Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT chuyên Hưng Yên

TRƯỜNGTHPTCHUYÊN
HƯNGYÊN
BANCHUYÊNMÔN
ĐỀTHI THỬKỲT HITHPTQUỐCGIA2015
Mônthi:TOÁN
Thờigianlàmbài: 180phút,khôngkểthờigianphátđề
Câu1( 2,0điểm).Chohàmsố
3 2
3 2y x mx = + +
(1),vớimlàthamsốthực.
a) Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsố(1)khi m= 1.
b)Tìmmđểđồthịhàmsố(1)cóhaiđiểmcựctrịA,BsaochodiệntíchtamgiácOABbằng2
(Olàgốctọađộ).
Câu2( 1,0điểm).Giảibấtphươngtrình
( ) ( )
1
1 1 2
2 2
log 4 4 log 2 3 log 2
x x x +
+ ³ - -
.
Câu3( 1,0điểm).
a)GọiA,Blàhaiđiểmbiểudiễnchocácsốphứclànghiệmcủaphươngtrình
2
2 3 0z z + + =
.Tính
độdàiđoạnthẳngAB.
b)TrongkìthiTHPTQuốcgianăm2015,mỗithísinhcóthểdựthitốiđa8môn:Toán,Lý,Hóa,
Sinh,Văn,Sử,ĐịavàTiếnganh.MộttrườngĐạihọcdựkiếntuyểnsinhdựavàotổngđiểmcủa
3môntrongkìthichungvàcóítnhất1tronghaimônlàToánhoặcVăn.HỏitrườngĐạihọcđó

cóbaonhiêuphươngántuyểnsinh?
Câu 4(1,0điểm).Tínhtíchphân
2
0
sin
cos 2 3cos 2
x
I dx
x x

p

=
+ +
ò
Câu 5  (1,0 điểm). Trong không gianvới hệ tọađộ Oxyz, chohai điểm
( ) ( )
4;2;2 , 0;0;7A B
và
đườngthẳng
3 6 1
:
2 2 1
x y z
d
- - -
= =
-
.ChứngminhrằnghaiđườngthẳngdvàABcùngthuộcmột
mặtphẳng.TìmđiểmCthuộcđườngthẳngdsaochotamgiácABCcânđỉnhA.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác cân, AB AC a = = ,
·
0
120BAC =
. Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáygóc60
0
. Tínhthể tích lăngtrụ ABC.A'B'C' và
khoảngcáchtừđườngthẳng
BC
đếnmặtphẳng
( )
' 'AB C
theo
a
. hoctoancapba.com
Câu7(1,0điểm).TrongmặtphẳngvớihệtọađộOxy,chohìnhvuôngABCDcó
( )
1;2A -
.GọiM,
NlầnlượtlàtrungđiểmcủacạnhADvàDC;KlàgiaođiểmcủaBNvớiCM.Viếtphươngtrình
đườngtrònngoạitiếptamgiácBMK,biếtBNcóphươngtrình 2 8 0x y + - = vàđiểmBcóhoành
độlớnhơn2.
Câu8( 1,0điểm).Giảihệphươngtrình
( )
( )
2 2
2 2
1 2 2 3
,
1 2 2

y x y x y xy
x y
y x y y x
ì
- + = + +
ï
Î
í
ï + + + = -
î
¡
Câu9(1,0 điểm).Cho , ,x y z làcác sốthựcdươngthỏa mãn
( )
( )
2 2 2
5 9 2x y z xy yz zx + + = + +
Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức:
( )
3
2 2
1x
P
y z
x y z
= -
+
+ +
   Hết 
48
ĐÁPÁN

Câu Nộidung Điểm
1
a)Khảosáthàmsố
3 2
3 2y x mx = + +
Vớim=1,tacóhàmsố:y=x
3
+3x
2
+2
*)TXĐ: ¡
*)Sựbiếnthiên:
+)Giớihạntạivôcực:
lim
x
y
®±¥
= ±¥
0,25
+)Chiềubiếnthiên:
y'=3x
2
+6x Þy'=0 Ûx=0hoặcx=2
Bảngbiếnthiên:
x
¥  2 0 +¥
y
’
+ 0  0 +
y

6 +¥
2
¥
0,25
Þhàmsốđồngbiếntrên(¥;2)và(0;+¥);hàmsốnghịchbiếntrên(2;0)
hàmsốđạtcựcđạitạix=2,y
CĐ
=6;hàmsốđạtcựctiểutạix=0,y
CT
=2
0,25
*)Đồthị:
Nhậnxét:đồthịhàmsốnhậnđiểm
I(1;4)làmtâmđốixứng.
0,25
b)Tìmmđểđồthịhàmsố(1)cóhaiđi ểmcựctrịA,Bsaochodiệntích
tamgiácOABbằng2
Vớimọix Î ¡ ,y'=3x
2
+6mx Þy'=0 Ûx=0hoặcx=2m
Đểhàmsốcócựcđại,cựctiểuthìphươngtrìnhy'=0cóhainghiệmphânbiệt
Ûm ¹0
Khiđó,tọađộcácđiểmcựctrịlà:A(0;2);B(2m;4m
3
+2)
0,5
S
OAB
=1 ÛOA.d(B;OA)=4 Û
1

2 2
1
m
m
m
=
é
- = Û
ê
= -
ë
(thỏamãn)
Vậyvớim=
±
1thìhàmsốcó2cựctrịthỏamãnbài.
0,5
2
( ) ( )
1
1 1 2
2 2
log 4 4 log 2 3 log 2
x x x +
+ ³ - -
0,5
6
4
2
2
5 5

( ) ( )
( ) ( )
1
1 1 1
2 2 2
2 1
1 1
2 2
log 4 4 log 2 3 log 2
log 4 4 log 2 3.2
x x x
x x x
+
+
+ - +
+ -
( )
2 1
4 4 2 3.2
4 3.2 4 0
2 1
2
2 4
x x x
x x
x
x
L
x
+

+ Ê -
- -
ộ
Ê -

ờ

ờ
ở
VyBPTcútpnghim:S=
[
)
2+Ơ
0,5
3
a)Xộtphngtrỡnh:
2
2 3 0z z + + =
D'=1 3=2=
( )
2
2i
Phngtrỡnhcúhainghim:
1 2
1 2 1 2z i z i = - + = - -
0,25
ị
( ) ( )
1 2 1 2A B - - -
AB=

2 2
0,25
b)TH1:TrngHchxột1trong2mụnToỏnhocVn:
Cú:
2
6
2. 30C = (cỏch)
0,25
TH2:TrngHxộtchaimụnToỏnvVn:
Cú:
1
6
1. 6C =
(cỏch)
Vycúcỏctrnghpl:30+6=36(cỏch)
0,25
4
2 2
2
0 0
sin sin
cos 2 3cos 2 2cos 3cos 1
x x
I dx dx
x x x x

p p

= =
+ + + +

ũ ũ
tcosx=t ịdt=sinxdx
Vix=0 ịt=1vix=
2

p

ịt=0
0,25
( )( )
1 1 1
2
0 0 0
1 1
2
2 3 1 2 1 1 2 1 2 2
dt dt
I dt
t t t t t t
ổ ử
= = = -
ỗ ữ
+ + + + + +
ố ứ
ũ ũ ũ
0,25
=
1
0
2 1 3

ln ln
2 2 2
t
t
+
ổ ử
=
ỗ ữ
+
ố ứ
0,5
5
Đườngthẳngdcóvéctơchỉphương
( )
2;2;1u -
r
vàđiquaM(3;6;1)
ĐườngthẳngABcóvéctơchỉphương
( )
4; 2;5AB - -
uuur
( )
1;4; 1AM - -
uuuur
Tacó:
( )
, 12;6;12u AB
é ù
=
ë û

r uuur
Þ
, . 12 24 12 0u AB AM
é ù
= - + - =
ë û
r uuur uuuur
VậyABvàdđồngphẳng
0,5
( )
3 2 ;6 2 ;1C d C t t t Î Þ - + +
TamgiácABCcântạiA ÛAB=AC
Û(1+2t)
2
+(4+2t)
2
+(1t)
2
=45
Û9t
2
+18t  27=0 Ût=1hoặct=3
VậyC(1;8;2)hoặcC(9;0; 2)
0,5
6
+Xácđịnhgócgiữa(AB'C')vàmặtđáylà
·
'AKA
·
0

' 60AKA Þ =
.
TínhA'K=
1
' '
2 2
a
A C = Þ
0
3
' ' .tan 60
2
a
AA A K = =
3
. ' ' '
3
=AA'.S
8
ABC A B C ABC
a
V = hoctoancapba.com
0,5
+)d(B;(AB'C'))=d(A';(AB'C'))
Chứngminh: (AA'K) ^(AB'C')
Trongmặtphẳng(AA'K)dựngA'HvuônggócvớiAK ÞA'H ^(AB'C')
Þd(A';(AB'C'))=A'H
Tính:A'H=
3
4

a
Vậyd(B;(AB'C'))=
3
4
a
0,5
H
K
C'
B'
A'
C
B
A
7
GọiE=BN ÇAD ÞDlàtrungđiểmcủaAE
DựngAH ^BNtạiH Þ
( )
8
AH d A;BN
5
= =
TrongtamgiácvuôngABE:
2 2 2 2
1 1 1 5
AH AB AE 4AB
= + =
Þ
5.AH
AB 4

2
= =
0,25
B ÎBN ÞB(b;8 2b)(b>2)
AB=4 ÞB(3;2)
0,25
PhươngtrìnhAE:x+1=0
E=AE ÇBN ÞE(1;10) ÞD(1;6) ÞM(1;4)
0,25
GọiIlàtâmcủa(BKM) ÞIlàtrungđiểmcủaBM ÞI(1;3)
BM
R 5
2
= = .Vậyphươngtrìnhđườngtròn:(x 1)
2
+(y 3)
2
=5.
0,25
8
( ) ( )
( )
2 2
2 2
1 2 2 3 1
1 2 2 2
y x y x y xy
y x y x y
ì
- + = + +

ï
í
+ + + = - +
ï
î
ĐK:y ³1
Xét(1):
( )
2 2
1 2 2 3y x y x y xy - + = + +
Đặt
( )
2 2
2 0x y t t + = ³
Phươngtrình(1)trởthành:
( )
2 2 2
1 2 2 3 0t y t x y x y xy + - - - - - - =
D=(1y)
2
+4(x
2
+2y
2
+x+2y+3xy)=(2x+3y+1)
2
2 2
2 2
2 1
1

2
2 2
x y x y
t x y
t x y
x y x y
é
+ = - - -
= - - -
é
ê
Þ Û
ê
= +
ê
ë
+ = +
ë
0,5
Với
2 2
2 1x y x y + = - - -
,thayvào(2)tacó:
2
1
1 3 1 0
3
9 5 0
y
y y y

y y
ì
³ -
ï
+ = + Û Û =
í
ï
+ =
î
Þ
2
1x x = - - (vônghiệm)
0,25
H
E
K
N
M
D
C
B
A
Với
2 2
2 2x y x y + = +
,tacóhệ:
2 2
1 5
1 2
4

1 5
2 2
2
x
y x
x y x y
y
ì
- -
=
ï
ì
+ = -
ï ï
Û
í í
+
+ = +
ï ï
î
=
ï
î
Vậyhệphươngtrìnhcónghiệm
( )
1 5 1 5
; ;
4 2
x y
æ ö

- - +
=
ç ÷
è ø
0,25
9
Từđiềukiện:5x
2
+5(y
2
+z
2
)=9x(y+z)+18yz hoctoancapba.com
Û 5x
2
 9x(y+z)=18yz5(y
2
+z
2
)
ÁpdụngBĐTCôsitacó:
( ) ( )
2 2
2 2
1 1
yz y z ;y z y z
4 2
£ + + ³ +
Þ18yz5(y
2

+z
2
) £2(y+z)
2
.
Dođó:5x
2
9x(y+z) £ 2(y+z)
2
Û[x 2(y+z)](5x+y+z) £0
Þx £2(y+z)
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 3
2 2
x 1 2x 1 4 1
P
y z y z
x y z y z x y z 27 y z
= - £ - £ -
+ +
+ + + + + +
Đặty+z=t>0,tacó:P £ 4t
3
1
t
27
Xéthàm ÞP £16.
VậyMaxP=16khi
1
y z

12
1
x
3
ì
= =
ï
ï
í
ï
=
ï
î