Bộ 15 đề thi học sinh giỏi lớp 11

(Đề 1)
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
__________________________


Câu I:
Giải hệ phương trình:
22
22
24
22
xyxy
xy xy












Câu II:
Tìm tất cả các nghiệm x(2009; 2011) của phương trình :

cos sin
x
x os2 1 sin 2 0cx x


Câu III:

Cho dãy số ( ) xác định bởi:
n
u
1
1
1
( 1)( 2)( 3) 1, *.
nnnnn
u
uuuuu nN









Đặt
1
1

.
2
n
n
i
i
S
u




Tính li . m
n
S


Câu IV:

1. Cho elip(E):
22
1
25 9
xy
và điểm M(2;1). Viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua M
và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm AB.

2. Cho tứ diện ABCD, O là điểm bất kì nằm
trong miền tam giác BCD. Từ O kẻ các
đường thẳng song song với AB, AC, AD cắt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) lần

lượt tai M, N, P .
Chứng minh rằng:
OM ON OP
AB AC AD

không đổi.


Câu V:
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

333 22 2 2 22
3()()(abc abcabc bca cab      ).


H
ết






(Đề 2)
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian ra đề)

Câu 1: (2 điểm)
Giải phương trình :

31cot
3tan2 2 2 2 0
21cot
x
xc
cos x x
osx

 






Câu 2: (2,5 điểm)
1. Cho khai triển:

2 3 2010 2011 2 3 4042110
0 1 2 3 4042110
(1 ) xx x x a axax ax a x       
a. Tính tổng .
0 2 4 4042110
aaa a
b. Chứng m
inh rằng:

0 1 2 3 2010 2011
2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0
2011Ca Ca Ca Ca CaCa

2. Gọi A l
à tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên
một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác xuất để chọn được một số thuộc vào tập Avà
số đó chia hết cho 3.


Câu 3: (2,5 điểm)
1. Cho dãy số ( ) được xác định như sau:
n
u

2
111
2011, ( ), *, 2.
nnn
uunuunNn


Chứng minh rằng dãy số ( ) có giới hạn và tìm
giới hạn đó.
n
u
2. Tính giới hạn:

3
2
1
21 322
.
1

lim
x
xx x
A
x

  





Câu 4: (3 điểm)
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a.
1. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD)và đường thẳng A’C đi qua
trọng tâm tam giác A’BD.
2. Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông
góc với mặt phẳng (CB’D’). Tính độ dài đoạn MN theo a.


Hết




(Đề 3)
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (3 điểm)
1. Chứng minh rằng :
2
1sin2
cot .
1sin2 4
a
a
a








2. Cho: sinx + siny = 2sin(x + y), với x + y

k

,k

 .
Chứng minh rằng:
1
tan tan
22
xy


3
.


Câu 2: (3 điểm)
1. Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết:

3
sin . sin . .
22 22
AB B
cos cos
3
A
Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
2. Giải phương trình sau:

2(sin 3 cos ) 3 2 sin 2 .
x
xcosxx


Câu 3: (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E. AD và BC cắt nhau
tại F. AC và BD cắt nhau tại G. (P) là mặt phẳng cắt SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’.
1. Tìm giao điểm D’ của SD và (P).
2. Với điều kiện nào của (P) thì A’B’C’D’ là hình bình hành.


Câu 4: (1 điểm)

Chứng minh rằng: x, y, z



 thì:
222
2( ).
x
yz xyxz 



Hết












(Đề 4
) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
MÔN: TOÁN

Câu 1:
(2 điểm)
Cho dãy số ( ),n=0,1,2… được xác định như sau:

n
u
012
2
2
321
(1
)
nnn
uu
nnu
nn





0, 1, 0
(1)(1) 1
n
uuu
nn n n






 
, 0n
u

 .
Chứng minh rằng (u )là số chính phương với mọi n
n
*

 .

Câu 2:
(3 điểm)
Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng (

) song song với hai đường thẳng AD và BC. Gọi
N, P, Q tương ứng là giao iểm c
M,
đ ủa (

) với các đường thẳng AB, AC, CD, DB. Xác
định tất cả các vị trí của (

) để:
a. Tứ giác MNPQ là hình thoi.
b. Diện tích thiết diện giữa (

) và tứ diện ABCD là lớn nhất.

Câu 3:

(3 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
22
2
2
1
2
xy
xy
x
yx y

 


 



2. Cho x, y, z
R
. Chứng minh rằng :



222
111
.

xy yz zx
x
yz yzx zxy xy

 z



ương trình đúng với mọi x:

3. Tìm a để bất ph

2
3sin 2sin . os2 3xxcosxcxa
.

Câu 4:
(2 điểm)
Cho tam giác ABC có độ dài các cạ h là a, b, n c, độ dài ba đường phân giác trong tương
lần lượt là , l , l .
1. Chứng minh rằng:
ứng với các góc A, B, C l
a b c
33.
ab bc ca
llllll
cab



. Nhận dạng tam giác, biết:
tan ( tan a+btanb).
2
C
ab a 2


Hết






(Đề 5
) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
a + b + c = 6
MÔN: TOÁN


Câu 1: Cho a, b, c >0 và
33 3
2
111
abc
bca


Chứng minh rằng: 

iải phương trình:


Câu 2: G

2
2 3 1 3 2 2 5 3 16.( )xxxxx x     

Câu 3: Giải hệ phương trình:
32
32
12( )
12( )
x
xxy
y
yyx

 


  




Câu 4:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng iểm M, N lần lượt di chuy 1. Hai đ ển trên cạnh
1
AD v

à DC sao cho AM = x, CN = y với và góc MBN bằng 45

.
0,
x
y


a. Chứng minh rằng :
1
x
yxy .
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích

BMN.
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực:


2
2
2
42
4
5
(2)
816 3216
x
x
x
xx mxm







  


0
Tìm giá trị lớn nhất, n

Câu 6: hỏ nhất của biểu thức :
54 1
54 21 6
aa
P
aa


 
trong đó a là tham số thực và
5
1.
4
a



Hết














(Đề 6
) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1:
MÔN: TOÁN


(2 điểm) Cho dãy (
n
x
) lập theo quy tắc:

0
0x 





ãy số đề là số nguyên.
b. Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
2
1
52
41.
nn n
xx
x





a. Chứng m
inh rằng mọi số hạng của d


Câu 2:
(2 điểm)
1. Định a để hệ:
2
22
cos
sin 1
ax a y x
xy








có nghiệm duy nhất.
. Chứng minh rằng nếu thì:
2
2
2cos sin2
16
sin . os2
xx
xc x


2
2
2
x
x

Câu 3:
(2 điểm)
1. Giải phương trình:
2
32 14923 52xxx xx     .
2. Giải h

ệ phương trình:
23 3 2
2
6 6 5 ( 4)( 2 6)
22
1
xx x x x x
x
xx

  





.

Câu 4:
(3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b.Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông
góc với mặt phẳng (ABC) ; S là một điểm di động trên (P) sao cho S.ABC là hình chóp
có hai mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần

lượt là

và
2




. Gọi
chiếu vuông góc của S trên BC, AB, AC.
b. Tìm
giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của
H, I, J lần lượt là hình
a. Chứng m
inh rằng
2
.SH HI HJ .


.

Câu 5:
(1 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác:
3
333
33 33 33
24.
abc
bc ca ab

 
Chứng minh rằng:


Hết

(Đề 7
) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
MÔN: TOÁN


Câu 1:
(3 điểm)
1. Giải phương trình:
2
(xx 2)3 .
2. Giải bất phương trình:
3
1243 2.xx x  
3. Tìm điều kiện của tham số a, b để phương trình sau có các nghiệm lập thành cấp số
ộng:
.
c
32
3ax 0xx b


Câu 2:
(2 điểm)
Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng
ợc của m:

với những giá trị tìm đư
42
3
sinx. os2 2 2
.
cos . os2 1
cym m
xc y m










Câu 3:
(1 điểm)
Cho a, b, c là ba số dương và thoả mãn
1abc

.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
333
31 31 31Pa b c.

  

Câu 4:
(2 đ
Cho đều. Trên các cạnh AB và BC lần l
ượt lấy các điểm M, N sao cho
iểm)
ABC
1
3
AM AB

à
1
3
B
NB C. Gọi I là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng BI vuông góc CM. v

Câu 5:
(2 điểm)
Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng:
333
33333 3
1.
() () ()
abc
abc bca cab

  

Hết

(Đề 8
) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
MÔN: TOÁN



Câu 1:
(3 điểm) Cho hai phương trình sau:
73
2sin (1 sin ).sin .sin
x
axa

  x
3

(2)
. Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình (1) và (2) tương đương.
Câu 2:
(1)

26
( 1)(1 ) 2sinacosx x  
2
2sin 2( 1)xa
a. Giải
các phương trình trên với a = 2.
b

(2 điểm)
Giải hệ phương trình:
33
sin sin sin
2
.
3
cos cos cos
2
xyz
xyz












Câu 3:
(2 điểm)
1. Tính giới hạn sau:
11 1 1 1
.
13 35 57 2121
lim
n
nnn




 


. Giải phương trình:
22
15 3 2 8.xxx  2

Câu 4:
(2 điểm)
Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Một mặt phẳng (P) thay đổi song song với
hai đáy của lăng trụ, cắt các đoạn thẳng AB’, BC’, CD’, DA’ tương ứng lần lượt tại các
điểm M, N, P, Q. Hãy xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho tứ giác MNPQ có diện

ch lớn nhất. tí

Câu 5:
(1 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương
abcsao cho
111
111
abc

2.






Hết

(Đề 9
) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
MÔN: TOÁN


Câu 1:
(3 điểm)
1. Tìm tất cả các giá trị


0; 2x

 sao cho: 2cos 1xsin 2 1 sin 2 2.xx

 
à biện luận phương trình theo tham số a, b:

2. Giải v

2222 2222
2( ) 2( )
x
xx a a x xx a a xb xb 
.

Câu 2:
(2 điểm)
1. Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn .

1abc

Chứng minh rằng:

111
111abc
bca

   


1.

2. Giải hệ phương trình:
22
22
11
11
xxy x yxy y
xxy x yxy y

 


 


18
2
.

Câu 3:
(2 điểm)
Cho dã

n
xác định bởi: y số

u
2
1
n
unan


v ,2ới 1 ,3 n

; a là tham số có giá trị thực.
. Tì
m tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn khi .
a. Với

(1)a  hãy tìm giới hạn của dãy số khi n .
b
n 

Câu 4:
(3 điểm)
Gọi O ác ABCD. Qua A, B, C, lần lượt vẽ các đường
,

A
dOA ,,
BC D
dOBdOCdOD. Các cặp
là tâm đường tròn nội tiếp tứ gi D
thẳng đường thẳng và và và
A
d
B
d ,
B
d
C
d ,
C
d
D
d ,
D
d và
A
d tương ứng cắt nhau tại K, L, M, N.
a. Chứng minh rằng các đường thẳng KM và NL cắt nhau tại O.
b. Gọi p, q, r lần lượt là độ dài các đoạn thẳng OK, OL, OM. Tính độ dài đoạn ON.

Hết

(Đề 10
) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
MÔN: TOÁN


Câu 1:
(2 điểm)
Tìm các giá trị của a để phương trình sau chỉ có một nghiệm:

53 5(21)(1)
1.
()(31
aa
xa xax a




)

a


Câu 2
: (3 điểm)
1. Tìm số : tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm

2
3
()2() . 2
2
0.
xx
cos a x cos a x cos cos
a



   


. Cho tam giác ABC có
B. Chứng minh rằng:
2
3a


tan tan 2tanAC
32
cos cos .

4
AC
2

Câu 3:
(3 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E là giao điểm của AC và
BD. Chứng minh rằng nếu ba trung điểm của AD, BC, OE thẳng hàng thì AB=CD hoặc

AEB
0
90 .

Câu 4:
(1 điểm)
Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn
3xyz

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
111
x
yz
P
xy yz zx




Câu 5:
(1 điểm)
Tìm ba số thực dương a, b, c thoả mãn hệ :
149
3
.
12
abc
abc









Hết

(Đề 11
) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
MÔN: TOÁN


Câu 1:
(2 điểm)
.
B
CABBC
AB BC AC



Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức:
Tính tổng số đo góc:
3.AB

Câu 2:
(2 điểm)
Cho một cấp số nhân biết rằng tổng các số hạng của chúng bằng 11, tổng bình phương
của chúng bằng 3641.
hân đã cho khác 1.
. Xác định các số hạng của cấp số nhân.

Câu 3:
các số hạng của chúng bằng 341, tổng lập phương các số hạng
a. Chứng minh rằng công bội của cấp số n
b

(2 điểm)
Cho dãy số (
n
a ) thoả mãn các điều kiện:
1
(0;1)
,.
1
(1 )
4
n
nn
a
n
aa













11
a. Chứng minh rằng:
.
22
n
a
n

b. Chứng minh rằng dãy số ( ) có giới hạn và tìm
giới hạn đó.
n
a

Câu 4:
(3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông và SAB là tam giác đều, mặt phẳng đi
qua ba điểm A, B, C vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác SAB. Gọi M là một điểm
g góc của S lên CM.
a điểm M để độ dài đoạn thẳng nối M với trung điểm của đoạn SC
ạt giá trị lớn nhất.
di động trên đoạn AB và P là hình chiếu vuôn
a. Tìm quỹ tích của điểm P khi M di động.
b. Xác định vị trí củ
đ

Câu 5:
(1 điểm)
Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn

1abc

. Chứng minh rằng:
11111
.

1
11 222bc ca a b c

    


Hết
1ab












(Đề 12
) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
MÔN: TOÁN

Câu 1:
(2 điểm)
Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc:

,,
2
Max A B

C 
.
Tìm giá trị lớn của biểu thức:
C
Câu 2:

23
sin sin sin .PA B 


(3 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
0
.
2. Cho tam giá
32
32
()2
()3
xyz

yzx

 

 


32
()
16zxy 

c ABC có phương trình hai đường cao lần lượt là
:4 1 0AH x y và
:K
30xy
, trọng tâm tam giác G(1; 2). Viết phương trình các cạnh củ iác. a tam g
B

Câu 3:
(2 điểm)
Giả sử
123
1
12 2 2 2
; 1,2,3,
2123
n
n
n
n

an
n






. Chứng minh rằng:
. Dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó.
a.
1
3.
nn
a

 ,an


1
n
n
a


b

Câu 4:
(3 điểm)
Gọi O là một điểm trên cạnh AB của tứ diện ABCD (O không trùng với A và B). Mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện AOCD cắt các cạnh BC và BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M
và N (M
 C, N D). Mặt cầu ngọai tiếp tứ diện BOCD cắt các cạnh AC và AD của tứ
diện ABCD lần lượt tại P và Q (P

C, Q

D). Chứng minh rằng tam giác OMN đồng
ạng với tam giác OQP.
Hết

d














(Đề 13
) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
MÔN: TOÁN

Câu 1: (2 điểm)
1. Giải phương trình:
(3)(4)(12).
x
xx
2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

2
2
2
311
1
1
xmy
x
ym
yy




 



.

Câu 2: (2 điểm)

1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
. (2m x
2
1)(sin cos ) (sin cos ) 2 2 2 0xx xmm
2
1
lim .
(1)
n
xnxn
A
x



2. Tính giới hạn:

Câu 3: (2 điểm)
Cho dãy số (
n
a ) xác định bởi:
1
2
1
1
11
.
n
n
n

a
a
a
a










Tìm công thức tổng quát của
n
a .
điểm
ối xứng của H qua M. Chứng minh rằng E, F, M, K cùng thuộc một dường tròn.
ực dương thoả mãn: xyz =1
Chứng minh rằng:

Câu 4: (2 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A không vuông; đường cao AH và trung tuyến AM. Trên
các tia AB và AC theo thứ tự lấy các điểm E và F sao cho ME=MF=MA. Gọi K là
đ

Câu 5: (2 điểm)
1. Cho x, y, z là ba số th .
3.

11xyz1
xy yz zx


ương thoả mãn2. Cho a, b, c là ba số thực d
2.ab bc ca


222
22
abc
P
abc

2


. Tì
m giá trị lớn nhất của:


Hết


( MỘT SỐ ĐỀ DÀNH CHO LỚP 12)

(Đề 14
) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
MÔN: TOÁN


Câu 1:
(2 điểm)
1. Chứng minh rằng với mọi
x ta luôn có sin cos 1xx

 .
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm


sin cos 1 sin 2 sin cos 2mx x x x x .

Câu 2:
(2 điểm)
Biết rằng tam giác ABC có độ dài các cạnh và đường trung tuyến theo kí hiệu thông
.
.
. Tì
m tất cả các giá trị có thể có của tỉ số a : b.
thường thoả mãn:
;
a

abm
b
am b
a. Tìm số thực k sao cho:
()
ab
mambkab  
b

Câu 3:
(2 điểm)
Một hàm số f : (N* là tập hợp các số nguyên dương) thoả mãn đồng thời hai
iện sau:

**NN
điều k
() ()()
f
ab f a f b
nếu bằng 1;
)
ước chung lớn nhất của a và b (1)
(2)
()()(
f
pq fp f q nếu p, q là các số nguyên tố.
Chứng minh rằng: và
(2) 2, (3) 3, (4) 4fff (1999) 1999.f


Câu 4:
(2 điểm)
Cho P là một điểm cố định nằm bên trong một hình cầu cho trước. Ba đoạn thẳng PA,
PB, PC đôi một vuông góc với nhau, có ba đầu mút A, B, C nằm trên mặt cầu. Gọi G là
. Tìm quỹ tích điểm G khi A, B, C thay đổi.
trọng tâm tam giác ABC.
a. Tính PG theo PA, PB, PC.
b

Câu 5:
(2 điểm)
Xét tất ncả các số guyên dương dạng
2
31nn

 , *nN

. Kí hiệu S(n) là tổng các chữ
số của số
2
31nn.
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của S(n).

. Chứng minh rằng tồn tại n đểb
( ) 1999Sn

.

Hết

(Đề 15
) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12
(Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề)
MÔN: TOÁN


Câu 1:
(2 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
3
2
x
yxy
xy xy

 


 


.
. Giải phương trình:

32
cos

2log log cos
sin
x
x
x




. 2

Câu 2:
(3 điểm)
1. Tìm tất cả các cặp số thực (a;b) để với mọi
x

 ta có:
dương thoả mãn điều kiện

22
(cos 1) 1 ( ) 0.ax b cosaxb   
2. Cho a, b, c là các số
222
3abc

.
Chứng minh rằng:
2
22 22 22
444

1113(abc
ab bc ca






)
.

Câu 3:
(3 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy của hình chóp có độ dài bằn 2g ,
ảng
g (ABCD) bằng khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD).
chiều cao bằng h. Gọi
1
(;)COrlà hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi
2
C
(K;R) là hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với 8 cạnh của hình chóp. Biết rằng kho
cách từ O đến mặt phẳn
2
11
a. Chứng m
inh rằng:
.r
h


h
. Tính giá trị của h, từ đó suy ra thể tích hình chóp.
b

Câu 4:
(2 điểm)
Cho f là một hàm liên tục trên [0; 1] thoả m
0) (1)
ãn
(
f
f

. Chứng minh rằng với bất kì
ố nguyên dương n nào cũng tồn tại một số


0;1 sao cho c
1
()fc f c
n




s .

Hết