đề thi thử thpt quốc gia môn toán trường THPT chuyên lam sơn thanh hóa

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG LỚP 12
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: TOÁN (thời gian 180 phút)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y=xx+1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với trục tọa độ một
tam giác cân.
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình 2cos5x.cos3x+sinx=cos8x.
b) Giải phương trình log2(5.2x-82x+2)=3-x.
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân I=0π41+3tanx1+cos2xdx.
Câu 4 (1,0 điểm)
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1
a) Lập số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy ngẫu nhiên
một số vừa lập. Tính xác suất để lấy được số có mặt chữ số 6.
b) Tính tổng S=C20150-2.C20151+22.C20152-23.C20153+…-22015.C20152015.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình chữ nhật tâm I, có AB = a và BC=a3.
Gọi H là trung điểm AI. Biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác SAC vuông tại
S.Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz cho 4 điểm A1;0;0, B0;-2;0, C0;0;3, D1;-
2;3. Tìm tọa độ điểm I cách đều 4 điểm A, B, C,, D.
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có diện tích bằng 40,
đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn (S): (x-4)2+(y-1)2=2, điểm J(195;185) nằm trên
đường thẳng AB, đường thẳng AC có phương trình x-3y+1=0. Tìm tọa độ các điểm A, D biết
D có hoành độ nhỏ hơn 5.
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2
Câu 8 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x+y-x-y=4x-yx2-9=3y-3x+3-2
Câu 9 (1,0 điểm)
Cho hai số x, y thay đổi thỏa mãn x>0>yx22y-3x+6y-4y2x-4≤6xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P=2x4+32y4+4x2y2-2x2-8y2+1x2+14y2-5.

Hết
ĐÁP ÁN
Câu 1 (1,0 đ)
a)(1,0 điểm) y=xx+1
• Tập xác định: D=R\{-1}.
• Sự biến thiên:
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3
+ Chiều biến thiên: y'=1(x+1)2>0, ∀x∈D. (0,25đ)
Hàm số đồng biến trên các khoảng: (-∞;-1) và -1;+∞.
+ Giới hạn và tiệm cận:
limx→-∞y=limx→+∞y=1 ; tiệm cận ngang: y=1 (0,25đ)
limx→(-1)-y=+∞ và limx→(-1)+y=-∞; tiệm cận đứng: x=-1
+ Bảng biến thiên:
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4
• Đồ thị:
+ Đi qua các điểm O0;0 và M-2;2.
b)(1,0 đ)
• Tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ một tam giác cân, thì hệ số góc tiếp tuyến bằng
±1.
• M(x0;y0), suy ra: 1(x0+1)2=±1⇔x0=0 hoặc x0=-2 (0,25đ)
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5
• x0=0, suy ra y0=0; tiếp tuyến là y=x đi qua gốc tọa độ, không thỏa mãn yêu cầu.
(0,25đ)
• x0=-2, suy ra y0=2; tiếp tuyến là y=x+4, thỏa mãn yêu cầu. (0,25đ)
• Vậy, điểm cần tìm là: M(-2;2). (Nếu không loại tiếp tuyến y=x thì trừ 0,25 điểm)
• Câu 2 (1,0 đ)
• a)(0,5đ) 2cos5x.cos3x+sinx=cos8x (1)
• (1)⇔cos8x+cos2x+sinx=cos8x
• ⇔2sin2x-sinx-1=0⇔sinx=1,sinx=-12 (0,25đ)
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6

• + sinx=1⇔x=π2+k2π, k∈Z (0,25đ)
• + sinx=-12⇔x=-π6+k2π, x=7π6+k2π, k∈Z
• b)(0,5đ)
• log2(5.2x-82x+2)=3-x (2)
• (2)⇔ 5.2x-82x+2=23-x
• ⇔2x5.2x-8=82x+2⇔5.22x-16.2x-16=0 (2) (0,25đ)
• Đặt 2x=t>0 thì (2) trở thành 5t2-16t-16=0
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7
• ⇔t=4>0t=-45<0 (loại); t=4⇔x=2
• Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=2
• Câu 3 (1,0 đ)
• I=0π41+3tanx1+cos2xdx
• =120π42+3tanxcos2xdx=160π4(2+3tanx)12d(2+3tanx) (0,5đ)
• Đặt 2+3tanx=t=>I=1625tdt=16.23.t32|25=19(55-22) (0,5đ)
• Câu 4 (1,0 đ)
• a)(0,5 điểm)
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 8
• Giả sử abcd là số có 4 chữ số phân biệt từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6; có A64=360 số.
• Trong 360 số trên có
4.A53=240 số có mặt chữ số 6. (0,25đ)
• Xác suất cần tính: p=240360=23. (0,25đ)
• b)(0,5 điểm)
• Xét: (1+2x)2015=C20150+C20151.2x+C20152.(2x)2+C20153.(2x)3+…
+C20152015.(2x)2015 (0,25đ)
• Thay x=-1, được S=(1-2)2015=-1 (0,25đ)
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 9
• Câu 5 (1 điểm)
•
• SH ⊥ (ABCD) => SH ⊥ AC.
• Δ SAC vuông tại S => SH2=HA.HC , AC=AB2+BC2 (0,25đ)

• HA=a2, HC=3a2=>SH=a32
• Diện tích: SABCD=AB.BC=a23. (0,25đ)
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10
• Thể tích:
• VS.ABCD=13SH.SABCD=a32.
• CI=2HI, suy ra: dC,SBD=2dH,SBD.
• Hạ HN⊥BD, N∈BD và HK⊥SN, K∈SN, suy ra: HK ⊥ (SBD) nên dH, SBD=HK.
• Ta có: AB.AD=2SΔABD=2.HN.BD=>HN=AB.AD2BD=a34. (0,25đ)
• Ta có: 1HK2=1HN2+1SH2=>HK=3a215. Vậy, dC,SBD=2HK=3a15. (0,25đ)
• Câu 6 (1,0 điểm)
•
•
•
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11
•
•
• Giả sử I(x;y;z). I cách đều A, B, C, D hay IA=IB=IC=ID (0,25đ)
• ⇔(x-1)2+y2+z2=x2+(y+2)2+z2(x-1)2+y2+z2=x2+y2+(z-3)2(x-
1)2+y2+z2=(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2 (0,25đ)
• ⇔2x+4y=-3-6z=-84y-6z=-13 (0,25đ)
• Giải hệ, được: I(12;-1;32) (0,25đ)
• Câu 7 (1,0 đ)
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12
•
• Gọi I là điểm đối xứng với J qua đt AC thì I∈AD. Giả sử I (a; b) thì trung điểm của
IJ là
• H(a+1952;b+1855) . I, J đối xứng với nhau qua AC ⇔ H∈ACJI.UAC=0⇔a=5,
b=0
• Vậy I (5; 0)
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13

• Ta có I (5; 0) ∊ (S) nên đt AD chính là tiếp tuyến của (S) tại I. Pt AD: x-y-
5=0=>A(8;3) (0,25đ)
• Gọi E là tâm của hình thoi và φ=EAD =>φ là góc giữa AC và AD
• =>cosφ=25=>cotφ=2=>SABCD=40⇔DE.EA=20⇔DE.DE.cotφ=20⇔DE2=
10 (0,25đ)
• Giả sử D(x0;x0-5); DE2=10⇔d2D,AC=10⇔(|x0-3x0-5+1|10)2=10
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14
• ⇔(16-2x0)2=100⇔x0=3<5, x0=13>5 (loại). Vậy D(3;-2) (0,25đ)
• Câu 8 (1,0 đ)
• x+y-x-y=4x-y (1)x2-9=3y-3x+3-2 (2)
• Điều kiện y≥0, x≥3x≥y;y+33≥x≥y4II. 1=>y=4x-4; y=0 loại
• y=4x-4 thay vào (2) có x2-9=3x-1-2 (3)
• C1: Đặt x-1=u, u≥2=>x=u2+1 thay vào (2) có u4+2u2-8=3u-2
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 15
• ⇔u4+2u2-8=9u2-12u+4⇔u4-7u2+12u-12=0⇔u-2u3+2u2-3u+6=0
⇔u=2; u3+2u2-3u+6=0 (0,25đ)
• + u=2=>x=5, y=16 thỏa mãn (II)
• + u3+2u2-3u+6=0 4;u≥2 (0,5đ)
• Do u≥2 nên u3+2u2-3u+6>2u+2u-3u+6=u+6>0=>(4) vô nghiệm.
• Vậy hpt có nghiệm x;y=(5;16)
• C2:
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 16
• (2): x2-9-4=3x-1-2⇔x2-25x2-9+4=3(x-5)x-1+2 (0,25đ)
• ⇔x=5;x+5x2-9+4=3x-1+2
• +x=5=>y=16 thỏa mãn (II)
• + x+5x2-9+4=3x-1+2 5,∀x≥3=>x+5x2-9+4≥x+5x+4>1>32+2≥3x-1+2
• =>(5) vô nghiệm. Vậy hpt có nghiệm x;y=(5;16) (0,5đ)
• Câu 9 (1,0 đ)
• x>0>y (1)x22y-3x+6y-4y2x-4≤6xy (2)
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 17

• Do (1) nên (2) =>x3-6x2y+12xy2-8y3-8xy≥12⇔(x-2y)3-8xy≥12 (3)
• Đặt 2y=-u, u>0, (3) trở thành 12≤x+u3+4xu≤x+u3+x+u2
• =>2≤x+u
• Ta có P=2x4+u4+x2u2-2x2+u2+1x2+1u2-5 (0,25đ)
• Ta có: 1x2+1u2≥4x2+u2 (4); dấu “=” xảy ra ⇔ x=u. Từ (4) suy ra
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 18
• P=2(x2+u2)2-2x2+u2-3x2u2+1x2+1u2-5≥2(x2+u2)2-2x2+u2-
34(x2+u2)2+4x2+u2-5=54(x2+u2)2-2x2+u2+4x2+u2-5
• Đặt t=x2+u2=>P≥ft=54t2-2t+4t-5, t≥2 (Do x+u≥2) (0,25đ)
• ft liên tục trên 2;+∞, f't=5t3-4t2-82t2=4t2t-1+t3-82t2>0,∀t>2 nên
• ft đồng biến trên 2;+∞=>ft≥f2=-2,minP=-2⇔x;y=(1;-12) (0,5đ)
•
•
•
•
>> Truy cập để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 19