Đề thi thử và đáp án THPT Quốc Gia môn Toán trường GANG THÉP – Thái Nguyên

S GIO DC V O TO THI NGUYấN
TRNG THPT GANG THẫP
THI TH THPT QUC GIA LN 1
Mụn : Toỏn
Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian giao )
Cõu 1(2 im): Cho hm s
1
2 1
x
y
x
+
=
-
a. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b. Tỡm m th (C) ca hm s ct ng thng : 2y x m D = - + ti hai im A, B phõn bit sao
cho 2AB =
Cõu 2(1 im): Gii phng trỡnh:
cos sinx sin 2 cos 2 1x x x + - - =
Cõu 3(1 im):
a. Gii bt phng trỡnh :
( )
( )
2
2 2
log 2 1 log 2 0x x x - - -
b. Mt n cnh sỏt cú 9 ngi trong ú cú hai trung tỏ An v Bỡnh. Trong mt nhim v cn huy
ng 3 ng chớ thc hin a im C, 2 ng chớ thc hin a im D v 4 ng chớ cũn li
trc n. Hi cú bao nhiờu cỏch phõn cụng sao cho hai trung tỏ An v Bỡnh khụng cựng khu
vc lm nhim v?
Cõu 4(1 im): Tỡm nguyờn hm :

( )
2. 2 1 .I x x dx = - -
ũ
Cõu 5(1 im): Cho lng tr ABC.ABC cú ỏy l tam giỏc u cnh a. im A cỏch u ba im A, B,
C. Gúc gia AA v mt phng (ABC) l
0
60
. Tớnh theo a th tớch khi lng tr ABC.ABC v khong
cỏch gia hai ng thng AB v CC.
Cõu 6(1 im): Cho n l s t nhiờn tha món:
2 4 6 2 4 2 2
2 2 2 2 2
2046
n n
n n n n n
C C C C C
- -
+ + + + + =
. Tỡm s hng
cha
4
x
trong khai trin nh thc Newton:
5
3
2
n
P x
x
ổ ử

= -
ỗ ữ
ố ứ
vi
0x >
.
Cõu 7(1 im): Trong mt phng vi h ta Oxy cho ng trũn
( )
2 2
: 2C x y x + = . Tam giỏc ABC
vuụng ti A cú AC l tip tuyn ca ng trũn
( )
C
ti A, chõn ng cao t A ca tam giỏc ABC l im
H(20). Tỡm ta nh B ca tam giỏc bit B cú tung dng v din tớch tam giỏc ABC l
2
3
Cõu 8(1 im): Gii h phng trỡnh sau:
( )
( )
3 3
2 3 2 4 2
3
3
4 3 2
2 2 1
1 1 1
x y y x x y y x x
x x x x y
ỡ

+ - + + = - +
ù
ớ
ù
+ - + = - +
ợ
Cõu 9(1 im): Cho a, b, c l di ba cnh ca tam
gi
ỏc tha
món:
( )( )( )
1a b c a b c b c a + - - + + - =
Chng minh rng
5
2 2 2
3 3
a b c a b c + + + +
ổ ử

ỗ ữ
ố ứ
2014-2015
DeThi.Viet-Student.Com
DeThi.Viet-Student.Com - Thi Th I HC - THPT Quc Gia.Cp nht liờn tc!
Group Facebook chỳng tụi : ễn Thi H TON - ANH ( www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan/ )
P N THANG IM
Cõu S lc ỏp ỏn Thang
im
1a Hc sinh t thc hin cỏc bc kho sỏt ỳng:
TX

S bin thiờn:
Chiu bin thiờn v cc tr
Gii hn v tim cn
Lp BBT
V th hm s
1
1b Phng trỡnh honh giao im ca (C) v D l:
( )
2
1
2
2 1
1
2
2 4 2 1 0 *
x
x m
x
x
x mx m
+
= - +
-
ỡ
ạ
ù

ớ
ù
- + + =

ợ
(C) v
D
ct nhau ti A, B phõn bit thỡ (*) cú hai nghim phõn bit khỏc
1
2
1 3 1 3

2 2
m
ổ ử ổ ử
- +
ẻ -Ơ ẩ +Ơ
ỗỗỗ ữữữ ỗỗỗ ữữữ
ố ứ ố ứ
Gi s
( ) ( )
1 1 2 2
2 , 2A x x m B x x m - + - + . Khi ú ta cú :
1 2
1 2
2
2 1
.
2
x x m
m
x x
+ =
ỡ

ù
ớ
+
=
ù
ợ
T gi thit ta cú:
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 1 1 2 1 2
1
2 2 4 1 4 2 2 1 1 ( / )
2
x x x x x x m m m t m - = + - = - - = =
0,5
0,5
DeThi.Viet-Student.Com - Thi Th I HC - THPT Quc Gia.Cp nht liờn tc!
Group Facebook chỳng tụi : ễn Thi H TON - ANH ( www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan/ )
2
( )
( )( )
( )
sin 2 cos 2 sinx cos 1 0
2cos 1 sinx cos 0
1
cos
2
2 sin 0
4

2
3
4
x x x
x x
x
x
x k
k
x k

p
p
p
p
p

+ - + + =
- + =
ộ
=
ờ
ờ

ổ ử
ờ
+ =
ỗ ữ
ờ
ố ứ

ở
ộ
= +
ờ
ẻ
ờ
ờ
= - +
ờ
ở
Z
0,5
0,5
3a
TX:
( )
2D = +Ơ
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2
log 2 1 log 2 0 log 2 1 log 2
4 1 0 2 32 3
x x x x x x
x x x
- - - - -
ộ ự

- + Ê ẻ - +
ở ỷ
Kt hp vi TX bt phng trỡnh cú nghim
(
22 3x
ự
ẻ +
ỷ
0,25
0,25
3b
sp xp bt k 9 ng chớ vo cỏc v trớ nh yờu cu cú
3 2 4
9 6 4
. . 1260C C C = cỏch
Nu hai trung tỏ cựng mt v trớ C cú
1 2
7 6
.C C
cỏch, hai trung tỏ cựng v trớ D cú
3
7
C
cỏch, hai trung tỏ cựng li n cú
2 3
7 5
.C C cỏch. Nh vy cú tng s 350 cỏch xp hai
trung tỏ cựng v trớ.
Do ú cú
1260 350 910 - =

cỏch phõn cụng sao cho hai trung tỏ An v Bỡnh khụng
cựng v trớ lm vic.
0,25
0,25
4
t
2
2 2 2t x t x tdt dx = - ị = - ị =
( ) ( )
( ) ( )
2 4 2 5 3
2
8
4 3 .2 8 6 2
5
8
2 2 2 2 2
5
I t t tdt t t dt t t c
x x x x c
= + = + = + +
= - - + - - +
ũ ũ
0,25
0,5
0,25
DeThi.Viet-Student.Com - Thi Th I HC - THPT Quc Gia.Cp nht liờn tc!
Group Facebook chỳng tụi : ễn Thi H TON - ANH ( www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan/ )
5
Gi G l trng tõm tam giỏc ABC,M l trung im AB. Khi ú ta cú A.ABC l hỡnh

chúp u nờn
( )
'A G ABC ^
Gúc gia AA v (ABC) l gúc
ã
0
' 60A AG =
Ta cú :
. ' ' '
' .
ABC A B C ABC
V A G S =
2 3
0
. ' ' '
3 3 3
' .tan60 ,
3 4 4
ABC ABC A B C
a a a
AG A G AG a S V = ị = = = ị =
Dng ' , 'GH A M H A M ^ ẻ . Ta cú
( )
( ' )
' '
'
AB A GM AB GH
GH ABB A
GH A M
^ ị ^

ỡ
ị ^
ớ
^
ợ
Ta cú
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
' , ' ', ' ' , ' ' 3 , ' ' 3d A B CC d CC ABB A d C ABB A d G ABB A GH = = = =
Do
2 2
3 ' . 13
' ,
6 13
'
a A G GM a
A G a GM GH
A G GM
= = ị = =
+
Vỡ vy
( )
3 13
' , '
13
a

d A B CC =
0,5
0,5
6
2 4 6 2 4 2 2
2 2 2 2 2
0 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2
2046
2048
n n
n n n n n
n n
n n n n n
C C C C C
C C C C C
- -
-
+ + + + + =
+ + + + + =
Do
0 2 4 2 2 2 1 3 5 2 3 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n n n n
n n n n n n n n n n
C C C C C C C C C C
- - -
+ + + + + = + + + + +
Nờn ta cú

1 2 3 2 1 2 2
2 2 2 2 2
4096 2 4096 6
n n n
n n n n n
C C C C C n
-
+ + + + + = = =
6 6
5 11
6 6
18
5 6
2 2
6 6
3 3
0 0
2 2
. 2 .
k
k
k
k k k
k k
P x C x C x
x x
-
-
-
= =

ổ ử
ổ ử ổ ử
= - = =
ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ố ứ
ồ ồ
0,25
0,25
DeThi.Viet-Student.Com - Thi Th I HC - THPT Quc Gia.Cp nht liờn tc!
Group Facebook chỳng tụi : ễn Thi H TON - ANH ( www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan/ )
S hng tng quỏt trong khai trin l
11
18
6
2
1 6
.2
k
k k
k
T C x
-
-
+
=
11
18
6

2
1 6
.2
k
k k
k
T C x
-
-
+
= cha
4
x
thỡ
11
18 4 4
2
k
k - = =
S hng cha
4
x
cn tỡm l
4 2 4
T
5 6
.2C x =
0,5
7
ng trũn (C) cú tõm I(10) v bỏn kớnh R = 1. D thy H nm trờn ng trũn nờn

AB l ng kớnh ca ng trũn.
Ta cú AB = 2 nờn da vo cụng thc din tớch ta cú
2
3
AC =
B nm trờn ng trũn v cú tung dng nờn ta ca B l
( )
2
, 2B x x x -
Ta cú
ã
1
tan
3
AC
ABC
AB
= = nờn 3BH = . Ta cú
( )
( )
2
2
1
2 2 3
2
x x x x - + - = =
Vy
1 3

2 2

B
ổ ử
ỗỗỗ ữữữ
ố ứ
0,25
0,25
0,5
8
( )
( )
( ) ( )
3 3
2 3 2 4 2
3
3
4 3 2
2 2 1 1
1 1 1 2
x y y x x y y x x
x x x x y
ỡ
+ - + + = - +
ù
ớ
ù
+ - + = - +
ợ
iu kin :
3 2
1

1 0
y
x x

ỡ
ớ
- +
ợ
T (1) ta cú
0,25
DeThi.Viet-Student.Com - Thi Th I HC - THPT Quc Gia.Cp nht liờn tc!
Group Facebook chỳng tụi : ễn Thi H TON - ANH ( www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan/ )
( )
( ) ( )
( )
( )
3 32 3 2 4 2
3
2
2
3 3
2
3 3
2 2 1
2 1 1 0
1 0 1
x y y x x y y x x
x x y y x x y y
x x y y x x y y
+ - + + = - +

+ - - + + - =
ộ ự
+ - - = + = -
ở ỷ
t
3
, 1a x b y = = -
ta cú
3 3
a a b b + = + . Do b khụng õm nờn a cng phi khụng
õm. Hm s
( )
3
f t t t = +
ng bin trờn
[
)
0+Ơ
nờn ta cú a = b hay ta cú
3
0, 1x y x - =
Thay vo (2) ta cú phng trỡnh:
( )
( ) ( )
4 3 2 3 3 3 2
2 3
3 2
3 2 3 2
3 2
1 1 1 1 1

1
1 1 0
1 1 1 1
0
1
1
0( 0)
1 1
x x x x x x x x
x x
x x x x x
x x x x
x
x
x vn do x
x x
+ - + = + - = - - +
ổ ử
-
- = - + =
ỗ ữ
+ - + + - +
ố ứ
ộ
ờ
=
ờ
=
ờ
ờ

ờ
+ =
ờ
+ - +
ở
x=0 ta cú y=1, x=1 ta cú y = 2 (tha món iu kin)
vy h cú hai nghim (0 1) v (1 2)
0,25
0,25
0,25
9
t , , , , 0 1x a b c y b c a z c a b x y z xyz = + - = + - = + - ị =
Ta cú , ,
2 2 2
x z x y y z
a b c
+ + +
= = =
Bt ng thc cn chng minh tr thnh
( ) ( )
2
5 5
2 2 2
3 6 3 6
x y z xy yz xz
x y z x y z xy yz xz x y z
+ + - + +
+ + + + + + + + +
ổ ử ổ ử

ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
Theo Cụ si ta cú :
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
3
3
3 3
6 6
x y z xy yz xz x y z
xy yz xz x y z
+ + - + + + + -
+ + = ị Ê
Ta cn chng minh
( ) ( )
2 2
5 5
1 1
0
3 6 2 3 6 2
x y z x y z
x y z x y z
+ + + +
+ + + +
ổ ử ổ ử
- - -
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
t

3
, 3 3 1
3
x y z
t do x y z xyz t
+ +
= + + = ị
Xột hm s
0,25
0,25
DeThi.Viet-Student.Com - Thi Th I HC - THPT Quc Gia.Cp nht liờn tc!
Group Facebook chỳng tụi : ễn Thi H TON - ANH ( www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan/ )
( )
[
)
( )
[
)
( ) ( )
5 2
4
5 2
3 1
, 1;
2 2
' 5 3 0 1;
3 1
1 0
2 2
f t t t t

f t t t t
f t f hay t t
= - + Î +¥
= - > " Î +¥
Þ ³ - + ³
Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra nếu x=y=z=1 nên a=b=c=1
0,5
DeThi.Viet-Student.Com - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖡I H󰗍C - THPT Qu󰗒c Gia.C󰖮p nh󰖮t liên t󰗦c!
Group Facebook chúng tôi : Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH ( www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan/ )