Đề thi thử Đại học môn Toán trường THPT Chuyên Hà Tĩnh lần 3 năm 2013

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):

Câu 1: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y=x
4
-2x
2
-3.
2) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 2x
2
-x
4
+log
2
(m
2
-m+1)=0
Câu 2: Giải phương trình:
xtan2 −
=
x
x
cos
)
4
(sin2
2
π
−

Câu 3: Giải hệ phương trình:







+=
+
++
+=
+
+
2
)(
1
3
1
2
2
22
xy
yx
yx
y
yx
x

Câu 4:
Tính tích phân: I=
∫
+−
+
2
0
22cossin3
2sin2cos3
π
dx
xx
xx

Câu 5:
Cho hình l
ă
ng tr
ụ
ABC.A'B'C' có
đ
áy ABC cân t
ạ
i A, AB=a và góc
∠
BAC=120
o
, hình chi
ế
u vuông

góc c
ủ
a B' lên (ABC) là H trung
đ
i
ể
m c
ủ
a c
ạ
nh BC. Bi
ế
t góc gi
ữ
a AB' và m
ặ
t ph
ẳ
ng (A'B'C') là 60
o
. Tính th
ể
tích
kh
ố
i l
ă
ng tr
ụ

đ
ã cho, góc gi
ữ
a B'C và m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABA').
Câu 6:
Cho
cba ,,
phân bi
ệ
t th
ỏ
a mãn:
1=++ cba
và
0>++ cabcab
Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th

ứ
c sau:
cabcab
accbba
P
++
+
−
+
−
+
−
=
5222

II. PHẦN RIÊNG(3,0 điểm):Thí sinh chỉ được làm phần A hoặc phần B.

A. Theo chương trình Chuẩn:

Câu 7a:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ

a
độ
Oxy cho hai
đườ
ng tròn: x
2
+ y
2
- 4x - 4y +4 = 0(C) và x
2
+ y
2
- 16x +8y
+ 28 = 0(C'). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng qua A(4;2) c
ắ
t các
đườ
ng tròn trên theo các dây cung có
độ
dài b
ằ
ng

nhau.

Câu 8a:
Trong không gian Oxyz hãy l
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(Q): x +2y + z - 1= 0, c
ắ
t m
ặ
t c
ầ
u (S): x +y
2
+z
2
-2x-2y-2z-6=0 theo
đườ

ng tròn có chu vi là
30
π
.
Câu 9a:
Cho s
ố
ph
ứ
c z có ph
ầ
n th
ự
c d
ươ
ng th
ỏ
a mãn:
5=z và
432 =+− iz . Tính: A=
2
113
−
+
z
z

B. Theo chương trình Nâng cao:
Câu 7b:
Trong m

ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho
đườ
ng tròn: x
2
+ y
2
- 2x - 2y -2= 0(C) và
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
:
x+y+4=0. M thay
đổ
i trên
∆
, MA và MB là các ti
ế

p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ
M
đế
n (C) (A, B là các ti
ế
p
đ
i
ể
m). Tìm C c
ố

đị
nh mà
đườ
ng th
ẳ
ng AB luôn
đ
i qua khi M thay
đổ
i trên
∆
.
Câu 8b:

Trong không gian Oxyz cho
∆
:
43
1
2
1 zyx
=
+
=
−
và A(2;3;1). Vi
ết phương trình đường thẳng d qua A,
cắt
∆
tại B có tọa độ là những số nguyên và tạo với
∆
góc có cô-sin bằng
58
6
.
Câu 9b: Tìm m để đường thẳng y=2x+m (
∆
) cắt đồ thị y=
1
2
−
x
x
(C) t

ại A, B phân biệt sao cho AB có độ dài ngắn
nhất.

Chú ý
:Mỗi câu nhỏ 1 điểm, thí sinh không dùng tài liệu và giám thị không giải thích gì thêm.
Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
Năm học 2013-2014
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3
MÔN : TOÁN; Khối A và A
1

Thời gian làm bài: 180 phút


TRƯỜNG THPT CHUYÊN
HÀ TĨNH

KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM 2014
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn: TOÁN; Khối: A&A
1

Câu Nội dung



* Tập xác định: R
* Sự biến thiên:
+) y'=4x
3

-4x=0 ↔ x=0 hoặc x=
±
1
Hàm số đb trên: (-1;0), (1;+
∞
). Hàm số nb trên: (-
∞
;-1), (0;1)
Điểm cđ: (0;-3). Điểm ct: (
±
1;-4)
+) Giới hạn:
+∞=
+∞→x
Limy
,
+∞=
−∞→x
Limy
.
+) Bảng biến thiên:

0,5




0,25












0,25
Câu1.1

* Đồ thị
: Điểm cắt Ox: ( 3± ;0).
Điểm uốn: (
)
9
32
;
3
1
−±

8
6
4
2
2
4
6
15 10 5 5 10 15

f x( ) = x
4
2·x
2
3



+) Pt tương đương: x
4
-2x
2
-3=log
2
(m
2
-m+1)-3. Yêu cầu bài toán thỏa mãn
↔
(C) cắt đt y=
log
2
(m
2
-m+1)-3 tại 4 điểm phân biệt

0,25
+) Căn cứ (C) ta phải có: -4<log
2
(m
2

-m+1)-3<-3
0,25
Câu1.2

↔
-1<log
2
(m
2
-m+1) <0
↔
0,5 < m
2
-m+1 <1
↔
0 <m< 1.
Vậy: 0 <m< 1.

0,5
∞+

x

'
y
y
∞−

∞−

∞+

1−

1

0
4
−

4
−

3−

0 0 0
+

+

-

-


+)Điều kiện: x
≠

π
π

k+
2

0,25
+)Khi đó pt đã cho
↔
(sinx+1)(2cosx-1)=0

↔







+±=
+−=
π
π
π
π
2
3
2
2
kx
kx

0,5

Câu 2
+)Đối chiếu với đ/k ta có nghiệm:
π
π
2
3
kx +±=
.
0,25
+) Điều kiện: x+y
≠
0. Hệ
↔








=
+
+−−
+
++−
=
+
++−
3)

1
)(()
1
()(
3)
1
()(
22
yx
xyx
yx
xyx
yx
xyx
0,25

+)
Đặ
t : a=x-y, b=x+
yx +
1
. Gi
ải hệ:



=−+
=+
3
3

22
abba
ba

Ta
được: a=1, b=2 hoặc a=2, b=1.
0,25
+) Với a=1, b=2: Giải ra được các nghiệm: (1;0), (
2
1
;
2
3
)
0,25
Câu 3
+) Với a=2, b=1: Hệ vô nghiệm.
Vậy hệ có 2 nghiệm (x ;y): (1;0), (
2
1
;
2
3
).
0,25
Câu 4

+)
Đặt t= sinx, đưa được về: I=
∫

++
+
1
0
2
132
43
dt
tt
t

0,5

+) I =
∫
+
1
0
1
1
dt
t
+
∫
+
1
0
2
2
dt

t
= ln6
0,5


N
C'
B'
A'
H
C
B
A





Câu 5
+) Góc giữa AB' và (A'B'C') là
∠
B'AH (do (ABC) // (A'B'C') ).
AH = 0,5a suy ra: B'H =
2
3a
.
0.25


+) dt(ABC) =

4
3
2
a
, V
ABC.A'B'C'
=B'H.dt(ABC) =
8
3
3
a

0,25
+) Gọi E là hình chiếu C lên (ABA') suy ra:
ϕ
=
∠
CB'E là góc cần tìm.
Ta có: sin
ϕ
=CE/CB' , CE=d(C;(ABA'))=2.d(H;(ABA')), do H trung điểm
của BC.
0.25
+) Kẻ HN
⊥
AB, HK
⊥
NB', cm được: KH= d(H;(ABA')).
Tính được: sin
ϕ

=
5
2
. V
ậ
y
ϕ
=arcsin
5
2

0,25
+) Không m
ấ
t tq gi
ả
s
ử
a>b>c ta có: P=
cabcab
cacbba
++
+
−
+
−
+
−
5222
.

Ta có: m, n>0 thì
22
22411
nm
nmnm
+
≥
+
≥+ (1), d
ấu "=" có khi và chỉ khi m=n.
Áp dụng (1): P=
cabcab
ca
cabcab
cacbba
++
+
−
≥
++
+
−
+
−
+
−
2
101052
)
11

(2

)31)(1(
220
)4)((
220
bbbcaca +−
=
+++
≥ (2)
0.5
Câu 6
+) M
ặ
t khác: 3(1-b)(1+3b)=(3-3b)(1+3b)
4)3133(
4
1
2
=++−≤ bb
suy ra:

3
2
)31)(1( ≤+− bb . K
ết hợp (2) ta có: P
≥
610 . Dấu "=" có khi và chỉ khi:









>>=++
+=−
++=−
−=−
)(1
3133
2
cbacba
bb
cabcabca
cbba

↔










−

=
=
+
=
6
62
3
1
6
62
c
b
a
. Vậy: minP =
610
.
0,5
+) I(2;2) tâm (C), R=2. I'(8;-4) là tâm (C'), R'=2
13

A(4;2), B(2;0) là các giao điểm của (C) và (C').
Đường thẳng qua A, B có pt: x-y-2=0 là một trường hợp cần tìm.
0,5
Câu7a

K
F
E
N
M
B
A
I'
I

+) Giả sử
∆
qua A, cắt (C) và (C') tại M, N
(khác B) và AM=AN. G
ọi K,E,F là
trung điểm II' , AM, AN suy ra
∆
qua A
và vuông góc KA.
Pt
∆
là: x-3y+2=0.
Kết luận:
Có 2 đường thẳng thỏa mãn YCBT là: x-
y-2=0, x-3y+2=0.

0,5
Câu8a

+) (S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R=3. Đường tròn do (P)cắt (S) có chu vi

30
π
có bán kính r=
2
15
.
0,25


+) Khoảng cách từ I đến (P) là: d=
2
3
22
=− rR
.
0,25
+) M
ặ
t ph
ẳ
ng (P) do song song (Q) nên có d
ạ
ng: x+2y+z+m=0 (P).
d=
2
3

6
4
=
+m

↔




−=
−=
7
1
m
m

0,25








+) Giá tr
ị
m=-1 b
ị

lo
ạ
i do (P) trùng (Q). V
ậ
y ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ầ
n tìm
là: x+2y+z-7 = 0.
0,25
+) G
ọ
i z=a+bi, a và b là các s
ố
th
ự
c. Theo gt ta có:





=++−
=+
16)3()2(

5
22
22
ba
ba

0,25
+) Gi
ả
i h
ệ
trên
đượ
c:



=
=
1
2
b
a
(th
ỏ
a mãn) ,








−=
−=
13
19
13
22
b
a
(loại)
0,25
Câu9a





+) Vậy z=2+i suy ra: A= i2713 − = 898 .
0,5
+) I(1;1), R=2, d(I;
∆
)=
>
2
6
R suy ra
∆
và (C) không có điểm chung.

0,25
+)Gọi M(m;-m-4)
∆∈
. Tính được: MA
2
=MB
2
=2m
2
+8m+22.
Đường tròn (C') tâm M bán kính MA có pt: (x-m)
2
+(y+m+4)
2
=2m
2
+8m+22.
0,25
+)Lấy pt (C) và pt (C') trừ vế theo vế được pt đường thẳng qua AB là:
(m-1)x-(m+5)y+2=0 (AB).
0,25
Câu7b

I
B
A
M
+) Gọi C(x
0
;y

0
) là điểm mà AB luôn đi qua,
ta có: (m-1)x
0
-(m+5)y
0
+2=0 với
mọi m. Suy ra: C(
3
1
;
3
1
)

0,25
+) Gọi B(1+2t;-1+3t;4t)
∆∈
. Ta có:

→
u
=(2;3;4) là VTVP c
ủa
∆
và
→
AB
=(2t-1;3t-4;4t-1) .
0.25

+) Gọi
ϕ
là góc giữa d và
∆
, theo gt ta có: cos
ϕ
=
183629.29
1829
58
6
2
+−
−
=
tt
t
.
Gi
ải ra ta chỉ nhận t=0 do tọa độ B nguyên. Vậy B(1;-1;0)
0,5

Câu8b
+) Đường thẳng cần tìm qua A, B nên có phương trình:

1
1
4
3
1

2 −
=
−
=
− zyx
(d)
0.25
+)
∆
cắt (C) tại A, B phân biệt khi và chỉ khi pt: x
2
+(m-2)x-m=0 có 2 nghiệm
phân biệt khác 1
↔
m
∈
R

0.5
Câu9b
+) Gọi A(x
1
;y
1
), B(x
2
;y
2
). Suy ra: AB
2

=5m
2
+20
≥
20. Dấu "=" có khi và chỉ khi
m=0. Kết luận: m=0.
0.5