Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử schrödinger trong một số trường hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN CHÍ HẢI
ƯỚC LƯỢNG SỐ CÁC GIÁ TRỊ RIÊNG
ÂM CỦA TOÁN TỬ SCHR
¨
ODINGER
TRONG MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí
Hà Nội-2012
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí.
Em xin được chân thành cảm ơn TS. Tạ Ngọc Trí. Sự tận tình chỉ
bảo của Thầy trong suốt quá trình học tập và làm luận văn đã giúp em
trưởng thành hơn rất nhiều về cách tiếp cận một vấn đề mới.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán
Giải tích đã nhiệt tình cung cấp các tri thức khoa học giúp em nâng cao
trình độ tư duy, hoàn thành tốt quá trình học tập và làm luận văn.
Tôi cũng xin được cảm ơn Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, trường Cao đẳng Kinh tế-Kỹ thuật Trung ương, đã
luôn quan tâm giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ,
động viên kịp thời để tôi hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Nguyễn Chí Hải
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí.
Trong khi thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoa
học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Nguyễn Chí Hải
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Không gian Lebesgue L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Không gian L
p
yếu . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Bất đẳng thức Sobolev . . . . . . . . . . . 13
1.5. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6. Toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7. Toán tử Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . 20
1.8. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . 21
Chương 2. Điều kiện Rollnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1. Quan hệ với không gian L
p
. . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Dạng p-không gian . . . . . . . . . 26
2.3. Quan hệ với chuỗi Born . . . . . . . . . 30
2.4. Hạch tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Thế năng miền hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6. Một số ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.7. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . 40
Chương 3. Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử
Schr
¨
odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1. Phương trình tích phân cho trạng thái tới hạn . . . . . . 42
3.2. Cận trên của số các giá trị riêng âm . . . . . . . . . . 46
3.3. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . 49
3
4
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
BẢNG KÝ HIỆU
inf M cận dưới đúng của tập số thực M
R đường thẳng thực
R
n
không gian Euclid n - chiều
C trường số phức
H không gian Hilbert
x, y tích vô hướng x và y
 chuẩn trong không gian
|x| giá trị tuyệt đối của số x
z liên hợp của số phức z
|x| =

n

i=1
x

i
2
chuẩn Euclid của x
V
1
2
||
(x) = |V (x)|
1
2
V
1
2
(x) = V
1
2
||
(x)[sgnV (x)] căn của toán tử năng lượng
T
−1
nghịch đảo của toán tử T
D(A) miền xác định của toán tử A
∂f(x)
∂x
i
đạo hàm riêng của f tại theo x
i
∇f(x) gradient của f tại x
∆ =
n


i=1
∂
2
∂x
2
i
toán tử Laplace
H = H
o
+ V toán tử Schr¨odinger
A
∗
toán tử liên hợp của toán tử A
f : X → Y ánh xạ từ X vào Y
suppf giá của hàm f
f ∗ g tích chập của f và g
L
p
(X) 1 ≤ p < ∞ các hàm đo được p - khả tích
f
L
p
= f
p
= [

X
|f(x)|
p

dµ]
1/p
chuẩn trong L
p
(X)
f
L
∞
= f
∞
f
∞
= inf{C : |f(x)| ≤ C h.k.n} chuẩn trong L
∞
(X)
L
∞
(X) 1 ≤ p < ∞ các hàm đo được bị chặn h.k.n
h.k.n hầu khắp nơi
ρ(T ) tập giải thưc của toán tử T
σ(T ) phổ của toán tử T
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết phổ của toán tử Schr¨odinger đã thu hút được sự quan tâm
và nghiên cứu của nhiều nhà toán học. Nó là sự kết hợp chặt chẽ của
giải tích hàm, phương trình đạo hàm riêng và biến đổi Fourier, và có vai
trò quan trọng trong vật lý.
Trong cơ học lượng tử chúng ta gặp toán tử Schr¨odinger −∆ + V .
Trong rất nhiều các trường hợp của V , phổ của toán tử −∆ + V có
một phần giống như phổ của toán tử Schr¨odinger "tự do" −∆, tức là

[0, ∞) và một số các giá trị riêng âm. Một số trường hợp ta có thể ước
lượng được số các giá trị riêng âm đó. Việc làm này có ý nghĩa trong
vật lý (xem [4], [8], [12] và những tài liệu trích dẫn trong đó). Luận văn
này nghiên cứu một số ước lượng về số giá trị riêng âm của toán tử
Schr¨odinger khi toán tử thế năng V được xét trong một số lớp hàm đặc
biệt.
Sau khi được học những kiến thức về giải tích hàm, phương trình đạo
hàm riêng và biến đổi Fourier, cùng với sự định hướng của thầy TS.Tạ
Ngọc Trí, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học,
mối quan hệ và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu:
“Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong một số
trường hợp” để làm luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nắm được các khái niệm và ứng dụng của “Ước lượng số các giá trị
riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp” để bổ sung
kiến thức, củng cố và hiểu biết sâu hơn về toán giải tích , lý thuyết toán
tử.
7
3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về “Ước lượng số các giá trị riêng
âm của toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp”.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng: Nghiên cứu về “Ước lượng số các giá trị riêng âm của
toán tử Schr¨odinger trong một số trường hợp”.
• Phạm vi: Các bài báo, các tài liệu trong và ngoài nước nghiên cứu
về “Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odinger trong
một số trường hợp”.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dung nghiên
cứu;
• Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu thu thập

được qua những tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng các phương
pháp nghiên cứu của giải tích hàm, lý thuyết toán tử.
• Tham khảo ý kiến của chuyên gia.
6. Những đóng góp của đề tài
• Trình bày được một cách có hệ thống những kiến thức cơ bản về
“Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử Schr¨odingertrong
một số trường hợp” và các tính chất của nó.
• Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà khoa học nghiên
cứu và công bố về “Ước lượng số các giá trị riêng âm của toán tử
Schr¨odinger trong một số trường hợp”.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cần
thiết về những không gian và những toán tử mà chúng ta cần dùng đến
trong các chương sau. Những kiến thức trình bày trong chương này được
chọn từ các tài liệu [1], [2], [5], [12].
1.1. Không gian Banach
Cho X là một không gian vectơ trên trường số phức C .
Định nghĩa 1.1.1. Một chuẩn, kí hiệu ||· ||, trong X là một ánh xạ đi
từ X vào R thỏa mãn các điều kiện:
1) ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ X ;
2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);
3) ||λx|| = |λ|||x|| với mọi số λ ∈ C và mọi x ∈ X;
4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ X.
Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Một không
gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được
gọi là một không gian định chuẩn.
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi
x, y ∈ X, đặt
ρ(x, y) = ||x −y||

Khi đó, ρ là một metric trên X.
Định nghĩa 1.1.3. Dãy (x
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi
là hội tụ đến x
0
∈ X nếu lim
n→∞
||x
n
− x
0
|| = 0.
8
9
Khi đó, ta kí hiệu
lim
n→∞
x
n
= x
0
hoặc x
n
→ x
0
, khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.4. Dãy (x
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi

là một dãy cơ bản, hay dãy Cauchy, nếu
lim
m,n→∞
||x
m
− x
n
|| = 0.
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian
metric đầy đủ (với khoảng cách ρ(x, y) = ||x−y||). Khi đó X được gọi là
một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.6. Cho X và Y là hai không gian véc tơ trên trường C.
Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là toán tử tuyến
tính nếu A thỏa mãn:
1) A(x + y) = Ax + Ay ∀x, y ∈ X;
2) A(αx) = αAx ∀x ∈ X, α ∈ C.
Khi X = Y thì A gọi là toán tử trên X. Khi Y = C thì toán tử tuyến
tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.7. Cho X và Y là hai không gian Banach. Cho toán
tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → Y xác định trên không gian véc tơ con
D(A) của X vào không gian Y . Tập D(A) gọi là miền xác định của A.
Tập
KerA = N(A) = {x ∈ D(A) : Ax = 0} ⊂ X
gọi là hạch của A. Ta nói A bị chặn trên X nếu D(A) = X và tồn tại
hằng số c ≥ 0 sao cho:
||Ax|| ≤ c||x|| ∀x ∈ X.
10
Mệnh đề 1.1.8. Giả sử toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định
chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó, các mệnh đề sau là tương
đương:

1) A bị chặn;
2) A liên tục;
3) A liên tục tại 0.
Định nghĩa 1.1.9. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu
L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X
vào không gian Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:
• Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B, xác
định bởi biểu thức
(A + B)(x) = Ax + Bx, với mọi x ∈ X;
• Tích vô hướng của α ∈ C với toán tử A ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí
hiệu αA, được xác định bởi biểu thức
(αA)(x) = α(Ax).
Dễ kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai
phép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian véc tơ. Khi đó, tập
L(X, Y ) trở thành một không gian véc tơ trên trường C. Trong trường
hợp Y = C, thì L(X, C) được gọi là không gian liên hợp của X, kí hiệu
X
∗
. Nếu Y = X thì L(X, Y ) được kí hiệu gọn lại là L(X)
Với mỗi A ∈ L(X, Y ), đặt
||A|| = sup
x=0
||Ax||
||x||
.
Ta có || · || xác định như trên là một chuẩn trong L(X, Y ). Như thế,
không gian L(X, Y ) với chuẩn vừa nêu trở thành một không gian định
chuẩn.
11
Mệnh đề 1.1.10. Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) cũng

là không gian Banach.
Từ định lý trên suy ra X
∗
luôn là không gian Banach.
1.2. Không gian Lebesgue L
p
Cho (X, S, µ) là một không gian đo được, nghĩa là X là một tập và
(i) S là một σ−đại số trong X, nghĩa là S là một họ những tập con
của X sao cho:
(a) ∅ ∈ S,
(b) A ∈ S ⇒ A
c
∈ S,
(c) Nếu A
n
∈ S ∀n thì
∞

n=1
A
n
∈ S,
(ii) µ là một độ đo xác định trên S, nghĩa là µ : S → [0, ∞] thỏa
mãn:
(a) µ(∅) = 0,
(b) Nếu (A
n
) là một họ đếm được các phần tử rời nhau của S, thì
µ


∞

n=1
A
n

=
∞

n=1
µ(A
n
).
Phần tử của S gọi là tập đo được. Đôi khi ta viết |A| thay cho µ(A).
Tập A ∈ S với tính chất µ(A) = 0 gọi là tập có độ đo không. Ta nói
rằng, một tính chất nào đó đúng hầu khắp nơi trên X nếu tính chất đó
đúng khắp nơi trên X ngoại trừ một tập có độ đo không nào đó của X.
Hàm f : X → R gọi là đo được trên A nếu
∀a ∈ R : {x ∈ A : f(x) < a} ∈ S.
Trong trường hợp X = R
n
và S là những tập hợp đo được theo nghĩa
Lebesgue thì ta nói tắt f(x) là hàm đo được (xem [2], tập 1, tr. 125]).
Khi đó tích phân Lebesgue của hàm f(x) trên tập đo được A được kí
12
hiệu là

A
f(x)dµ(x) hoặc


A
f(x)dx hoặc

A
f(x)d
n
x.
Nếu

A
f(x)dx < ∞ thì ta nói f(x) khả tích trên A (xem [2], tập 1, tr.
163]). Ta luôn quy ước hai hàm f và g đo được trên X là bằng nhau
nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơi trên X, nghĩa là µ{x ∈ X : f(x) =
g(x)} = 0.
Định nghĩa 1.2.1. Cho (X, S, µ) là một không gian đo được. Kí hiệu
L
1
(X, µ) (hoăc L
1
) là không gian các hàm khả tích trên X với
f
L
1
= ||[f]||
1
=

X
|f|dµ =


|f|.
Cho p ∈ R với 1 < p < ∞, kí hiêu L
p
là không gian các hàm số f(x)
có lũy thừa bậc p khả tích trên X, nghĩa là|f(x)|
p
∈ L
1
với
f
L
p
= ||[f]||
p
=


X
|f|
p
dµ

1/p
.
Kí hiệu L
∞
là không gian các hàm đo dược trên X sao cho tồn tại
hằng số C để |f(x)| ≤ C hầu khắp nơi trên X với
f
L

∞
= f
p
= inf{C : |f(x)| ≤ C hầu khắp nơi trên X}.
Định lý 1.2.2. (xem [2], tập 2, tr. 21] hoặc [4], pp. 89-92) Các không
gian L
p
với chuẩn cho bởi f
L
p
như trong định nghĩa trên là những
không gian Banach.
1.3. Không gian L
p
yếu
Trong mục này chúng ta trình bày sơ lược về không gian L
p
yếu, một
loại không gian được dùng nhiều trong Vật lý.
13
Hàm phân bố m
f
(t) (hoặc đơn giản là m(t)) của hàm đo được f trên
không gian đo được (M, µ) được định nghĩa:
m
f
(t) = µ{x |f(x)| > t}.
Bổ đề 1.3.1. (xem [12], chương 1) f ∈ L
p
(µ) khi và chỉ khi


∞
0
t
p−1
m(t)dt < ∞(1 ≤ p < ∞)
và f
p
p
= p

∞
0
t
p−1
m(t)dt.
Không gian L
p
yếu được kí hiệu là (L
p
)
W
và được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.3.2. f ∈ (L
p
)
W
khi và chỉ khi m
f
(t) ≤ c/t

p
với một
c < ∞.
Như vậy L
p
⊂ (L
p
)
W
, nhưng có thể chứng minh để thấy rằng L
p
là
tập con thực sự của (L
p
)
W
. Ví dụ (L
p
)
W
(R) chứa các hàm có dạng x
−1/p
.
Một tính chất quan trọng đối với không gian L
p
yếu là bất đẳng thức
khác nhau với f ∈ L
p
có thể mở rộng thành f ∈ (L
p

)
W
. Vì vậy các tích
phân ban đầu có thể là logarit phân kì lại trở thành hội tụ. Một đặc
trưng rất cơ bản của (L
p
)
W
ở dạng không tường minh có trong nghiên
cứu của Calderon, Lions và Peetre, Stein và Weiss (xem [12], Chương I).
Bổ đề 1.3.3. Cho p
0
< p < p
1
. Khi đó f ∈ (L
p
)
W
khi và chỉ khi tồn tại
c
0
, c
1
sao cho với mọi λ, f = f
0,λ
+ f
1,λ
với
f
i,λ


p
i
< C
i
(λ)
1−(p/p
i
)
i = 0, 1.
Chứng minh. Chúng minh sơ cấp có thể tìm thấy trong [9]. Ý tưởng của
chứng minh, theo ngôn ngữ của mục 2.1, là f ∈ (L
p
W
), thì f
>
∈ L
q
với
q < p và f
<
∈ L
q
với q > p. 
1.4. Bất đẳng thức Sobolev
Trong mục này ta điểm qua một số nội dung về bất đẳng thức Sobolev
sẽ dùng đến trong chương sau:
14

|f(x)||h(y)|

|x −y|
λ
d
n
xd
n
y  C
p,r,λ,n
|f
p
h
r
,
với f ∈ L
p
(R
n
), h ∈ L
r
(R
n
) và
1
p
+
1
r
+
λ
n

= 2, λ < n.
Chứng minh đầu tiên của kết quả này thuộc về Hardy và Littlewood
cho trường hợp n = 2, và Sobolev quy từ trường hợp tổng quát về n = 1.
Sau đó, Du Plessis tìm được chứng minh hoàn toàn sơ cấp bằng thủ thuật
quy từ n bất kì về n = 1 (xem [12], chương I và các tài liệu trích trong
đó). Chứng minh kết quả này của Stein và Weiss khá lí thú bằng cách
sử dụng mở rộng định lý nội suy của Marcinkiewicz. Ta trình bày một
chứng minh đơn giản bằng cách dùng hai công thức nội suy:
i) Định lý nội suy Marcinkiewicz (xem [12]):
Cho p
i
< q
i
, i = 1, 2. Cho
T : L
p
i
→ (L
q
i
)
w
,
bị chặn, i = 1, 2. Giả sử q
1
= q
2
. Khi đó, với bất kì 0 < t < 1, T : L
p
→

L
q
là ánh xạ bị chặn, trong đó
1
p
=
t
p
1
+
(1 −t)
p
2
;
1
q
=
t
q
1
+
(1 −t)
q
2
. (1.1)
Ở đây, ta nói rằng có cùng một ánh xạ trên các không gian L
p
nghĩa
là ta có một ánh xạ trên các tổng hữu hạn của các hàm đặc trưng của
các tập có độ đo hữu hạn mà ta thác triển nhờ tính liên tục. Ta nói ánh

xạ T : L
p
→ (L
q
)
W
là ánh xạ bị chặn nếu tồn tại số C không phụ thuộc
vào t sao cho m
T f
(λ) < C[
f
p
λ
]
q
với mọi f ∈ L
p
.
i) Định lý nội suy (xem [12]):
Cho q
1
= q
2
, p
1
= p
2
. Cho
T : L
p

i
→ L
q
i
15
bị chặn, i = 1, 2. Khi đó, với 0 < t < 1, T : (L
p
)
W
→ (L
q
)
W
là bị chặn,
trong đó p và q cho bởi (1.1).
Trong phần còn lại của, q, q

(hoặc q, q

) là cặp chỉ số liên hợp: p
−1
+
(p

)
−1
= 1.
Bổ đề 1.4.1. Cho f ∈ L
p
. Nếu g ∈ L

p

, thì f ∗ g ∈ L
∞
, và f ∗ g
∞
≤
f
p
g
p
. Nếu f ∈ L
p
và g ∈ L
1
, thì f ∗g ∈ L
p
và f ∗ g
p
≤ f
p
g
1
.
Chứng minh. Nếu g ∈ L
p

, vì bất đẳng thức H¨older:






f(x)g(y − x)dx




≤ f
p
g
p

có chứng minh trong mệnh đề đầu. Cho g ∈ L
1
và h ∈ L
p

là tùy ý. Khi
đó:





h(x)(f ∗ g)(x)





≤

|h(x)||f(x − y)||g(y)|dxdy
≤

dy


|h(x)f(x − y)|dx

|g(y)|
≤ g
1
|h| ∗|f|
∞
≤ g
1
h
p

f
p
.
Vì vậy f ∗g ∈ L
p
và f ∗g
p
≤ g
1
f

p

Bổ đề 1.4.2. (xem, [12], tr. 11). Cho f ∈ L
p
. Cho g ∈ (L
q
)
W
trong đó
1 < q < p

. Khi đó f ∗ g ∈ (L
s
)
W
trong đó p
−1
+ q
−1
= 1 + s
−1
.
Bổ đề 1.4.3. (xem, [12], tr. 11) Cho f ∈ L
p
. Cho g ∈ (L
q
)
W
trong đó
1 < q < p


< ∞. Khi đó f ∗ g ∈ L
s
trong đó p
−1
+ q
−1
= 1 + s
−1
.
Nhận xét 1.4.4. Sử dụng định lý Hunt, ta có thể chứng minh định lý
Young yếu, tức là (L
p
)
W
+ (L
q
)
W
∩ (L
s
)
W
.
Bổ đề 1.4.3 tương đương với
Định lý 1.4.5. Cho f ∈ L
p
, g ∈ (L
q
)

W
, h ∈ L
r
với p
−1
+ q
−1
+ r
−1
= 2,
p, q, r < ∞. Khi đó





f(x)g(x − y)h(y)




< C
g
f
p
h
r
.
16
Chứng minh. p

−1
+ q
−1
> 1 nên 1 < q < p

< ∞. Vì vậy f ∗g ∈ L
r

. 
Hệ quả 1.4.6. Cho p > 1, r > 1, λ < n, p
−1
+ r
−1
+ (λ/n) = 2. Cho
f ∈ L
p
(R
n
), h ∈ L
r
(R
n
). Khi đó

|f(x)||h(y)|
|x −y|
λ
d
n
xd

n
y ≤ C
p,r,λ,n
f
p
h
r
.
Chứng minh. Cho g(z) = 1/|z|
λ
. Khi đó m
g
(t) bằng giá trị một hình cầu
có bán kính t
−1/λ
= C
n
t
−n/λ
. Vì vậy g ∈ (L
n/λ
)
W
và Định lý 1.4.5 suy ra
kết quả. 
1.5. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.5.1. ([7], pp. 201-222) Cho H là một không gian véc tơ
trên trường C(gọi tắt là không gian véc tơ phức). Ánh xạ B : H×H → C
được gọi là một dạng tuyến tính rưỡi (sesqiulinear form) nếu B(x
0

, ·) là
tuyến tính, B(·, y
0
) là liên hợp tuyến tính:
B(x + y, z + w) = B(x, y) + B(x, w) + B(y, z) + (y, w),
B(ax, by) = a
¯
bB(x, y),
với mọi x, y, z, w ∈ H, a, b ∈ C.
Định nghĩa 1.5.2. Không gian véc tơ phức H được trang bị một dạng
tuyến tính rưỡi ·, · thỏa mãn x, x > 0 với mọi x ∈ H \{0}, được gọi
là không gian có tích vô hướng (0 kí hiệu phần tử không trong H ). Khi
đó, ·, · gọi là tích vô hướng trên H, số x, y gọi là các tích vô hướng
của hai phần tử x và y. Không gian có tích vô hướng còn được gọi là
không gian tiền Hilbert.
Nhận xét 1.5.3. Tích vô hướng ·, · thỏa mãn các điều kiện sau:
1. y, x = x, y với mọi x, y ∈ H ;
17
2. x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H;
3. (αx, y)αx, y = αx, y với mọi số α ∈ C và mọi x, y ∈ H;
4. x, x > 0 với mọi x ∈ H \ {0};
5. x, x = 0, nếu x = θ.
Cho H là một không gian tiền Hilbert. Với mỗi x ∈ H, ta đặt ||x|| =

x, x. Khi đó, ta có bất đẳng thức (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz):
|(x, y)| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ H.
Từ bất đẳng thức trên ta suy ra kết quả sau:
Mệnh đề 1.5.4. Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định
chuẩn, với chuẩn ||x|| =


x, x.
Từ đây về sau, nếu không nói khác đi, ta luôn hiểu không gian tiền
Hilbert là không gian định chuẩn, với chuẩn ||x|| =

x, x.
Định nghĩa 1.5.5. Nếu không gian tiền Hilbert H với metric cho bởi
ρ(x, y) = x, y là một không gian metric đủ, thì H được gọi là không
gian Hilbert.
Từ đây trở đi, H sẽ luôn được hiểu là không gian Hilbert.
Định lý 1.5.6. (Riesz, xem [12]). Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f
trên H đều có dạng
f(φ) = ψ, φ,
với một ψ ∈ H xác định. Mọi dạng tuyến tính rưỡi bị chặn B trên H
(nghĩa là B thoả mãn |B(ψ, φ)|  cψφ) đều có dạng B(ψ, φ) =
ψ, Aφ, với A là toán tử bị chặn xác định một cách duy nhất.
Ứng dụng trực tiếp của định lý trên ta có định nghĩa toán tử liên
hợp bị chặn: Nếu A là toán tử bị chặn, B(ψ, φ) = Aψ, φ thoả mãn
|B(ψ, φ)|  Aψφ, thì ta có thể:
18
Định nghĩa 1.5.7. Cho toán tử bị chặn A, ta định nghĩa toán tử A
∗
,
gọi là liên hợp của A, bởi đẳng thức sau
ψ, A
∗
φ = Aψ, φ.
Định nghĩa 1.5.8. Ta nói rằng trong không gian Hilbert H, ψ
n
hội tụ
đến ψ theo chuẩn khi và chỉ khi ψ

n
− ψ → 0.
1.6. Toán tử tự liên hợp
Không phải tất cả các toán tử vật lý đều bị chặn. Những toán tử
không bị chặn không thể xác định khắp nơi trên toàn bộ không gian. Ta
có
Định lý 1.6.1. (Hellinger-Toeplitz, [7], p. 203). Toán tử A xác định
khắp nơi thỏa mãn φ, Aψ = Aφ, ψ thì bị chặn.
Như vậy, kết quả trên nói rằng, ngay cả với toán tử đối xứng A, D(A)
không thể là cả không gian Hilbert H. Tuy vậy, tồn tại một lớp quan
trọng các toán tử A mà D(A) trù mật trong H: D(A) = H. (Xem [7], p.
204). Để nghiên cứu những toán tử không bị chặn, ta dùng định nghĩa
sau
Định nghĩa 1.6.2. ([7], Def. A.9.) Cho A với D(A). Ta nói rằng ψ ∈ D
khi và chỉ khi ánh xạ φ → ψ, Aφ xác định với φ ∈ D(A) là ánh xạ liên
tục, và có thác triển (mở rộng) lên tất cả các φ ∈ H. Toán tử liên hơp
cuả A là toán tử A
∗
xác định với D(A
∗
) = D sao cho A
∗
ψ, φ = ψ, Aφ
Có thể thấy rằng, A
∗
là toán tử tuyến tính.
Định nghĩa 1.6.3. Ta nói rằng A là toán tử Hermit nếu φ, Aψ =
Aφ, ψ với mọi φ, ψ ∈ D(A).
Định nghĩa 1.6.4. Cho A là một toán tử. Ta nói A là tự liên hợp nếu
A = A

∗
.
19
Định nghĩa 1.6.5. Cho A là một toán tử tự liên hợp. Tập giải thức của
A, kí hiệu là ρ(A), gồm tất cả những số phức z sao cho {(A −z)φ, φ :
φ ∈ D(A)} là đồ thị của một toán tử bị chặn, nghĩa là: tồn tại toán tử
bị chặn
˜
A để
{(φ, ψ) ∈ H ×H : φ ∈ D(

A), ψ =
˜
Aφ} = {(A −z)φ, φ : φ ∈ D(A)}.
Tập σ(A) = C \ ρ(A) gọi là phổ của A.
Định nghĩa 1.6.6. ([7], tr. 206) Cho Avà B là hai toán tử trên H với
B là toán tử Hermit. Nếu
(i) D(A) ⊂ D(B)
(ii) Tồn tại a < 1 và b > 0 sao cho
Bψ ≤ aψ + bψ
với mọi ψ ∈ D(A), thì ta nói B nhỏ hơn A theo nghĩa Kato(Kato-small
relative to A). Nếu trong (ii) ta có thể chọn a nhỏ tùy ý và b không phụ
thuộc a thì khi đó ta nói B bé hơn A theo nghĩa Kato(Kato-tiny relative
to A).
Định nghĩa 1.6.7. Nếu H = L
2
(X, dµ) và toán tử A trên H có dạng
(Af)(x) =

X

A(x, y)f(x)dµ(y)
thì A(x, y) gọi là hạch của A. Toán tử A có hạch A(x, y) thỏa mãn

X
|A(x, y)|
2
dµ(x)dµ(y) < ∞
được gọi là toán tử Hilbert-Schmidt.
Định nghĩa 1.6.8. Toán tử A được gọi là compact nếu nó liên tục và
biến mỗi tập bị chặn thành tập compact tương đối, nghĩa là: Nếu M là
tập bị chặn thì A(M) là compact tương đối (A(M) compact) .
20
Định lý 1.6.9. (Định lý giải tích Fredholm, xem [12], tr.218) Cho A(z)
là toán tử compact (z ∈ D ), giải tích trên miền D của mặt phẳng phức
(miền được hiểu là tập mở, liên thông). Khi đó, một trong các khẳng
định sau thỏa mãn:
(a) (1 −A(z))
−1
không tồn tại với bất kỳ z ∈ D.
(b) Tồn tại một tập rời rạc S trong D sao cho (1 − A(z))
−1
tồn tại
nếu z /∈ S và A(z)φ = φ có một nghiệm z ∈ S. Hơn thế, (1 −A(z))
−1
là
giải tích trong D\S và có cực tại những điểm của S.
1.7. Toán tử Schr
¨
odinger
Định nghĩa 1.7.1. Cho V , H

0
là toán tử nhân với V và Schr¨odinger tự
do trên L
2
(R
n
). Toán tử H = H
0
+V trên không gian Hilbert L
2
(R
n
) cho
bởi Hψ = H
0
ψ + V ψ với ψ ∈ L
2
(R
n
), được gọi là toán tử Schr¨odinger
hoặc toán tử Hamilton.
Lưu ý rằng, trong vật lý học toán tử H
0
được cho dưới dạng H
0
= −∆,
trong đó ∆ = ∇
2
=
n


i=1
∂
2
∂x
2
i
có tên là toán tử Laplace; V : R
n
→ R là một
hàm số.
Về miền xác định của toán tử H và tính tự liên hợp của nó được
khẳng định trong định lý sau:
Định lý 1.7.2. (Kato-Rellich, [11], Theorem 1). Cho H
0
là toán tử tự
liên hợp và giả sử rằng V là một toán tử đối xứng với D(H
0
) ⊂ D(V )
sao cho có a < 1 và số b để
V (φ) ≤ aH
0
φ + bφ
với mọi φ ∈ D(H
0
). Khi đó H
0
+V xác định trên D(H
0
)∩D(V ) ≡ D(H

0
)
là tự liên hợp.
Toán tử H
0
thường được goị là toán tử động năng, hàm số V thường
được gọi là toán tử thế năng. Toán tử Schr¨odinger và ứng dụng của nó
21
đã và đang được nghiên cứu bởi nhiều tác giả (xem [4], [8], [11], [12] và
những tài liệu trích dẫn trong đó).
Định nghĩa 1.7.3. Mặt phẳng cắt chính tắc là tập mặt phẳng số phức
bỏ đi những điểm có phần thực không âm.
1.8. Kết luận chương 1
Chương 1 đã trình bày hệ thống một kiến thức cơ bản trong giải tích
hàm sẽ dùng đến trong các chương sau.
Chương 2
Điều kiện Rollnik
Nhiều tác giả đã nghiên cứu toán tử Schr¨odinger H = H
0
+ V dưới
những khía cạnh khác nhau. Trong mỗi trường hợp người ta thường đặt
một số điều kiện lên toán tử V . Chương này dành cho việc nghiên cứu
một cách chi tiết các tính chất khác nhau của hàm đo được V (x) thỏa
mãn điều kiện Rollnik:

|V (x)||V (y)|
|x −y|
2
d
3

xd
3
y < ∞. (2.1)
Những thế năng thỏa mãn điều kiện (2.1) được Rollnik nghiên cứu
đầu tiên. Ta gọi (2.1) là điều kiện Rollnik. Tập hợp các thế năng thỏa
mãn (2.1) được kí hiệu là R. Mỗi phần tử của R được gọi là thế năng
Rollnik. Ta định nghĩa chuẩn Rollnik trong R như sau:
V 
2
R
=

|V (x)||V (y)|
|x −y|
2
d
3
xd
3
y < ∞. (2.2)
Trong phần 2.2, chúng ta sẽ chỉ ra rằng R với 
R
là một không gian
định chuẩn đủ. Lưu ý rằng, ý nghĩa của (2.1) là nó đảm bảo cho ta rằng
toán tử giới hạn của V
1
2
||
(E − H
0

)
−1
V
1
2
là một toán tử Hilbert - Schmidt
trong khi E ↑ 0 (và cho mọi E!); khía cạnh này của điều kiện Rollnik sẽ
được khẳng định trong phần 2.4. Trong chương này và trong suốt luận
văn ta sẽ dùng kí hiệu
V
1
2
||
(x) = |V (x)|
1
2
,
V
1
2
(x) = V
1
2
||
(x)[sgnV (x)].
23
2.1. Quan hệ với không gian L
p
Trong phần này, ta nghiên cứu mối liên hệ của thế năng Rollnik
cho điều kiện L

p
. Nhắc lại rằng, không gian L
p
được định nghĩa: f ∈
L
p
khi và chỉ khi

|f(x)|
p
d
3
x < ∞. Trong trường hợp này f
p
=


|f(x)|
p
dx

1
p
(1 ≤ p < ∞). L
∞
được xác định là tập của những hàm bị
chặn hầu khắp nơi với f
∞
= inf{L ||f(x)| < L } hầu khắp nơi.
Kết quả cơ bản liên kết L

p
và R là:
Định lý 2.1.1. (Kato [12]) Nếu V ∈ L
3/2
, thì V ∈ R. Cụ thể là :
V 
R
≤ CV 
3/2
, (2.3)
trong đó hằng số C không phụ thuộc vào V .
Chứng minh. Đây là hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức Sobolev, đã
trình bày trong Chương 1. 
Trong phần 2.6, ta sẽ trình bày một ví dụ về toán tử V thuộc R nhưng
không thuộc L
3/2
.
Cho một hàm f, ta có thể định nghĩa f
>
(x) = f(x) khi |f(x)| > 1 và
bằng 0 nếu trái lại. Đặt f
<
= f − f
>
. Thì f
>
∈ L
q
với q ≤ p và f
<

∈ L
r
với r ≥ p. Vì vậy Định lý 2.1.1 có hai hệ quả trực tiếp.
Hệ quả 2.1.2. Nếu p ≥ 3/2, L
p
+ L
∞
⊂ R + L
∞
, đặc biệt
L
2
+ L
∞
⊂ R + L
∞
Chứng minh. Cho V = f + g; f ∈ L
p
, g ∈ L
∞
. Thì f
>
∈ L
3/2
và
f
<
+ g ∈ L
∞
. 

Hệ quả 2.1.3. Nếu p ≤ 3/2 ≤ q, thì L
p
∩ L
q
⊂ R, đặc biệt
L
1
∩ L
2
⊂ R ∩L
1
24
Chứng minh. Nếu V ∈ L
p
∩ L
q
, thì V
>
∈ L
3/2
(khi đó V ∈ L
q
) và
V
<
∈ L
3/2
(vì V ∈ L
p
) nên V ∈ L

3/2
⊂ R. 
Định lý 2.1.4. Cho V ∈ L
1
∩ L
2
. Khi đó:
V 
R
≤ 3
1/2
(2π)
1/3
(V 
2
)
2/3
(V 
1
)
1/3
(2.4)
Chứng minh. Cho r tùy ý. Khi đó

|x−y|>r
|V (x)||V (y)|
|x −y|
2
d
3

xd
3
y ≤
1
r
2


|V (x)|d
3
x

2
=
V 
2
1
r
2
.
Mặt khác

|x−y|≤r
|V (x)|
2
|x −y|
2
d
3
xd

3
y = V 
2
2

|z|≤r
d
3
z
|z|
2
= 4πr V 
2
2
.
Vì vậy, với một hàm trên {x, y||x − y| ≤ r}, |V (x)|/ |x − y| ∈ L
2
và
do đó là |V (y)|/ |x −y|. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có

|x−y|≤r
|V (x)||V (y)|
|x −y|
2
d
3
xd
3
y ≤ 4πr V 
2

2
.
Như một kết quả, với bất kì r, ta có
V 
2
R
≤ r
−2
V 
2
1
+ 4πr V 
2
2
.
Điều này được tối ưu bởi r =

V 
2
1
/2π V 
2
2

1/3
, suy ra (2.4). 
Nhận xét 2.1.5. Định lý 2.1.4 (với một hằng số khác) có thể được
chứng minh bằng cách sử dụng (2.3), với

{x: |V (x)|>k}

|V (x)|
3/2
dx ≤ k
−1/2
V 
2
2

{x: |V (x)|≤k}
|V (x)|
3/2
dx ≤ k
1/2
V 
1
.