Phương pháp monte carlo lượng tử cho các hệ thấp chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2








NINH THỊ LIÊN








PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO
LƢỢNG TỬ CHO CÁC HỆ THẤP CHIỀU


Chuyên ngành: Vật lí chất rắn
Mã số: 60 44 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT


Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thế Lâm











HÀ NỘI, 2013


1
LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Thế Lâm.Thầy đã hướng dẫn và
truyền cho tôi những kinh nghiệm quý báu trong học tập và trong nghiên cứu
khoa học để động viên, khích lệ tôi vươn lên trong học tập và vượt qua những
khó khăn.Tôi đã từng bước tiến hành và hoàn thành luận văn với đề tài:
“Phƣơng pháp Monte Carlo lƣợng tử cho các hệ thấp chiều”
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối
với thầy.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2,

Khoa Vật lý, phòng sau đại học trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình cao học và luận văn tốt nghiệp.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình , các đồng chí đồng nghiệp và bạn bè
đã tạo mọi điều kiện, động viên, đóng góp những ý kiến quý báu để tôi hoàn
thành luận văn này.


Hà Nội, tháng 10 năm 2013
Tác giả



Ninh Thị Liên




2
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của tôi, không sao
chép hoặc trùng với kết quả của bất kỳ tác giả nào đã công bố. Nếu sai tôi
hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 9 năm 2013
Tác giả


Ninh Thị Liên

3
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN…………………………………………………………… 1
LỜI CAM ĐOAN………………………………………………………… 2
MỤC LỤC……………………………………………………………… 3
MỞ ĐẦU……………………………………………………………… … 4
Chƣơng 1.TỔNG QUAN VỀ CÁC VẬT LIỆU THẤP CHIỀU………….5
1.1.Tổng quan về vật liệu của hệ thấp chiều……………………… 5
1.1.1.Mở đầu……………………………………………………… 6
1.1.2.Vật liệu hai chiều…………………………………………… 7
1.1.3.Vật liệu một chiều…………………………………………….8
1.1.4.Vật liệu không chiều………………………………………….8
1.2.Hệ hai chiều………………………………………………………9
1.3.Hệ một chiều…………………………………………………….10

1.3.1.Dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn……………… 13
1.3.2.Dây lượng tử hình trụ với hố thế parabol………………… 14
1.3.3.Dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn………….15
1.4.Hệ không chiều………………………………………………….16
1.4.1.Chấm lượng tử hình lập phương…………………………….17
1.4.2.Chấm lượng tử hình cầu…………………………………… 18
Chƣơng 2.PHƢƠNG PHÁP MONTE CACRLO KHUẾCH TÁN
LƢỢNG TỬ……………………………………………………………… 21
2.1.Mở đầu………………………………………………………… 21
2.2.Phƣơng pháp thực hiện…………………………………………23
2.3.Phƣơng trình schrodinger thời gian ảo……………………… 24
2.4.Công thức tích phân đƣờng…………………………………….25
2.5.Phƣơng pháp monte cacrlo…………………………………… 32
Chƣơng 3.PHƢƠNG PHÁP MONTE CACRLO KHUẾCH TÁN
LƢỢNG TỬ CHO CÁC HỆ THẤP CHIỀU…………………………… 35
3.1.Thuật toán……………………………………………………….35
3.2.Lƣu đồ máy tính cho chƣơng trình………………………… 38
3.3.Dao động tử hai chiều………………………………………… 42
3.4.Giếng lƣợng tử……………………………………………… 43
3.5.Dây lƣợng tử…………………………………………………… 44
3.5.1.Dây thẳng………………………………………………… 45
3.5.2.Dây cong………………………………………………… 46
3.6.Chấm lƣợng tử………………………………………………… 47
KẾT LUẬN…………………………………………………………………48
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………50
PHỤ LỤC…………………………………………………………….…… 52


4
MỞ ĐẦUở đầu

1. Lý do chọn đề tài
- Hiện nay các hệ thấp chiều đạng được sự tập chung nghiên cứu bởi
các nhà khoa học trên thế giới và ở Việt Nam hướng nghiên cứu này cũng
được khởi động mạnh mẽ trong một vài năm trở lại đây. Khi số chiều của một
hệ vật lý giảm kéo thao sự thay đổi các tính chất vật lý và con người tìm được
các tính chất vật lý mới cho quá trình ứng dụng chế tạo các thiết bị lượng tử
(máy tính lượng tử, các linh kiện điện tử có hiệu ứng lượng tử…)
- Các hệ thấp chiều cũng đã được nghiên cứu bởi các nhà lý thuyết
song kết quả chỉ dừng lại ở các trường hợp đơn giản, các hệ có thế phức tạp
vẫn còn chưa thực hiện được. Để giải quyết các khó khăn này thì máy tính là
một giải pháp và đặc biệt là mô hình hóa. Phương pháp montecarlo là phương
pháp sử dụng rất rộng rãi trên thế giới còn đối với việt nam thì phương pháp
này còn rất mới lạ, ít người biết đến và hầu hết bằng tài liệu tiếng anh.
- Trên cơ sở sử dụng con số ngẫu nhiên đã mở ra rất nhiều ứng
dụng.một trong những ứng dụng đó là người ta có thể tính tích phân xác định,
đặc biệt là các tích phân nhiều chiều và các điều kiện biên phức tạp. Phương
pháp Monte Carlo thường thực hiện lặp lại một số lượng rất lớn các bước đơn
giản song song với nhau. Một phương pháp phù hợp cho máy tính,kết quả của
phương pháp này càng chính xác khi số lượng lặp các bước tăng.
- Chính vì những lý do trên và những ứng dụng thiết thực của nó mà tôi
lựa chọn đề tài ―Phƣơng pháp montecarlo lƣợng tử cho các hệ thấp chiều‖
để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm năng lượng và hàm sóng ở trạng thái cơ bản của các hệ thấp chiều
như: giếng lượng tử, dây lượng tử và chấm lượng tử…


5
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các mô hình lý thuyết về các hệ thấp chiều

- Xây dựng chương trình máy tính để mô ta các hệ thấp chiều
- So sánh các kết quả tìm được với các mô hình lý thuyết
- Mở rộng bài toán cho các trường hợp tổng quát
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Các hệ thấp chiều: giếng lượng tử, dây lượng tử và chấm lượng tử…
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp lý thuyết
- Phương pháp mô hình hóa bằng máy tính
6. Đóng góp mới
-Xây dựng được chương trình máy tính tìm năng lượng và hàm sóng
cho các hệ thấp chiều ở dạng tổng quát


6
Chƣơng 1
TỔNG QUAN VỀ CÁC VẬT LIỆU THẤP CHIỀU

1.1 . Tổng quan về vật liệu của hệ thấp chiều
1.1.1. Mở đầu
Các tính chất vật lý của các hệ ba chiều đã được nghiên cứu và ứng
dụng trong nhiều năm qua, song khi một hoặc một số chiều khi giảm kích
thước thì vật liệu lại xuất hiện các tính chất mới. Chính vì vậy có sự chuyển
hướng đối tượng nghiên cứu từ các khối tinh thể sang các màng mỏng và cấu
trúc nhiều lớp. Trong các đối tượng đó (ta gọi là hệ), hầu hết các tính chất
điện tử đều thay đổi đáng kể. Đặc biệt, một số tính chất mới khác, ta gọi là
hiệu ứng kích thước đã xuất hiện.
Trong các cấu trúc có kích thước lượng tứ, nơi các hạt dẫn bị giam giữ
trong các vùng kích thước đặc trưng cỡ bước sóng Do Broglie, các tích chất
vật lý và điện tử thay đổi rất đặc biệt, ở đây, các quy luật lượng tử bắt đầu có
hiệu lực, trước hết thông qua việc biến đổi đặc trưng cơ bản của hệ điện tử là

phổ năng lượng của nó. Phổ năng lượng của điện tử trở nên gián đoạn dọc
theo hướng tọa độ bị giới hạn. Dưới ảnh hưởng của trường ngoài hay các tâm
tán xạ (phonon, tạp chất, ) thường chỉ hai mà không phải là ba thành phần
động lượng của hạt dẫn có thể bị biến đổi. Do đó dáng điệu của các hạt dẫn
trong cấu trúc kích thước lượng tử tương tự như trong khí hai chiều, thậm chí
khi các hệ trên có quy mô xác định theo tất cả các tọa độ.
Cấu trúc với khí điện tử hai chiều (hố lượng tử bán dẫn) có một loạt tích
chất khác thường so với đặc tính của hệ điện tử và lỗ trống trong bán dẫn khối
thông thường. Các cấu trúc tương tự được ứng dụng ngày càng phổ biến trong
nhiều loại linh kiện bán dẫn mới, đặc biệt để đáp ứng các nhu cầu trong lĩnh
vực quang điện tử.

7
Việc cấu trúc với khí điện tử hai chiều ngày nay trở thành trung tâm
chú ý của các nhà vật lý có liên quan chặt chẽ tới sự phát triển mạnh mẽ và
sâu rộng của công nghệ Epitaxy bằng chùm phân tử. một công nghệ rất thích
hợp để tạo ra cấu trúc với phân bố thành phần tùy ý chính xác tới từng lớp đơn
phân riêng lẻ.
Ngày nay, bằng cách áp dụng phương pháp Epitaxy hiện đại như
Epitaxy dòng phân tử, một hướng nghiên cứu mới đã được hình thành trong
việc tạo nên các bán dần gồm nhiều lớp mỏng xen kẽ có độ dày cỡ nanô mét
gọi là bán dẫn có cấu trúc nanô. Bán dẫn có cấu trúc nanô có những đặc tính
mới so với bán dẫn thông thường do đó tạo ra được những linh kiện, thiết bị
mới có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật và đời sống. Khác vói bán dẫn khối,
trong cấu trúc trên, ngoài trường thế tuần hoàn của các nguyên tử, trong tinh
thể còn tồn tại một thế phụ cũng tuần hoàn trong không gian cấu hình nhưng
với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so vói chu kỳ thay đổi thế năng của trường các
nguyên tử trong mạng [7].
Trong cấu trúc đa lớp mà các lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp xen kẽ giữa
các lớp có vùng cấm rộng, các hạt tải nằm trong một lớp bất kỳ của bán dẫn

vùng cấm hẹp không thể xuyên qua để đi tới các lớp tiếp theo của bán dẫn
vùng cấm hẹp. Các hạt tải bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly trong các hố
lượng tử hai chiều, tức trong các lớp mỏng của bán dẫn vùng cấm hẹp. Các
lớp bán dẫn có bề rộng vùng cấm tạo nên một hàng rào thế (tể ngăn cản
electron chuyển động trong một hố lượng tử không thể chuyển động qua các
hố khác, cấu trúc đa lớp này gọi là cấu trúc hệ nhiều hố lượng tử và mỗi lớp
riêng biệt gọi là các hố lượng tử. Trường hợp các: lớp ngăn cách của bán (lần
vùng cấm rộng có độ dày không lớn có thể cho phép các hạt tải bằng hiệu ứng
đường hầm xuyên qua hàng rào thế năng từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp sang

8
các lớp bán dẫn vùng cấm hẹp gần nhất, cấu trúc như vậy gọi là siêu mạng
bán dẫn.
Đặc điểm của hệ điện tử trong siêu mạng là chuyển động của hệ điện tử
theo hướng 2 (hướng thay đổi của thế phụ tuần hoàn) bị lượng tử hóa, chỉ còn
chuyển động tự do theo mặt phẳng (x,y). Do cấu trúc: của siêu mạng, các
phản ứng của hộ điện tử đối với các tác dụng của trường ngoài (điện trường,
sóng điện từ) xảy ra khác biệt so vói hệ điện tử ba chiều. Các phản ứng khác
biệt này làm thay đổi đáng kể tính chất vật lý của các vật liệu và làm xuất hiện
thêm những đặc tính mới ưu việt mà hệ điện tử ba chiều không có.
1.1.2. Vật liệu hai chiều
Siêu mạng bán dẫn pha tạp:được tạo từ hai bán dẫn đồng nhất được pha
tạp một cách khác nhau. Siêu mạng pha tạp được tạo nên do sự sắp xếp tuần
hoàn của các lớp bán dẫn mỏng GaAs loại n (GaAsSi) và GaAs loại p
(GaAsBe), ngăn cách bởi các lớp GaAs không pha tạp. Vì vậy được gọi lạ
tinh thể n-i-p-i. Trong siêu mạng pha tạp sự phân bố điện tích đóng vai trò
quyết định đối với việc tạo nên thế siêu mạng. Nếu mật độ các chất pha tạp
không quá cao và số acceptor trong lớp p trùng với các donor trong các lớp n
thì tất cả các tâm donor trong siêu mạng pha tạp đền tích điện dương còn tất
cả các tâm acceptor đều tích điện âm.

Siêu mạng bán dẫn hợp phần: được tạo nên từ các lớp mỏng bán dẫn
gọi chung là A,có vùng cấm
A
g

hẹp,có độ dày a(chẳng hạn như GaAs) và cốc
bán dẫn gọi chung là B có vùng cấm
B
g

rộng có độ dày b (chẳng hạn Al - As)
xen kẽ nhau vô hạn dọc theo trục siêu mạng (trục z). Từ sự tương quan vị trí
giữa đáy và đỉnh vùng dẫn của các bán dẫn người ta đã phân loại siêu mạng
hợp phần như sau:
 Loại I: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm hoàn toàn
bao nhau. Trong siêu mạng, này tương tác giữa các hạy mang từ các lớp riêng

9
biệt chỉ xảy ra giữa các vùng năng lượng cùng loại, ở đây cả lỗ trống và diện
tử đều bị giam nhốt trong cùng lớp A. Loại này được tạo bởi GaAs/Al
x
Ga
1 -
x
As, lớp GaAs có độ dày hơn 2nm, phần Al có mode ít hơn 0,3.
 Loại II: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm nằm gàn
nhau nhưng không bao nhau hoặc chỉ trùng nhau một phần. Trong trường hợp
này các hạt mang khác loại có thể tương tác với nhau. Siêu mạng loại này lại
được chia ra hai loại:
 Loaị IIA: Bán dẫn khe vùng không gian gián tiếp. Lỗ trống bị giam

trong cùng lớp A. điên tử bị giam trong cùng lớp B
 Loại IIB: Hoặc không có hoặc có khe năng lượng rất nhỏ giữa các điện
tử trong lớp B và các lỗ trống trong lớp A.
1.1.3. Vật liệu một chiều
Đại diện các vật liệu một chiều có thể kể đến các vật liệu
polime.polyme là những hợp chất có phân tử khối rất lớn do nhiều đơn vị
nhỏ(gọi là mắt xích) liên kết với nhau do các mắt xích
26
[CH ]NH CO   

liên kết với nhau tạo nên hệ số n được gọi là hệ số polyme hóa.Các phân tử
tạo nên từng mắt xích của polyme được gọi là monome.Trong thực tế nó tồn
tại một số mạch như sau: Mạch không phân nhánh ,ví dụ: a) polietilen,
amilozo….b) mạch phân nhánh, ví dụ: amilopectin, glicogen…c) mạch mạng
lưới, ví dụ: cao su lưu hóa,nhựa bakelit…
1.1.4. Vật liệu không chiều
Vật liệu nano: là vật liệu trong đó ít nhất một chiều có kích thước
nanomet.Vật liệu có ba trạng thái rắn, lỏng, khí.Vật liệu nano được tập trung
nghiên cứu hiện nay là vật liệu rắn, sau đó mới đến lỏng và khí.
Hình dạng vật liệu được chia ra các loại sau:
Vật liệu nano không chiều (cả ba chiều đều có kích thước nano không còn
chiều tự do nào cho điện tử) ví dụ như đám nano, hạt nano

10
Vật liệu nano một chiều là vật liệu trong đó hai chiều có kích thước
nano,điện tử được tự do trên một chiều (hai chiều cầm tù) ví dụ như dây nano,
ống nano.
Vật liệu nano hai chiều vật liệu trong đó một chiều có kích thước nano,
hai chiều tự do ví dụ như màng mỏng
Ngoài ra còn có vật liệu có cấu trúc nano tức là chỉ có một phần của vật

liệu có kích thước nanomet hoặc cấu trúc có nano không chiều, một chiều, hai
chiều đan xen lẫn nhau
1.2. Hệ hai chiều
Hố lượng tử (quantum wells) là một cấu trúc bán dẫn thuộc hệ điện tử
chuẩn hai chiều, được cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ
bằng nhau, có cấu trúc tinh thể tương đối giống nhau. Tuy nhiên, do các chất
bán dẫn khác nhau có độ rộng vùng cấm khác nhau, do đó tại các lớp tiếp xúc
giữa hai loại bán dẫn khác nhau sẽ xuất hiện độ lệch ở vùng hoá trị và vùng
dẫn. Nếu chúng ta tạo ra hai lớp dị tiếp xúc của hai chất bán dần bằng phương
pháp Epitaxy chùm phân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hoá hữu cơ
(MOCVD) thì có thể xẩy ra một số khả năng:

Hình 1: Mô hình hoá vùng năng lượng.

(i) Các điện tử trong bán dẫn vùng cấm hẹp sẽ bị phản xạ khi chúng đến
dị tiếp xúc từ bên phải, vì thế chúng bị giam giữ trong lớp bán dẫn vùng cấm
hẹp (mô tả trên hình 1a). Các điện tử trong bán dẫn có vùng cốm rộng ở trong

11
miền có thế năng cao hơn, nên khi đến lớp dị tiếp xúc từ bên trái, các điện tử
được gia tốc bởi điện trường ở mặt phân cách và thu được động năng nào đó.
Chuyển động của các điện tử được tăng tốc theo chiều vuông góc với dị tiếp
xúc. Cả hai tính chất này đều được sử dụng trong các linh kiện dị tiếp xúc.
(ii).Hai lớp dị tiếp xúc được ghép cạnh nhau tạo thành một hàng rào thế
(hình 1b). Các cấu trúc này rất được chú ý khi kích thước của chúng nhỏ hơn
bước sóng De Broglie của điện tử. Một điện tử tới hàng rào thế mỏng có thể
xuyên qua hàng rào và dịch chuyển này có thể thay đổi được bằng cách thay
đổi các tham số của hàng rào thế hoặc đặt vào hệ một điện trường. Đây là cơ
sở cho một phương pháp mới ctể điều khiển chuyển động của các hạt tải trong
cốc linh kiện bán dẫn.

Ta quan tâm xét đến trường hợp được mô tả trên (hình 1c) - Hố lượng
tử - cấu trúc mà trong đó một lớp mỏng chất bán dẫn này được đặt giữa hai
lớp bán dẫn khác. Sự khác biệt giữa các cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng
hoá trị của hai chất bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện
tử. Các hạt tải điện nằm trong mỗi lớp chất bán dẫn này không thể xuyên qua
mặt phân cách để đi đến các lớp chất bán dẫn bên cạnh (tức không có hiệu
ứng đường hầm). Như vậy trong các cấu trúc này các hạt tải điện bị định xứ
mạnh, chúng bị cách li lẫn nhau trong các giếng thế năng hai chiều. Hàm sóng
của điện tử bị phản xạ mạnh tại các thành hố, do đó các điện tử bị giữ lại
trong hố thế và phổ năng lượng của nó bị lượng tử hoá, các giá trị xung lượng
được phép của điện tử theo chiều vuông góc với dị tiếp xúc cũng bị giới hạn.
Chính nhờ vào hiệu ứng lượng tử quan trọng này (sự lượng tử hóa năng lượng
của điện tử trong hố lượng tử) mà người ta có thể điều chỉnh hoặc tối ưu hóa
(bằng cách lựa chọn độ rộng hoặc độ sâu hố thế của vật liệu) vào các mục
đích ứng dụng cụ thể hoặc để điều khiển chính xác các dịch chuyển của điện
tử trong các thiết bị kiểu transistor. Điều kiện để có thể quan sát được các

12
hiệu ứng liên quan đến điện tử trong hố lượng tử là khoảng cách giữa hai mức
năng lượng liên tiếp E
2
— E
1
phải lớn so với năng lượng chuyển động nhiệt
k
B
T đồng thời cũng phải lớn so với độ rộng va chạm của các mức (τ là thời
gian phục hồi xung lượng trung bình), tức là:

21

,
B
E E k T


(1.1)


Hình 2. Mật độ trạng thái trong hệ 2 chiều và 3 chiều

Như đã biết, nếu như trong cấu trúc hệ điện tử ba chiều, mật độ trạng
thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật E
1
/
2
(E là năng lượng của điện
tử) thì trong hố lượng tử cũng như trong các: cấu trúc thấp chiều khác, mật độ
trạng thái bắt đầu tại giá trị nào đó khác 0 tại trạng thái năng lượng cho phép
thấp nhất (E = 0) và tăng theo quy luật khác E
1/2
(dạng bậc thang). Sự thay
đổi mật độ trạng thái cũng được coi lẩ một hiệu ứng lượng tử quan trọng xuất
hiện trong các cấu trúc hố lượng tử cũng như trong các cấu trúc hệ thấp chiều
khác do sự giam giữ điện tử. Vì các dịch chuyển phụ thuộc vào mật độ trạng
thái (hoặc trạng thái đầu hoặc trạng thái cuối), nên các dịch chuyển sẽ được
mở rộng do mật độ trạng thái khác không tại cực tiểu vùng năng lượng. Chính

13
vì vậy sự thay đổi mật độ trạng thái trong cấu trúc hố lượng tử có đóng góp
quan trọng trong các Laser bán dẫn hố lượng tử.

Với các cặp chất bán dẫn như Ge/GaAs, AlAs/GaAs, InAs/GaSb…
[14] cấu trúc hố lượng tử được coi là có chất lượng tốt, và khi đó có thể coi hố
thế được hình thành là hố thế vuông góc. Xét trường hợp hố thế vuông góc,
giả sử trục z là trục dọc theo hố lượng tử. Giá trị khối lượng hiệu dụng của
điện tử dọc theo các trục chính của hố thế là như nhau và hố thế có thành cao
vô hạn, độ rộng hố thế lượng tử là L.
Đối với các điện tử trong vùng dẫn của hố thế, phổ năng lượng của
chúng được xác định nhờ định lí Wannier [22]. Giả sử hàm sóng của điện tử
trong hố thế có dạng tổ hợp tuyến tính của hàm bao và hàm Wannier
()
i
W r R
:

,
( ) ( ) ( )
n i i
ni
x R W r R



(1.2)
trong đó ψ(x) là hàm bao còn W(x) là hàm Wannier. Khi đó ctể tìm trạng thái
và phổ năng lượng của điện tử trong hố lượng tử ta giải phương trình
Schrodinger hay nói theo cách khác theo định lí Wannier, hàm bao phải thoả
mãn phương trình

22
2

( ) ( ) ( ) ( )
2*
c
U z r E E r
mr



   



(1.3)
trong đó,
( ) ( ) ( )U z U r V r
là thế năng của hố lượng tử; E là năng lượng của
điện tử trong hố lượng tử; E
c
là năng lượng đáy vùng dẫn, có thể đặt E
c
= 0.
Với giả thiết hố thế có thành cao vô hạn, phương trình (10) cho nghiệm là
hàm sóng và phổ năng lượng của điện tứ trong hố lượng tử như sau:

,0
( ) sin ;( ( . ))
ik r
n k x y
n
r e z k k k

L









(1.4)

2
2
2
( ) ;
2*
nn
n z z
n
E k k k k
mL



  

(1.5)

14

Trong các biểu thức (1.4) và (1.5) trên. ψ
0
là hằng số chuẩn hoá;
r

là
vectơ bán kính của điện tử trong mặt phẳng xy;
k

là vectơ sóng của điện tử
trong mặt phẳng xy; Như vậy, (lọc theo trục k
z
của mạng đảo, điện tử bị giam
cầm trong hố lượng tử chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, do đó trong
cùng một vùng năng lượng xuất hiện các vừng con (subband). Sự gián đoạn
của phổ năng lượng điện tử là đặc trưng nhất của điện tử bị giam cầm trong
các hệ thấp chiều nói chung và trong hố lượng tử nói riêng.
Trong trường hợp xuất hiện từ trường đều
B
hướng theo trục z (
B
||0
z
)
tức vuông góc với thành hố, chuyển động của điện tử trong mặt phẳng (x, y)
cũng bị lượng tử hóa. Nếu chọn thế vectơ
A
= (0, By, 0), khối lượng hiệu
dụng đẳng hướng (
*

m

=
*
z
m
=
*
m
):

,0
2
( ) ( ) sin
y
ik y
n k N
y
n
r x x e z
L L L







(1.6)

22
2
,
*2
1
()
22
n N c
E k N n
mL




  


(1.7)
Trong các biểu thức (13),(14),
*
c
eB
cm


là tần số cyclotron; N =
0,1,2, là chỉ số mức phân vùng từ Landau;
()
N
x


là hàm sóng của dao động
tử điều hòa;
*
0
( ) ( )
y c y
x k m c k eB

   
là vị trí tâm quỹ đạo;
y
L
độ dài
chuẩn hóa theo hướng 0y.
1.3. Hệ một chiều
Dây lượng tử là một ví dụ về hệ khí điện tử một chiều. Dây lượng tử có
thể được chế tạo nhờ phương pháp epitaxv MBE. hoặc kết tủa hữu cơ kim
loại MOCVD. Một cách chế tạo khác là sử dụng các cong (gates) trên một
transistor hiệu ứng trường, bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều
hơn trên hệ khí điện tử hai chiều. Bài toán tìm phổ năng lượng và hàm sóng

15
điện tử trong dây lượng tử có thể được giải dễ dàng nhờ giải phương trình
Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều:

2
2
*
( ) ( )

2
H V r U r E
m



     


(1.8)
Trong đó,
()Ur
là thế năng tương tác giữa các điện tử.
()Vr
là thế năng
giam giữ điện tử do sự giảm kích thước; m* là khối lượng hiệu dụng của điện
tử (ta giả thiết rằng z là chiều không bị lượng tứ hoá).
1.3.1. Dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn
Dây lượng tử hình trụ là loại dây lượng tử hay được sử dụng nhất trong
các nghiên cứu lí thuyết. Xét bài toán với dây lượng tử có bán kính R, thế
giam giữ vô hạn ở ngoài dây và bằng không bên trong dây:

0
()Vr





(1.9)

Với thế năng này, hàm sóng và phổ năng lượng trong hệ toạ độ trụ
(r,∅,z)

,,
,
0
0
1
( , , )
()
in ikz
n l k
nl
rz
e e r
V









(1.10)
Trong biểu thức (27).
2
0 z
V R L



là thể tích dây lượng tử
0, 1, 2, n   

là các số lượng tử phương vị;
1,2,3, l 
là các số lượng tử xuyên tâm;
(0,0, )
z
kk
là vectơ sóng của điện tử;
,
()
nl
r

là hàm sóng xuyên tâm của điện
tử chuyển động trong mặt phang (0xy) có dạng:

,,
1,
1
( ) ( )
()
n l n n l
n n l
r
r J B
J B R




(1.11)
Trong biểu thức (1.11) trên,
,nl
B
, là nghiệm thứ của hàm Bessel cấp n
tương ứng với phường trình
,
()
n n l
JB
0
(ví dụ: B
01
= 2,405; B
11
= 3,832). Như
đã biết, trong dây lượng tử, chuyển động của điện tử bị giới hạn trong mặt
Khi
rR

Khi
rR

Khi
rR

Khi

rR


16
phẳng (Oxy) và năng lương của nó theo các phương này bị lượng tử hóa. Phố
năng lượng của điện tử có dạng:
,,
( ) ( )
n l z n l
E k E k E
(1.12)
trong đó,
22
()
2*
z
z
k
Ek
m

là động năng theo phường 0z của điện tử (phường
chuyến động tự do của điện tử);
2
2
,
,
*2
2
nl

nl
B
E
mR

là năng lượng gián đoạn theo
các phường còn lại.
Thừa số dạng đặc trưng cho sự giam cầin điện tử trong dây lượng tử,
trong trường hợp dây lượng tử hình trụ có dạng:

' ' ' '
'
*
,
2
, , , ,
0
2
( ) ( ) ( ) ( )
R
nl
n l n l n l
nn
I q J q R r r rdr
R






(1.13)
Do sự phức tạp của hàm sóng xuyên tâm (1.11) nên không thể tính giải
tích tường minh đối với tích phân (1.13). Tuy nhiên theo [20], nếu chỉ quan
tâm đến các trạng thái cơ bản của điện tử thì tích phân này có thể tính được
nhờ áp dụng gần đúng hàm sóng và năng lượng của điện tử ở các trạng thái
này.
1.3.2. Dây lượng tử hình trụ với hố thế Parabol
Giả sử hố thế giam giữ dạng parabol đối xứng trong mặt phẳng xy:

*2
1
2
c
V m R


(1.14)
ở đây, ω
0
là tần số hiệu dụng của hố thế. Hàm sóng và phổ năng lượng thu
được trực tiếp từ việc giải phương trình Schrodinger:

2
2
0
2
2
,
2
0 0 0

2 ! 1
()
( )!
l
r
ikz
l
a
n l n
e n r r
r e L
n l a a a
L


   

   

   
(1.15)

 
22
,0
*
( ) 2 1
2
nl
k

E k n l
m

   
(1.16)

17
Trong đó,
0
*
0
a
m


;
l
n
L
là đa thức Lagrange tổng quát.
1.3.3. Dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế vô hạn
Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay
được đề cập đến trong các công trình mang tính lí thuyết. Với mô hình dây
lượng tử hình chữ nhật có các kích thước ba trục được giả thiết lần lượt là
, , ;( , )
x y z z x y
L L L L L L
. Giả sử thế giam cầm điện tử cao vô hạn theo cả hai
vuông góc x và y:
0

V





(1.17)
Khi đó hàm sóng có thể viết là [21]:
,,
1 2 2
sin sin
( , , )
0
ikz
x x x y y
n l k
n x n y
e
x y z
L L L L L
















(1.18)
và phổ năng lượng của điện tử:

2 2 2 2 2 2
,
* * 2 2
()
22
nl
xy
k n l
Ek
m m L L


  



(1.19)
Trong đó n, l là các số lượng tử của hai phương bị lượng tử hoá x và y;
(0,0, )
z
kk
là vectơ sóng của điện tử. Thừa số dạng được cho bởi

' ' ' '
*
,
, , , ,
0
( ) ( )
R
iqr
nl
n l n l n l
I e r r dr



(1.20)
Lấy tích phân theo toàn thể tích dây lượng tử và bỏ qua quá trình
Umklapp. chúng ta được:
'
'
''
4 ' 2
4 ' 2
22
, , ,
4 2 2 2 '2 4 2 '2 2 4 2 2 2 '2 4 2 '2 2
32 ( ) (1 ( 1) os( ))
32 ( ) (1 ( 1) os( ))
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
ll

nn
y y y y
x x x x
n l n l
x x x x y y y y
q L ll c q L
q L nn c q L
I
q L q L n n n n q L q L l l l l


   





   
       
   

(1.21)

Nếu
0 ;0
yx
y L x L   

Nếu ngược lại

Khi
0
0
y
x
yL
xL








Nếu ngược lại


18
1.4. Hệ không chiều
Khi chuyển động của điện tử bị giới hạn theo cả ba chiều trong không
gian, hệ vật liệu như vậy được gọi là chấm (điểm) lượng tử (quantum). Với sự
tiến bộ của công nghệ chế tạo vật liệu mới, chấm lượng tử ngày càng đóng vai
trò quan trọng trong các nghiên cứu cơ bản. Một chấm lượng tử tiêu chuẩn
thường có kích thước nhỏ hơn kích thước của exciton (~10mm), và lớn hơn
nhiều so với hằng số mạng tinh thể (0,5mm). Chấm lượng tử thường được chế
tạo nằm trong một tinh thể khác, trong ma trận thủy tinh (1nm < R < 100nm
với R là bán kính chấm), trong dung dịch hoặc được cấy lên một số lượng
tử…

1.4.1. Chấm lượng tử hình lập phương
Chúng ta xét mô hình khối mà hạt chuyển động trong khối hộp ba chiều
có kích thước là a. Khi đó phương trình Schodinger có the viết dạng phân li
biến số. Thế năng của hạt chuyển động trong khối hộp ba chiều so dạng [4]:

( ) ( ) ( ) ( )V r V x V y V z  
(1.22)
Bài toán đưa về việc giải trình Schroclinger:
2 2 2 2 2 2
* 2 * 2 * 2
( , , ) ( , , ) ( , , )
2 2 2
V x y z x y z E x y z
m x m y m z


  
    

  

(1.23)
Với:

0
( , , )V x y z






(1.24)
Giải hệ phương trình trên ta sẽ tìm được: hàm sóng:

2
os
()
2
sin
x
x
n
x
nx
c
aa
x
nx
aa












(1.25)
Khi
, , / 2x y z a

Khi
, , / 2x y z a

Khi
1,3,5,
x
n 

Khi
2,4,6,
x
n 


19

2
os
()
2
sin
y
y
n
y
ny

c
aa
y
ny
aa











(1.26)


2
os
()
2
sin
z
z
n
z
nz
c

aa
z
nz
aa











(1.27)

Phổ năng lượng tương ứng là:

 
2
2 2 2
*
2
x y z
n n n n
E k k k
m
  
(1.28)

Trong đó:

2
2
2
2 2 2
2 2 2
;;
x y z
y
x
z
n n n
n
n
n
k k k
a a a



  
(1.29)
Khi
1
x y z
n n n  
thì độ rộng vùng cấm hiệu dụng sẽ là:

2

*
*2
3
2
gg
EE
ma


(1.30)
1.4.2. Chấm lượng tử hình cầu
Xét tinh thể nano hình cầu có kích thước lớn hơn hằng số mạng, với
kích thước này các biểu diến về cấu trúc tinh thể có thể sử dụng được. Giả sử
thế năng có dạng là

0
0
()
r
Ur
V




(1.31)
Với R là bán kính của chấm lượng tử hình cầu.
Có thể viết hàm riêng ở dạng phân ly biến số trong tọa độ cầu:
Khi
rR

Khi
rR

Khi
1,3,5,
y
n 

Khi
2,4,6,
y
n 

Khi
1,3,5,
z
n 

Khi
2,4,6,
z
n 


20
, , , , ,
( ) ( ) ( )
l m n l m n l m
r r Y

  


với
,
()
lm
Y

là hàm cầu điều hòa; l,m,n là các số lượng
tử. Phần hàm sóng phụ thuộc r thỏa mãn phương trình Schrodinger xuyên tâm
sau:

2
2
, , , ,
22
1 ( 1)
[r ( )] ( ) 0
rr
l m n l m n
d l l
r k r
r dr r



   



(1.32)
Và

2
2
, , , ,
22
1 ( 1)
[r ( )] ( ) 0
rr
l m n l m n
d l l
r k r
r dr r



   


(1.33)
Nghiệm của hai phương trình này có dạng:

,
,,
3
1,
()
2
()

()
r
l n l
n l m
l n l
r
J
R
r
RJ





(1.34)
Giá trị năng lượng riêng được tính từ điều kiện hàm song triệt tiêu ở
r=R, nghĩa là:

,
( ) 0
l n l
rR
r
J
R



(1.35)

Có dạng:
2
2
,
,
*2
2
nl
n l g
h
EE
mR


(1.36)
Với
,nl

là hàm cầu Bessel ứng với các số lượng tử n và l.
Đánh dấu các số lượng tử l = 0, 1, 2, tương ứng với các lớp s, p, d,
ở trạng thái đầu là:
1 1 1 2 2
, 4.493, 5.763, 2 , 7,725
s p d s p
p
     
    
Dễ dàng thấy rằng, năng
lượng lượng tử hóa của trạng thái cơ bản (n=1 và l=0) được cho bởi:
22

1,0
*2
2
g
h
EE
mR


(1.37)
Khi
rR

Khi
rR


21
Năng lượng của hạt trong giếng thế cầu gồm các giá trị gián đoạn và tỉ
lệ nghịch với bình phương bán kính R
2
. Độ rộng vùng cấm hiệu dụng trong
trường hợp này:

22
*
*2
2
gg
h

EE
mR


(1.38)




22
Chƣơng 2
PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO KHUẾCH TÁN LƢỢNG TỬ

2.1. Mở đầu
Phương trình Schrodinger đưa ra mô tả chấp nhận được về hiện tượng
siêu vi.nhiều năng lượng phân tử và bán dẫn chịu sự chi phối của bởi phương
trình này.Vì phương trình của Schrodinger chỉ được giải theo phép giải tích
trong một số ít trường hợp lý tưởng cao:cho hầu hết các hệ thực tế,chúng ta
cần đến mô tả số học.chúng tôi muốn giới thiệu một phương pháp số học
tương đối gần đây trong giải phương trình Schrodinger,phương pháp khuếch
tán ánh sáng Monte Carlo.phương pháp này phù hợp để miêu tả trạng thái cơ
bản của nhiều hệ lượng tử.
Nghiệm của phương trình phụ thuộc thời gian Schrodinger được đưa ra
như là sự tổ hợp tuyến tính của trạng thái tĩnh,trong đó sự phụ thuộc thời gian
được đưa bởi hệ số pha exp(-iE
n
t/ ),E
n
là cấp năng lượng n-th của hệ lượng
tử đang tính.Thang năng lượng được chọn để tất cả năng lượng là

dương.Trong phương pháp DMC,nên xem xét lời giải cho phương trình
Schrrodinger giả thiết thời gian ảo

,tức là sau khi thay thế thời gian t=-
i

.Nghiệm sau đó được đưa ra bởi tổng số biến đổi trong công thức exp(-
iE
n
t/ ),n=0,1…
Phương pháp DMC dựa trên quan sát rằng khi một hệ lượng tử phát
triển trong thời gian ảo biến đổi dài nhất tương ứng với trạng thái cơ bản với
năng lượng
E0 <E
n
, n=1,2
…Theo dõi sự thay đổi của hàm sóng trong thời
gian ảo đủ lớn, ta có thể xác định cả hai năng lượng trạng thái cơ bản E
o
và
hàm sóng cơ bản

o
của một hệ lượng tử, không quan tâm đến trạng thái ban
đầu của hệ.Phương pháp DMC đưa ra một cách phát triển thực tế của thời

23
gian ảo,hàm sóng của hệ lượng tử và cuối cùng đạt được năng lượng trạng
thái cơ bản và hàm sóng.
Phương pháp DMC có thể được đưa vào công thức bằng hai cách khác

nhau.cách thứ nhất là dựa trên sự giống nhau của phương trình Schrodinger
thời gian ảo và một phương trrình khuếch tán tổng hợp.Thuât ngữ động (thế)
năng trong phương trình Schrodinger tương ứng với thật ngữ khuếch tán
(nguồn/bể/phản ứng) trong phương trình khuếch tán tổng hợp.sự phát sinh của
phương trình khuếch tán –phản ứng có thể được giải quyết bằng việc mượn
phép ―phép tính ngẫu nhiên‖ khi nó lần đầu tiên được đề nghị bởi Fermi
khoảng 1945 [1.2].Thực ra phương trình thời gian ảo Schrodinger có thể được
giải bởi tái tạo sự dịch chuyển ngẫu nhiên của các hạt chủ thể của quá trình
sinh-hủy áp đặt bởi thuật ngữ nguồn/bể.Sự phân bố xác suất di chuyển của
các hạt là đồng nhất với hàm sóng. Điều này chỉ xảy ra khi những hàm sóng
là dương, đây là đặc điểm giới hạn phạm vi ứng dụng của phương pháp DMC.
Công thức của DMC như trên được đưa ra lần đầu tiên bởi Anderson[3]
người đã sử dụng phương pháp này đểtính năng lượng cơ bản của phân tử nhỏ
như H
3
+
.
Công thức thứ hai của phương pháp DMC phát sinh từ phương pháp
tích phân đường của Feynman của phương trình phụ thuộc thời gian
Schrodinger. Bằng phương pháp tích phân đường mà hàm sóng có thể biểu
hiện như là tích phân đa chiều được đánh giá bằng áp dụng phương pháp
Monte Carlo.Thuật toán để giải phương trình khuếch tán được tuân thủ bởi
hàm sóng và thuật toán để đánh giá biểu diễn tích phân đường của hàm sóng
sinh ra một và cùng công thức của DMC.Ta lựa chọn công thức nào của
phương pháp DMC phụ thuộc vào sự thành thạo của mình:Một công thức của
DMC dựa trên phương trình khuếch tán yêu cầu hiểu biết căn bản về lý thuyết

24
của quá trình ngẫu nhiên,công thức tích phân đường rõ ràng yêu cầu sự thành
thạo với công thức tương ứng của cơ học lượng tử.

Để trình bày công thức tích phân đường trong phương pháp
DMC.chúng tôi cũng trình bày một thuật toán số học và chương trình máy
tính dựa trên phương pháp DMC,chúng ta áp dụng chương trình này để tính
năng lượng trạng thái cơ bản và phương trình sóng cho một số hệ lượng tử
mẫu.
2.2. Phƣơng pháp thực hiện
Công thức lý thuyết của phương pháp DMC,được trình bày dưới đây đi
theo ba bước.Những bước này được phác thảo ra để giúp chúng ta có cái nhìn
tổng quan.
Bước một: phương trình phụ thuộc thời gian ảo
Trong bước này,nghiệm của phương trình phụ thuộc thời gian
Schrodinger về hệ lượng tử được trình bày như chuỗi mở rộng đối xứng về
hàm đặc trưng của Hamiltonian.Sau đó biểu diễn sự chuyển đổi từ thời gian t
sang thời gian ảo

,thay thế t

-i

.Lời giải của phương trình Schrodinger
thời gian ảo đạt được trở thành một chuỗi đột biến số rã theo hàm mũ



.Biến đổi kéo dài nhất tương ứng trạng thái cơ bản của hệ.
Bước hai:Công thức tích phân và tích phân Monte Carlo
Trong bước này,phương trình Schrodinger thời gian ảo được nghiên
cứu bằng phương pháp tích phân đường.Bằng việc sử dụng tích phân
đường,với điều kiện một hàm sóng trạng thái ban đầu được đưa ra.Phương
pháp Monte Carlo [4] cho phép ta đánh giá theo tích phân đường số học đến

độ chính xác như ý,áp dụng hàm sóng trạng thái ban đầu là xác định
dương.Trong trường hợp này hàm sóng được hiểu là mật độ xác suất và
phương pháp Monte Carlo cổ điển đơực áp dụng.Theo cơ học lượng tử,bình
phương của một giá trị của hàm sóng là mật độ xác suất,thực tế là hàm sống