Phương pháp laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số đa thức

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô
giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình
học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Anh Vũ
i
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phương pháp Laplace giải
phương trình vi phân thường với hệ số đa thức” được hoàn thành bởi
nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành
tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Anh Vũ
ii
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Các tập hợp trong mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Lý thuyết thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Không điểm và cực điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Thặng dư và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Tích phân vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Hàm giai thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Hàm Zeta-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Phương pháp Laplace giải phương trình vi phân thường với hệ
số đa thức 27
2.1 Ý tưởng của phương pháp Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Đa thức Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Hàm Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Hàm Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Biểu diễn tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Hàm Bessel kiểu thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4.3 Kiểu hàm thứ hai và thứ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Dạng tương tự của hàm Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Kết luận 43
Tài liệu tham khảo 44
iii
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính ta xác định một
hệ nghiệm cơ bản của phương trình vi phân thuần nhất cùng với việc tìm một
nghiệm riêng của phương trình đó. Nghiệm tổng quát của phương trình này là
tổng nghiệm riêng của phương trình với nghiệm tổng quát của phương trình vi
phân tuyến tính thuần nhất tương ứng. Nhưng cho đến nay, người ta cũng chỉ
đưa ra được quy trình hệ thống để xây dựng hệ nghiệm tổng quát của phương
trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số. Đối với phương trình vi phân tuyến

tính mà hệ số không phải là hằng số, việc tìm nghiệm ở dạng tổ hợp của các
hàm số sơ cấp của một số phương trình vi phân khá khó khăn (nếu không muốn
nói là không thể). Điều này cũng xảy ra ngay cả khi phương trình vi phân có
dạng rất đơn giản. Chẳng hạn, như phương trình dưới đây
y

− 2xy

+ y = 0.
Đó là phương trình vi phân cấp hai với hệ số là hàm số của một biến độc lập,
nhưng ta không thể tìm được nghiệm riêng dưới dạng một hàm số sơ cấp. Tuy
nhiên, việc giải các dạng phương trình như phương trình trên đây là rất quan
trọng vì đây là một trong rất nhiều các bài tán nảy sinh từ các vấn đề thực
tiễn, chủ yếu là các bài toán trong lĩnh vực vật lý. Điều đó, sẽ được chúng tôi
đề cập trực tiếp trong luận văn về các bài toán liên quan tới hàm Hermite, hàm
Bessel. . . . Một trong các phương pháp có thể giải quyết điều này là phương
pháp Laplace, cho ta biểu diễn nghiệm của các phương trình này dưới dạng tích
phân. Với phương trình vi phân
n

k=0
(a
k
+ b
k
x) y
(k)
(x) = 0, (1)
sau khi sử dụng phương pháp Laplace, nghiệm có biểu diễn dưới dạng tích
1

2
phân như sau
y(x) =

C
S(p)e
px
dp, (2)
thế (2) vào (1), chọn đường cong (C) thích hợp ta có công thức (2) là nghiệm
chính xác của (1) với
S(p) =
A
G(p)
exp


p
F (q)
G(q)
dq

(3)
trong đó
F (q) =
n

k=0
a
k
q

k
, F (q) =
n

k=0
b
k
q
k
.
Từ công thức nghiệm (3) ta có thể giải quyết triệt để bài toán về hàm Hermite,
hàm Bessel,. . . . Được sự định hướng của thầy hướng dẫn, em đã chọn đề tài:
“Phương pháp Laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số đa
thức”.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về phương pháp Laplace giải phương trình vi phân thường
với hệ số đa thức và từ đó giải quyết bài toán về hàm Hermite, hàm Bessel.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp tiệm cận của Laplace trong việc giải phương trình vi
phân thường với hệ số đa thức.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp tổng quan của Laplace giải phương trình vi phân với hệ số đa thức
và trình bày cụ thể qua một số các phương trình nổi tiếng xuất hiện từ các bài
toán vật lý như phương trình Bessel, phương trình Hermite.
5. Những đóng góp của đề tài
Xây dựng cách tìm nghiệm từ ý tưởng của phương pháp Laplace giải phương
trình vi phân thường với hệ số là đa thức.
3
6. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, nghiên cứu các vấn đề liên quan, từ đó suy ra các kiến thức liên

quan tới mục đính cần nghiên cứu.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Hàm biến phức
1.1.1 Số phức và mặt phẳng phức
Số phức là số có dạng z = x + iy, với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà i
2
= −1. Ta
gọi x là phần thực và y là phần ảo, được kí hiệu tương ứng bởi
x = Re z, y = Im z.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C và được đồng nhất với mặt phẳng R
2
bởi phép tương ứng
C → R
2
z = x + iy → (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép cộng
và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như các phép
toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i
2
= −1. Với z
1
= x
1
+ iy
1
, z
2
= x
+

iy
2
,
ta có
z
1
+ z
2
= (x
1
+ x
2
) + i(y
1
+ y
2
)
và
z
1
.z
2
= (x
1
+ iy
1
)(x
2
+ iy
2

)
= x
1
x
2
+ ix
1
y
2
+ iy
1
x
2
+ i
2
y
1
y
2
= (x
1
x
2
− y
1
y
2
) + i(x
1
y

2
+ y
1
x
2
).
Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là giá trị |z| =

x
2
+ y
2
. Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được ký hiệu và xác định
bởi ¯z = x − iy. Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được
Re z =
z + ¯z
2
, Im z =
z − ¯z
2i
4
5
và
|z|
2
= z.¯z,
1
z
=
¯z

|z|
2
, với z = 0.
Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.e
iθ
, với r > 0, θ ∈ R được gọi
là argument của số phức z và được ký hiệu là arg z (argument của số phức z
được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π). Argument
của số phức z thỏa mãn 0 ≤ arg z < 2π được gọi là argument chính, ký hiệu là
phz. Ta có
e
iθ
= cosθ + i sin θ.
Bởi vì


e
iθ


= 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và nửa
đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng, ta lưu ý rằng
nếu z = r.e
iθ
và w = s.e
iϕ
thì z.w = r.s.e
i(θ+ϕ)
.
1.1.2 Các tập hợp trong mặt phẳng phức

Cho z
0
∈ C và r > 0, ta gọi đĩa mở tâm z
0
bán kính r là tập hợp
D
r
(z
0
) = {z ∈ C : |z − z
0
| < r}.
Đĩa đóng tâm z
0
bán kính r là tập hợp
D
r
(z
0
) = {z ∈ C : |z − z
0
| ≤ r}.
Biên của đĩa đóng hoặc mở là đường tròn
C
r
(z
0
) = {z ∈ C : |z − z
0
| = r}.

Đĩa có tâm z
0
= 0 và bán kính 1 gọi là đĩa đơn vị, kí hiệu là
D = {z ∈ C : |z| ≤ 1}.
Cho tập Ω ⊂ C, điểm z
0
∈ Ω được gọi là điểm trong của Ω nếu tồn tại r > 0 sao
cho D
r
(z
0
) ⊂ Ω. Phần trong của Ω kí hiệu là int Ω gồm tất cả các điểm trong
của Ω. Tập Ω là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.
Tập Ω được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là mở. Điểm z ∈ C được
gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy các điểm z
n
∈ C sao cho
z
n
= z và lim
n→∞
z
n
= z. Chúng ta có thể kiểm tra được rằng một tập Ω là đóng
nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó. Bao đóng của tập Ω là hợp của Ω và
các điểm giới hạn của nó, ký hiệu là
¯
Ω. Biên của Ω ký hiệu là ∂Ω =
¯
Ω\int Ω.

6
Tập Ω là bị chặn nếu ∃M > 0 sao cho |z| ≤ M với mọi z ∈ Ω. Nếu tập Ω là bị
chặn, thì ta xác định đường kính của nó bởi số
diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω}.
Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn. Tập mở Ω ⊂ C được gọi
là liên thông nếu không thể tìm được hai tập mở khác rỗng Ω
1
và Ω
2
sao cho
Ω = Ω
1
∪Ω
2
. Một tập mở liên thông trong C được gọi là một miền. Tập đóng F
là liên thông nếu không thể viết F = F
1
∪F
2
ở đó F
1
và F
2
là các tập đóng rời
nhau.
1.1.3 Hàm chỉnh hình
Cho hàm phức f(z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f(z) được gọi là chỉnh hình
tại điểm z
0
∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức

f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
(1.1)
khi h → 0, ở đó h = 0 và h ∈ C với z
0
+ h ∈ Ω. Giới hạn trên được ký hiệu bởi
f

(z
0
) và gọi là đạo hàm của hàm f(z) tại điểm z
0
. Như vậy, ta có
f

(z
0
) = lim
h→0
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
.

Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω. Nếu M
là tập đóng của C, ta nói f là chỉnh hình trên M nếu f là chỉnh hình trên một
tập mở nào đó chứa M. Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên.
Hàm f(z) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C và f

(z) = 1. Thật
vậy, ta có
f

(z
0
) = lim
h→0
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
= lim
h→0
(z + h) − z
h
= 1.
Từ đó, ta suy ra đa thức P(z) = a
0
+ a
1
z + + a
n

z
n
chỉnh hình trên mặt phẳng
C và
P

(z) = a
1
+ 2a
2
z + + na
n
z
n−1
.
Trong khi đó, hàm f(z) = ¯z là không chỉnh hình trên toàn mặt phẳng. Thật vậy,
ta thấy
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
=
z + h − ¯z
h
=
¯z +
¯
h − ¯z

h
=
¯
h
h
không có giới hạn khi h → 0.
Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f(z) là chỉnh hình tại z
0
∈ Ω nếu và chỉ nếu tồn
tại hằng số a sao cho
f(z
0
+ h) − f(z
0
) − a.h = h.ψ(h) (1.2)
7
với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và
lim
h→0
ψ(h) = 0.
Dĩ nhiên, ta có a = f

(z
0
).
Giữa khái niệm khả vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm hai biến có
sự khác biệt đáng kể. Như ta đã thấy hàm
f(z) = ¯z
không khả vi phức, nhưng dưới dạng biến thực hàm đó tương ứng ánh xạ
F : (x, y) → (x, −y)

khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực. Đạo hàm của nó tại một điểm là ánh
xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo
hàm riêng của các hàm tọa độ. Mối quan hệ của hai hàm khả vi đó được phản
ánh qua kết quả dưới đây.
Định lí 1.1.1. ( Điều kiện Cauchy-Riemann). Điều kiện cần và đủ để hàm
phức f(z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại điểm z = x + iy là tại điểm đó tồn tại các
đạo hàm riêng của các hàm u(x, y) và v(x, y), đồng thời các đạo hàm đó thoả
mãn điều kiện Cauchy - Riemann
∂u
∂x
(x, y) =
∂v
∂y
(x, y),
∂u
∂y
(x, y) = −
∂v
∂x
(x, y). (1.3)
1.1.4 Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞

n=0
a
n
z
n
= a

0
+ a
1
z + a
2
z
2
+ + a
n
z
n
+ (1.4)
trong đó a
n
∈ C; n = 0, 1, 2,
Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (1.4) hội tụ tại điểm z
0
nào đó,thì nó cũng
hội tụ với mọi z trong đĩa |z| ≤ |z
0
|. Hơn nữa, ta cũng luôn biết rằng luôn tồn
tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.4) hội tụ tuyệt đối.
Định lí 1.1.2. (Hadamard). Cho chuỗi lũy thừa
∞

n=0
a
n
z
n

. Khi đó, tồn tại số
0 ≤ R ≤ +∞ sao cho
(i) Nếu |z| < R thì chỗi hội tụ tuyệt đối.
8
(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
Hơn nữa, nếu ta quy ước
1
0
= ∞ và
1
∞
= 0, thì số R được tính bởi công thức
1
R
= lim
n→∞
sup |a
n
|
1
n
.
Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R được gọi là đĩa hội
tụ.
Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn mặt phẳng phức là
các hàm lượng giác
cos z =
∞

n=0

(−1)
n
z
2n
(2n)!
và sinz =
∞

n=0
(−1)
n
z
2n+1
(2n + 1)!
.
Bằng tính toán đơn giản, ta nhận đợc các công thức Euler dưới dạng mũ phức
cosz =
e
iz
+ e
−iz
2
và sinz =
e
iz
− e
−iz
2
.
Định lí 1.1.3. Chuỗi lũy thừa f(z) =

∞

n=0
a
n
z
n
xác định một hàm chỉnh hình
trong đĩa hội tụ của nó. Đạo hàm của f(z) cũng là một chuỗi lũy thừa thu được
bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi với hàm f(z), tức là
f

(z) =
∞

n=0
na
n
z
n−1
.
Hơn nữa, f

(z) có cùng bán kính hội tụ với f(z).
Chứng minh. Bởi vì lim
n→∞
n
1
n
= 1, nên ta có

lim
n→∞
sup |a
n
|
1
n
= lim
n→∞
sup |na
n
|
1
n
.
Do đó, chuỗi
∞

n=0
a
n
z
n
và
∞

n=0
na
n
z

n−1
có cùng bán kính hội tụ. Để chứng minh
khẳng định thứ nhất, chúng ta phải chứng minh chuỗi
g(z) =
∞

n=1
na
n
z
n−1
bằng đạo hàm của f(z). Ký hiệu R là bán kính hội tụ của f(z) và giả sử |z
0
| <
r < R. Ta viết
f(z) = S
n
(z) + E
N
(z);
9
với
S
N
(z) =
N

n=0
a
n

z
n
và E
N
(z) =
∞

n=N+1
a
n
z
n
.
Khi đó, nếu chọn h sao cho |z
0
+ h| < r, thì ta có
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
− g(z
0
) =

S
N
(z
0

+ h) − S
N
(z
0
)
h
− S

N
(z
0
)

+

S

N
(z
0
) − g(z
0
)

+

E
N
(z
0

+ h) − E
N
(z
0
)
h

.
Ta thấy




E
N
(z
0
+ h) − E
N
(z
0
)
h




≤
∞


n=N+1
|a
n
|




(z
0
+ h)
n
− z
0
n
h




≤
∞

n=N+1
|a
n
|nr
n−1
.
Ở đó ta đã sử dụng |z

0
| < r và |z
0
+ h| < r. Biểu thức ở vế phải là phần dư của
một chuỗi hội tụ, từ g(z) là hội tụ tuyệt đối với mọi |z| < R. Do đó, với mọi ε > 0
tồn tại N
1
sao cho với mọi N ≥ N
1
ta có




E
N
(z
0
+ h) − E
N
(z
0
)
h




<
ε

3
.
Từ lim
N→∞
S

N
(z
0
) = g(z
0
) nên tìm được N
2
mà với mọi N ≥ N
2
ta có


S

N
(z
0
) − g(z
0
)


<
ε

3
.
Cố định N > max {N
1
, N
2
} thì ta có thể tìm được δ > 0 sao cho |h| < δ thì




S
N
(z
0
+ h) − S
N
(z
0
)
h
− S

N
(z
0
)





<
ε
3
.
Do đó




f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
− g(z
0
)




< ε;
khi |h| < δ.
Hệ quả 1.1.4. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó. Đạo
hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cách lấy đạo hàm
của từng số hạng của nó.
10
Một hàm f(z) xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích (hoặc có khai

triển chuỗi lũy thừa) tại điểm z
0
∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy thừa
∞

n=0
a
n
(z − z
0
)
n
tâm tại z
0
với bán kính hội tụ dương sao cho
f(z) =
∞

n=0
a
n
(z − z
0
)
n
;
với mọi z trong lân cận của điểm z
0
. Nếu f(z) có khai triển chuỗi lũy thừa tại
mọi z ∈ Ω, thì ta nói rằng f(z) giải tích trên Ω.

Từ định lý (1.1.3), ta thấy rằng hàm giải tích trên Ω thì cũng chỉnh hình trên
đó.
1.2 Tích phân phức
Đường cong tham số. Một đường cong tham số là một hàm
z : [a, b] −→ C
t −→ z(t) = x(t) + iy(t).
Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z

(t) liên tục trên [a; b] và
z

(t) = 0, với mọi t ∈ [a; b]. Tại các điểm t = a và t = b các đại lượng z

(a) và z

(b)
được biểu diễn như các giới hạn một phía
z

(a) = lim
h→0
+
z(a + h) − z(a)
h
và z

(b) = lim
h→0
−
z(b + h) − z(b)

h
.
Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a; b] và tồn tại các
điểm a
0
= a < a
1
< < a
n
= b, ở đó z(t) là trơn trên mỗi đoạn [a
k
, a
k+1
]. Đặc biệt
đạo hàm trái và phải tại các điểm a
k
có thể khác nhau với mọi k = 0, 1, 2, , n−1.
Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và ¯z : [c, d] → C được gọi là tương
đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c; d] đến [a, b] sao cho
t

(s) > 0 và ¯z(s) = z (t(s)). Điều kiện t

(s) > 0 đảm bảo hướng của đường cong,
khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b. Họ của tất cả các đường cong tham
số tương đương với z(t) xác định một đường cong trơn γ ⊂ C. Đường cong γ
−
là đường cong thu được từ γ bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của
γ
−

được xác định như sau
z
−
: [a, b] → R
2
z
−
(t) = z(b + a − t).
11
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong. Đường
cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b); được gọi là đường
cong đóng nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu t = s thì z(t) = z(s). Trường
hợp đường cong đóng thì trừ ra s = a và t = b. Để ngắn gọn ta sẽ gọi đường cong
trơn từng khúc là một đường cong.
Ví dụ 1.2.1. Xét đường tròn C
r
(z
0
) tâm tại z
0
bán kính r
C
r
(z
0
) = {z ∈ C :|z − z
0
| = r}.
Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = z

0
+ re
it
, t ∈ [0, 2π]
và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z
0
+ re
−it
, t ∈ [0, 2π].
Định nghĩa 1.2.2. Ta kí hiệu C là đường tròn định hướng dương. Cho đường
cong trơn γ được tham số hóa bởi phương trình z : [a, b] → C và f là hàm liên
tục trên γ. Tích phân của hàm f dọc theo γ được xác định bởi

γ
f(z)dz =
b

a
f (z(t)) z

(t)dt.
Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn phương
trình tham số đối với γ. Giả sử ¯z là một tham số hóa tương đương xác định như
trên thì
b

a
f (z(t)) .z


(t)dt =
d

c
f (z(t(s))) .z

(t(s)) .t

(s)ds =
d

c
f (¯z(s)) ¯z

(s)ds.
Nếu γ là đường cong trơn từng khúc như trên, thì

γ
f(z)dz =
n−1

k=0
a
k+1

a
k
f (z(t)) z

(t)dt.

Từ định nghĩa (1.2.2), ta suy ra độ dài của đường cong γ là
length(γ) =
b

a


z

(t)


dt.
12
Ví dụ 1.2.3. Tính tích phân

γ
(z − z
0
)
n
dz; n = 0, ±1, ±2,
trong đó γ là đường tròn z = z
0
+ re
it
, t ∈ [0,2π] .
Ta có

γ

(z − z
0
)
n
dz =
2π

0
(re
it
)
n
(ire
it
)dt = i
2π

0
r
n+1
e
i(n+1)t
dt.
Nếu n = −1, thì tích phân trên trở thành

γ
dz
z − z
0
= i

2π

0
dt = 2πi.
Nếu n = −1 thì ta có

γ
(z − z
0
)
n
dz = ir
n+1


2π

0
[cos(n + 1)t + i sin(n + 1)t] dt


= 0.
Giả sử γ là đường cong trơn tuỳ ý có phương trình tham số z = z(t), t ∈ [a, b]
với các điểm đầu mút z(a) và z(b). Khi đó

γ
dz =
b

a

z

(t)dt =
b

b
dx(t) + i
b

b
dy(t)
= (x(b) − x(a)) + i (y(b) − y(a))
= z(b) − z(a).

γ
zdz =
b

a
z(t).z

(t)dt =
1
2
b

a
d

z

2
(t)

=
1
2

z
2
(b) − z
2
(a)

.
Định lí 1.2.4. Nếu hàm f(z) liên tục và có một nguyên hàm F trên Ω, và gamma
là một đường cong trong Ω có điểm đầu là ω
1
và điểm cuối ω
2
, thì

γ
f(z)dz = F (ω
2
) − F (ω
1
).
Chứng minh. Nếu γ là một đường cong trơn và z(t) : [a, b] → C là phương trình
tham số của đường cong γ thì
13


γ
f(z)dz =
b

a
f (z(t)) .z

(t)dt
=
b

a
F

(z(t)) .z

(t)dt
=
b

a
d
dt
F (z(t)) dt
= F (z(b)) − F (z(a)) = F (ω
2
) − F (ω
1
)

Nếu γ trơn từng khúc thì ta có

γ
f(z)dz =
n−1

k=0
[F (z(a
k+1
)) − F (z(a
k
))]
= F (z(a
n
)) − F (z(a
0
))
= F (z(b)) − F (z(a))
= F (ω
2
) − F (ω
1
)
Hệ quả 1.2.5. Giả sử γ là đường cong đóng trong tập mở Ω. Nếu hàm f(z) liên
tục và có nguyên hàm trong Ω thì

γ
f(z)dz = 0.
Hệ quả 1.2.6. Nếu f(z) chỉnh hình trong miền Ω và f


(z) = 0 thì f(z) là hàm
hằng.
Chứng minh. Cố định điểm ω
0
∈ Ω. Bởi vì Ω liên thông nên với điểm bất kỳ
ω ∈ Ω, tồn tại đường cong γ nối ω với ω
0
. Ta có

γ
f

(z)dz = f(ω) − f(ω
0
).
Bởi vì f

(z) = 0 nên

γ
f

(z)dz = 0.
Do đó
f(ω) = f(ω
0
).
14
Từ các ví dụ (1.1) và (1.2), chúng ta thấy rằng các tích phân trên không phụ
thuộc vào hình dạng của đường cong và tích phân bằng 0 theo đường cong đóng

bất kỳ. Kết quả quan trọng của tích phân dọc theo đường cong đối với hàm
chỉnh hình là
Định lí 1.2.7. (Cauchy-Goursat). Giả sử D là một miền n- liên trong C với
biên ∂D gồm các chu tuyến đóng trơn từng khúc và f (z) là hàm chỉnh hình trên
D liên tục trên D = D ∪ ∂D. Khi đó, ta có

∂D
f(z)dz = 0.
Chứng minh. Chúng ta viết f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Khi đó

∂D
f(z)dz =

∂D
(udx − vdy) + i(vdx + udy).
Theo định lý Green, ta có

∂D
F =

D
dF .
Nếu F = udx − vdy, thì theo điều kiện Cauchy - Riemann chúng ta có

∂D
udx − vdy =

D

−

∂v
∂x
−
∂u
∂y

dxdy = 0.
Tương tự, tích phân của phần ảo trong cũng bằng 0 và định lý được chứng
minh.
Định lí 1.2.8. (Công thức tích phân Cauchy). Nếu f(z) là hàm chỉnh hình
trong một miền D và z
0
∈ D. Khi đó, với mọi chu tuyến đóng bất kỳ γ ⊂ D mà
z
0
∈ D
γ
⊂ D thì
f(z) =
1
2πi

γ
f(ζ)
ζ −z
0
dζ,
với mọi z
0
∈ D

γ
.
Hơn nữa, nếu f(z) liên tục trên
¯
D với ∂D là một chu tuyến đóng thì với mọi
z ∈ D ta có
f(z
0
) =
1
2πi

∂D
f(ζ)
ζ −z
dζ.
15
Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tuỳ ý vây quanh điểm z
0
sao cho D
γ
⊂ D.
Chọn ρ đủ bé sao cho đĩa đóng S(z
0
, ρ) tâm z
0
bán kính ρ chứa trong D
γ
. Ký
hiệu C

ρ
là biên của đĩa S(z
0
, ρ) và D
γ, ρ
= D
γ
\S(z
0
, ρ). Bởi vì f(ζ)/ζ −z
0
là hàm
chỉnh hình với mọi z ∈ D
γ
\S(z
0
, ρ) nên chúng ta có

γ+C
−
ρ
f(ζ)
ζ −z
0
dζ = 0.
Từ đó, chúng ta suy ra

γ
f(ζ)
ζ −z

0
dζ =

C
ρ
f(ζ)
ζ −z
0
dζ.
Thực hiện phép đổi biến đối với tích phân ở vế phải ζ −z
0
= ρe
it
, 0 ≤ t < 2π, thì
dζ = iρe
it
dt và chúng ta nhận được

C
ρ
f(ζ)
ζ −z
0
dζ =
2π

0
f(z
0
+ ρe

it
)
ρe
it
iρe
it
dt
= i
2π

0
f(z
0
+ ρe
it
) dt
= i
2π

0

f(z
0
+ ρe
it
) − f(z
0
)

dt − 2πif(z

0
).
Bởi vì f(z) liên tục, nên khi ρ → 0 thì
lim
ρ→0

C
ρ
f(ζ)
ζ −z
0
dζ = 2πif(z
0
).
Từ đó, chúng ta suy ra
f(z) =
1
2πi

γ
f(ζ)
ζ −z
0
dζ.
Trường hợp f(z) liên tục trên
¯
D thì ta có thể thay ∂D cho γ trong chứng minh
trên và nhận được kết quả mong muốn.
Định lí 1.2.9. (Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm). Nếu f(z)
là hàm chỉnh hình trong một miền D hì f(z) khả vi vô hạn lần trong D. Hơn

nữa, nếu γ là chu tuyến đóng nằm trong D, thì
f
(n)
(z
0
) =
n!
2πi

γ
f(z)
(z − z
0
)
n+1
dz,
16
với mọi z
0
∈ D
γ
.
Chứng minh. Ta chứng minh công thức bằng phép quy nạp theo n. Trường hợp
n = 0, ta nhận được từ công thức tích phân Cauchy. Giả sử công thức đúng cho
trường hợp n −1, tức là
f
(n−1)
(z
0
) =

(n − 1)!
2πi

γ
f(z)
(z − z
0
)
n
dz.
Bây giờ với h đủ nhỏ sao cho z
0
+ h ∈ D
γ
, thương vi phân đối với hàm f
(n−1)
(z)
được cho bởi công thức
f
(n−1)
(z
0
+ h) − f
(n−1)
(z
0
)
h
=
(n − 1)!

2πi

γ
f(ζ)
1
h

1
(ζ −z
0
− h)
n
−
1
(ζ −z
0
)
n

dζ.
Đặt A =
1
ζ −z
0
− h
, B =
1
ζ −z
0
, chúng ta nhận được

1
(ζ −z
0
− h)
n
−
1
(ζ −z
0
)
n
=
1
(ζ −z
0
− h)(ζ −z
0
)
(A
n−1
+ A
n−2
B + + AB
n−2
+ B
n−1
).
.
Do đó, khi h → 0, thương vi phân hội tụ đến
(n − 1)!

2πi

γ
f(ζ)

1
(ζ −z
0
)
2
.
n
(ζ −z
0
)
n−1

dζ =
n!
2πi

γ
f(z)
(z − z
0
)
n+1
dz.
Định lý được chứng minh.
1.3 Lý thuyết thặng dư

1.3.1 Không điểm và cực điểm
Điểm z
0
được gọi là không điểm của hàm f(z) nếu f (z
0
) = 0.
Định lí 1.3.1. Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một miền D có một không
điểm tại z
0
∈ D và không đồng nhất bằng không trong D. Thế thì, tồn tại một
lân cận U của z
0
trong D và một hàm chỉnh hình g không đồng nhất triệt tiêu
trên U với một số nguyên dương lớn nhất k sao cho
f(z) = (z − z
0
)
k
g(z); ∀ z ∈ U.
Trong trường hợp của định lý trên ta nói f có không điểm bậc k (hoặc bội
k) tại điểm z
0
. Nếu không điểm là bậc một, chúng ta nói rằng z
0
là không điểm
17
đơn.
Điểm z
0
∈ C được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm f(z) nếu tồn tại một

lân cận thủng {z ∈ C : 0 < |z − z
0
| < R} của điểm z
0
sao cho tại lân cận này hàm
f chỉnh hình nhưng không chỉnh hình tại z
0
.
Ví dụ 1.3.2. Hàm f(z) =
1
z − 1
nhận điểm z = 1 là điểm bất thường cô lập.
Điểm bất thường cô lập z
0
được gọi là
(i) điểm bất thường bỏ được nếu lim
z→z
0
f(z) = ∞;
(ii) cực điểm nếu lim
z→z
0
f(z) = ∞;
(iii) điểm bất thường cốt yếu nếu hàm f(z) không có giới hạn khi z → z
0
.
Ví dụ 1.3.3. Hàm số f(z) =
sin z
z
nhận điểm z = 0 là điểm bất thường bỏ được

bởi vì
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
sin z
z
= 1.
Hàm số f(z) =
1
z
nhận điểm z = 0 là cực điểm bởi vì
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
1
z
= ∞.
Hàm số f(z) = e
1
z
nhận điểm z = 0 là điểm bất thường cốt yếu bởi vì
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
y=0,x>0
e
1

z
= lim
x→0
+
e
1
x
= ∞,
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
y=0,x<0
e
1
z
= lim
x→0
−
e
1
x
= 0.
Định lí 1.3.4. Nếu f(z) có một cực điểm tại z
0
∈ D, thì trong một lân cận của
điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h(z) không triệt tiêu và số nguyên dương k lớn
nhất sao cho
f(z) =
h(z)

(z − z
0
)
k
.
Số nguyên dương k trong định lý trên được gọi là bậc (hoặc bội) của cực điểm
và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới z
0
. Nếu cực điểm là bậc một
chúng ta gọi nó là cực điểm đơn.
18
Định lí 1.3.5. Nếu f có cực điểm bậc k tại z
0
, thì
f(z) =
a
−k
(z − z
0
)
k
+
a
−k+1
(z − z
0
)
k−1
+ ···+
a

−1
(z − z
0
)
+ G(z),
ở đó G (z) là hàm chỉnh hình trong một lân cận của điểm z
0
.
1.3.2 Thặng dư và cách tính
Hệ số a
−1
trong khai triển Laurentz
f(z) =
a
−k
(z − z
0
)
k
+
a
−k+1
(z − z
0
)
k−1
+ ···+
a
−1
(z − z

0
)
+ G(z)
của hàm f tại cực điểm z
0
của nó được gọi là thặng dư của f tại cực điểm đó,
ký hiệu là Res
z=z
0
f. Như vậy Res
z=z
0
f = a
−1
.
Trong trường hợp hàm f có cực điểm đơn tại z
0
, rõ ràng chúng ta có
Res
z=z
0
f = lim
z→z
0
(z − z
0
) f(z).
Nếu cực điểm có bậc lớn hơn một, chúng ta có công thức tính thặng dư dưới
đây.
Định lí 1.3.6. Nếu f có cực điểm bậc k tại z

0
, thì
Res
z=z
0
f = lim
z→z
0

1
(k −1)!

d
dz

k−1
(z − z
0
)
k
f(z)

. (1.5)
Nếu hàm f(z) có cực điểm bậc k tại z
0
thì theo Định lý trên, ta có biểu diễn
f(z) =
g(z)
(z − z
0

)
k
,
với g(z) là hàm chỉnh hình trong lân cận của điểm z
0
. Trong trường hợp này ta
cũng có thể tính thặng dư của f nhờ định lý sau.
Định lí 1.3.7. Nếu f có cực điểm bậc k tại z
0
, và chỉnh hình trong lân cận của
điểm z
0
thì
Res
z=z
0
f =
g
(k−1)
(z
0
)
(k −1)!
.
Trong trường hợp z
0
là cực điểm đơn hoặc bậc hai, chúng ta có thể tính thặng
dư của hàm f tại các điểm đó khá đơn giản nhờ kết quả sau đây.
Hệ quả 1.3.8. Giả sử hàm f chỉnh hình trong lân cận của điểm z
0

. Khi đó
(i) nếu f (z) =
g(z)
z − z
0
, thì Res
z=z
0
f = g(z
0
).
19
(ii) nếu f (z) =
g(z)
(z − z
0
)
2
, thì Res
z=z
0
f = g

(z
0
).
Trong trường hợp hàm f được cho dưới dạng một thương, chúng ta tính thặng
dư nhờ định lý dưới đây.
Định lí 1.3.9. Giả sử f(z) =
p(z)

h(z)
, ở đó p(z) và h(z) là các hàm chỉnh hình
trong một lân cận của điểm z
0
và h(z) có không điểm bậc k tại z
0
. Nếu h(z) =
(z − z
0
)
k
q(z), ở đó q(z) là chỉnh hình trong một lân cận của z
0
và q(z
0
) = 0 thì
Res
z=z
0
f = c
k−1
,
ở đó c
k−1
là hệ số của số hạng bậc (k − 1) trong khai triển luỹ thừa của g =
p
q
trong lân cận của điểm.
Hệ quả 1.3.10. Giả sử p và h là các hàm chỉnh hình trong một lân cận của
điểm z

0
và h có không điểm đơn tại z
0
. Khi đó
Res
z=z
0

p
h

=
p(z
0
)
h

(z
0
)
.
Định lí 1.3.11. (Công thức thặng dư Cauchy). Giả sử f là hàm chỉnh hình
trong một miền D, trừ ra một số hữu hạn các cực điểm z
1
, z
2
, , z
N
nằm trong
miền đó. Khi đó, chúng ta có công thức


γ
f(z)dz = 2πi
N

k=1
Res
z=z
k
f,
ở đó γ là chu tuyến nằm trong miền D sao cho {z
1
, z
2
, , z
N
} ⊂ D
γ
⊂ D.
1.3.3 Tích phân vòng
Một số hàm dưới dấu tích phân có nhánh cắt, các định lý về lý thuyết thăng
dư không thể sử dụng để tìm được kết quả tích phân lấy theo đường cong bao
quanh nó. Có một kỹ thuật được biết như là thu hẹp của chu tuyến trên nhánh
cắt, được trình bày ngắn gọn ở đây. Ta trình bày kỹ thuật này qua các ví dụ
dưới đây.
Căn bậc hai. Xét tích phân

Γ
(z
2

− 1)
1
2
dz, (1.6)
trong đó nhánh cắt từ −1 tới 1, Γ là đường tròn không tự cắt theo hướng dương,
và điều kiện là Re(z) > 1. Từ đó hàm bị chặn khi tiến dần tới nhánh cắt, và
20
Hình 1.1: Chu tuyến bao quanh nhánh cắt cho (1.6).
không có vấn đề gì khi tính tích phân trên và dưới.
Đặt
z = x ± i; −1 < x < 1,
thì giá trị tích phân sẽ gần như tích phân trên và tích phân dưới, cái đó ta biểu
diễn bởi f
±
(x), khi cho  → 0.
f
±
(x) = ±i

1 − x
2
.
Như vậy

Γ
(z
2
− 1)
1
2

dz =

−1
1
i

1 − x
2
dx +

1
−1
(−i)

1 − x
2
dx
= −2i

1
−1

1 − x
2
dx
= −iπ.
Một cách tương tự, ta có

Γ
(z

2
− 1)
−
1
2
dz =

−1
1
(−i)

1 − x
2
dx +

1
−1
i

1 − x
2
dx
= 2i

1
−1

1 − x
2
dx = iπ.

Sự khác biệt chính, trong trường hợp này là giải quyết hình bán nguyệt nối hai
đường dưới và trên đường cắt. Trong đường tròn bán kính , hàm dưới dấu tích
phân bị chặn bởi một bội 
−
1
2
, giá trị này trở nên lớn khi  → 0. Tuy nhiên, hàm
21
dưới dấu tích phân bị chặn bởi tích cận này với độ dài hình bán nguyệt, giá trị
này tỷ lệ với . Điều này sẽ giải quyết được và biểu thức dưới dấu tích phân sẽ
không vấn đề gì.
Tích phân vòng của Hankel. Xét tích phân

0+
−∞
t
z
e
t
dt.
Ký hiệu −∞, 0+ cho các giới hạn đường viền bắt đầu và kết thúc tại p = −∞,
Hình 1.2: Chu tuyến cho tích phân vòng Hankel’s.
và đường tròn quay quanh gốc tọa tọa độ theo hướng dương một lần, như hình
(1.2). Đây là tiêu chuẩn cho tích phân vòng xung quanh điểm có nhánh duy
nhất. Chúng ta có thể thu nhỏ chu tuyến bao quanh gốc tọa độ như là đường
tròn bị co lại. Ký hiệu bán kính của đường tròn là , thì tích phân bị chặn bởi
2πmax
|t|=



t
z
e
t


= 2πe

max
|t|=



e
(x+iy)(ln|t|+i arg(t))



= 2πe

max
|t|=



e
x ln −y arg(t)




< 2π
1++Re(z)
e
πIm(z)
.
Cố định z trong khi  → 0, tích phân không tham gia vào điều kiện Re (z) > −1.
Trong tích phân phía trên và phía dưới của nhánh cắt ta đặt t = r.exp(±iπ), ta
được

0+
−∞
t
z
e
t
dt = −

∞
0
(re
−iπ
)
z
e
−r
dr +

∞
0
(re

iπ
)
z
e
−r
dr
= −2i sin πz

∞
0
r
z
e
−r
dr.
(1.7)
22
1.4 Hàm giai thừa
Hàm giai thừa được định nghĩa
z! =

∞
0
x
z
e
−x
dx; Re(z) > −1. (1.8)
Khi z = n là một số nguyên dương thì nó được tính n! = n.(n − 1) 2.1. Tích
phân trong công thức (1.8) là hội tụ khi Re(z) > 0, điểm kỳ dị tại z = −1 sẽ tạo

ra sự phân kỳ ở giới hạn cận dưới.
Rễ ràng đưa ra kết quả thác triển giải tích của z! trên toàn bộ mặt phẳng phức,
qua đó chứng minh nó là một hàm phân hình, và tạo ra sự đặc biệt của hàm số.
Ta tách tích phân thành hai phần,
z! =

1
0
x
z
e
−x
dx +

∞
1
x
z
e
−x
dx
=

1
0
x
z
e
−x
dx + Ω(z).

Riêng phần thứ hai ký hiệu Ω(z) rõ ràng là một hàm nguyên. Hơn nữa, ta có
thể mở rộng theo cấp số nhân trong tích phân khác và đồng nhất các số hạng
ta được

1
0
x
z
e
−x
dx =

1
0
∞

n=0
(−1)
n
x
z+n
n!
dx
=
∞

n=0
(−1)
n
n!(z + n + 1)

.
(1.9)
Chuỗi này hội tụ ngoại trừ tại một số giá trị nơi có một số hạng có cực điểm
đơn. Rõ ràng, cực điểm tại z = −(n + 1), n  0 với thặng dư tương ứng là
(−1)
n
n!
.
Cuối cùng, hàm z! là phân hình, là tổng của hàm như vậy và hàm nguyên, và
nó thừa hưởng cấu trúc đặc biệt của công thức (1.9).
Các mối quan hệ phương trình hàm. Hàm giai thừa thỏa mãn một số hệ
thức, trong đó có ba hệ thức quan trọng
z! = z(z − 1)!, (1.10)
z!(−z − 1)! =
−π
sin πz
, (1.11)
z!(z +
1
2
)! = π
1
2
2
−(2z+1)
(2z + 1)!. (1.12)