Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc

SỞGD&ĐT VĨNHPHÚC ĐỀTHITHỬTHPTQUỐCGIANĂM2015 LẦN4
THPTChuyênVĩnhPhúc Môn:TOÁNKHỐI12
Thờigianlàmbài:180phút,khôngkểthờigian
phátđề
Câu1(2,0điểm). Chohàmsố
3 2
3 2y x x = - +
a)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị( )C củahàmsố
b)Tìmcácgiátrịcủathamsố
m
để đườngthẳng
( )
: 2 2d y m x = - -
cắtđồthị
( )C
tại3điểmphânbiệt
( )
2; 2 , ,A B D -
saochotíchcáchệsốgóccủatiếptuyếntại B và D vớiđồthị
( )
C
bằng
27
.
Câu2(1,0điểm). Giảiphươngtrình:
( )
( )
( )
2 2
2
3 3

3
1
log 9 log 3 log 5
4
x x x - = + + - .
Câu3(1,0điểm). Tínhtíchphân :
( )
( )
1
2
0
5 3ln 2
1
x x
I dx
x
- +
=
+
ò
.
Câu4(1,0điểm).
a) Tínhmôđuncủa sốphức
z i +
,biết
( )( )
2z i z i iz + + =
(
i
làđơnvịảo)

b) Một bộđềthitoánhọcsinhgiỏilớp12màmỗiđềgồm5câuđượcchọntừ15 câudễ,10 câutrungbình
và 5 câukhó.Mộtđềthiđượcgọilà“Tốt”nếutrongđềthicócảbacâudễ,trungbìnhvàkhó,đồngthờisố
câudễkhôngíthơn2 .Lấyngẫunhiênmộtđềthitrongbộđềtrên.Tìmxácsuất đểđề thilấyralàmộtđềthi
“Tốt”.
Câu5(1,0điểm). Chohìnhchóp
.S ABCD
cóđáy
ABCD
làhình bìnhhànhtâm
O
,
4, 4 3AB AD = =
,các
cạnhbênbằngnhauvàbằng
6
,gọi Mlàtrungđiểmcủa
OC
.Tínhthểtíchkhốichóp
.S ABMD
vàdiện
tíchcủamặtcầungoạitiếptứdiện
SOCD
.
Câu6(1,0điểm).Trongkhônggianvớihệtọađộ Oxyz ,chođườngthẳng
2 4 1
:
2 3 1
x y z
d
+ - +

= =
-
vàđiểm
( )
2; 1;3M - .Viếtphươngtrìnhmặtphẳng
( )
P điquađiểm
( )
1;0;0K ,songsongvớiđườngthẳng d đồng
thờicáchđiểm Mmộtkhoảngbằng
3
.
Câu7 (1,0điểm).Trongmặtphẳngvớihệtọađộ Oxy ,chotamgiác
ABC
cótrưctâm
( )
5;5H
,phương
trìnhđườngthẳngchứacạnh BC là 8 0x y + - = .Biếtrằngđườngtrònngoạitiếptamgiác ABC điquahai
điểm
( ) ( )
7;3 , 4;2M N
.Tínhdiệntíchtamgiác
ABC
.
Câu8(1,0điểm). Giảihệphươngtrình :
2 2
2 3 1 1
3 6 3 2 3 7 2 7
x xy y y y x

y x y x
ì
ï
+ - + - = - -
ï
ï
í
ï
- + + - = +
ï
ï
î
.
Câu9(1,0điểm).
Chocácsốthực dương , ,a b c thỏamãn :
( ) ( )
4 4 4 2 2 2
9 25 48 0a b c a b c + + - + + + =
Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức:
2 2 2
2 2 2
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + +
 Hết 
Thísinhkhôngđượcsửdụngtàiliệu.Cánbộcoithikhônggiảit híchgìthêm.
Họvàtênthísinh: ;Sốbáodanh: 
61

SỞGD&ĐTVĨNHPHÚC ĐÁPÁN –THANGĐIỂM
THPTChuyênVĩnhPhúc ĐỀTHITHỬTHPTQUỐCGIANĂM2015 LẦN4
Môn:TOÁN 12
(Đápán –thangđiểmgồm05trang)
ĐÁPÁN–THANGĐIỂM
Câu
Đápán
Điểm
1
(2,0điểm)
a.(1,0 điểm).
3 2
3 2y x x = - +
Khảosátvàvẽđồthị
♥ Tậpxácđịnh: D = ¡
♥ Sựbiếnthiên:
ￚChiềubiếnthiên:
2
' 3 6y x x = -
; ' 0 0y x = Û = hoặc
2x =
.
0.25
+Hàmsốnghịchbiếntrênkhoảng
( )
0;2
;
+Đồngbiếntrêncáckhoảng
( )
;0 -¥

và
( )
2;+¥
.
ￚCựctrị:
+Hàmsố đạtcựctiểutại
2x =
;y
CT
(2) 2y = = - ;
+Hàmsố đạtcựcđạitại
0x =
;y
CĐ (0) 2y = = .
ￚGiớihạn:
lim ; lim
x x
y y
®-¥ ®+¥
= -¥ = +¥
0.25
ￚBảngbiếnthiên:
x -¥ 02 +¥
y' +0  0+
y 2 +¥
-¥ 2
0.25
♥ Đồthị:
f(x)=(x^3)3*(x)^2+2
8 6 4 2 2 4 6 8

5
5
x
y
0.25
b.(1,0điểm).Tìmcácgiátrịcủathamsố
m
đểđườngthẳng
( )
: 2 2d y m x = - -
cắtđồthị
( )C tại3điểmphânbiệt
( )
2; 2 , ,A B D -
saochotíchcáchệsốgóccủatiếptuyếntại B và D
vớiđồthị
( )
C
bằng
27
.
Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa
d
và
( )
C
là
( )
3 2
3 2 2 2x x m x - + = - -

0.25
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2 2 0
2 0 1
x
x x x m
g x x x m
=
é
Û - - - - = Û
ê
= - - - =
ë
d
cắt
( )
C
tạibađiểmphânbiệt
( )
2; 2 , ,A B D -
khichỉkhi
( )
1
cóhainghiệmphân
biệtkhác 2

( )
9 4 0
9
0
2 0
4
m
m
g m
D = + >
ì
ï
Û Û ¹ > -
í
= - ¹
ï
î
( )
*
0.25
Vớiđiềukiện
( )
*
,gọi
1 2
,x x
làcácnghiệmcủa
( )
1
thì

1 2 1 2
1, 2x x x x m + = × = - -
0.25
Tacó
( ) ( )
( )( )
( )
2
2 2
1 2 1 1 1 1
: 3 6 3 6 9 1 9 27k y x y x x x x x m
¢ ¢
= × = - - = + - =
( )
2
1 4m Û + = , 1 3m m = Ú = - đốichiếuvớiđiềukiện
( )
*
chỉcó
1m =
thỏamãn
ycbt
0.25
2
(1,0điểm)
Giảiphươngtrình:
( )
( ) ( )
2 2
2

3 3
3
1
log 9 log 3 log 5
4
x x x - = + + -
♥ Điềukiện:
( )
2
2
9 0 3 3
3 , 5
3 0 3
3
5
5 0
x x x
x x
x x
x
x
x
ì
ï
ì
- > <- Ú >
ï
ï
ï
ï

é
> ¹
ï
ï
ï ï
ê
+ ¹ Û ¹- Û
í í
ê
ï ï
<-
ë
ï ï
¹
ï ï
- ¹
ï
î
ï
ï
î
( )
2
0.25
♥ Khiđó:
( )
( )
( )
2
2

3 3 3
2 log 9 log 3 log 5x x x Û - = + + -
( )
( )
2
3 3
log 9 log 3 5x x x
é ù
Û - = + -
ë û
( ) ( )
2
2
9 3 5 3 3 5x x x x x x Û - = + × - Û - = + -
( )
3
0.25
·Với
3x <-
hoặc
3 5x < <
( ) ( )( )
2
1 73
( )
2
3 3 3 5 18 0
1 73
( )
2

x tm
x x x x x
x tm
é
-
ê
=
ê
ê
Û - = + - Û - - = Û
ê
+
ê
=
ê
ë
0.25
· Với5 x < thì
( ) ( )( )
2
3 57
( / )
2
3 3 3 5 3 12 0
3 57
( )
2
x t m
x x x x x
x loai

é
+
ê
=
ê
ê
Û - = + - Û - - = Û
ê
-
ê
=
ê
ë
Vậyphươngtrìnhcóbanghiệm
1 73 3 57
;
2 2
x x
± +
= =
0.25
3
(1,0điểm)
Tínhtíchphân:
( )
( )
1
2
0
5 3ln 2

1
x x
I dx
x
- +
=
+
ò
.
Tacó:
( )
( )
( )
1 1
1 2
2 2
0 0
ln 2
5 3 5 3
1 1
x
x
I dx dx I I
x x
+
= - = -
+ +
ò ò
0.25
( ) ( )

( )
( )
1
1 1 1 1
1
1 2 2 2
0
0
0 0 0 0
1 1 1 1 1
ln 1
1 1
1 1 1
1
ln 2
2
x x
I dx dx dx dx x
x x
x x x
+ -
= = = - = + +
+ +
+ + +
= -
ò ò ò ò
0.25
( )
( )
1

2
2
0
ln 2
1
x
I dx
x
+
=
+
ũ
.t
( )
( )
2
1
ln 2
2
1
1 2
1
1
1 1
u x
du dx
x
dv dx
x
v

x
x x
ỡ
ỡ = +
=
ù
+
ù
ù
ị
ớ ớ
=
+
ổ ử
ù ù
= - + = -
+
ỗ ữ
ợ
ù
+ +
ố ứ
ợ
( )
1
1
1
2
0
0

0
2 1 3 3
ln 2 2ln 2 ln 3 ln 1 3ln 2 ln3
1 1 2 2
x
I x dx x
x x
+
ị = - + + = - + + = -
+ +
ũ
0.25
Vy
1 3 9 5
5 ln 2 3 3ln 2 ln3 ln3 4ln 2
2 2 2 2
I
ổ ử ổ ử
= - - - = - -
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
0.25
4
(1,0im)
a.(0,5 im). Tớnhmụuncasphc
z i +
,bit
( )( )
2z i z i iz + + =
(

i
lnvo)
t
z a bi = +
,
( )
,a b ẻ Ă
tacú:
( )( )
2z i z i iz + + =
( )
2 2
1 2 1 2 2 2z z i z z iz a b ai b ai ì + + - = + - + = - +
( )
2 2
2
2 2 2
1 2
2 1 2 1 2
2 2
a b b
a b b a b
a a
ỡ
+ - = -
+ + + = + + =
ớ
=
ợ
0.25

( ) ( )
2
2
1 1 2z i a b i a b + = + + = + + = .Vymụuncasphc z i + bng 2
0.25
b.(0,5im). Mtbthitoỏnhcsinhgiilp12mmigm
5
cõucchnt
15
cõud,10 cõutrungbỡnhv 5 cõukhú.MtthicgilTtnutrongthicúc
bacõud,trungbỡnhvkhú,ngthiscõudkhụngớthn 2 .Lyngunhiờnmt
thitrongbtrờn.TỡmxỏcsutthilyralmtthiTt.
Sphntcakhụnggianmul W = =
5
30
C 142506
GiAlbinc" thilyralmtthiTt
VỡtrongmtthiTtcúcbacõud,trungbỡnhvkhú,ngthiscõud
khụngớthn2nờntacúcỏctrnghpsauõy thunlichobincA
TH1.thigm3cõud,1cõutrungbỡnhv1cõukhúTHnycú
3 1 1
15 10 5
C C C
TH2.thigm2cõud,2cõutrungbỡnhv1cõukhúTHnycú
3 1 1
15 10 5
C C C
TH3. thigm2cõud,1cõutrungbỡnhv2cõukhúTHnycú
2 1 2
15 10 5

C C C
Vy
3 1 1
15 10 5A
C C C W = +
3 1 1
15 10 5
C C C
+
2 1 2
15 10 5
56875C C C =
0.25
Vyxỏcsutcntớnhl (A)
W
= = =
W
A
56875 625
P
142506 1566
.
(TH :Trnghp)
0.25
5
(1,0im)
Chohỡnhchúp
.S ABCD
cúỏy
ABCD

lhỡnhbỡnhhnhtõm
O
,
4, 4 3AB AD = =
,cỏc
cnhbờnbngnhauvbng
6
,gi Mltrungimca
OC
.Tớnhthtớchkhichúp
.S ABMD vdintớchcamtcungoitiptdin SOCD .
Tacú
( )
6SA SB SC SD SO ABCD = = = = ị ^
SOA SOB SOC SOD OA OB OC OD ABCD D = D = D = D ị = = = ị
lhỡnhch
nht.
. 4.4 3 16 3
ABCD
S AB AD ị = = =
0.25
Tacú
( )
2
2 2 2
4 4 3 8BD AB BD = + = + =
2 2
2 5SO S B OB ị = - =
Vy
. . .

1 1 32 15 3
2 5 16 3 8 15
3 3 3 4
S ABCD ABCD S ABMD S ABCD
V SO S V V = ì = ì ì = ị = =
0.25
Gi
G
ltrngtõm
OCD D
,vỡ
OCD D
unờn
G
cngltõmngtrũnngoi
tiptamgiỏc OCD D .Dngngthng d iqua G vsongsongvi SO
( )
d ABCD ị ^ nờn dltrcngtrũn
( )
OCD .Trongmtphng
( )
SOG dng
0.25
ngthngtrungtrcca
SO
,ct
d
ti K ,ct
SO
ti I tacú

OI
ltrungtrc
ca ,SO KO KS do KO KC KD K ị = = = ị ltõmmtcungoitiptdin
SOCD
.
Tacú
2
2
2 2
4 2 5 4 93

2 3
3 3 3
CD
GO R KO OI OG
ổ ử
ổ ử
= = = = + = + =
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
ố ứ
.Doú
dintớchmtcu
2
2
`
93 124
4 4

3 3
cõ u
S R

p
p p

ổ ử
= = =
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
.
0.25
6
(1,0im)
Trongkhụnggianvihta Oxyz ,chongthng
2 4 1
:
2 3 1
x y z
d
+ - +
= =
-
vim
( )
2 13M -
.Vitphngtrỡnhmtphng
( )

P
iquaim
( )
100K
,songsongving
thng
d
ngthicỏchim Mmtkhongbng
3
.
dcúvtcp
( ) ( )
2 31 , 24 1u qua H = - - -
r
,
( )
P cúvtpt
( )
( )
2 2 2
, 0n A B C A B C = + + >
r
( )
( ) ( ) ( )
. 0 2 3
2 3 0
24 1 3 4 *3 4 0
u n C A B
A B C
d P

H P C A BA B C
= = - +
ỡ ỡ
- + =
ỡ
ù ù

ớ ớ ớ
- - ẻ ạ - - + - ạ
ù ù
ợ
ợ ợ
r r
0.25
( )
P
( )
( )
( ) ( )
100
: : 3 2 0
2 3
qua K
P Ax By B A z A
vtpt n A B A B
ỡ
ù
ị + + - - =
ớ
= - +

ù
ợ
r
( )
( )
( )
2
2 2
5 8
, 3 3
3 2
A B
d M P
A B B A
- +
= ị =
+ + -
0.25
( )
( )
2
2 2 2 2
5 8 3 5 12 10 5 22 17 0
5 17
A B
A B A AB B A AB B
A B
=
ộ
- + = - + - + =

ờ
=
ở
ã Vi
A B C B = ị =
khụngthamón
( )
*
ã Vi
5 17A B = ị
chn
17A =
tacú
5 19B C = ị = -
thamón
( )
*
0.25
. Suyraphngtrỡnhmtphng
( )
:17 5 19 17 0P x y z + - - =
0.25
7
(1,0im)
Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC cú trc tõm
( )
55H ,
phng trỡnhngthngcha cnh
BC
l 8 0x y + - = . Bit rngng trũn

ngoitiptamgiỏc ABC iquahaiim
( ) ( )
73 , 42M N .Tớnhdintớchtam
giỏc
ABC
.
Gi
1
H ixngvi H qua
1
: 0BC pt HH x y ị - =
{ }
1
I HH BC ị = ầ
( ) ( )
1
44 33I H ị ị
.Tachngminhcim
1
H thuc
( )
ABC
0.25
( )
( )
2 2 2 2
: 2 2 0, 0ABC x y ax by c a b c + - - + = + - >
Do
( )
( )

( )
2 2
2 2
2 2
1
7 3 14 6 0
5
4 2 8 4 0 4
36
3 3 6 6 0
M ABC
a b c
a
N ABC a b c b
c
a b c
H ABC
ẻ ỡ ỡ
+ - - + =
=
ỡ
ù ù
ù
ẻ ị + - - + = ị =
ớ ớ ớ
ù ù ù
=
+ - - + =
ẻ
ợ

ợ
ợ
( )
2 2
: 10 8 36 0ABC x y x y ị + - - + =
0.25
{ } ( ) ( )
1 1
66 ,A HH AB C A do A H = ầ ị ạ .
{ } ( )
,B C BC ABC = ầ ị ta ,B Clnghimhpt
2 2
8 0
10 8 36 0
x y
x y x y
+ - =
ỡ
ớ
+ - - + =
ợ
0.25
( )
3
5
6 6 8
3 2, , 2 2
6
2
2

x
y
BC d A BC
x
y
ộ =
ỡ
ớ
ờ
=
+ -
ợ
ờ
ị ị = = =
ờ
=
ỡ
ờ
ớ
=
ờ
ợ
ở
Suyradintớch
ABC D
l
( )
1 1
, 2 2 3 2 6
2 2

ABC
S d A BC BC
D
= ì ì = ì ì = (vdt)
0.25
8
(1,0im)
Giihphngtrỡnh:
( )
( )
2 2
2 3 1 1 1
3 6 3 2 3 7 2 7 2
x xy y y y x
y x y x
ỡ
ù
+ - + - = - -
ù
ù
ớ
ù
- + + - = +
ù
ù
ợ
.
/K
( )
0

1 6 *
2 3 7 0
x
y
x y

ỡ
ù
Ê Ê
ớ
ù
+ -
ợ
.
T
( ) ( ) ( )
2
2
1 1 1 1 0y x y x y y x ị - - + - - + - - =
0.25
( ) ( )
0, 0&6 1
1
1 2 1 0 1 0 1 3
1
x y
y x y x y x x y
y x
>
ổ ử

ỗ ữ
ỗ ữ
- - + + - = ị - - = = -
ỗ ữ - +
ỗ ữ
ố ứ
144424443
0.25
Thờ
( )
3
vo
( )
2
tacpt
3 6 3 5 9 2 5y y y - + - = +
,
( )
4
/k
9
6
5
y Ê Ê
Gii
( )
4
( )
( )
8 3 6 3 1 5 9 0y y y y - - - + - - - =

( )
2 2
7 10 7 10
3 0
8 3 6 1 5 9
y y y y
y y y y
- + - +
+ ì =
- + - - + -

( )
2
9
0, 6
5
1 3
7 10 0
8 3 6 1 5 9
y
y y
y y y y
> " Ê Ê
ổ ử
ỗ ữ
ỗ ữ
- + + =
ỗ ữ
- + - - + -
ỗ ữ

ỗ ữ
ố ứ
144444424444443
0.25
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4
2
4
2 1 *
7 10 0
5 4 *
y x tm
y y
y x tm
ộ
= ắắđ =
ờ
- + =
ờ
= ắắđ =
ở
Vyhptcúhainghim
( ) ( ) ( ) ( )
12 , 45x y x y = =
0.25

9
(1,0im)
Chocỏcsthcdng , ,a b c thamón:
( ) ( )
4 4 4 2 2 2
9 25 48 0a b c a b c + + - + + + =
Tỡmgiỏtrnhnhtcabiuthc:
2 2 2
2 2 2
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + +
Cỏch1 gt

( ) ( )
2 2 2 4 4 4
25 48 9a b c a b c + + + = + + kthpvingthc
( )
4 4 4 2 2 2
1
3
a b c a b c + + + +
,túsuyra:
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
16
25 48 3 3

3
a b c a b c a b c + + + + + Ê + + Ê
0.25
pdngbtngthcAMGMtacú:
( )
2
2 2
2
2
2 9 3
b c a
a a
b c
+
+
+
( )
2
2 2
2
2
2 9 3
c a b
b b
c a
+
+
+
,
( )

2
2 2
2
2
2 9 3
a b c
c c
a b
+
+
+
.
0.25
Khiú
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 1
2 2 2
3 9
P a b c a b c b c a c a b
ộ ự
+ + - + + + + +
ở ỷ
M
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 3 3 3
3 3 3
a a c c c b b b c
a c c b b a a b c

+ + + + + +
+ + Ê + + = + +
Suyra:
( ) ( ) ( )
2 2 2 3 2 2 3 2 2
2 2 2a b c b c a c a b a a b a c b b c b a + + + + + Ê + + + + +
( )
( ) ( ) ( )
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3c c b c a a b c a b c a b c a b c + + + = + + + + Ê + + + +
Tú
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1
3
3 9
P a b c a b c a b c + + - + + + +
0.25
t
( )
2 2 2
3 3 4t a b c t = + + ị Ê Ê
.
Chonờn
( ) [ ]
3 2
1 2
, 3 4
27 9
P t t f t t - + = ẻ

Xộthms
( ) [ ] ( )
( )
2
3 2
4
1 2 4
, 34 0
27 9 9 9 9
t t
t t
f t t t t f t
-
Â
= - + " ẻ ị =- + =
[ ]
34t " ẻ
( )
f t ị
liờntcvngbintrờnon
[ ]
3 4
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
2 3
34 34
3 3
min 3 2 1 min min 1 1

9 27
t t
f t f P f t a b c
ẻ ẻ
ị = = ì - = ị = = = = =
0.25
Cỏch2Tacú
( )
2 4
14 2 25 9 * , 0, " " 1x x x x x + - " > = = thtvy
( ) ( )
( )
2
4 2 2
* 9 25 14 2 0 1 9 18 2 0x x x x x x - + + - + + luụnỳng.Vy
( )
( ) ( )
2 4
2 4 2 2 2 4 4 4
2 4
14 2 25 9
14 2 25 9 14 6 25 9 48
14 2 25 9
a a a
b b b a b c a b c a b c
c c c
ỡ
+ -
ù
+ - ị + + + + + - + + =

ớ
ù
+ -
ợ
3a b c ị + + ,dubng 1a b c = = =
pdngbtngthcCauchySchawrztac
( )
( )
2
2 2 2
1
2 2 2 3 3
a b c
a b c a b c
P
b c c a a b a b c
+ +
+ +
= + + =
+ + + + +
dubng
1a b c = = =
.Vygiỏtrnhnhtca P bng
1 1a b c = = =
Lu ýkhichmb i:
ỏpỏnch trỡnhbymtcỏchgiibaogmcỏcýbtbucphicútrongbilmcahcsinh.
Khichmnuhcsinhbqu abcnothỡkhụngchoimbc ú.
Nuhcsinhgiicỏchkhỏc,giỏmkhocnc cỏcýtrongỏpỏnchoim.
Trongbilm,numtbcn oúbsaithỡcỏcphnsaucúsdngktqusaiúkhụng
cim.

Hcsinhcsd ngktquphntrc lmphnsau.
Trongligiicõu5nuhcsinhkhụngvhỡnh thỡkhụngchoim.
imtonbitớnh n0,25vkhụnglmtrũn.