Đề thi học sinh giỏi Văn hóa lớp 7 tỉnh Bắc Giang năm học 2012 - 2013 môn Toán - Có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 30/3/2013
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (4,0 điểm)
1) Rút gọn:
3 2 1 3 2 1
:
2 5 10 2 3 12
A
   
= − + − +
 ÷  ÷
   
.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2012 2013P x x= − + −
với
x
là số tự nhiên.
Câu 2. (5,0 điểm)
1) Tìm
x
biết
2 1

2 .3 .5 10800
x x x+ +
=
.
2) Ba bạn An, Bình và Cường có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của An
và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5. Tính số
viên bi của mỗi bạn.
Câu 3. (4,0 điểm)
1) Cho
p
là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng
2
2012p +
là hợp số.
2) Cho
n
là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm
n
biết
4n +
và
2n
đều là các số chính
phương.
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn.
1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B. Gọi H là trung điểm
của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho
AI BC
=

. Chứng minh hai tam
giác ABI và BEC bằng nhau và
BI CE
⊥
.
2) Phân giác của các góc
·
·
,ABC BDC
cắt AC, BC lần lượt tại D, M. Phân giác của
góc
·
BDA
cắt BC tại N. Chứng minh rằng:
1
.
2
BD MN=
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho
1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 2011 2012 2013
S = − + − + + − +
và
1 1 1 1

1007 1008 2012 2013
P = + + + +
.

Tính
( )
2013
S P−
.
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký)
Giám thị 2 (Họ tên và ký)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 30/3/2013
Bản hướng dẫn có 03 trang
Câu
Phương pháp-Kết quả
Điểm
Câu 1
( 4 điểm)
1
(2điểm)
15 4 1 18 8 1
:
10 10 10 12 12 12
A

   
= − + − +
 ÷  ÷
   
0.5đ
12 11
:
10 12
=
0.5đ
6 12 72
.
5 11 55
= =
0.5đ
Vậy
72
55
A =
.
0.5
2
(2điểm)
2012 2013P x x= − + −
+ Nếu
2012x
=
hoặc
2013x
=

thì
1P =
0.5 đ
+ Nếu
2013x >
thì
2012 2013 1 2013 1P x x x= − + − > + − >
0.5đ
+ Nếu
2012x <
thì
2012 2013 2012 1 1P x x x= − + − > − + >
0.5
+ Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi
2012x =
hoặc
2013x =
.
0.5 đ
Câu 2 (4điểm)
1
(2.5điểm)
Ta có
2 1 2
2 .3 .5 10800 2 .2 .3 .3.5 10800
x x x x x x+ +
= ⇔ =
1.0 đ

( )

2.3.5 900
x
⇔ =
0.5 đ

2
30 30 2
x
x⇔ = ⇔ =
0.5
Vậy
2x =
là kết quả cần tìm.
0.5 đ
2
(2.5điểm)
+ Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là
, ,a b c
. Vì tổng số viên bi
của ba bạn là 74 nên
74a b c+ + =
0.5 đ
+ Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên
5 6 10 12
a b a b
= ⇒ =
0.5 đ
+ Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên
4 5 12 15
b c b c

= ⇒ =
0.5
+ Từ đó ta có
74
2
10 12 15 10 12 15 37
a b c a b c+ +
= = = = =
+ +
0.5đ
+ Suy ra
20; 24; 30a b c= = =
0.5đ
Câu 3
(4điểm)
1
(2điểm)
+ Vì
p
là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng
( )
3 1 , 1p k k k= ± ∈ ≥¥
0.5
+Với
3 1p k= +
suy ra
( )
( )
2
2 2 2

2012 3 1 2012 9 6 2013 2012 3p k k k p+ = + + = + + ⇒ + M

0.5
+Với
3 1p k= −
suy ra
( )
( )
2
2 2 2
2012 3 1 2012 9 6 2013 2012 3p k k k p+ = − + = − + ⇒ + M

0.5
Vậy
2
2012p +
là hợp số.
0.5
2
(2điểm)
+ Vì
n
là số có hai chữ số nên
9 100 18 2 200n n
< < ⇒ < <
0.5đ
+ Mặt khác
2n
là số chính phương chẵn nên
2n

có thể nhận các giá trị:
36; 64; 100; 144; 196.
0.5đ
+ Với
2 36 18 4 22n n n
= ⇒ = ⇒ + =
không là số chính phương

2 64 32 4 36n n n= ⇒ = ⇒ + =
là số chính phương

2 100 50 4 54n n n
= ⇒ = ⇒ + =
không là số chính phương

2 144 72 4 76n n n= ⇒ = ⇒ + =
không là số chính phương

2 196 98 4 102n n n
= ⇒ = ⇒ + =
không là số chính phương
0.5 đ
+ Vậy số cần tìm là
32n =
.
0.5đ
Câu 4
(6 điểm)
1
(3điểm)

+ Xét hai tam giác AIB và BCE
Có AI=BC (gt)
BE=BA( gt)
0.5
+ Góc
¼
IAB
là góc ngoài của tam giác ABH nên
¼
¼
¼
¼
0
90IAB ABH AHB ABH= + = +
0.5
+ Ta có
·
·
· ·
0
90EBC EBA ABC ABC= + = +
. Do đó
·
·
IAB EBC=
.
+ Do đó
( )ABI BEC c g c= − −V V
0.5 đ
+ Do

( )ABI BEC c g c= − −V V
nên
·
·
AIB BCE=
.
0.5 đ
+ Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có
·
·
0
90AIB IBH+ =
.
Do đó
·
·
0
90BCE IBH+ =
.
0.5đ
KL: CE vuông góc với BI.
0.5đ
2
(3điểm)
+ Do tính chất của đường phân giác, ta có
DM DN⊥
.
0.5 đ
+ Gọi F là trung điểm của MN. Ta có
FM FD FN

= =
.
0.5 đ
+ Tam giác FDM cân tại F nên
·
·
FMD MDF=
.
·
·
·
( óc ngoài tam giác)FMD MBD BDM g= +

·
·
MBD CDM= +
0.5 đ
Suy ra
·
·
MBD CDF=
(1)
0.5 đ
Ta có
·
·
·
MCD CDF CFD= +
(2)
Do tam giác ABC cân tại A nên

·
·
2MCD MBD=
(3)
0.5 đ
Từ (1), (2), (3) suy ra
·
·
MBD DFC=
hay tam giác DBF cân tại D. Do đó
1
2
BD DF MN= =
0.5 đ
Câu 5
(1 điểm)
Cho
1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 2011 2012 2013
S = − + − + + − +
và

1 1 1 1

1007 1008 2012 2013
P = + + + +
. Tính
( )
2013

S P−
.
(1 điểm)
+ Ta có:
1 1 1 1

1007 1008 2012 2013
P = + + + +
1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 1006 1007 1008 2012 2013
 
= + + + + + + + + +
 ÷
 
1 1 1
1
2 3 1006
 
− + + + +
 ÷
 
0.5 đ
1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 1006 1007 1008 2012 2013
 
= + + + + + + + + +
 ÷
 

1 1 1 1
2
2 4 6 2012
 
− + + + +
 ÷
 
1 1 1 1 1
1
2 3 4 2012 2013
= − + − + − +
=S.
Do đó
( )
2013
S P−
=0
0.5 đ
Điểm toàn bài (20điểm)
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm
của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và
cho điểm từng phần tương ứng.