Đề thi và đáp án môn TOÁN lần 2 THPT Chuyên ĐH Vinh – Thi Thử THPT Quốc Gia 2015

DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH-THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày
Tham gia ngay Group: Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH -> www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 2
Môn: TOÁN; Thời gian làm bài 180 phút
Câu Đáp án Điểm
Câu 1:
( 2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
1
0
. Tập xác định:
{ }
\ 1D R =
.
2
0
.Sự biến thiên:
* Giới hạn, tiệm cận: Ta có
1
lim
x
y
-
®
= +¥ và
1
lim
x
y

+
®
= -¥ . Do đó đường thẳng 1x = là
tiệm cận đứng của đồ thị (H).
Vì lim lim 1
x x
y y
®-¥ ®+¥
= = nên đường thẳng 1y = là tiệm cận ngang của đồ thị (H).
* Chiều biến thiên: Ta có
2
1
' 0
( 1)
y
x
= >
-
, với mọi 1x ¹ .
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ;1) -¥ , (1; ) +¥ .
* Bảng biến thiên:
x
-¥ 1 +¥
y’
+ +
y
+¥ 1
1 -¥
3
0

Đồ thị:
0,5
0,5
b) (1,0 điểm)
Ta có:
( )
2
1
'
1
y
x
=
-
, với mọi
1x ¹
.
Vì tiếp tuyến có hệ số góc
1k =
nên hoành độ tiếp
điểm là nghiệm của phương trình
( )
2
1
1
1x
=
-
hay
( )

2
1 1x - = Û
0
2
x
x
=
é
ê
=
ë
*) Với
0x =
ta có phương trình tiếp tuyến 2y x = + .
*) Với
2x =
ta có phương trình tiếp tuyến 2y x = - .
Vậy có hai tiếp tuyến là: 2y x = + và 2y x = - .
0,5
0,5
Câu 2:
( 1,0 điểm)
a) (0,5 điểm)
Rõ ràng cos 0
a
¹ , chia cả tử số và mẫu số của A cho
3
cos
a
ta được

( )
2
2 3
tan 1 tan 2
2.5 2 4
1 tan 2 tan 5 16 7
A
a a
a a
+ +
+
= = =
+ + +
0,5
b) (0,5 điểm)
Giả sử
z a bi = + ( , )a b Î ¡
. Suy ra
( )
( )
2 1
2
1 1
1 2
i
z a bi a b i
i
-
+ = + + = + + -
+

.
Từ giả thiết
2
1
z
i
+
+
là số thực nên ta có 1b = .
Khi đó
2
2 2 1 2 3z a i a a = Û + = Û + = Û = ± .
0,5
Đồ thị (H) cắt trục Ox tại (2 ; 0), cắt Oy tại
(0 ; 2), nhận giao điểm I(1 ; 1) của hai
đường tiệm cận làm tâm đối xứng
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
Tham gia ngay Group: Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH -> www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Vậy số phức cần tìm là
3z i = +
và
3z i = - +
Câu 3:
( 0,5 điểm)
Bất phương trình đã cho tương đương với
2
3 1
2 .2 2
x x x -
>

2
3 1 2
2 2 3 1
x x x
x x x
+ -
Û > Û + - >
2
2 1 0 1 2 1 2x x x Û - - < Û - < < +
0,5
Câu 4:
( 1,0 điểm)
*) Điều kiện
2
4 0 2 2.x x - ³ Û - £ £
Phương trình đã cho tương đương với
( )
2
2 2 2
3
4 2 2 2 2x x x x x x + - = - - - +
(1)
Ta có
( )
2
2 2
4 4 2 4 4x x x x + - = + - ³ , với mọi
[ ]
2; 2x Î - .
Suy ra

2
4 2x x + - ³ , với mọi
[ ]
2; 2x Î - . (2)
Dấu đẳng thức ở (2) xảy ra khi và chỉ khi
0x =
,
2x = ±
.
Đặt
( )
2
2
3
2x x t - =
. Dễ dàng có được
[ ]
1; 2t Î - , với mọi
[ ]
2; 2x Î - .
Khi đó vế phải của (1) chính là
3 2
( ) 2 2f t t t = - +
,
[ ]
1; 2t Î -
Ta có
2
0
'( ) 3 4 0

4
3
t
f t t t
t
=
é
ê
= - = Û
ê
=
ë
Hơn nữa, ta lại có
( 1) 1f - = -
,
(0) 2f =
,
4 22
f
3 27
æ ö
=
ç ÷
è ø
,
( )
2 2f =
.
Suy ra
( )

2f t £ với mọi
[ ]
1; 2t Î - .
Do đó
( )
2
2 2
3
2 2 2 2 2x x x x - - - + £
với mọi
[ ]
2; 2x Î -
. (3)
Dấu đẳng thức ở (3) xảy ra khi và chỉ khi
0x =
,
2x = ±
.
Từ (2) và (3) ta có nghiệm của phương trình (1) là 0x = , 2x = ± .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 0x = , 2x = ± .
0,5
0,5
Câu 5:
( 1,0 điểm)
Chú ý rằng
( )
ln 3 1 0x x + ³ , với mọi 0 1x £ £ . Khi đó diện tích hình phẳng cần
tính là
( )
1

0
ln 3 1S x x dx = +
ò
.
Đặt
( )
u ln 3 1x = +
,
dv xdx =
. Suy ra
3
du
3 1
dx
x
=
+
,
2
1
2
v x = .
Theo công thức tích phân từng phần ta có
( )
1
1 2 1
2
0 0
0
1 3 1 1

ln 3 1 ln 2 3 1
2 2 3 1 6 3 1
x
S x x dx x dx
x x
æ ö
= + - = - - +
ç ÷
+ +
è ø
ò ò
1
2
0
1 3 1 8 1
ln 2 ln 3 1 ln 2 .
6 2 3 9 12
x x
æ
x
ö
= - - + + = -
ç ÷
è ø
0,5
0,5
Câu 6:
( 1,0 điểm)
Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra
' ( )C H AB C ^ . Trong DABC ta có

2
0
1 3
. .sin120
2 2
ABC
a
S AB AC = = .
2 2 2 0 2
2 . .cos120 7BC AC AB AC AB a = + - =
Þ 7BC a = Þ
7
2
a
CH =
0,5
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
Þ
2 2
3
' 'C
2
a
C H C CH = - =
Thể tích khối lăng trụ
3
3
' .
4
ABC

a
V C H S = =
.
Hạ HK AC ^ , Vì
( )
'C H ABC ^ Þ đường xiên
'C K AC ^
Þ
( ) ( )
( )
·
, ' ' 'ABC ACC A C KH = (1)
( 'C HK D vuông tại H nên
·
0
' 90C HK < ).
Trong tam giác HAC ta có
2
3
2
HAC ABC
S S
a
HK
AC AC
= = =
Þ
·
'
tan ' 1

C H
C KH
HK
= = Þ
·
0
' 45C KH = . (2)
Từ (1) và (2) suy ra
( ) ( )
( )
0
, ' ' 45ABC AC C A =
.
Ghi chú: Thí sinh có thể tính độ dài AH và suy ra DAH
C
vuông tại A để suy ra
K A º
.
0,5
Câu 7
(1,0 điểm)
Gọi M là trung điểm BC. Phương trình GE hay
AM là 4 7 0x y - = Û
3 7
2 4
x t
y t
= +
ì
í

= +
î
Gọi
( )
3 7 ;2 4M m m + +
. Ta có
( )
7 2; 4 4IM m m = + +
uuur
;
( )
7 6;4 3FM m m = - +
uuuur
Vì
IM FM ^
nên . 0IM FM =
uuur uuuur
Û
( )( ) ( )( )
7 2 7 6 4 4 4 3 0m m m m + - + + + =
Û 0m = .
Suy ra
( )
3; 2M .
Giả sử
( )
3 7 ;2 4A a a + + . Vì 2GA GM = -
uuur uuuur
ta được 1a = - , suy ra
( )

4; 2A - - .
Suy ra phương trình : 2 7 0BC x y + - = Þ
( )
2 7;B b b BC - + Î ( điều kiện 2b < ).
Vì
IB IA =
nên
( ) ( )
2 2
2 6 2 25b b - + + + = Û
1
3 (loai)
b
b
=
é
ê
=
ë
Suy ra
( )
5;1B Þ
( )
1; 3C (Vì M là trung điểm BC).
0,5
0,5
Câu 8
(1,0 điểm)
Đường thẳng D có vtcp
( )

1; 1; 2u
D
= -
uur
và
( )
2;1;1A Î D
Þ
( )
4;0;1MA =
uuur
Þ vtpt
( )
, 1; 7; 4
P
n u MA
D
é ù
= = -
ë û
uur uur uuur
.
Suy ra
( ) ( )
( ) : 1 2 7 1 4 0P x y z - + + - + =
Û 7 4 9 0x y z - - + =
N Î D Þ
( )
2; 1; 2 1N t t t + - + + . Khi đó
( ) ( )

2 2
2
4 ( ) 2 1 11MN t t t = + + - + + =
Û
2
6 12 6 0 1t t t + + = Û = - . Suy ra
( )
1; 2 1N -
0,5
0,5
Câu 9
(0,5 điểm)
Số cách lấy hai viên từ hộp là
2
C
12
66=
Số cách lấy ra hai viên bi gồm 1 viên màu xanh, 1 viên màu đỏ và khác số là 4.4 =16
Số cách lấy ra hai viên bi gồm 1 viên màu xanh, 1 viên màu vàng và khác số là 3.4=12
Số cách lấy ra hai viên bi gồm 1 viên màu đỏ, 1 viên màu vàng và khác số là 3.3 = 9
Như vậy số cách lấy ra hai viên từ hộp vừa khác màu vừa khác số là 16 + 12 + 9 = 37.
Suy ra xác suất cần tính là:
37
0,5606
66
P = »
0,5
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
Tham gia ngay Group: Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH -> www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Câu 10

1,0 đi ểm)
Giả sử
{ }
min , ,z x y z =
. Đặt
0
2
z
x u + = ³
,
0
2
z
y v + = ³
. Khi đó ta có
2
2 2 2
2
z
x z x u
æ ö
+ £ + =
ç ÷
è ø
,
2
2 2 2
2
z
y z y v

æ ö
+ £ + =
ç ÷
è ø
(1)
2 2
2 2 2 2
2 2
z z
x y x y u v
æ ö æ ö
+ £ + + + = +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Chú ý rằng với hai số thực dương ,u v ta luôn có
1 1 4
u v u v
+ ³
+
và
( )
2
2 2
1 1 8
u v
u v
+ ³
+
(2)
Từ (1) và áp dụng (2) ta được

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y y z z x u v u v
+ + ³ + +
+ + + +
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 3 1 1
4 4u v u v u v
æ ö æ ö
= + + + +
ç ÷ ç ÷
+
è ø è ø
( )
2
2 2
1 1 6
2u v uv
u v
= + +
+
+
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 6 10 10
u v u v u v x y z
³ + = =
+ + + + +
(3)
Mặt khác ta có

( )( )( ) ( ) ( )
1 1 1 1x y z xyz xy yz zx x y z + + + = + + + + + + +
2xyz x y z = + + + + 2x y z ³ + + + (4)
Từ (3) và (4) suy ra
( )
( )
2
10 5
5
2
P x y z
x y z
³ + + + +
+ +
. (5)
Đặt 0x y z t + + = > . Xét hàm số
2
10 5
( ) , 0
2
f t t t
t
= + > .
Ta có
3
20 5
'( ) , 0
2
f t t
t

= - + >
Suy ra '( ) 0 2f t t = Û = , '( ) 0 2f t t > Û > , '( ) 0 0 2f t t < Û < < .
Suy ra
15
( ) (2)
2
f t f ³ =
với mọi
0t >
. (6)
Từ (5) và (6) ta được
25
2
P ³ . Dấu đẳng thức xảy ra khi 1, 0x y z = = = hoặc các
hoán vị. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
25
2
.
0,5
0,5
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
Tham gia ngay Group: Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH -> www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
Truy c󰖮p ngay đ󰗄 download thêm các đ󰗂 thi th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia đ󰖨y đ󰗨
các môn c󰗨a các trư󰗞ng THPT và trung tâm luy󰗈n thi đ󰖢i h󰗎c trên c󰖤 nư󰗜c đư󰗤c DeThiThu.Net
sưu t󰖨m và c󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày t󰖢i website