Đề thi - Đáp án thi Cao đẳng môn Toán năm 2013 - Khối A1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH CA O ĐẲ NG NĂM 2013
−−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối A , Khối A1, Khối B và Khối D
ĐỀ CHÍNH THỨ C Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 ( 2 ,0 điểm). Cho hàm số y =
2x + 1
x − 1
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số đã cho.
b) Gọi M là điểm thuo ä c (C) có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa độ
Ox và Oy lần lượt tại A và B. Tính diện t ích tam giác OAB.
Câu 2 ( 1 ,0 điểm). Giải phương trình cos

π
2
− x

+ sin 2x = 0.
Câu 3 ( 1 ,0 điểm). Giải hệ phương t rình

xy − 3y + 1 = 0
4x − 10y + xy
2
= 0
(x, y ∈ R).
Câu 4 ( 1 ,0 điểm). Tính tích phân I =
5

1
dx

1 +
√
2x − 1
.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho lă ng trụ đều ABC.A

B

C

có AB = a và đường thẳng A

B tạo với đáy
một góc bằng 60
◦
. Gọi M và N lần l ư ơ ï t là tru ng điể m của các cạnh AC và B

C

. Tính theo a
thể tích của khối lăng trụ ABC.A

B

C

và đ o ä dài đoạn thẳng M N.
Câu 6 ( 1 ,0 điểm). Tìm m để bất phương trình (x − 2 − m)
√
x − 1 ≤ m − 4 có nghiệm.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phầ n A h o ặ c ph ầ n B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng d : x + y −3 = 0,
∆ : x − y + 2 = 0 và điểm M(−1; 3). Viết phương trình đường tròn đi qua M , có tâm thuộc d,
cắt ∆ tại hai điểm A và B sao cho AB = 3
√
2.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho điểm A(4; −1; 3) và đường thẳng
d :
x − 1
2
=
y + 1
−1
=
z − 3
1
. Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua d.
Câu 9 .a (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn điều ki e ä n (3 + 2i)z + (2 − i)
2
= 4 + i. Tìm phần
thực và phần ảo của số phư ù c w = (1 + z) z.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọ a đo ä Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(−3; 2)
và có trọng tâm là G

1
3
;
1

3

. Đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC đi qua điểm P (−2; 0).
Tìm t o ï a độ các điểm B và C.
Câu 8.b (1,0 điểm). Tro ng không gian với hệ tọ a độ Oxyz, cho đi e å m A(−1; 3; 2) và mặt phẳng
(P ) : 2x −5y + 4z − 36 = 0. Gọi I là hình chiếu vu o â ng góc củ a A trên mặt phẳng (P ). Viết
phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A.
Câu 9.b (1,0 điểm). Gi ả i phương trình z
2
+ (2 − 3i)z − 1 − 3i = 0 trên tập hợp C các số phức.
−−−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sử dụ n g tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và te â n thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2013
Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B và Khối D
(Đáp án - thang điểm gồm 03 trang)


Câu
Đáp án Điểm
a. (1,0 điểm)
• Tập xác định: \{1}.D = \
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2

3
';'0,
(1)
yy
x
=− < ∀ ∈
−
.xD

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng
(;1)
−
∞ và (1; ).
+
∞
0,25
- Giới hạn và tiệm cận: ; tiệm cận ngang:
lim lim 2
xx
yy
→−∞ →+∞
==
2.y
=

; tiệm cận đứng:
11
lim , lim
xx
yy

−+
→→
=−∞ =+∞
1.x
=

0,25
- Bảng biến thiên:



Trang 1/3





0,25
• Đồ thị:

0,25
b. (1,0 điểm)
21
(;5)() 5 2.
1
m
Mm C m
m
+
∈⇔= ⇔=
−
Do đó (2;5).M
0,25
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là: '(2)( 2) 5,yy x
=
−+ hay : 3 11.dy x
=
−+
0,25
d cắt Ox tại
(
11
;0 ,
3
A
)

cắt Oy tại B(0; 11).
0,25
1
(2,0 điểm)
x
'y
y
−
∞

1
+
∞
−

−

+
∞
−

∞
2
2
2
O
y
1
x
Diện tích tam giác OAB là

1 1 11 121
11 .
223
SOAOB===
6

0,25
Trang 2/3
Câu
Đáp án Điểm
Phương trình đã cho tương đương với sin 2 sin
x
x
=
−
0,25
sin 2 sin( )
x
x⇔=−
0,25
22π
()
2 π 2π
xxk
k
xxk
=− +
⎡
⇔∈
⎢

=++
⎣
]

0,25
2
(1,0 điểm)
2π
()
3
π 2π
xk
k
xk
⎡
=
⇔∈
⎢
⎢
=+
⎣
]
.

0,25
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
2π
,
3
xk=

π 2π ()xkk.
=
+∈]
{
2
310 (1)
410 0(2)
xy y
xyxy
−+=
−+=

Nhận xét: không thỏa mãn (1). Từ (1) ta được
0y =
31
(3).
y
x
y
−
=

0,25
Thay vào (2) ta được
32
311124yyy−+−=0
0,25
1y⇔= hoặc hoặc 2y=
2
.

3
y =

0,25
3
(1,0 điểm)
Thay vào (3) ta được nghiệm (x; y) của hệ là
(
)
5
(2;1), ; 2
2
và
(
)
32
;.
23

0,25
Đặt
21.t
Suy ra
x=− ;dd
x
tt=
khi x = 1 thì t =1, khi x = 5 thì t = 3.
0,25
Khi đó
(

)
33
11
1
d1 d
11
t
It
tt
==−
++
∫∫
t

0,25
()
3
1
ln | 1|tt=− +

0,25
4
(1,0 điểm)
2ln2.=−
0,25
'( )AA ABC
⊥

n
'

A
BA⇒
là góc giữa
'
A
B
với đáy
n
o
'60ABA⇒=.

0,25
5
(1,0 điểm)

n
'.tan'AA AB A BA a⇒= =3.

Do đó
3
.'''
3
'. .
4
ABC A B C ABC
a
VA

AS
Δ

==
0,25
Gọi K là trung điểm của cạnh BC.
Suy ra ΔMNK vuông tại K, có
,'
22
AB a
MK NK AA a== ==3.

0,25
Do đó
22
13
.
2
a
MN MK NK=+=

0,25
Điều kiện: Đặt 1.x≥ 1,tx=− suy ra 0.t ≥
Bất phương trình đã cho trở thành
3
4
.
1
tt
m
t
−
+

≥
+

0,25
Xét
3
4
() ,
1
tt
ft
t
−+
=
+
với Ta có 0.t ≥
2
2
(1)(2 55)
'( ) ;
(1)
ttt
ft
t
−
++
=
+
'( ) 0 1.
f

tt
=
⇔=
0,25
Bảng biến thiên:





0,25
6
(1,0 điểm)
Dựa vào bảng biến thiên ta được bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 2.m≥
0,25
t
()
f
t
0
+
∞
+
−
'( )
f
t
0
4
1

2
+
∞
A

B

C
A
′

K

M
N

B
′

C
′

Trang 3/3
Câu
Đáp án Điểm
Gọi (C) là đường tròn cần viết phương trình và I là tâm của (C).
Do suy ra
,Id∈
(;3 ).It t
−

0,25
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra
32
22
AB
AH ==
và
|2 1|
(; ) .
2
t
IH d I
−
=Δ=
Do đó
222
225IA IH AH t t .
=
+=−+

0,25
Từ
IM IA
=
ta được
22
221225tt tt,
+
+= − +

suy ra t 1.=
Do đó
(1; 2).I
0,25
7.a
(1,0 điểm)








Bán kính của (C) là
5.RIM==

Phương trình của (C) là (1
22
)( 2)5.xy
−
+− =
0,25
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d. Phương trình của (P) là 212xyz−+− =0.
0,25
Gọi H là giao điểm của d và (P). Suy ra (1 2 ; 1 ; 3 ).Httt
+
−− +
0,25
Do nên 2( Suy ra t()HP∈ 1 2 ) ( 1 ) (3 ) 12 0.ttt+−−−++−= 1.

=
Do đó (3; 2;4).H −
0,25
8.a
(1,0 điểm)
Gọi
'
A
là điểm đối xứng của A qua d, suy ra H là trung điểm của đoạn '.
A
A Do đó '(2; 3;5).A −
0,25
2
(3 2 ) (2 ) 4 (3 2 ) 1 5iz i i iz i++−=+⇔+=+
0,25
1.zi⇔=+
0,25
Suy ra wi (2)(1)3.ii=+ −=−
0,25
9.a
(1,0 điểm)
Vậy w có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng −1.
0,25
Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
Suy ra
3
.
2
AM AG=
J

JJJG JJJG
Do đó
(
)
1
2;
.

2
M
−
0,25
Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AP, nên có phương
trình
230xy .
−
−=
0,25
Tam giác ABC vuông tại A nên B và C thuộc đường tròn tâm M,
bán kính
55
.
Tọa độ các điểm B và C là nghiệm của hệ
2
MA=
()
2
2
230
112

(2)
24
xy
xy
−−=
⎧
⎪
⎨
−++=
⎪
⎩
5

0,25
7.b
(1,0 điểm)

7, 2
3, 3.
xy
xy
=
=
⎡
⇔
⎢
=
−=−
⎣

Vậy
(7;2), ( 3; 3)BC
−
− hoặc .(3;3), (7;2)BC
−
−
0,25
Do nên ()IA P⊥ (1 2;3 5;2 4).Itt−+ − +t
0,25
Do nên ()IP∈ 2( 1 2 ) 5(3 5 ) 4(2 4 ) 36 0,tt t
−
+−−+ +−= suy ra 1.t
=
Do đó (1; 2; 6).I −
0,25
Ta có
35.IA=

0,25
8.b
(1,0 điểm)
Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A là
222
(1)( 2)(6)45xy z−+++−=.
0,25
Phương trình có biệt thức
2
(2 3 ) 1 3 0zizi+− −−= 1.
Δ
=−

0,25
Suy ra Δ=
2
.i
0,25
Nghiệm của phương trình đã cho là 12zi
=
−+
0,25
9.b
(1,0 điểm)
hoặc 1.zi=− +
0,25

Hết
A
B
P
M
G
C
M
A
B
H
I