Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Kiên Giang năm 2012 môn toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH
TỈNH KIÊN GIANG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 - 2012
−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
− −
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−

−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−

−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

MÔN : TOÁN HỌC
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 01/11/2011
(Đề thi có 01 trang)




Bài 1 (5 điểm).
1. Giải bất phương trình sau trên tập số thực :

2 2
2 3 6 11 4
x x x x x x
− + + > − + + −
.
2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực :
2 2
2 2
2 7 2
( )( ) 13 6 13
x y y xy
x y x y y x
+ + = +
− − + + =






Bài 2 (5 điểm).
Chứng minh rằng
2
sin
x
x
π
> đúng với mọi
(0; )
2

x
π
∈ .
Từ đó chứng minh rằng
2
2
4
cos 1
x
x
π
≤ − đúng với mọi
( ; )
2 2
x
π π
−
∈ .
Bài 3 (5 điểm).

Cho hình chóp
.
S ABC
có



0
90
SAC SCB ABC

= = =
và
25
, 4 , 3
4
SA cm AB cm BC cm
= = =
. Tính thể
tích khối chóp .
S ABC
.
Bài 4 (5 điểm).
Giải phương trình sau trên tập số thực :
2 2
3cot 2 2 sin (2 3 2)cos
x x x
+ = + .


−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−

−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−
HẾT
−
−−
−−

−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−

−−
−−
−−
−

Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TÌNH LỚP 12 THPT
TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2011 – 2012


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN
Ngày thi 01/11/2011
(Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang)

BÀI ĐÁP ÁN ĐIỂM

Bài 1.1
(2,5 điểm)
Điều kiện :
0 4
x
≤ ≤
.
BPT đã cho tương đương với BPT
2 2
2 3 6 11 4
x x x x x x
− + − − + > − −

2 2
4( 2) 2( 2)
4
2 3 6 11
x x
x x
x x x x
− − −
⇔ >
− +
− + + − +

2 2
4 2
( 2) 0 2
4
2 3 6 11
x x
x x
x x x x
 
⇔ − + > ⇔ >
 
− +
− + + − +
 

Kết hợp với điều kiện, nghiệm của BPT đã cho là
2 4

x
< ≤
.



0,5đ


1,0đ


0,5đ

0,5đ
Bài 1.2
(2,5 điểm)
Hệ đã cho được viết lại :
2
2
( ) ( ) ( ) 7
( )( ) 6 13( )
x y x y x y
x y x y x y
+ + − − =
+ − + = −

−






Đặt
,
u x y v x y
= + = −
ta được hệ
2
2 4 3 2
2
7
6 13 7 13 6 0
(1)
(
7
2)
u v vv u v
uv v v v v v
 
= − + ++ − =
+ = − − + − =
 
⇔
 
 
 

2
1

(2) 0( 3)( 2)( 1)
2
3
v v v
v
v
v
=


⇔ =+ −
= −
−
⇔ =




Hệ (1) và (2) có 3 cặp nghiệm : (7 ; 1), (5 ; 2), (
−
5 ;
−
3).
Hệ đã cho có 3 cặp nghiệm :
7 3
(4;3), ( ; ), ( 4; 1)
2 2
− −
.

1,0đ


0,5 đ


0,5đ



0,5đ
Bài 2
(5 điểm)
Xét hàm số
2
( ) sin
x
f x x
π
= − .
Ta có
/
2
( ) cosf x x
π
= −
và
/
( ) 0
f x

=
có duy nhất nghiệm
0
(0; )
2
x x
π
= ∈ .







.
Dựa vào BBT ta có ngay
2
( ) sin 0, (0; )
2
x
f x x x
π
π
= − > ∀ ∈ .


1,0đ

1,0đ







x

/
( )
f x

( )
f x

0
0
x

2
π

0
−

+
0
0
Trang 2

Vì hàm số
cos
y x
=
và hàm số
2
2
4
1
x
y
π
= − là các hàm số chẵn nên ta chỉ cần chứng
minh
2
2
4
cos 1
x
x
π
≤ − đúng với mọi
[0; )
2

x
π
∈ .

Theo trên,
[0; )
2
x
π
∀ ∈ ta có
2
sin 0
x
x
π
≥ ≥
. Do đó,
2 2
2 2
2 2
4 4
sin cos 1
x x
x x
π π
≥ ⇔ ≤ − .
Mặt khác,
cos 0, [0; )
2
x x

π
> ∀ ∈ nên ta được
2
2
4
cos 1
x
x
π
≤ − đúng với mọi
[0; )
2
x
π
∈ .



1,0đ



1,0đ


1,0đ
Bài 3
(5 điểm)
∆ABC vuông tại B nên
2 2

5
AC AB BC
= + =
.
Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC).
Vì AC vuông góc đoạn xiên SA nên AC vuông góc hình chiếu HA.

Tương tự, BC ⊥ HC. Suy ra HC song song AB.
Do đó,


HCA CAB
= . Vì vậy,
ACH BAC
∆ ∆
∼
.
Vì
AH AC
BC BA
= nên
15
4
AH
=
. Suy ra,
2 2
5
SH SA AH
= − =

.

Ta có
3
1 1 1
. . . . 10
3 3 2
SABC ABC
V S SH AB BC SH cm
= = = .


H
C
S
A
B

0,5đ

1,0đ


1,0đ
1,0đ

1,0đ


0,5đ

Bài 4
(5 điểm)
ĐK
sin 0
x x k
π
≠ ⇔ ≠
. Đặt
cos
t x
=
, −1 < t < 1
PT đã cho trở thành :
4 3 2
2 2 (2 3 2) (4 2 3) (2 3 2) 2 2 0
t t t t
+ + − − − + + =

Vì t = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho
2
t

ta được
2
2
1 1
2 2( ) (2 3 2)( ) 3 4 2 0
t t
t t

+ + + − + − =
(1)
0,5đ

1,0đ


0,5đ





Trang 3
Đặt
1
y t
t
= −
ta được
2 2
2
1
2
t y
t
+ = +

(1) trở thành
2

3
2
2 2 (2 3 2) 3 0
2
2
y
y y
y

= −


+ + + = ⇔

= −



Với
3
2
y
= −
ta được
2
t
= −
(loại ) và
1
2

2 3
t x k
π
π
= ⇔ = ± +

Với
2
2
y = −
ta được
2
t
= −
( loại ) và
2
2
2 4
t x m
π
π
= ⇔ = ± +

Vậy nghiệm PT là
2
3
x k
π
π
= ± +

và
2
4
x m
π
π
= ± +
.

0,5đ


1,0đ




0,5đ


0,5đ


0,5đ

HẾT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH
TỈNH KIÊN GIANG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 - 2012

−

−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−

−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−

−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−

−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−


ĐỀ THI CHÍNH THỨC




MÔN :
TOÁN HỌC

Thời gian :
180 phút

(không kể thời gian giao đề)
Ngày thi :
02/11/2011


(Đề thi có 01 trang)






Bài 5 (7 điểm).

Cho hai số thực
,
x y
thỏa mãn đẳng thức
2 2
3
x y xy
+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
3 3 2
3 ( )
M x y xy x y
= − + .
Bài 6 (6 điểm).
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn không bằng nhau

( ; )
O R
và
/ /
( ; )
O R
, tiếp xúc ngoài với nhau tại
A. Điểm B di động trên đường tròn (O). Đường thẳng vuông góc với BA tại A cắt đường tròn (O’) tại C
(khác A) .
1. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn luôn đi qua một điểm cố định.
2. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC luôn thuộc một đường tròn cố định, khi B thay đổi.
Bài 7 (7 điểm).

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên
n
, phương trình
2 2 2
x y z n
+ = +
có vô số nghiệm nguyên
dương
, ,
x y z
.


−
−−
−−
−−

−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−

−−
−−
−
HẾT
−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−

−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−


Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TÌNH LỚP 12 THPT
TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2011 – 2012


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN
Ngày thi 02/11/2011
(Hướng dẫn chấm này gồm có 02 trang)
Bài 1
(7 điểm)
Đặt
,
S x y P xy
= + =
. ĐK :
2

4
S P
≥
.

Ta có
2 2 2 2
3 3 3 0 3
x y xy S P S P P
+ + = ⇔ − = ⇔ = + ≥ ⇒ ≥ −
.
Đẳng thức có thể xảy ra, chẳng hạn khi
3
x y
= = −
.


Vì
2
4
S P
≥
và
2
3
S P
= +
nên
3 4 1

P P P
+ ≥ ⇔ ≤
.
Đẳng thức có thể xảy ra, chẳng hạn khi x = y = 1.

Tóm lại, tập giá trị của P là [−3 ; 1].

Ta có,
3 3 2 2 3 3 2
3 ( ) 3 (3 ) 3 9
M x y xy x y xy xy P P P P P P
= − + + + = − + = − −
.

Và
/ 2 /
3 [ 3;1]
3 6 9 ; 0
1 [ 3;1]
P
M P P M
P
= ∉ −

= − − = ⇔

= − ∈ −

.

( 3) 27, ( 1) 5, (1) 11
M M M
− = − − = = −


[ 3;1]
min min{ ( 3), ( 1), (1)} ( 3) 27
M M M M M
−
= − − = − = −


[ 3;1]
max min{ ( 3), ( 1), (1)} ( 1) 5
M M M M M
−
= − − = − =
.

0,5đ

1,5đ


1,0đ

0,5đ
1,0đ

1,0đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ
Bài 2
(6 điểm)
1. Ta có
∆
AOB cân đỉnh O nên


0
180 2
AOB BAO
= −

Ta có
∆
AO’C cân đỉnh O’ nên


0
’ 180 2 ’
AO C CAO
= −

Do đó,





(
)
0 0
’ 360 2 ’ 180
AOB AO C BAO CAO+ = − + =

Suy ra OB // O’C .
Gọi I là giao điểm của BC và OO’ ta có
' ' '
IC O C R R
IC IB
IB OB R R
= = ⇒ =
 

Vậy I là tâm vị tự ngoài của (O) và (O’).
Vì vậy, BC luôn luôn đi qua điểm I cố định ( đpcm ).
2. Gọi M là trung điểm của BC ta có
2
3
AG AM
=
 
.
Gọi K là trung điểm của OO’. Vì MK là đường trung bình của hình thang
CO’OB nên

'
2
R R
KM
+
=
.
0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ


0,5đ



0,5đ

1,0đ




Trang 2

Do đó M thuộc đường tròn tâm K bán kính bằng
'
2
R R
+
.
* Ta có
2
( , )
3
( )
A
V M G
=

và M thuộc đường tròn (K ,
'
2
R R
+
) cố định nên G chạy trên đường tròn cố
định, là ảnh của đường tròn ( K ,
'
2
R R
+
) qua phép vị tự tâm A tỷ số k =
2
3
.

K
M
I
C
O
A
O'
B

0,5đ

0,5đ



0,5đ
Bài 3
(7 điểm)
* Xây dựng được các bộ nghiệm.
* Chứng được tính nguyên dương của các bộ nghiệm đã xây dựng.
* Chứng được tính “vô số” của các bộ nghiệm đã xây dựng.
Chẳng hạn,
Ta xây dựng các bộ nghiệm nguyên dương
( , , )
x y z
như sau :
Đặt
1
z y
= +

ta có
2 2
(2 1)
y z y
− = − +
.
Khi đó ta có
2
2 2 2
1
2
x n
x y z n y
− −
+ − = ⇔ = .
Ta có tập
*
{ 2 | | 1: }
k
A x n k= = + + ∈
ℕ
gồm vô số phần tử
x
là số nguyên dương, khác
tính chẵn−lẻ với
.
n
và thỏa điều kiện
2
1 0

x n
− − >
. Vì vậy,
2
1
2
x n
y
− −
= là số nguyên
dương với mọi
x
thuộc A.
Rõ ràng mỗi bộ
2 2
1 1
( , , ) ( , , )
2 2
x n x n
x y z x
− − − +
= , với
x A
∈
, đều là nghiệm của
phương trình đã cho.
4đ
2đ
1đ

HẾT