Đề thi thử đại học môn toán trường THPT An Dương , Hải Phòng năm 2013

www.MATHVN.com Toỏn hc Vit Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
1

S GD & T HI PHềNG
TRNG THPTAN DNG

THI TH I HC NM 2013
Mụn: TON, Khi A, A1
Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt
PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im)
Cõu I (2,0 im) Cho hm s
2 1
1
x
y
x

=
+

(
)
C
.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th
(
)
C
ca hm s.
b) Tỡm m ng thng d cú phng trỡnh

y x m
= +
ct th
(
)
C
ti hai im phõn bit A,
B sao cho tam giỏc ABM l tam giỏc u, bit rng M = (2; 5).
Cõu II (2,0 im) 1. Gii phng trỡnh:






++=+
4
2sin213coscos

xxx

2. Gii bt phng trỡnh sau:
2 2
x 91 x 2 x
+ > +

Cõu III (1,0 im) Tớnh tớch phõn
e
1
(x 2)ln x x

dx
x(1 ln x)
+
+


Cõu IV (1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi tõm O; tam giỏc SBD u
cnh
2
a
, tam giỏc SAC vuụng ti S cú
3
SC a
=
; gúc gia mp(SBD) v mt ỏy l
0
60
. Tớnh theo
a th tớch khi chúp S.ABCD v khong cỏch gia ng thng AC v ng thng SB.
Cõu V (1,0 im)

Cho x, y, z là 3 số thực dơng và thỏa mãn:
(
)
(
)
(
)
3 2012 3 2012 3 2012 2013
x x y y z z + +

.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
1 1 1
1 1 1A x y z
x y z


= + +





PHN RIấNG (3,0 im): Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc B)
A. Theo chng trỡnh Chun
Cõu VI.a (2,0 im)
1) Cho im M(1;1) v hai ng thng d
1
: 3x - y - 5 = 0, d
2
: x + y - 4 = 0. Vit phng trỡnh
ng thng d i qua im M v ct d
1
, d
2
tng ng ti A, B sao cho 2MA - 3MB = 0.
2) Trong khụng gian ta Oxyz cho mt cu (S) :
2 2 2
2 4 2 0

x y z x y z
+ + =
ct cỏc tia Ox, Oy,
Oz ln lt ti A, B, C khỏc O . Tỡm tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC.
Cõu VII.a (1,0 im) Trong cỏc s phc z tha món iu kin
iziz +=+ 351
. Tỡm s phc z
cú mụun nh nht.
B. Theo chng trỡnh Nõng cao
Cõu VI.b (2,0 im)

1) Trong mt phng vi h trc ta
,Oxy
cho elip
2 2
( ): 1
8 4
x y
E
+ =
cú cỏc tiờu im
21
,FF
(
1
F
cú
honh õm). ng thng d i qua
2
F

v song song vi ng phõn giỏc ca gúc phn t th
nht ct
)(E
ti A v B. Tớnh din tớch tam giỏc
.
1
ABF

2) Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho mt cu ( S ) v ng thng d cú phng
trỡnh l
2 2 2
( ):( 1) ( 2) 9
S x y z
+ + + =
, (d):
2
2
1
1

=

=
zyx
. Vit phng trỡnh mt phng (P) vuụng
gúc vi ng thng d v ct mt cu ( S ) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh bng 2.
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
2

Câu VII.b (1,0 điểm)
)
Cho khai triÓn
(
)
2
0 1 2
1 2
n
n
n
x a a x a x a x
+ = + + + +

*
( )
n N
∈
. TÝnh tæng:
A=
1 2
2 .
n
a a n a
+ + +
. BiÕt:
2 3
2 14 1
3
n n

C C n
+ =
.
Hết
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
3

ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm)
+ Tập xác định D =
ℝ
{
}
\ 1
−

+ Sự biến thiên
2
3
' 0 1
( 1)
y x
x
= > ∀ ≠ −
+

Hàm đồng biến trên các khoảng

(
)
; 1
−∞ −
và
(
)
1;
− +∞

Hàm số không có cực trị.

0,25
+ Giới hạn và tiệm cận

lim lim 2
x x
y y
→−∞ →+∞
= =
nên đồ thị có T/c ngang y =
2

1 1
lim , lim
x x
y y
− +
→− →−
= +∞ = −∞

nên đồ thị có T/c đứng x = -1
0.25
Bảng biến thiên
0,25
Đồ thị
0.25
2. (1,0 điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm:
2 1
2 1 ( 1)( )
1
x
x m x x x m
x
−
= − + ⇔ − = + − +
+
(x = - 1 không là nghiệm của PT )
⇔
x
2
- (m - 3)x - m – 1 = 0 (1)
0,25
(1) là PT bậc hai có
∆
= (m – 3)
2
+ 4(m + 1) = m
2

- 2m +13 = (m - 1)
2
+ 12
> 0
m
∀

Nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
và x
2
, hay đư
ờng thẳng luôn cắt
(C) tại hai điểm pb A,B. Theo hệ thức Viet: x
1
+ x
2
= m – 3, x
1
. x
2
= - m – 1

0,25
Khi đó A(x
1
; -x
1
+m), B(x
2

; -x
2
+ m) suy ra
*)
2 2
1 2 1 2 1 2
2( ) 2[( ) 4 ]
AB x x x x x x
= − = + −

AM =
2 2 2 2
1 1 1 2
( 2) ( 5) ( 2) ( 2)
x x m x x− + − + − = − + −
,
BM =
2 2 2 2
2 2 2 1
( 2) ( 5) ( 2) ( 2)
x x m x x− + − + − = − + −
= AM

0,25
Để tam giác MAB đều ta phải có: AB = AM = BM, hay
2 2 2
1 2 1 2
2( ) ( 2) ( 2)
x x x x− = − + −
2

1
4 5 0
5
m
m m
m
=

⇔ + − = ⇔

= −


Kết luận.
0.25
2.1 (1,0 điểm)

Ta có:
xxxxxxx 2cos2sin12coscos2
4
2sin213coscos ++=⇔






++=+
π

02coscos2cossin2cos2
2
=−+⇔ xxxxx



0,25

II.
(2,0
điểm)

(
)
0)cossin1)(sin(coscos0)sin(cossincoscos2
22
=−++⇔=−−+⇔ xxxxxxxxxx


0,25
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
4










=






+
−=
+=
⇔





=−
=+
=
⇔
2
1
4
cos
1tan
2
1sincos

0sincos
0cos
π
π
π
x
x
kx
xx
xx
x
Zk
kx
kx
kx
∈









=
+−=
+=
⇔ ,
2

4
2
π
π
π
π
π




0,5
2.2 (1,0 điểm)
Điều kiện
x 2
≥

Phương trình đã cho tương đương với:
(
)
(
)
(
)
2 2
x 91 10 x 2 1 x 9 0
+ − − − − − − >

0,25
2
2
x 9 x 3
(x 3)(x 3) 0
x 2 1
x 91 10
− −
⇔ − − + − >
− +
+ +

(
)
x 3
⇔ −
2
x 3 1
(x 3) 0
x 2 1
x 91 10
 
+
− − + >
 
− +
+ +
 
(*)

0,25
Ta có
2
x 3 1
(x 3) 0
x 2 1
x 91 10
+
− + − <
− +
+ +
với mọi x
2
≥
.
Do đó (*)
⇔
x < 3.




0,25
Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là :
2 x 3
≤ <

0,25
(1,0 điểm)
I =
∫ ∫
=
+
−+
e e
dxdx
xx
xxx
1 1
)ln1(
ln2)ln1(
-2
dx
xx
x
e
∫
+
1
)ln1(
ln



0,25

Ta có :
∫
−=
e
edx
1
1


0,25
Tính J =
dx
xx
x
e
∫
+
1
)ln1(
ln

Đặt t = 1 + lnx, Ta có: J =
dt
t
t
∫
−
2
1
1

=
dt
t
)
1
1(
2
1
∫
−
= (t - ln
t
) = 1 - ln2




0,25
III.
(1,0
điểm)
Vậy I = e - 1 - 2(1- ln2) = e - 3 + 2ln2 0,25
IV.
(1,0 điểm)
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
5

(1,0
điểm)
* Tính thể tích…
- Trong mp(SAC) dựng
SH AC
⊥
tại H.
- Do
SBD
△
đều nên
SO BD
⊥
, lại do ABCD là hình thoi nên
AC BD
⊥

mp( ) mp( )
BD SAC BD SH SH ABCD
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

- Vì
SBD
△
đều có cạnh
2 3
a SO a
⇒ =
và
SO BD
⊥

- Lại do

0
60
CO BD SOC⊥ ⇒ =
là góc giữa mp(SBD) và mp(ABCD)
0
3 3
.sin60 3.
2 2
a
SH SO a⇒ = = =

- Nhận thấy:
SOC
△
có


0
3, 60
SC SO a SOC SOC
= = = ⇒
△
là tam giác đều
2
2 3
.
1 1
3 2 3 . .2 .2 3 2 3
2 2
1 1 3
. . .2 3 3
3 3 2
ABCD
S ABCD ABCD
CO a AC a S AC BD a a a
a
V SH S a a
⇒ = ⇒ = ⇒ = = =
⇒ = = =

* Tính khoảng cách giữa SB và AC.
- Gọi I là trung điểm SD
// mp( )//
OI SB IAC SB
⇒ ⇒

( ; ) ( ;( )) ( ;( ))

d AC SB d B IAC d D IAC h
⇒ = = =
.
- Ta thấy: I là trung điểm SD nên
1
( ;( )) ( ;( ))
2
d I ABCD d S ABCD
=
;
Lại thấy:
3
. .
1 1 3
2 4 4
ADC ABCD I ADC S ABCD
a
S S V V=
⇒
= =
△
;
- Lại có:
2 2 2 2 2 2
3 4
CD CO OD a a a
= + = + =

2 2 2 2 2 2 2
2

3 4 4 5
2 4 2 4 2
SC CD SD a a a a
IC
+ +
⇒
= − = − =

Tam giác
ICO
có

2 2 2 2
2 2 2 2 2
5 3
; ; 3 cos
2 2. . 4
a OI OC IC
IC IO a OC a IOC
OI OC
+ −
= = =
⇒
= =

0,5


















I

S

H

O

D

C

B

A

www.MATHVN.com Toỏn hc Vit Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
6



2
2 2
13
sin 1 cos
4
1 1 13 39 39
. .sin . . 3. 2.
2 2 4 8 4
OIC IAC IOC
IOC IOC
a a
S OI OC IOC a a S S

= =
= = = = =


- M
. .
1
. .
3
I ACD D IAC IAC
V V hS
= =

3 2
.
3
3 3 39 3
:
4 4
13
D IAC
IAC
V
a a a
h
S
= = =


Vy

3
.
3
S ABCD
V a=
v
3
( ; )
13
a
d AC SB =
.




0,5

(1,0 im)
Từ giả thiết:
(
)
(
)
(
)
3 2012 3 2012 3 2012 2013
x x y y z z + +

(

)
(
)
( )
( )
2 2 2
2 2 2
3 2012 2013
3 2013 2012
x y z x y z
x y z x y z
+ + + +
+ + + + +




0,25
Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpki, ta có
(
)
(
)
(
)
( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 1 1
x y z x y z x y z

+ + = + + + + + +

( ) ( )
( ) ( )
2
2
2013 2012
2012 2013 0
0 2013
x y z x y z
x y z x y z
x y z
+ + + + +
+ + + +
< + +







0,25
Ta có
2 2 2
1 1 1
1 1 1A x y z
x y z

= + +




( ) ( )
1 1 1 9
x y z x y z
x y z x y z

= + + + + + +

+ +

do
1 1 1 9
x y z x y z
+ +
+ +







0,25
V.
(1,0
im)

Đặt t= x+y+z,
9
( ) (0 2013)
A t f t t
t
= = <

Ta có:
(
]
2
9
( ) 1 0 0;2013
f t t
t
= + >

f(t) max=f(2013)=2013-
9 4052160
2013 2013
=

dấu "=" xảy ra khi : x= y =z =
2013
3

Vậy
4052160
max
2013

A =
, khi : x= y =z =
2013
3









0,25
1. (1,0 im)
Ta cú A d
1
nờn A(x
1
;3x
1
-5), B d
2
nờn B(x
2
;4-x
2
)
0,25
Vỡ A, B, M thng hng v 2MA = 3MB nờn

=
=
)2(32
)1(32
MBMA
MBMA



0,25
VIa.
(2,0
im)





(1)
)2;2(,
2
5
;
2
5

2
2
5
)3(3)63(2
)1(3)1(2
2
1
21
21
BA
x
x
xx
xx












=
=

=
=

Suy ra d: x - y = 0.

0,25
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
7

( )
)3;1(,2;1
1
1
)3(3)63(2
)1(3)1(2
)2(
2
1
21
21
BA
x
x
xx
xx
−⇒




=
=
⇔



−−=−
−−=−
⇔
Suy ra d: x - 1 = 0.
Vậy có d: x - y = 0 hoặc d: x - 1 = 0.

0,25
2. (1,0 điểm)
(S) :
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 6
x y z
− + − + − =
có tâm w(1;2;1) bán kính R =
6

(S) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(2;0;0), B(0;4;0), C( 0;0;2) . Gọi I tâm
đường tròn (A,B,C) thì I giao điểm của d đi qua w và vuông góc
mp(ABC),và mp(ABC); Ptmp(ABC)
Giải hệ
2 2 4 0

x y z
+ + − =
và
1 2
2
1 2
x t
y t
z t
= +


= +


= +

ta được
2
9
t
−
=
suy ra

5 16 5
( ; ; )
9 9 9
I
và r = IA =

2 2 2
5 16 5 5
2 2
9 9 9 3
     
− + + =
     
     

0,25

0,25


0,25



0,25

VIIa.
(1,0
điểm)




Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈ R). Ta có

iyxiyx )1(3)5(1 +−+=−++
(1)

2222
)1()3()5()1( +++=−++⇔ yxyx


43
=
+
⇔
yx
. Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa

mãn (1) là đường thẳng x + 3y = 4. Mặt khác
162410)34(
22222
+−=+−=+= yyyyyxz

Hay
5
22
5
8
5
6
52
2
≥+








−= yz

Do đó
5
2
5
6

min
=⇒=⇔ xyz
. Vậy
iz
5
6
5
2
+=



0,25


0,25


0,25


0,25
1. (1,0 điểm)

1
4
8
:)(
22
=+

yx
E
có
).0;2(),0;2(248
21
FFc −⇒=−=

Từ giả thiết
2:
−
=
⇒
xyd
hay
.02
=
−
−
yx




0.25
Từ hệ
.
3
2
;
3

8
),2;0(
1
48
2
22






−⇒





=+
−=
BA
yx
xy




0.25
.
3

16
22.2
3
8
.
2
1
);(.
2
1
1
1
=== ABFdABS
ABF
(đvdt)


0.5
2. (1,0 điểm)
(S) có tâm I( 1; 0; -2) có bán kính R = 3, đư
ờng thẳng d có VTCP
)2;2;1( −=u .(P) vuông góc với d nên VTPT của (P) là )2;2;1( −=n


0.25
VIb.
(2,0
điểm)

VIIb.
(1,0
điểm)




Giả sử (P) có phương trình :
0
2
2
=
+
−
+
D
z
y
x

Ta có
54))(;(
2
=−= RPId

0.25
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
8


5
)2(21
5
222
=
−++
+
⇔
D

535 =+⇔ D



0.25





−−=
−=

⇔




−=+
=+
⇔
553
553
535
535
D
D
D
D

V
ậ
y có hai mp th
ỏ
a mãn
đề
bài là:




=−−−+
=−+−+

055322:)(
055322:)(
zyxP
zyxP







0.25
(1,0 điểm)


Gi¶i ph−¬ng tr×nh
2 3
2 14 1
3
n n
C C n
+ =
t×m ®−îc n =9


0,5
Víi n=9 ta cã
(
)
9

2 9
0 1 2 9
1 2
x a a x a x a x
+ = + + + +
LÊy ®¹o hµm hai vÕ ta ®−îc :
(
)
8
8
1 2 9
9 2 1 2 2 9
x a a x a x
+ = + + +
0,25
Cho x= 1 ta ®−îc A=
(
)
8
1 2 9
2 9. 9 2 1 2
a a a+ + + = +
.


0,25

Gi¶i ph−¬ng tr×nh
2 3
2 14 1

3
n n
C C n
+ =
t×m ®−îc n =9


0,5
- - - Hết - - -