ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LẦN I TRƯỜNG THPT XUÂN ĐỈNH NĂM 2013 CÓ ĐÁP ÁN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (297.9 KB, 8 trang )
Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 ñiểm)
Câu 1. (2,0 ñiểm) Cho hàm số
3 2
(1 2 ) (2 ) 2 ( )
m
y x m x m x m C
= + − + − + +
1. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C
m
) khi m = 2.
2. Tìm m ñể ñồ thị (C
m
) có tiếp tuyến tạo với ñường thẳng
: 7 0
d x y
+ + =
góc
α
biết
1
os
26
c
α
=
.
Câu 2.
(1,0 ñiểm) Giải phương trình:
(
)
2cos 4 3 2 os2 sin 2 3
x c x x
− − = +
Câu 3
(1,0 ñiểm) Giải bất phương trình:
2
4 4
16 6
2
x x
x x
+ + −
≤ + − −
Câu 4
(1,0 ñiểm) Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
1 sin
( ) .
1 cos
x
x
f x e
x
+
=
+
Câu 5
(1,0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ABC vuông cân tại A,
2
AB a
=
. Gọi I là
trung ñiểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn
2
IA IH
= −
. Góc giữa
SC và mặt phẳng ñáy bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung ñiểm K của SB
ñến mặt phẳng (SAH).
Câu 6
(1,0 ñiểm) Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thỏa mãn
1
x y z
+ + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
( ) ( ) ( )
x y z y x z z x y
P
yz xz xy
+ + +
= + +
Phần riêng (3,0 ñiểm). Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần A hoặc B
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 7.a
(1,0 ñiểm) Trong mặt phẳng
Oxy
cho tam giác ABC biết A(3; 0), ñường cao từ B có phương trình
1 0
x y
+ + =
. Trung tuyến từ ñỉnh C có phương trình
2 2 0
x y
− − =
. Viết phương trình ñường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
Câu 8.a (1,0 ñiểm). Trong không gian tọa ñộ
Oxyz
cho mặt cầu (S) tâm I(-1; 5; c) cắt mặt phẳng
Oxy
theo ñường tròn (C) có diện tích bằng
12
π
. ðiểm M thuộc (C), IM tạo với mặt phẳng
Oxy
góc 30
0
.
1.
Tìm tọa ñộ tâm và tính bán kính ñường tròn (C)
2.
Viết phương trình mặt cầu (S) và tính thể tích hình cầu (S)
Câu 9.a
(
1,0 ñiểm
) Một hộp ñựng 3 quả cầu ñỏ, 4 quả cầu xanh, 5 quả cầu trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 quả.
Tính xác suất ñể 3 quả lấy ra không cùng màu.
B. Theo chương trình nâng cao
Câu 7.b
(
1,0 ñiểm)
Trong mặt phẳng
Oxy
cho tam giác ABC có A(2; 1). ðường cao qua ñỉnh B có
phương trình
3 7 0
x y
− − =
. ðường trung tuyến qua ñỉnh C có phương trình
1 0
x y
+ + =
. Xác ñịnh tọa ñộ
các ñỉnh B, C và diện tích tam giác ABC.
Câu 8.b
(1,0 ñiểm)
Trong không gian tọa ñộ
Oxyz
cho các ñiểm A(1;1;0), B(0;2;1), C(1;0;2), D(1;1;1).
1.
Chứng minh A, B, C, D là 4 ñỉnh của một tứ diện. Tính thể tích tứ diện và ñộ dài ñường cao từ
ñỉnh D của tứ diện.
2.
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Câu 9.b (1,0 ñiểm)
Giải phương trình
(
)
(
)
2 2
log log
2
3 1 3 1 1
x x
x x
+ + − = +
Hết
Họ và tên thí sinh:………………………… Số báo danh: ………………………………
Thí sinh không ñược dùng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trường THPT Xuân ðỉnh
ðề thi gồm 1 trang
ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2013
Môn: TOÁN Khối A-B-D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao ñề
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
ðÁP ÁN THANG ðIỂM ðỀ THI THỬ MÔN TOÁN
Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 ñiểm)
Câu 1. (2 ñiểm)
1. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C
m
) khi m = 2
y = x
3
– 3x
2
+ 4
• TXð: D =
ℝ
• Sự biến thiên
+ Giới hạn:
lim ;lim
0,25
x x→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
+ ðạo hàm
' 2
0
3 6 0
2
x
y x x
x
=
= − = ⇔
=
+ Bảng biến thiên
x
−∞
0 2 +
∞
y
’
+ 0 - 0 +
y
4 +
∞
-
∞
0
Hàm số ñồng biến
(
)
(
)
;0 à 2; . 0,25
v−∞ +∞ − − − − − − − − − − − − − − − − − −
Hàm số nghịch biến trên (0; 2).
+ Cực ñại, cực tiểu:
4 0 à 0 2
CD CT
y x v y x
= ⇔ = = ⇔ =
•
ðồ thị:
+
''
6 6 0 1
y x x
= − = ⇔ =
, ñồ thị có ñiểm uốn
I
(1; 2).
+ Giao Ox tại (-1; 0) và (2; 0); Giao Oy tại (0; 4) 025
2. Tìm m ñể ñồ thị (C
m
) có tiếp tuyến với ñường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc
α
biết
1
os
26
c
α
=
Giải
Gọi
∆
là tiếp tuyến của (C
m
) có PT: y = kx + n
⇒ ∆
có véc tơ pháp tuyến
(
)
; 1
n k
= −
ðường thẳng d có véc tơ pháp tuyến
2
(1;1).
n
→
=
Ta có ……………………0,25
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
1 2
2
2
1 2
3
.
1
1 1
2
os 12 26 12 0
2
26 26
.
2 1
3
k
n n
k
c k k
n n
k
k
α
=
−
= = ⇔ = ⇔ − + = ⇔
+
=
1
2
3
:
2
0,25
2
:
3
y x n
y x n
∆ = +
⇒ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
∆ = +
Tiếp tuyến của (C
m
) tại M (x
0
; y
0
) có hệ số góc k = y
’
=3x
2
+ 2(1 - 2m)x + 2 – m.
1 2
à
v
∆ ∆
thỏa mãn yêu
cầu bài toán khi 1 trong 2 phương trình sau có nghiệm:
2
'
1
'
2
2
2
2
3
3 2(1 2 ) 2
0
2
0,25
2
0
3 2(1 2 ) 2
3
1 1 1
8 2 1 0
4 2 4
0,25
3 1
4 3 0
1
4 2
x m x m
x m x m
m hoac m m
m m
m m
m hoac m m
+ − + − =
∆ ≥
⇔ − − − − − − − − − − − − −
∆ ≥
+ − + − =
≤ − ≥ ≤ −
− − ≥
⇔ ⇔ − − − − − − − − − − −
− − ≥
≤ − ≥ ≥
Câu 2. (1,0 ñiểm)
Giải phương trình
PT
2
2( os4 os2 ) 3(1 os2 ) sin 2
4cos3 cos 2 3 os 2sin cos 0,25
2cos (2cos3 3 cos sinx) 0 0,25
cos 0
2
3 cos sinx 2cos3
os
6
c x c x c x x
x x c x x x
x x x
x k
x
x x
c x
π
π
π
⇔ + = + +
⇔ = +
⇔ − − =
= +
=
⇔ ⇔
+ =
−
0,25
os3
2
0,25
2
24 2
c x
x k
x k
x k
π
π
π
π
π π
=
= +
⇔ = − +
= +
Câu 3 (1 ñiểm) Giải bất phương trình
ðK:
4
x
≥
. ðặt t =
2 2
4 4 2 2 16
x x t x x
+ + − ⇒ = + −
Bất phương trình có dạng:
2
3 ( )
12 0 0,25
4
t Loai
t t
t
≤ −
− − ≥ ⇔
≥
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
[
2 2
2 2
4 4 4 2 2 16 16 16 8 0,25
4
8 0
0,25
4
8 0
16 (8 )
8
4 8 5. 5; ) 0,25
5
x x x x x x
x
x
x
x
x x
x
x x Tap nghiem S
x
+ + − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ −
≥
− ≤
⇔
≥
− ≥
− ≥ −
≥
⇔ ≤ ≤ ⇒ ≥ = +∞
≥
Câu 4 (1 ñiểm).
Tìm họ nguyên hàm
1 sinx
1 cos
x
I e dx
x
+
=
+
∫
(ðK:
2
x k
π π
≠ +
)
ðặt
( )
( )
2
1 2
2
1 sinx cos
1 sinx
1 cos
0,25
1 cos
1 sinx sinx
0,25
1 cos 1 cos
1 cos
x
x
x x
x
x
du dx
u
x
x
dv e dx
v e
e dx e dx
I e K I I
x x
x
+ +
+
=
=
+
⇒
+
=
=
+
= − − = − −
+ +
+
∫ ∫
Xét
( )
2
sin x
1 cos
x
e dx
J
x
=
+
∫
ðặt:
( )
2
2
2 1
1 1
sin x
(1 cos ) 1
(1 cos ) 1 cos1 cos
0,25
1 cos 1 cos 1 cos
1 sinx sinx
0,25
1 cos 1 cos 1 cos
x
x
x x x
x x
x
u e
du e dx
dx
d x
dv
v
x xx
e e dx e
I I
x x x
e e
I e I I C C
x x x
=
=
+
=
= − =
+ ++
= − = −
+ + +
+
⇒ = − − + + = +
+ + +
∫
∫
Câu 5 (1 ñiểm)
I
A
C
B
S
H
K'
K
a)
( )
SH ABC HC
⊥ ⇒
là hình chiếu của SC trên (ABC)
⇒
SC tạo với ñáy góc
0
60
SCH =
.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-
Tam giác ABC vuông cân tại A nên BC =
2 2
AB a I
= ⇒
là trung ñiểm BC
3
0,25
2
a
AI BI IC a AH⇒ = = = ⇒ =
Trong tam giác vuông ICH có
2
2 2 2
5 5
4 2
a a
CH IH IC CH= + = ⇒ =
Trong tam giác vuông SHC: SH = HC
0
15
tan 60 0,25
2
a
=
( )
3
2
1 1 1 15 15
. . 2 0,25
3 3 2 2 6
SABC ABC
a a
V S SH a= = =
b)
'
,
K K
là trung ñiểm SB, SI
, '
K K
⇒
là ñường trung bình của tam giác SBI
( )
( )
' '
' '
'
/ / ,
2
( ), \ \ ( )
,
0,25
2
a
KK IB KK
IB SH
IB SAH KK BI KK SAH
IB AH
a
d K SAH KK
⇒ =
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
= =
Câu 6 (1 ñiểm).
Tìm GTNN của P:
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
3 3
0,25
, : 0 ( , 0)
( , 0) 0,25
x x y y z z
P
y z x z x y
x y x y x y xy xy x y
x y xy x y xy
x y
x y x y xy x y x y
y x
= + + + + +
∀ − ≥ ⇒ + − ≥ >
⇒ + − +
⇒ − > + ⇒ + ≥ + >
Chứng minh tương tự:
2 2 2 2
( , 0); ( , 0) 0,25
1
2( ) 2 min 2 0,25
3
x z y z
z x x z y z y z
z x z y
P x y z P x y z
⇒ + ≥ + > + ≥ + >
⇒ ≥ + + = ⇒ = ⇔ = = =
Phần riêng (3,0 ñiểm). Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần A hoặc B
A – Chương trình Chuẩn
Câu 7a (1 ñiểm)
A
B
C
M
H
1 2 1
: 1 0; : 2 2 0.
d BH x y d CM x y d
≡ + + = ≡ − − =
có vtcp
(
)
1 2
1;1 ;
n d
có vtcp
(
)
2
2; 1
n
−
AC qua A, vtcp
(
)
1
1;1 : 3 0
n AC x y
⇔ − − =
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-
( ) ( )
2
3 0
; 1; 4 0,25
2 2 0
x y
AC d C x y C
x y
− − =
∩ = ⇒ ⇒ − −
− − =
B (x
B;
y
B
), M là trung ñiểm của AB
3
;
2 2
B B
x y
M
+
⇒
( )
2 1
1
; 1;0 0,25
3 2 0
2
B B
B
B
x y
M d B d B
y
x
+ = −
∈ ∈ ⇒ ⇒ −
+ − − =
ðường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC, (C) có tâm I (a; b) bán kính R.
Vậy phương trình (C):
2 2 2 2
2 2 0( 0)
x y ax by c a b c
+ − − + = + − >
(
)
, ,
A B C C
∈
nên ta có hệ như sau:
6 9 1
2 1 2 0,25
2 8 17 3
a c a
a c b
a b c c
+ = − = −
− + = − ⇔ =
− − + = − = −
Vậy phương trình (C):
2 2
2 4 2 0
x y x y
+ − + − =
Tâm I (-1; 2), bán kính R =
2 2
…… 0,25
Câu 8a. (1 ñiểm)
I
H
M
a) Mặt cầu (S) tâm I bán kính R cắt mặt phẳng Oxy theo ñường tròn (C) tâm H bán kính r. H là hình chiếu
của I trên Oxy nên suy ra H (-1; 5; 0).
2
12 2 3 0,25
c
S r r
π π
= = ⇒ =
b) Tam giác IHM:
0 0
2 3, 30 tan 30 2
HM r IMH IH HM c
= = = ⇒ = = =
( )
( )
2 2 2
1
2
16 4
1;5;2
0,25
1;5; 2
IM IH HM IM R
I
I
= + = ⇒ = =
−
⇒
− −
Phương trình mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1
: 1 5 2 16
S x y z
+ + − + − =
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
2 2 2
2
: 1 5 2 16 0,25
4 16
.4
0,25
3 3
S S
S x y z
V V
π
π
+ + − + + =
= = =
Câu 9a (1 ñiểm)
Không gian mẫu
3
12
0,25
CΩ =
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 6
-
A: “3 quả lấy ra không cùng màu”
A
: “3 quả lấy ra cùng màu”…………………………………… 0,25
3 3 3
3 4 5
0,25
C C C
Ω = + +
3 3 41
1 1 0,25
44 44 44
A
A
A A
P P P
Ω
= = ⇒ = − = − =
Ω
B – Chương trình Nâng cao
Câu 7b (1 ñiểm)
A
B
C
M
H
a)
1
: 3 7 0
d BH x y
≡ − − =
có vtcp
1
(1; 1)
n
−
2
: 1 0
d CM x y
≡ + + =
Phương trình AC qua A có vtcp
1
(1;3) :3 7 0
n x y
+ − =
( ) ( )
3 7 0
; 4; 5 0,25
1 0
x y
AC CM C x y C
x y
+ − =
∩ = ⇒ ⇒ −
+ + =
M là trung ñiểm của AB
2
2
1
2
2 1
1 0
; ( 2; 3) 0,25
2 2
3 7 0
B
M
B
M
B B
B B
x
x
y
y
x y
M CM B BH B
x y
+
=
⇒
+
=
+ +
+ + =
∈ ∈ ⇒ ⇒ − −
− − =
b)
6 3 7
8 10
( , , ) 2 10 0,25
5
10
1 1 8 10
. 2 10 16 0,25
2 2 5
ABC
BH d B A C AC
S AC BH
− − −
= = = ⇒ =
= = =
△
Câu 8b (1 ñiểm)
a.
(
)
(
)
(
)
1;1;1 , 0; 1;2 ; 0;0;1
AB AC AD= − = − =
, . 1 0 , ,
AB AC AD AB AC AD
= ≠ ⇒
không ñồng phẳng nên ABCD là tứ diện.
1 1
, 0,25
6 6
ABCD
V AB AC AD
= =
1 14
,
2 2
ABC
S AB AC
= =
△
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 7
-
( )
1 1 1 14 1
. 0,25
3 6 3 2
14
ABCD ABC
DH ABC V S DH DH DH⊥ ⇒ = ⇔ = ⇒ =
△
b. Mặt cầu (S) tâm I (x; y; z) ngoại tiếp tứ diện ABCD suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
1 1 2 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
3
2
2 2 2 3
1 3 1 1 35
2 4 3 ; ; ,
2 2 2 2 2
2 1
1
2
x y z x y z
IA IB
IA IC x y z x y z
IA ID
x y z x y z
x
x y z
x z x I R IA
z
z
− + − + = + − + −
=
= ⇔ − + − + = − + + −
=
− + − + = − + − + −
= −
− + + =
⇔ − + = ⇔ = − ⇒ − − = =
=
=
0,25
Phương trình (S):
2 2 2
3 1 1 35
0,25
2 2 2 4
x y z
+ + + + − =
Câu 9b (1 ñiểm)
Giải phương trình
ðK: x > 0
ðặt:
(
)
(
)
2 2
log log
3 1 , 3 1 ( , 0)
x x
u v u v
+ = − = >
Suy ra:
(
)
(
)
2
2
log
log
2 2 2
. 3 1 3 1 2 0,25
x
x
u v x u v x
= + − = = ⇒ =
Phương trình tương ñương:
2 2 2
1
u uv u v
+ = +
( )
( )
2
2
2 2
2
log
2
log
2
1
1 ( 1)(1 ) 0 0,25
1
. 1 3 1 1 log 0 1 ( ) 0,25
1 1
. 1 1 3 1 1 ( )
x
x
u
u uv u uv
uv
u x x TM
uv xv v x TM
x x
=
⇔ − = − − = ⇔
=
= ⇒ + = ⇔ = ⇔ =
= ⇔ = ⇔ = ⇒ − = ⇔ =
Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình ……………… 0,25
