Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT Lục Ngạn số 1

Sở GD&ĐT Bắc Giang
Trường THPT Lục Ngạn số 1

Đề chính thức
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP VÀ TUYỂN SINH
ĐH-CĐ LẦN 2
Môn: Toán – Lớp 12
Ngày thi 15/03/2015
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề


Câu 1 (3,0 điểm)
. Cho hàm số
2 1
,
1
x
x
y



có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến cách đều điểm A(2;4) và
B(-4;-2).
Câu 2
(1,0 điểm). Giải phương trình sau:


2sin 6 2sin 4 3 cos2 3 sin 2

x x x x
   
.

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình sau:

2
2
2
3
2
2 2
( , )
1 2 1 1
y
y x x
x y R
x
y x


  




   

.
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân sau:

1
3
0
( 1)
xdx
I
x



.
Câu 5 (1,0 điểm
).
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên bằng
5
2
a
. Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy, tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Câu 6

(1,0 điểm)
. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho A(2;1), B(-1;-3) và hai đường thẳng
1
: 3 0
d x y
  
,

2
: 5 16 0
d x y
  
. Tìm tọa độ các điểm C, D lần lượt trên
1
d
và
2
d
sao cho tứ giác
ABCD là hình bình hành.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;0;1), B(2;1;2) và mặt phẳng
( )

: x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng
( )

đi qua hai điểm A, B và vuông góc với
mặt phẳng
( )

.
Câu 8 ( 1,0 điểm). Cho
,
x y
là các số thực thỏa mãn:
2 2
3
x y xy

  
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
3 3
3 3
P x y x y
   
.

Hết
Chú ý: Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số bao danh:
www.NhomToan.com
49
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ CHO ĐIỂM
Môn: Toán (Thi Thử Tốt nghiệp và ĐH lần 2)
Chú ý:
- Trên đây chỉ là đáp án vắn tắt và hướng dẫn cho điểm. Học sinh phải lập luận chặt chẽ
mới cho điểm tối đa.
- Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm.
-Câu 5: Học sinh phải vẽ hình chính và đúng thì mới chấm bài giải.
- Phần hình học giải tích học sinh không nhất thiết phải vẽ hình.

Câu Nội dung cơ bản
Điểm

Câu 1
(3,0 đ)

Cho hàm số

2 1
,
1
x
x
y



có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến cách
đều điểm A(2;4) và B(-4;-2).

*TXĐ:


\ 1
R


* Giới hạn:
lim 2;
x
y


1 1
lim ; lim
x x

y y
 
 
   

* Đạo hàm:
2
1
' 0, 1
( 1)
y x
x
    


* Kết luận ĐB, NB.
* BBT:
0,25




0,5
0,25




phần a
(2 đ)

* BBT:

0,5

* Vẽ đồ thị chính xác:
- Chỉ ra giao của đồ thị
với các trục tọa độ.
- Thể hiện rõ tính chất đối xứng.
- Thể hiện đúng khái niệm tiệm
cận.
0,5






phần b
(1,0 đ)
* Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm (
0
1
x
 
). phương trình tiếp tuyến là:
 
0
0

2
0 0
2 1
1
( 1) 1
x
y x x
x x

  
 
.
Vì tiếp tuyến cách đều A và B nên tiếp tuyến đi qua trung điểm I của
AB hoặc song song AB.
* Nếu tiếp tuyến đi qua trung điểm I(-1;1) của AB ta có: x
0
= 1
Vậy pttt là:
1 5
4 4
y x
 
.
* Tiếp tuyến song song với đường thẳng AB: y = x+2

0,25


0,25

0,25


1
1
O
-1
2
0
2
0 0
2 1
1
1; 2
( 1) 1
x
x x

 
 
=>
0 0
0; 2
x x
  

* Với
0
0

x

ta có y = x+1
* Với
0
2
x
 
ta có y = x+5
KL:






0,25

Câu 2
(1,0 đ)
Giải các phương trình sau:

2sin 6 2sin 4 3cos2 3 sin 2
x x x x
   




pt <=>

2
2cos5 xsinx 3sin sin x cos
x x
 


<=>
sinx 0
2cos5x 3sinx+cosx







+) sinx = 0 <=>
x k



+)
2cos5 3sin cos
x x x
 
<=>
12 2
cos5 cos
3
18 3

k
x
x x
k
x
 

 


 

 
  

 
 

 



KL:

0,25

0,25

0,25

0,25

Giải hệ phương trình sau:

2
2
2
3
2
2 2
( , )
1 2 1 1
y
y x x
x y R
x
y x


  




   

.

Câu 3
(1,0đ)
ĐK: x >0
Chia cả hai vế pt(1) cho x, ta được:
2 2
2 2
2 0
y y
x x
 
  

<=>
2
2
2
1
2
2
y
x
y
x



 








<=>
2
2
4
y
x


<=>
2
4 2
y x
 
thế vào pt(2) ta
đc:
3
4 1 2 1 1
x x
   

Đặt
3
4 1 ,( 0), 2 1
x u u x v
    
ta có hệ
2 3
1
2 1
u v
u v
 


 


Giải hệ tìm được u = 1; v = 0 =>
1
; 0
2
x y
 

KL: nghiệm của hệ pt:
1
;0
2
 
 

 




0,25





0,25

0,25




0,25



Câu 4
(1,0 đ)
Tính tích phân sau:
1
3
0
( 1)
xdx

I
x






Ta có
1
3
0
1 1
( 1)
x dx
I
x
 



=
1 1
2 3
0 0
( 1) ( 1)
dx dx
x x

 

 
=
1
1
2
0
0
1 1 1
1 2( 1) 8
x x

 
 



0,25


0,25

0,5


Câu 5
(1 điểm)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên

bằng
5
2
a
. Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy và thể tích khối cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD


Gọi H là tâm của ABCD=> SH

(ABCD).
M là trung điểm BC => BC

(SHM).
Do các mặt bên tạo với đáy cùng một
góc =>

SHM
bằng góc tạo bởi mặt bên
với mặt đáy
* Tính được SH =
3
,
2 2
a a
HM


*


tan 3
SH
SMH
MH
 
=>

0
60
SMH 


* Lập luận được tâm khối cầu là điểm I của
SH với trung trực SC trong (SHC)
* Tính được bán kính khối cầu do
SNI

đồng dạng
SHC

=>
. 5
4 3
SN SC a
SI
SH
 

* Vậy
3

3
4 125 3
3 432
a
V R


 





0,25



0,25


0,25






0,25

Câu 6

(1 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho A(2;1), B(-1;-3) và hai đường thẳng
1
: 3 0
d x y
  
,
2
: 5 16 0
d x y
  
. Tìm tọa độ các điểm C, D lần lượt trên
1
d
và
2
d
sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.



* Giả sử C(c;-c-3)
1
d

, D(5d+16;d)
2
d


.
=>
CD

=(5d+16-c;d+c+3)

* ABCD là hình bình hành =>
CD

=
BA

=(3;4)
=>
5 16 3 5 13
3 4 1
d c d c
d c d c
     
 

 
    
 
<=>
2
3
d
c
 







=> C(3;-6); D(6;-2)

* Ta có
BA

=(3;4);
BC

=(4;-3) không cùng phương => A,B,C,D không

0,25

0,25



0,25


D
C
A
B
M

H
S
N
I
thẳng hàng => ABCD là hình bình hành
* Vậy:C(3;-6); D(6;-2)


0,25

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;0;1), B(2;1;2) và mặt phẳng
( )

: x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng
( )

đi qua hai điểm
A, B và vuông góc với
( )

.






Câu 7
(
1 đ)

* Lập luận chỉ ra được
,
n AB n

 

 
  
=(1;-2;1) là một véc tơ pháp tuyến
của
( )

.

* mp
( )

đi qua A có véc tơ pháp tuyến
n

=(1;-2;1) có pt: x - 2y + z - 2 = 0.

0,5


0,5

Cho
,

x y
là các số thực thỏa mãn:
2 2
3
x y xy
  
. Tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của biểu thức:
3 3
3 3
P x y x y
   









Câu 8
(1đ)
Ta có
2 2
3
x y xy
  
<=>
2

(x y) 3
xy
  
.
Vì
2 2
2
2
( ) ( )
( ) 3
4 4
( ) 4
x y x y
xy x y
x y
 
    
  


Đặt


, 2;2
x y t t   

Biến đổi được P =
3
2 6
t t

 


Xét f(t)=
3
2 6
t t
 
trên


2;2


* Lập bảng biến thiên

*Tìm được Max P = 4 khi t = 1; Min P = -4 khi t = -1 và kết luận dấu bằng
xảy ra đối với x, y.
0,25




0,25


0,25


0,25