Đề thi thử môn TOÁN THPT Quốc Gia 2015 chuyên LÊ QUÝ ĐÔN – Đà Nẵng

SỞ GD-ĐT THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ QUÝ ĐÔN
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
THI THPT QUỐC GIA
Năm học 2014 – 2015
Môn thi: TOÁN HỌC
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số
4 2
8 4y x x   
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị
 
C
của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của
 
C
, biết hoành độ của tiếp điểm là nghiệm của phương
trình
 
'' 13.y x 

Câu 2. (1,0 điểm)
a. Giải phương trình
2
1 sin cos 2 sin cos .
2
x

x x x
 

  


 

b. Cho số phức
3 2z i 
. Xác định phần thực và phần ảo của
.w iz z 

Câu 3. (0,5 điểm) Giải bất phương trình
2
1
3
3
6log 5log 4 0.x x  

Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình
 
4 3
3 2
2 2 1
.
2 2
x x x
x x
x x x

  
 
 


Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân
4
2
0
2 4 1
2 1
x x
I dx
x
 



.
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp
.S ABCD
có
ABCD
là hình thang cân với hai đáy là
BC
và
AD
.
Biết
2SB a

,
2 ,AD a AB BC CD a   
và hình chiếu vuông góc của điểm
S
xuống mặt
phẳng
 
ABCD
trùng với trung điểm cạnh
.AD
Tính theo a thể tích khối chóp
.S ABCD
và
khoảng cách giữa hai đường thẳng
SB
và
AD
.
Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
     
2 2
: 2 2 4T x y   
và đường
thẳng
:3 10 0.x y   
Viết phương trình đường tròn
 
C biết tâm

I
của
 
C có hoành độ âm
và nằm trên đường thẳng
: 0,d x y 

 
C tiếp xúc với

và cắt
 
T tại
,A B
sao cho
2 2AB 
.
Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian
,Oxyz
cho điểm
 
1; 2; 2I  và mặt phẳng
 
P có phương trình
 
: 2 2 5 0P x y z   
. Hãy viết phương trình mặt cầu
 
S
có tâm

I
sao cho giao tuyến của mặt
cầu
 
S và mặt phẳng
 
P là một đường tròn có chu vi bằng
8 .

Câu 9. (0,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ
,Oxy
cho các điểm
       
2,0 , 2,2 , 4,2 , 4,0A B C D 
.
Xét các điểm có tọa độ
 
;x y với
,x y
là các số nguyên, nằm trong hình chữ nhật
ABCD
(kể cả các
điểm nằm trên các cạnh). Trong các điểm đó, chọn ngẫu nhiên một điểm. Tính xác suất để điểm
được chọn có tọa độ
 
;x y thỏa
2.x y 

Câu 10. (1,0 điểm) Cho các số thực dương
, ,a b c

thỏa mãn
2
2 .ac b bc 
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2 2 2
2 2 3 4 2 2 3 4
2 2
.
4 4
a b b c
P
a b ab b b c bc c
 
 
   

DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
Tham gia ngay!! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
www.DeThiThu.Net
ĐÁP ÁN TOÁN THPT 2014-2015
Câu Ý Nội dung Điểm
1 a
Học sinh khảo sát và vẽ đúng đồ thị hàm số 1,0
b
   
3 2
1
' 4 16 ; '' 12 16 13
2

y x x x y x x x
        
0,5
1
2
x
 
phương trình tiếp tuyến:
15 93
2 16
y x 

0,25
1
2
x
  
phương trình tiếp tuyến:
15 93
.
2 16
y x  

0,25
2 a
Biến đổi phương trình như sau
     
  
1 sin cos 2sin cos 1 2 1 sin cos 1 sin 0
1 sin cos 2 0

x x x x x x x
x x
        
   

0,25
Vì
cos 1x 
nên phương trình có nghiệm
2
2
x k

  
.
0,25
b
   
3 2 3 2 1w i i i i     
0,25
Re 1, Im 1.w w  
0,25
3
ĐK:
0.x 
Biến đổi bất phương trình
2
3 3
6log 10log 4 0
x x

  
 
*
0,25
Đặt
 
2
3
1
log * : 6 10 4 0 2
3
t x t t t
        

Suy ra tập nghiệm bất phương trình
3
1
; 3 .
9
S
 
 

 
 
0,25
4
Điều kiện
0.x
Biến đổi bất phương trình

  
 
 
 
 
 
 
3
3 3
2
2
1 1 1
*
1
1 1
1 1
x
x x x
x
x
x
x x
  
  

 
 
0,25
Đặt
   

3
2
1
t
f t t
t
 


, ta có
 
 
4 2
2
2
3
' 0,
1
t t
f t t
t

   


Hơn nữa
 
f t
liên tục trên


, nên đồng biến trên

0,5
Vậy
 
 
 
3 5
* : 1 1 0; .
2
f x f x x x x
 


      





0,25
5
Đặt
2
1
2 1
2
t
t x x dx tdt


     


0,5
3
3
4 5 3
2
1
1
1 478
.
2 2 10 3 2 15
t t t t
I t dt
   
 
      
 
 
   


0,5
6
Gọi
M
là trung điểm
AD
, theo giả thiết

 
SM ABCD
.
Tứ giác
MBCD
là hình bình hành nên
,MB a
do đó
.SM a
0,25
Ta có
MC a
nên tam giác
MBC
đều, do đó
   
2
3 3
3
4
a
dt ABCD dt MBC
  
 
3
1 3
. . .
3 4
a
V SM dt ABCD 

0,25
Gọi
K
là trung điểm
,BC
H
là hình chiếu của
M
lên
.SK
Do
2SC SB a 
nên tam giác
SBC
cân tại
S
, do đó
   
BC MK BC MH
BC SMK MH SBC
BC SK SK MH
 
 
 
    
 
 
 
 
0,25

Tham gia ngay!! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

Tam giác
MBC
đều cạnh bằng
a
nên
3
,
2
a
MK 
do đó

   
 
2 2
. 21
, , .
7
SM KM a
d SB AD d AD SBC MH
SM KM
   



0,25
7
Đường tròn

 
T
có tâm
 
2;2 ,
K
bán kính
2;r 

Gọi
 
; ,I t t
bán kính của đường tròn
 
C
là
 
4 10
,
10
t
R d I

  


0,25

Ta có
 

 
 
2
2 2
2 2 5
8
, 2 2 5 5
5 5
t
d I AB R t t

      

và
   
, 2; 2 2 2 2
d K AB IK t t    
(do
0t 
)

0,25

TH1.
,I K
khác phía đối với
:AB

   
 

 
     
2
2 2 2
1
, , 2 5 5 1 5 2 10
5
: 5 2 10 5 2 10 8 3 10 .
d I AB d K AB IK t t t t
C x y
          
       




0,25

TH2.
,I K
cùng phía đối với
:AB

   
 
 
2
1
, , 2 5 5 1 2 *
5

d I AB d K AB IK t t t
       

 
*
không có nghiệm âm
 
     
2 2 2
: 5 2 10 5 2 10 8 3 10
C x y      




0,25
8
Đường tròn giao tuyến của
 
S
và
 
P
có
4;r 

 
 
, 3
d I P


.
0,5

Bán kính mặt cầu là
 
 
2 2
, 5
R r d I P
  

Vậy phương trình
       
2 2 2
: 1 2 2 25.
S x y z     


0,5
9
Không gian mẫu
 
 
; | , , 2 4,0 2
x y x y x y
       

0,25

 
 
                 
 
, | 2
2;0 ; 2;1 ; 2;2 ; 1;0 ; 1;1 ; 1;2 ; 0;0 ; 0;1 ; 1;0
A x y x y
    
      

Suy ra
 
 
 
9 3
.
21 7
n A
P A
n
  




0,25
10
Đặt
, , 0, 2
a b

x y x y x y
b c
     

Ta có
   
2 2
2 2
2 1 2 1
4 4
x y
P f x f y
x x y y
 
   
   

Trong đó
 
2
2
2 1
4
t
f t
t t


 
với

 
0;2 .
t





0,25

 
 
  
 
   
 
 
 
2
2
2
2 2
4 2 1
1 13 16 1 104 29
3 29 3
1
8 2 16 2
2 8 16 8
29 3
1 .

16 2
t
t t t t
f t t
t t
t t t t
t

   
      
 
   
  




0,5

Vậy
     
29
2 3 3
16
P f x f y x y
      

Nên
min 3P 
khi

1 .x y a b c    


0,25
Chú ý. Học sinh có thể sử dụng tọa độ để giải bài toán 6 như sau
Chọn hệ trục tọa độ
 
; , ,M MK MD MS
  
khi đó
   
3
; ;0 , 0; ;0 , 0;0;
2 2
a a
C D a S a
 




 
,
   
3
; ;0 , 0; ;0 , 0;0;
2 2
a a
MC MD a MS a
 



   


 
  
3
.
1 3
3 , .
2 4
S MCD
a
V V MC MD MS
 
  
 
 
  
-Ta có
   
3 3
0; ;0 , ; ;0 0;2 ;0 , ; ;
2 2 2 2
a a a a
A a B AD a SB a
   
 
      

 
 
 
   
 

Vậy
 
, .
21
, .
7
,
AD SB MS
a
d AD SB
AD SB
 
 
 
 
 
 
 
  
 

Tham gia ngay!! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!