Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT Thanh Chương 3

SỞGD&ĐTNGHỆAN
TRƯỜNGTHPTTHANHCHƯƠNGIII
ĐỀTHITHỬTHPTQUỐCGIANĂM2015
Môn :TOÁN
Thờigianlàmbài:180phút,khôngkểth ờigiangiaođề
Câu 1( 2,0 điểm). Chohàmsố
3
3 1y x mx = - + + (1).
a) Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịcủahàmsố(1)khi 1m = .
b) Tìm
m
đểđồthịcủahàmsố(1)có2điểmcựctrị ,A B saochotamgiác
OAB
vuôngtại
O
(với
O
làgốctọađộ).
Câu2(1,0điểm). Giảiphươngtrình sin 2 1 6sin cos 2x x x + = + .
Câu3(1,0điểm). Tínhtíchphân
2
3
2
1
2lnx x
I dx
x
-
=
ò
.

Câu4(1,0điểm). a) Giảiphươngtrình
2 1
5 6.5 1 0
x x +
- + = .
b) Mộttổcó5họcsinhnamvà6họcsinhnữ.Giáoviênchọnngẫunhiên3họcsinhđểlàm
trựcnhật.Tínhxácsuấtđể 3họcsinhđượcchọncócảnamvànữ.
Câu5(1,0điểm). Trongkhông gianvớihệtoạđộ Oxyz ,chođiểm
( )
4;1;3A - vàđường
thẳng
1 1 3
:
2 1 3
x y z
d
+ - +
= =
-
.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng
( )P
điqua Avàvuônggócvới
đườngthẳng d.Tìmtọađộđiểm B thuộc dsaocho 27AB = .
Câu6(1,0điểm). Chohìnhchóp .S ABC cótamgiác ABC vuôngtại
A
, AB AC a = = ,
I
là trung điểmcủa
SC
,hìnhchiếuvuông góc của

S
lênmặt phẳng
( )
ABC
là trungđiểm
H
của BC ,mặtphẳng
( )
SAB tạovớiđáy1góc bằng60
o
.Tínhthểtíchkhốichóp .S ABC và
tínhkhoảngcáchtừđiểm Iđếnmặtphẳng
( )
SAB
theo
a
.
Câu7(1,0điểm). Trongmặtphẳngvớihệtoạđộ Oxy chotamgiác
ABC
có
( )
1;4A
,tiếp
tuyếntại
A
củađườngtrònngoạitiếptamgiác ABC cắt BC tại
D
,đườngphângiáctrong
của
·

ADB cóphươngtrình 2 0x y - + = ,điểm
( )
4;1M - thuộccạnh
AC
.Viếtphươngtrình
đườngthẳng AB .
Câu 8(1,0điểm). Giảihệphươngtrình
2
2
3 5 4
4 2 1 1
x xy x y y y
y x y x
ì
+ + - - = +
ï
í
- - + - = -
ï
î
Câu9(1,0điểm). Cho , ,a b c làcácsốdươngvà 3a b c + + = .Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểu
thức:
3 3 3
bc ca ab
a bc b ca c ab
P + +
+ + +
=
CảmơnthầyNguyễnThànhHiển
( www.la isac.page.tl

57
ĐÁPÁN
Câu Nộidung Điểm
1 a.(1,0điểm)
Vơím=1hàmsốtrởthành:
3
3 1y x x = - + +
TXĐ: D R =
2
' 3 3y x = - +
,
' 0 1y x = Û = ±
0.25
Hàmsốnghịchbiếntrêncáckhoảng
( )
; 1 -¥ -
và
( )
1;+¥
,đồngbiếntrênkhoảng
( )
1;1 -
Hàmsốđạtcựcđại tại
1x =
, 3
CD
y = ,đạtcựctiểutại
1x = -
, 1
CT

y = -
lim
x
y
®+¥
= -¥ , lim
x
y
®-¥
= +¥
0.25
*Bảngbiếnthiên
x –
¥
1 1 +
¥
y’ + 0 – 0+
y
+¥ 3
1 ¥
0.25
Đồthị:
4
2
2
4
0.25
b.(1,0điểm)
( )
2 2

' 3 3 3y x m x m = - + = - -
( )
2
' 0 0 *y x m = Û - =
0.25
Đồthịhàmsố(1)có2điểmcựctrị Û PT(*)có2nghiệmphânbiệt
( )
0 **m Û >
0.25
Khiđó2điểmcựctrị
( )
;1 2A m m m - -
,
( )
;1 2B m m m +
0.25
TamgiácOABvuôngtạiO . 0OA OB Û =
uuur uuur
3
1
4 1 0
2
m m m Û + - = Û = (TM(**))
0,25
Vậy
1
2
m =
2.
(1,0điểm)

sin 2 1 6sin cos2x x x + = +
Û (sin 2 6sin ) (1 cos 2 ) 0x x x - + - =
0.25
Û
( )
2
2sin cos 3 2sin 0x x x - + =
Û
( )
2sin cos 3 sin 0x x x - + =
0.25
sin 0
sin cos 3( )
x
x x Vn
=
é
Û
ê
+ =
ë
0.25
Û
x k
p
=
.VậynghiệmcủaPTlà
,x k k Z
p
= Î

0.25
3
(1,0điểm)
2
2 2 2 2
2
2 2 2
1 1 1 1
1
ln ln 3 ln
2 2 2
2 2
x x x x
I xdx dx dx dx
x x x
= - = - = -
ò ò ò ò
0.25
Tính
2
2
1
ln x
J dx
x
=
ò
Đặt
2
1

ln ,u x dv dx
x
= =
.Khiđó
1 1
,du dx v
x x
= = -
Dođó
2
2
2
1
1
1 1
lnJ x dx
x x
= - +
ò
0.25
2
1
1 1 1 1
ln 2 ln 2
2 2 2
J
x
= - - = - + 0.25
Vậy
1

ln 2
2
I = +
0.25
4. (1,0điểm)
a,(0,5điểm)
2 1
5 6.5 1 0
x x +
- + =
2
5 1
5.5 6.5 1 0
1
5
5
x
x x
x
é
=
ê
Û - + = Û
ê
=
ê
ë
0.25
0
1

x
x
=
é
Û
ê
= -
ë
VậynghiệmcủaPTlà 0x = và 1x = -
0.25
b,(0,5điểm)
( )
3
11
165n C W = =
0.25
Sốcáchchọn 3họcsinh cócảnamvànữlà
2 1 1 2
5 6 5 6
. . 135C C C C + =
Dođó xácsuất để3họcsinhđượcchọncócảnamvànữlà
135 9
165 11
=
0.25
5. (1,0im)
ngthngdcúVTCPl
( )
213
d

u = -
uur
Vỡ
( )
P d ^ nờn
( )
P nhn
( )
213
d
u = -
uur
lmVTPT
0.25
VyPTmtphng
( )
P
l:
( ) ( ) ( )
2 4 1 1 3 3 0x y z - + + - + - =
2 3 18 0x y z - + + - =
0.25
Vỡ B d ẻ nờn
( )
1 2 1 3 3B t t t - - + - +
27AB =
( ) ( )
2 2
2 2
27 3 2 6 3 27AB t t t = - + + - + =

2
7 24 9 0t t - + =
0.25
3
3
7
t
t
=
ộ
ờ

ờ
=
ở
Vy
( )
746B -
hoc
13 10 12

7 7 7
B
ổ ử
- -
ỗ ữ
ố ứ
0.25
6.
(1,0im)

j
C
B
A
S
H
K
M
GiKltrungimcaAB HK AB ị ^ (1)
Vỡ
( )
SH ABC ^
nờn
SH AB ^
(2)
T(1)v(2)suyra
AB SK ị ^
Doúgúcgia
( )
SAB viỏy bnggúc
giaSKvHKvbng
ã
60SKH =
o
Tacú
ã
3
tan
2
a

SH HK SKH = =
0.25
Vy
3
.
1 1 1 3
. . . .
3 3 2 12
S ABC ABC
a
V S SH AB AC SH = = =
0.25
Vỡ / /IH SB nờn
( )
/ /IH SAB
.Doú
( )
( )
( )
( )
, ,d I SAB d H SAB =
THk HM SK ^ tiM
( )
HM SAB ị ^ ị
( )
( )
,d H SAB HM =
0.25
Tacú
2 2 2 2

1 1 1 16
3HM HK SH a
= + =
3
4
a
HM ị =
.Vy
( )
( )
3
,
4
a
d I SAB =
0,25
7.
(1,0im)
K
C
A
DB
I
M
M'
E
GiAIlphangiỏctrongca
ã
BAC
Tacú:

ã
ã
ã
AID ABC BAI = +
ã
ã
ã
IAD CAD CAI = +
M
ã ã
BAI CAI = ,
ã
ã
ABC CAD = nờn
ã
ã
AID IAD =
ị
DAI D cõntiD
ị
DE AI ^
0,25
PT ngthngAIl: 5 0x y + - =
0,25
GoMlimixngcaMquaAI ị PTngthngMM: 5 0x y - + =
Gi 'K AI MM = ầ
ị
K(05)
ị
M(49)

0,25
VTCPcangthngABl
( )
' 35AM =
uuuuur
ịVTPTca ngthngABl
( )
5 3n = -
r
Vy PTngthngABl:
( ) ( )
5 1 3 4 0x y - - - =
5 3 7 0x y - + =
0,25
8.
(1,0im).
2
2
3 5 4(1)
4 2 1 1(2)
x xy x y y y
y x y x
ỡ
+ + - - = +
ù
ớ
- - + - = -
ù
ợ
k:

2
2
0
4 2 0
1 0
xy x y y
y x
y
ỡ
+ - -
ù
- -
ớ
ù
-
ợ
Tacú(1)
( )( )
3 1 4( 1) 0x y x y y y - + - + - + =
t
, 1u x y v y = - = +
( 0, 0u v )
Khiú(1)trthnh:
2 2
3 4 0u uv v + - =
4 ( )
u v
u v vn
=
ộ

ờ
= -
ở
0.25
Viu v = tacú 2 1x y = + ,thayvo(2)tac:
2
4 2 3 1 2y y y y - - + - =
( )
( )
2
4 2 3 2 1 1 1 0y y y y - - - - + - - =
0.25
( )
2
2 2
2
0
1 1
4 2 3 2 1
y
y
y
y y y
-
-
+ =
- +
- - + -
( )

2
2 1
2 0
1 1
4 2 3 2 1
y
y
y y y
ổ ử
ỗ ữ
- + =
ỗ ữ
- +
- - + -
ố ứ
0.25
2y = (vỡ
2
2 1
0 1
1 1
4 2 3 2 1
y
y
y y y
+ > "
- +
- - + -
)
Vi 2y = thỡ 5x = .ichiuktacnghimcahPTl

( )
52
0.25
9.
(1,0điểm).
Vìa+b+c=3tacó
3 ( ) ( )( )
bc bc bc
a bc a a b c bc a b a c
= =
+ + + + + +
1 1
2
bc
a b a c
æ ö
£ +
ç ÷
+ +
è ø
VìtheoBĐTCôSi:
1 1 2
( )( )
a b a c
a b a c
+ ³
+ +
+ +
,dấuđẳngthứcxảyra
Û

b=c
0,25
Tươngtự
1 1
2
3
ca ca
b a b c
b ca
æ ö
£ +
ç ÷
+ +
+
è ø
và
1 1
2
3
ab ab
c a c b
c ab
æ ö
£ +
ç ÷
+ +
+
è ø
0,25
SuyraP

3
2( ) 2( ) 2( ) 2 2
bc ca ab bc ab ca a b c
a b c a b c
+ + + + +
£ + + = =
+ + +
, 0,25
Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhia=b=c=1.VậymaxP=
3
2
khia=b=c=1.
0,25