=
⎧
=
⎪
⎨
⎪
=
⎩

∑
(1.1.5)
Hệ (1.1.5) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi
0A = .
1.1.3 Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập khác rỗng, trên X có hai phép toán cộng và
nhân như sau :
Phép cộng ,
x
yX∀∈ ta có
x
yX
+
∈ .


Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

10
Phép nhân vô hướng ,
x
X
α
∀∈ ∈ R ta có
x
X
α
∈
. Khi đó X cùng với hai phép

toán này được gọi là không gian vectơ trên trường số thực
R nếu nó thỏa mãn
các tiên đề sau:
a, ,
x
yX∀∈ ta có
x
yyx+=+ ;
b, , ,
x
yz X∀∈ ta có
(
)
(
)
x
yz xy z++=++ ;
c, Tồn tại duy nhất 0 : 0 0
Xx x xx X∈+=+=∀∈ ;
d, Với mỗi
x
X∈ , tồn tại duy nhất
(
)
(
)
(
)
:0xXx x xx
−

∈+−=−+= ;
e,
,
α
β
∀∈R,
x
X∀∈ ta có
(
)
(
)
x
x
α
βαβ
=
;
f,
(
)
xy x y
α
ααα
+= +∀∈R ,
x
yX
∀
∈ ;
g,

,
α
β
∀∈
R
,
x
X∀∈
ta có
(
)
x
xy
α
βαβ
+
=+;
h,1.
x
xx X=∀∈ .
Chú ý Người ta cũng thường dùng thuật ngữ không gian tuyến tính thay cho
thuật ngữ không gian vectơ.
Định nghĩa 1.1.2
a, Tổ hợp tuyến tính của các vectơ
12
, , ,
n
x
xxX
∈

là biểu thức có dạng
11 2 2

nn
x
xx
α
αα
+++
với
i
α
∈
R
,
i
x
X
∈
.
b, Cho vectơ X
x
∈ , nếu
11 2 2

nn
x
xx x
α
αα

=
+++
với
i
α
∈
R
,
i
x
X∈
thì ta nói
vectơ
x
biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ
12
, , ,
n
x
xx và đẳng thức
11 2 2

nn
x
xx x
α
αα
=+ ++ được gọi là một biểu thị tuyến tính của
x
qua các

vectơ
12
, , ,
n
x
xx.
Định nghĩa 1.1.3 Cho n vectơ
12
, , ,
n
x
xx
của không gian vectơ X trên trường
số thực
R.


Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

11
Hệ các vectơ
12
, , ,
n
x
xx được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức
11 2 2
0
nn

xx x
α
αα
+++=
chỉ xảy ra khi
12
0
n
α
αα
=
== =
.
Ngược lại hệ các vectơ
12
, , ,
n
x
xx được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn
tại
12
, , ,
n
α
αα
∈
R không đồng thời bằng 0 sao cho
11 2 2
0
nn

xx x
α
αα
+
++ =
.
Định nghĩa 1.1.4
a, Một hệ vectơ của
X được gọi là một hệ sinh của X nếu mọi vectơ của X
đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
b, Nếu
X có một hệ sinh hữu hạn thì X được gọi là một không gian hữu hạn
sinh.
c, Một hệ sinh độc lập tuyến tính trong không gian vectơ
X thì được gọi là một
cơ sở của
X .
Định nghĩa 1.1.5 Số vectơ trong mỗi cơ sở của không gian vectơ hữu hạn sinh
X được gọi là số chiều của X . Nếu X không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần
tử thì
X được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều.
1.1.4 Đa thức
Định nghĩa 1.1.6 Đa thức biến z là hàm có dạng

(
)
1
01

nn

nn
Pz az az a
−
=+ ++ (1.1.6)
Trong đó
(
)
0,
i
ai n=∈R,
0
0a
≠
.Hệ số
0
a được gọi là hệ số cao nhất, n gọi
là bậc của đa thức và được kí hiệu là
(
)
deg Pz n
=
. Phần tử 0 được xem như đa
thức có tất cả các hệ số bằng 0 và được gọi là đa thức không. Ta qui ước bậc của
đa thức không là 0. Tập hợp tất cả các đa thức có bậc
n
≤
được kí hiệu là P
n
.
Định lí 1.1.3

(Định lí cơ bản của số học) Mọi đa thức bậc 1n ≥ luôn có nghiệm
phức.


Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

12
Định lí 1.1.4 (Định lí nhân tử hóa).
Nếu
(
)
n
Pz là đa thức bậc n thì tồn tại n số phức
12
, , ,
n
zz z sao cho
(
)
(
)
(
)
(
)
1
01 01 2 0
, 0
nn

nn n
Pz az az a azz zz zz a
−
=+ ++=− − − ≠.
Nếu đa thức có
r
nghiệm phân biệt
12
, , ,
r
zz z thì có tương ứng các số nguyên
dương
12
, , ,
r
α
αα
thỏa mãn
12

r
n
α
αα
+
++ = sao cho

(
)
(

)
(
)
(
)
12
01 2

r
nr
Pz a z z z z z z
α
αα
=− − − (1.1.7)
(1.1.7) được gọi là khai triển chuẩn tắc của
(
)
Px, các số tự nhiên
12
, , ,
r
α
αα

gọi là bội tương ứng của các nghiệm
12
, , ,
r
zz z.
z

là nghiệm bội
α
của đa thức
(
)
n
Pz khi và chỉ khi

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
'
0, 0
ii
ni ni n i n i
Pz Pz P z P z
αα
−
=== = ≠. (1.1.8)
1.1.5 Phiếm hàm tuyến tính và không gian đại số liên hợp

Định nghĩa 1.1.7
Cho hai không gian vectơ ,XY trên trường số thực R. Ánh xạ
:
f
XY→ được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu
f
thỏa mãn các điều kiện sau.
a, , X
x
y∀∈ ta có
(
)
(
)
(
)
f
xy fx fy+= + . (1.1.9)
b,
,
x
X
α
∀∈ ∀ ∈R ta có
(
)
(
)
x
f

fx
α
α
=
.
Định nghĩa 1.1.8 Ánh xạ tuyến tính
f
từ không gian tuyến tính
X
vào tập số
thực
R được gọi là phiếm hàm tuyến tính trên X .
Định nghĩa 1.1.9
Cho X là không gian tuyến tính và
12
,
f
f là hai phiếm hàm
tuyến tính xác định trên X . Tổng của
12
,
f
f và tích vô hướng của
α
với
1
f
xác
định bởi
(

)
(
)
(
)
(
)
()() ()
12 1 2
11
,,X.
,,X.
af f x fx fx x
bfx fxx
αα
+=+∀∈
=∀∈
(1.1.10)


Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

13
Định nghĩa 1.1.10 Cho
X
là không gian tuyến tính, tập các phiếm hàm tuyến
tính xác định trên X được gọi là không gian đại số liên hợp của X và được kí
hiệu là
*

X .
Định lí 1.1.5
Nếu X là n chiều thì
*
X cũng là n chiều.
Chứng minh
Giả sử
12
,,
n
x
xx là một cơ sở của
X
. Đặt :
i
fX→R là phiếm hàm tuyến tính
xác định bởi
()
ij
1
0
ij
ij
fx
ij
δ
=
⎧
==
⎨

≠
⎩

Vậy ta có hệ
*
12
, , ,
n
f
ffX∈ .
Ta sẽ chứng minh hệ
12
, , ,
n
f
ff là độc lập tuyến tính trong
*
X
.
Thật vậy, giả sử phản chứng hệ
12
, , ,
n
f
ff là phụ thuộc tuyến tính khi đó tồn tại
hệ n số thực
i
β
không đồng thời bằng 0 để

11 2 2
0
nn
ff f
β
ββ
+
++ = (1.1.11)
Giả sử
0
i là chỉ số thỏa mãn
0
0
i
β
≠
, khi đó tác động hai vế của (1.1.11) lên
0
i
x
thì
có
(
)
(
)
(
)
()
00

00 0
00
11 2 2
0 0
.0
.1 0 0
nn i i
ii i
ii
ff fx x
fx
ββ β
β
ββ
+++ = =
⇔=
⇔=⇔=

Trái với điều kiện
0
0
i
β
≠ .
Vậy hệ
12
, , ,
n
f
ff là độc lập tuyến tính trong

*
X .
Giả sử ta có 1n + phiếm hàm
12 1
, , ,
n
f
ff
+
. Xét hệ
(
)
1n
+
phần tử trong R
n



Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

14

(
)
(
)
(
)

12
, , , 1, 1
ii in
f
xfx fx i n
⎡⎤
=
+
⎣⎦
(1.1.12)
Vì dim
R
n
n= cho nên hệ (1.1.12) là phụ thuộc tuyến tính, do đó tồn tại các số
11
, ,
n
α
α
+
không đồng thời bằng không sao cho
(
)
(
)
(
)
(
)
[]

111 1 1 11 1
, , , , 0 0,0, ,0
nnn nn
fx fx f x f x
αα
++ +
⎡⎤⎡ ⎤
++ ==
⎣⎦⎣ ⎦
.
Vì vậy
(
)
(
)
(
)
11 2 2 1 1
0 1,
nn i
f
ffxin
αα α
++
+++ ==.
Bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính ta được :
(
)
(
)

11 2 2 1 1
0
nn
f
ffxxX
α
αα
++
+++ =∀∈
12 1
, , ,
n
f
ff
+
⇒ là hệ phụ thuộc tuyến tính.
Vậy chiều của
*
X
là n (điều phải chứng minh).
Định lí trên cho ta thấy rằng trên một không gian tuyến tính n chiều X , mọi
phiếm hàm tuyến tính đều có thể biểu diễn được như một tổ hợp tuyến tính của
n phiếm hàm độc lập tuyến tính cố định.
1.2 Một số vấn đề về phân loại hàm số thực
Trong mục này luôn qui ước hàm
f
xác định trên tập con D của R và lấy giá trị
trong
R.
1.2.1 Hàm bị chặn

Định nghĩa 1.2.1 Hàm
f
được gọi là bị chặn trên đoạn
[
]
,ab nếu tồn tại hằng số
M
sao cho

(
)
[
]
,
f
xMxab≤∀∈ (1.2.1)
Nếu không tồn tại hằng số thỏa mãn điều kiện (1.2.1) thì hàm số được gọi là
không bị chặn trên đoạn
[]
,ab.
1.2.2 Hàm liên tục


Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

15
Định nghĩa 1.2.2
Cho hàm
(

)
f
x xác định trên đoạn
[
]
,ab. Hàm số
(
)
f
x được gọi là liên tục tại
điểm
[]
0
,
x
ab∈ nếu

(
)
(
)
0
0
lim
xx
f
xfx
→
=
(1.2.2)

Nếu
f
xác định trên đoạn
[
]
,ab và liên tục tại
[
]
0
,
x
ab
∈
thì với mọi
0
ε
>
tồn
tại 0
δ
> chỉ phụ thuộc vào
ε
sao cho
x
∀
thỏa mãn
0
xx
δ
−

< ta có

(
)
(
)
0
fx fx
ε
−
≤ (1.2.3)
Nếu
f
liên tục tại mọi điểm
[
]
0
,
x
ab
∈
thì ta nói
f
liên tục trên đoạn
[
]
,ab.
Ta gọi
[]
,Cablà tập tất cả các hàm số giá trị thực và liên tục trên đoạn

[
]
,ab.
Định nghĩa 1.2.3
Hàm
f
liên tục đều trên đoạn
[
]
,ab nếu với mọi 0
ε
> cho
trước tồn tại 0
δ
> chỉ phụ thuộc vào
ε
sao cho
[]
0
,,
x
xab
∀
∈ thỏa mãn
0
xx
δ
−< ta có

(

)
(
)
0
fx fx
ε
−
<
(1.2.4)
1.2.4 Hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz
Định nghĩa 1.2.4
Cho
(
)
f
x xác định trên đoạn
[
]
,ab và giả sử tồn tại hằng số
dương M và
α
sao cho

(
)
(
)
[
]
12 1212

,,
f
xfx Mxx xxab
α
−≤−∀∈ (1.2.5)
Khi đó
(
)
f
x được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc
α
trên
[
]
,ab. Lớp
các hàm đó được kí hiệu là
L
ip
α
. Nếu hằng số
M
đã xác định thì ta còn kí hiệu
là
M
L
ip
α
.
Định lí 1.2.1

Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

16

L
ip
α
là không gian tuyến tính. Nếu
f
thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc
α

trên đoạn
[]
,ab thì
f
là liên tục, hơn nữa còn liên tục đều trên
[]
,ab.
1.2.5 Hàm khả vi
Định nghĩa 1.2.5
. Cho
()
f
x xác định trên đoạn
[
]

,ab,
f
được gọi là khả vi tại
(
)
0
,
x
ab∈ nếu tồn tại giới hạn

(
)
(
)
()
0
0
0
0
lim '
xx
fx fx
f
x
xx
→
−
=
−
(1.2.6)

Hàm
()
f
x được gọi là khả vi trên
(
)
,ab nếu nó khả vi tại mọi điểm trên
(
)
,ab .
Qui nạp, hàm
()
f
x được gọi là khả vi cấp n trên
(
)
,ab nếu đạo hàm cấp
(
)
1n
−

của nó là khả vi tại mọi điểm trên
(
)
,ab .
Định lí 1.2.2
(Rolle) Cho
(
)

f
x là hàm số liên tục trên đoạn
[]
,ab và khả vi trên
khoảng
(
)
,ab . Nếu có
(
)
(
)
f
afb
=
thì tồn tại
(
)
,ab
ξ
∈
sao cho
(
)
'0f
ξ
=
.
Định lí 1.2.3
Cho

(
)
f
x là hàm số liên tục trên đoạn
[
]
,ab và khả vi trên khoảng
(
)
,ab . Khi đó tồn tại
(
)
,ab
ξ
∈ sao cho

(
)
(
)
(
)
(
)
'fb fa b af
ξ
=
+− . (1.2.7)
Định nghĩa 1.2.6
Nếu

(
)
f
x khả vi cấp n trên
(
)
,ab và hàm
(
)
(
)
n
f
x liên tục
trên đoạn
[]
,ab thì
(
)
[
]
,
n
f
xCab∈ với
[
]
,
n
Cab là không gian các hàm khả vi

liên tục đến cấp n trên
[]
,ab.
Định lí 1.2.4
Cho
(
)
f
x là hàm số liên tục trên đoạn
[]
,ab và với 2n ≥ ,
(
)
1n
f
x
−
tồn tại tại mỗi điểm của
(
)
,ab . Giả sử
(
)
(
)
(
)
12
0
n

fx fx fx
=
== =
với
12

n
ax x x b≤<<<≤. Khi đó tồn tại điểm
ξ
thỏa mãn
1 n
x
x
ξ
<< sao cho


Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

17
(
)
1
0
n
f
ξ
−
=

.
Định lí 1.2.5
Cho
(
)
[
]
[
]
1
0
,, ,
n
f
xC abx ab
+
∈∈ khi đó
[]
,
x
ab
∀
∈ ta có

()
() ()( )
(
)
()
()

()
()
()
()( )
0
2
0
000 0
1
0
0
''
'
2!
1
.
!!
n
x
n
n
n
x
fx
fx fx f x x x x x
fx
x
xftxtdt
nn
+

=+ −+ −+
+−+ −
∫
(1.2.8)
Định lí 1.2.6
Cho
(
)
[
]
,
n
f
xCab∈ và đạo hàm
(
)
(
)
1n
f
x
+
tồn tại trên
(
)
,ab . Khi
đó tồn tại
ξ
thỏa mãn
ab

ξ
≤≤
sao cho

() () ()( )
(
)
()
()
()
()
()
()
()
()
2
1
1
''
'
2!
.
!1!
nn
nn
fa
fb fa faba ba
fa f
ba ba
nn

ξ
+
+
=+ −+ −+
+−+ −
+
(1.2.9)
Định lí 1.2.7
Cho
(
)
f
x khả vi cấp 1n
+
tại
0
x
x
=
. Khi đó

()
() ()( )
(
)
(
)
()
()
()

()
()
()
0
000 0
1
1
0
0
'
!
1!
n
n
n
n
fx
fx fx f x x x x x
n
xx
f
xx
n
ε
+
+
=+ −++ −
−
⎡
⎤

++
⎣
⎦
+
(1.2.10)
Với
(
)
0
lim 0
xx
x
ε
→
= .
Chứng minh
Đặt
()
() () ()( )
(
)
()
()
()
1
1
0
00 00 0
'
1!

n
n
xx
R
xfx fx fxxx f x
n
+
+
−
=−− −−−
+
.
Khi đó (1.2.10) tương đương với
(
)
()
0
1
0
lim 0
n
xx
Rx
xx
+
→
=
−
. Do tính khả vi chúng ta có

(
)
(
)
(
)
(
)
1
00 0
' 0
n
Rx R x R x
+
=== = (1.2.11)


Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

18
Với 0
ε
> hàm

(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
11
00
,
nn
Px Rx x x Qx Rx x x
εε
+
+
=+− =−− (1.2.12)
khả tích cấp 1n + tại
0
x
x= . Hơn nữa
(
)
(
)
(
)
(
)
00
0, 0, 0, ,

kk
Px Qx k n=== trong
đó
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
11
00
1! 0, 1! 0
nn
Px n Qx n
εε
++
=+> =−+<
.
(
)
Px⇒ đơn điệu tăng trên khoảng
(
)
00
,xx

δ
+
,
(
)
Qx là đơn điệu giảm trên
khoảng
(
)
00
,xx
δ
+ . Do đó với
(
)
00
,xxx
δ
∈
+ ta có
(
)
(
)
()
()
1
0
1
0

0
0
n
n
Rx x x
Rx x x
ε
ε
+
+
+
−>
−
−<

Do đó

(
)
()
1
0
n
Rx
xx
ε
ε
+
−
<<

−
(1.2.13)
Với
ε
tùy ý thì từ (1.2.13) ta có
(
)
()
0
1
0
lim 0
n
xx
Rx
xx
+
+
→
=
−
.
Tương tự ta có
(
)
()
0
1
0
lim 0

n
xx
Rx
xx
−
+
→
=
−
.
Do đó
()
()
0
1
0
lim 0
n
xx
Rx
xx
+
→
=
−
. Ta có điều phải chứng minh.
1.2.6 Hàm khả vi vô hạn
Định nghĩa 1.2.7
Nếu
(

)
[
]
,
n
f
xCab∈ với mọi n
∈
N
*
. Khi đó
()
f
x được gọi là
khả vi vô hạn trên
[]
,ab. Lớp các hàm khả vi vô hạn trên đoạn
[]
,ab kí hiệu là
[]
,Cab
∞
.
Ví dụ 1.1

(
)
2
f
xx=

khả vi vô hạn trên
x
−
∞< <∞.


Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

19
Ví dụ 1.2
()
2
1
1
fx
x
=
+
khả vi vô hạn trên
x
−
∞< <∞.
1.2.7 Môđun liên tục của hàm xác định trên khoảng
Định nghĩa 1.2.8 Cho
(
)
f
x xác định trên khoảng
(

)
,ab . Đặt

(
)
(
)
(
)
(
)
12
w; w sup
f
fx fx
δδ
== − (1.2.14)
Sup lấy trên cặp
(
)
12
,,
x
xab∈ sao cho
12
xx
δ
−
≤ . Khi đó hàm
(

)
w
δ
(phụ
thuộc
f
) được gọi là môđun liên tục của
f
trên
(
)
,ab .
Ví dụ 1.3

(
)
2
f
xx= xác định trên khoảng
(
)
0,1 . Khi đó ta có
()
2
w2
δ
δδ
=−.
Ví dụ 1.4

()
1
fx
x
= xác định trên khoảng
(
)
0,1 . Khi đó ta có
(
)
w
δ
=+∞.
Ví dụ 1.5

()
1
sinfx
x
= xác định trên khoảng
(
)
0,1 . Khi đó ta có
(
)
w2
δ
=
.
Định lí 1.2.8

Cho
(
)
f
x là hàm số liên tục trên đoạn
[
]
,ab. Môđun liên tục của
(
)
f
x thỏa mãn tính chất
a,
(
)
w0 0= (1.2.15)
b, Tính đơn điệu: Nếu
12
0
δ
δ
<< thì
(
)
(
)
12
ww
δ
δ

≤
(1.2.16)
c, Tính cộng tính dưới:
(
)
(
)
(
)
12 1 2
www
δ
δδδ
+
≤+ (1.2.17)
d,
(
)
(
)
wwnn
δ
δ
= (1.2.18)
Với
()
w
δ
là hàm liên tục trên
[

]
0,ba
−
.
Chứng minh
a, (1.2.15) là hiển nhiên.
b, Từ
12 1 12 2
xx xx
δ
δ
−≤⇒−≤, sup tương ứng là không giảm nên ta có
(1.2.16).


Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

20
c, Nếu
121
0 xx
δ
≤−≤ thì
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
12 1 1 2
wwwfx fx
δ
δδ
−≤≤+
.
Mặt khác, nếu
12112
xx
δ
δδ
<−≤+ thì
112
x
x
δ
+
< và
(
)
211 2
xx
δ
δ
−
+<. Mà

() ()
(
)
(
)
(
)()
() ( )
()
() ()
12 111 112
1211 12
ww ww
fx fx fx fx fx fx
xx
δδ
δ
δδδ
−≤−+++−
≤+−+≤+

(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
2112
12 1 2 1 2
0
wsup ww
xx
fx fx
δδ
δ
δδδ
≤−≤+
⇒+= − ≤ + .
d, (1.2.18) được suy ra từ (1.2.17) bằng qui nạp.
Từ (1.2.16) và (1.2.17) ta có
(
)
(
)
(
)
11
0w w w
δ
δδδ
≤
+− ≤ . Từ định lí 1.2.1 ta
có
()
1
1

0
lim w 0
δ
δ
→
= và w liên tục tại
δ
.
1.2.8 Hàm giải tích trên đường
Định nghĩa 1.2.9
Cho hàm thực
(
)
f
x xác định trên đoạn
[
]
,ab và giả sử tại mỗi
điểm
[]
0
,
x
ab∈ ,
(
)
f
x có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa trên một khoảng
(
)

(
)
(
)
0000
,
x
px x px−+ với
(
)
0
0px > là

()
(
)
(
)
2
01 0 2 0
fx a ax x a x x=+ − + − + (1.2.19)
thì
()
f
x được gọi là giải tích (hay chỉnh hình) tại
0
x
. Nếu
(
)

f
x giải tích tại
mọi điểm
(
)
,
x
ab∈ thì
(
)
f
x được gọi là giải tích trên
(
)
,ab .
Tập các hàm giải tích trên đoạn
(
)
,ab kí hiệu là
[
]
,
A
ab .
* Nhận xét
: Nếu
(
)
(
)

[
]
,,
f
xgx Aab
∈
thì
(
)
(
)
;
f
xgx
−

(
)
(
)
;
f
xgx
+

(
)
(
)
.;

f
xgx
(
)
()
f
x
gx
(nếu
(
)
0gx
≠
) cũng thuộc
[
]
,
A
ab .
Ví dụ 1.6

()
()
[]
1
,1 ,0 1
1
fx A
xx
ε

εεε
=∈−<<−
−



Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

21
Thật vậy, giả sử
(
)
0
,1x
ε
ε
∈− ta có
()
()()
0
0
00
0
2
00
00 0
2
00
23

00 0
1
11
1
1
1
11 1

x
xx
xx xx
x
xx xx
xx x
xx xx
xx x
−
−
==
−
+−
−
⎡
⎤
⎛⎞
−−
⎢
⎥
=− + + +
⎜⎟

⎢
⎥
⎝⎠
⎣
⎦
=− − − − − −

Với
0
0
1
xx
x
−
<
hay
00
x
xx−<, ở đây ta chọn
(
)
00
p
xx
=
.
()
0
0
00

0
1
111
11
1
1
x
x
x
xx xx
x
−
−−
==
−
−−+−
−
−

()
()
()
()
2
00
000
2
00
23
0

00
11
1
11 1 1
11 1

1
11
xx xx
xxxx
xx xx
x
xx
⎡⎤
⎛⎞
−−
⎢⎥
⇒=− + + +
⎜⎟
−− − −
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
=− − − − − −
−
−−

Với
0
0

1
1
xx
x
−
<
−
hay
00
1
x
xx−<−, ở đây ta chọn
(
)
00
1
p
xx
=
− .
Ta thấy
[]
()
[]
()
()
[]
11 1
,1 , ,1 ,1
11

AAfxA
xx xx
ε
εεε εε
∈− ∈−⇒= ∈−
−−
.
Ở đây với mỗi
(
)
0
,1x
ε
ε
∈− ta chọn
(
)
{
}
000
min ,1
p
xxx
=
− .
Ví dụ 1.7

(
)
x

f
xe= giải tích trên R.


Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

22
Thật vậy với
0
x
∈R ta có
00 0 0
0
00
0
2
00
2
00
()
1
1! 2!
()()
12
xx x x xx
x
x
xx
x

ee ee
xx xx
e
ee
exxxx
−+ −
==
⎡⎤
−−
=+ + +
⎢⎥
⎣⎦
=+ −+ − +

Theo tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi lũy thừa thì bán kính hội tụ của chuỗi vừa
khai triển là
+∞ hay
(
)
0
px
=
+∞.
Định lí 1.2.9 Cho không gian tuyến tính
[
]
,
A
ab . Nếu
(

)
[
]
,
f
xAab∈ thì
()
[]
,
f
xCab
∞
∈ . Trong đó hệ số
n
a
của (1.2.20) là

()
()
0
1
,
!
n
n
afxn
n
=∈N. (1.2.20)
Ngược lại là không đúng tức nếu có
(

)
[
]
,
f
xCab
∞
∈ thì chưa chắc có
(
)
[]
,
f
xAab∈ .
Chứng minh
[]
,
A
ab là một tập con của không gian tuyến tính
[
]
,Cab. Ta có
(
)
(
)
[]
,,;,
f
xgx Aab kl∀∈∀∈R thì ta có

(
)
[
]
(
)
[
]
.,;.,kfxAablgxAab
∈
∈
(
)
(
)
[]
,kf x lg x Aab⇒+∈.
Vậy
[]
,
A
ab là không gian tuyến tính.
Do tính chất của chuỗi lũy thừa nên nếu
(
)
[
]
,
f
xAab

∈
thì
(
)
[
]
,
f
xCab
∞
∈ .
Từ (1.2.20) ta có
(
)
()
00
01
'1.
f
xa
f
xa
=
=



Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

23
(
)
02
'' 1.2.
f
xa=

(
)
()
0
1.2 .

n
n
f
xna=

V
ì vậy hệ số
n
a trong (1.2.20) được xác định
()
()
0
1
,
!
n

n
afxn
n
=
∈N.
Điều ngược lại không đúng tức nếu có
(
)
[
]
,
f
xCab
∞
∈ thì chưa chắc có
(
)
[]
,
f
xAab∈ . Chẳng hạn xét hàm
()
2
1
0
00
x
ex
fx
x

−
⎧
⎪
≠
=
⎨
⎪
=
⎩
.
Ta có
()
() ()
2
2
1
000
0
' 0 lim lim lim 0
0
x
t
xxx
fx f
et
f
xx
e
−
→→→

−
====
−
.
Với 0
x
≠ thì
()
2
1
3
2
'
x
f
xe
x
−
= . Mặt khác
() ()
2
1
3
00
2
lim ' lim 0 ' 0
x
xx
fx e f
x

−
→→
===
Vậy
(
)
1
f
xC∈
(R)
()
(
)
(
)
2
2
1
4
4
00
''0
2
'' 0 lim lim 2lim 0
0
x
t
xxt
fx f
t

fe
xx
e
−
→→→∞
−
====
−

Với 0
x
≠ thì
()
2
1
1
''
x
f
xP e
x
−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
trong đó
1
P
x

⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
là một đa thức của
1
x
.
Mà
() ()
2
1
00
1
lim '' lim 0 '' 0
x
xx
fx P e f
x
−
→→
⎛⎞
===
⎜⎟
⎝⎠
.


Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

24
Quá trình tính toán tương tự ta có
()
()
2
1
1
0
00
x
x
Pe x
fx
x
x
−
⎧
⎛⎞
≠
⎪
⎜⎟
=
⎨
⎝⎠
⎪
=
⎩

Với
1

P
x
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
là một đa thức của
1
x
và n
∈
N.
Ta có
()
()
()
()
2
1
00
1
lim lim 0 0
nn
x
xx
fx P e f
x
−
→→
⎛⎞
===

⎜⎟
⎝⎠
.
Vậy
(
)
[]
,
f
xCab
∞
∈ . Ta chỉ ra rằng
(
)
f
xA
∉
(R). Thật vậy ta có
(
)
(
)
(
)
0'0''0 0ff f
=
===
Nên nếu
(
)

f
xA∈ (R) thì theo định lí tại
0
x
∈
R bất kì các hệ số khi khai triển
(
)
f
x tại
0
x
đều bằng 0, do đó
(
)
0fx
=
(vô lí).
Ta có điều phải chứng minh.
1.3 Một số vấn đề về hàm số biến số phức
1.3.1 Đường và miền trong mặt phẳng phức
Định nghĩa 1.3.1 Giả sử
(
)
(
)
,
x
tyt là các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn
[]

,ab. Khi đó phương trình

(
)
(
)
(
)
[
]
,,zzt xt iytt ab==+ ∈ (1.3.1)
biểu diễn tham số một đường cong
[
]
(
)
,
L
zab=
trong mặt phẳng phức C
Các điểm
(
)
(
)
,za zb được gọi là các điểm đầu và cuối của đường cong
L
.
Định nghĩa 1.3.2

a, Lân cận của điểm a ∈
C là tập bất kì bao hàm hình tròn
(
)
,Dar tâm a , bán
kính 0r >


Một số vấn đề về lý thuyết nội suy
Luận văn tốt nghiệp – Nguyễn Thị Thảo Nguyên

25
(
)
{
}
,:Dar z C z a r
=
∈−<

b, Tập S ⊂
C được gọi là tập mở nếu S là lân cận của mọi điểm của nó.
Định nghĩa 1.3.3
Tập S ⊂ C được gọi là một miền nếu nó thỏa mãn hai điều kiện
a, S là tập mở
b, S liên thông, tức là
,ab S∀∈
tồn tại đường cong
L
S⊂ có điểm đầu là a và

điểm cuối là b.
Tập S thêm những điểm biên gọi là tập đóng và được kí hiệu là
S .
1.3.2 Hàm biến phức
Định nghĩa 1.3.4 Giả sử S ⊂ C là một tập tùy ý cho trước. Một hàm biến phức
trên S với giá trị phức là một ánh xạ :
f
S →C và hàm đó được kí hiệu là

(
)
,
f
zzS
ω
=
∈ (1.3.2)
Ví dụ 1.8
Ánh xạ
(
)
zfzazb→=+ xác định một hàm (gọi là hàm nguyên
tuyến tính) trên
C
Ví dụ 1.9
Ánh xạ
()
,0
az b
zfz c

cz d
+
→= ≠
+
xác định một hàm (gọi là hàm phân
tuyến tính) trên tập S =
C\
d
c
⎧
⎫
−
⎨
⎬
⎩⎭


1.3.3 Hàm giải tích trên miền

Định nghĩa 1.3.5
Cho S là một miền của mặt phẳng phức và
f
là hàm đơn trị
của biến phức
z xác định trong S . Khi đó
(
)
f
z được gọi là hàm giải tích (hay
hàm chỉnh hình) tại

0
Sz ∈
nếu nó có một biểu diễn dạng
() ( )
0
0
n
n
n
f
zazz
∞
=
=−
∑

trong lân cận của
(
)
00 0
:zzz pz−< với
(
)
0
0pz > .