Đề thi học sinh giỏi Toán thành phố Hà Nội năm 2013 - 2014

Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI
Năm học: 2013 - 2014
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: (5 điểm)
Cho hàm số
3
3 4
y x x
  
có đồ thị (C)
a. Tìm các điểm M, N cùng nằm trên (C) sao cho điểm
1
; 2
2
I
 

 
 
là trung điểm của đoạn thẳng
MN.
b. Cho ba điểm phân biệt A, B, C cùng thuộc (C). Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt (C) tại
điểm thứ hai lần lượt là
' ' '
, ,
A B C

. Chứng minh rằng nếu A, B, C thẳng hàng thì A’, B’, C’ cũng thẳng
hàng.
Bài 2: (5 điểm)
a. Giải phương trình:
 
2 2
2 2 5 4 1 3
x x x x
    

b. Giải hệ phương trình:
3 3 2
2 2
3 6 3 4 0
2 4 3 3 2 3 2 0
x y x x y
x y y x

     


      



Bài 3: (2 điểm)
Cho cá số thực a, b, c sao cho
0, 0, 0 1
a b c
   

và
2 2 2
3
a b c
  
. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

6
2 3 3P ab bc ca
a b c
   
 

Bài 4: (3 điểm)
Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Đặt



, , zOx
xOy yOz y
 
  
.
Lấy các điểm A, B, C lần lượt trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho
OA OB OC a
  
với
a > 0
.

Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400

a. Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho 2
BM MC

và I là trung điểm của đoạn thẳng
AM. Tính độ dài đoạn thẳng OI theo

trong trường hợp
0 0
60 , 90
  
  

b. Chứng minh rằng:
3
cos os + os
2
c c
  
  

Bài 5: (3 điểm)
Cho dãy số
( )
n
u

thỏa mãn điều kiện:
1
2
1
2
2013
, 1, 2,
2014 2014
n
n n
u
u
u u n





  



a. Chứng minh rằng
( )
n
u
là dãy số tăng
b. Với mỗi
1, ,
n n N

 
đặt
1
1
n
n
n
u
v
u



. Chứng minh rằng:
1 2
2014
n
v v v    với
mọi
1
n
