Đề thi Olympic cụm trường THPT Ba Đình - Tây Hồ năm học 2011 - 2012 môn Toán lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
CỤM TRƯỜNG THPT
BA ĐÌNH – TÂY HỒ
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011-2012
Môn Toán học - Lớp 11
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Đề thi gồm có 01 trang.
Câu 1 (7 điểm):
a) Giải phương trình lượng giác:
4 4
3 2(sin cos ) tan cotx x x x− + = +
b) Tính các giới hạn sau:
3
2
lim
3
n
n n
A
+
=
,
3
2 3
2
0
3( 2 3) 3 1
lim
x
x x x x
B

x
→
− + + + −
=
.
Câu 2 (4 điểm): Cho dãy số
*
( ),
n
u n∈¥
xác định bởi:
1 2
1, 2u u= =
và
2 1
2 2012 .
n n n
u u u a n
+ +
− + = +
với tham số
∈a R
.
a) Khi
0a =
. Xét dãy số
( )
n
v
với

1n n n
v u u
+
= −
,
*
∈n N
. Chứng minh rằng dãy số
( )
n
v
là
một cấp số cộng. Tính tổng 2012 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
b) Xác định số hạng tổng quát của dãy số
( )
n
u
.
Câu 3 (7 điểm): Trong không gian, cho 3 tia
, ,Ox Oy Oz
đôi một vuông góc với nhau. A, B,
C lần lượt là các điểm di động trên các tia
, ,Ox Oy Oz
sao cho:
2 2 2
1 1 1
k
OA OB OC
+ + =
với

k
là một hằng số dương.
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác nhọn và trực tâm H của tam giác ABC luôn
cách O một khoảng không đổi.
b) Chứng minh rằng:
2 2 2 2
ABC OAB OBC OCA
S S S S
∆ ∆ ∆ ∆
= + +
trong đó
, , ,
ABC OAB OBC
S S S
∆ ∆ ∆

OCA
S
∆
lần lượt là diện tích các tam giác
, ,ABC OAB
,OBC OCA
.
c) M là điểm thuộc miền trong tam giác
ABC
(M không thuộc các cạnh của tam giác). Gọi
, ,
α β γ
lần lượt là các góc hợp bởi đường thẳng OM và các đường thẳng OA, OB, OC.
Chứng minh rằng:

2 2 2
2 2 2 2 2 2
cos cos cos 3
4
sin sin sin sin sin sin
α β γ
β γ γ α α β
+ + ≤
+ + +
Câu 4 (2 điểm): Cho dãy số
( )
n
a
với
*
∈n N
, gồm các số tự nhiên, được xác định như sau:
1
2=a
,
1
( 1) 1
+
= + +
n n
a n a
,
*
∀ ∈n N
.

Với mỗi
*
∈n N
, xét
1
n
a +
điểm khác nhau cùng nằm trên một mặt phẳng, trong đó không
có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối hai trong
1
n
a +
điểm này được tô bằng một
trong
n
màu khác nhau. Chứng minh rằng, tồn tại tam giác có đỉnh là ba trong
1
n
a +
điểm
đã cho và các cạnh đều được tô cùng một màu.
HẾT
Họ và tên Thí sinh: ……………………………………… Số Báo danh: ……………………