Đề thi mẫu THPT quốc gia môn toán năm 2015 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng

SỞ GD-
ĐT THÀNH PHỐ Đ
À NẴNG

TRƯ
ỜNG THPT CHUYÊN
LÊ QUÝ ĐÔN

KH
ẢO SÁT CHẤT L
Ư
ỢNG

THI THPT QUỐC GIA
Năm h
ọc
2014 –
2015

Môn thi:
TOÁN HỌC
Th
ời gian
: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)


(Đ
ề thi gồm 01 trang)

Câu 1
.

(2,0 điểm)

Cho hàm s
ố
4 2
8 4y x x   
.


a.
Khảo sát và v
ẽ đồ thị
 
C
c
ủa hàm số
.

b. Vi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyến của
 
C
, bi
ết hoành đ
ộ của tiếp

điểm là ngh
iệm của ph
ương
trình


'' 13.
y x



Câu 2.
(1,0 điểm)

a.
Giải ph
ương trình
2
1 sin cos 2 sin cos .
2
x
x x x
 


  





 


b.
Cho số phức
3 2z i 
. Xác định phần thực v
à phần ảo của
.w iz z
 



Câu 3
.
(0,5
đi
ểm) Gi
ải bất phương tr
ình
2
1
3
3
6log 5log 4 0.x x
  

Câu 4.
(1,0 đi
ểm) Gi

ải bất phương tr
ình
 
4 3
3 2
2 2 1
.
2 2
x x x
x x
x x x
  
 
 


Câu 5.
(1,0 điểm)
Tính tích phân
4
2
0
2 4 1
2 1
x x
I dx
x
 




.
Câu 6
. (1,0 đi
ểm)
Cho hình chóp
.S ABCD
có
ABCD
là hình thang cân với hai đáy l
à
BC
và
AD
.
Biết
2SB a
,
2 ,AD a AB BC CD a   
và hình chiếu vuông góc của điểm
S
xuống mặt
phẳng

 
ABCD
trùng v
ới trun
g điểm c
ạnh

.AD
Tính theo
a
thể tích khối
chóp
.S ABCD
và
kho
ảng cách

giữa
hai đường thẳng

SB
và
AD
.


Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
 
 
 
2 2
: 2 2 4T x y   
và đường
th
ẳng

:3 10 0.
x y   

Viết ph
ương trình
đường tr
òn
 
C

biết
tâm
I
c
ủa
 
C

có
hoành độ âm

và nằm tr
ên đường thẳng
: 0,d x y 

 
C

tiếp xúc với


và
cắt
 
T

tại
,A B
sao cho
2 2AB 
.


Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian
,
Oxyz
cho điểm
 
1;2; 2
I 
và mặt phẳng
 
P
có phương trình
 
: 2 2 5 0P x y z   
.
Hãy viết ph
ương trình m
ặt cầu
 

S
có
tâm
I
sao cho giao
tuyến c
ủa m
ặt
cầu
 
S
và mặt phẳng
 
P
là một đường tròn có chu vi bằng
8 .


Câu 9. (0,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ
,Oxy
cho các điểm
       
2,0 , 2,2 , 4,2 , 4,0A B C D 
.
Xét các điểm có tọa độ
 
;x y
với
,x y
là các số nguyên, nằm trong hình chữ nhật

ABCD
(kể cả các
điểm nằm trên các cạnh). Trong các điểm đó, chọn ngẫu nhiên một điểm. Tính xác suất để điểm
được chọn có tọa độ
 
;x y
thỏa
2.x y 


Câu 10. (1,0 điểm) Cho các số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
2
2 .ac b bc 
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2 2 2
2 2 3 4 2 2 3 4
2 2
.
4 4
a b b c
P
a b ab b b c bc c
 
 
   

66

ĐÁP ÁN TOÁN THPT 2014-2015
Câu

Ý

Nội dung Điểm

1 a
Học sinh khảo sát và vẽ đúng đồ thị hàm số 1,0
b
   
3 2
1
' 4 16 ; '' 12 16 13
2
y x x x y x x x
        

0,5

1
2
x
 
phương trình tiếp tuyến:
15 93
2 16
y x 

0,25

1
2
x
  
phương trình tiếp tuyến:
15 93
.
2 16
y x  

0,25
2 a
Biến đổi phương trình như sau
     
  
1 sin cos 2sin cos 1 2 1 sin cos 1 sin 0
1 sin cos 2 0
x x x x x x x
x x
        
   


0,25

Vì
cos 1x 
nên phương trình có nghiệm
2

2
x k

  
.
0,25
b
   
3 2 3 2 1w i i i i     

0,25

Re 1, Im 1.w w  

0,25
3
ĐK:
0.x 
Biến đổi bất phương trình
2
3 3
6log 10log 4 0
x x
  
 
*

0,25

Đặt

 
2
3
1
log * : 6 10 4 0 2
3
t x t t t
        

Suy ra tập nghiệm bất phương trình
3
1
; 3 .
9
S
 
 

 
 


0,25
4
Điều kiện
0.x 
Biến đổi bất phương trình
  
 
 

 
 
 
 
3
3 3
2
2
1 1 1
*
1
1 1
1 1
x
x x x
x
x
x
x x
  
  

 
 


0,25

Đặt
   

3
2
1
t
f t t
t
 


, ta có
 
 
4 2
2
2
3
' 0,
1
t t
f t t
t

   



Hơn nữa
 
f t
liên tục trên


, nên đồng biến trên



0,5

Vậy
 
 
 
3 5
* : 1 1 0; .
2
f x f x x x x
 



      








0,25
5

Đặt
2
1
2 1
2
t
t x x dx tdt

     


0,5

3
3
4 5 3
2
1
1
1 478
.
2 2 10 3 2 15
t t t t
I t dt
   
 
 
      
 
 

 
 
 
   



0,5
6
Gọi
M
là trung điểm
AD
, theo giả thiết
 
SM ABCD
.
Tứ giác
MBCD
là hình bình hành nên
,MB a
do đó
.SM a


0,25

Ta có
MC a
nên tam giác

MBC
đều, do đó
   
2
3 3
3
4
a
dt ABCD dt MBC
  

 
3
1 3
. . .
3 4
a
V SM dt ABCD 


0,25

Gọi
K
là trung điểm
,BC

H
là hình chiếu của
M

lên
.SK

Do
2SC SB a 
nên tam giác
SBC
cân tại
S
, do đó
   
BC MK BC MH
BC SMK MH SBC
BC SK SK MH
 
 
 
 
    
 
 
 
 
 


0,25

Tam giác
MBC

đều cạnh bằng
a
nên
3
,
2
a
MK 
do đó

   
 
2 2
. 21
, , .
7
SM KM a
d SB AD d AD SBC MH
SM KM
   



0,25
7
Đường tròn
 
T
có tâm
 

2;2 ,
K
bán kính
2;r 

Gọi
 
; ,I t t
bán kính của đường tròn
 
C
là
 
4 10
,
10
t
R d I

  


0,25

Ta có
 
 
 
2
2 2

2 2 5
8
, 2 2 5 5
5 5
t
d I AB R t t

      

và
   
, 2; 2 2 2 2
d K AB IK t t    
(do
0t 
)

0,25

TH1.
,I K
khác phía đối với
:AB

   
 
 
     
2
2 2 2

1
, , 2 5 5 1 5 2 10
5
: 5 2 10 5 2 10 8 3 10 .
d I AB d K AB IK t t t t
C x y
          
       




0,25

TH2.
,I K
cùng phía đối với
:AB

   
 
 
2
1
, , 2 5 5 1 2 *
5
d I AB d K AB IK t t t
       

 

*
không có nghiệm âm
 
     
2 2 2
: 5 2 10 5 2 10 8 3 10
C x y      




0,25
8
Đường tròn giao tuyến của
 
S
và
 
P
có
4;r 

 
 
, 3
d I P

.
0,5

Bán kính mặt cầu là
 
 
2 2
, 5
R r d I P
  

Vậy phương trình
       
2 2 2
: 1 2 2 25.
S x y z     


0,5
9
Không gian mẫu
 
 
; | , , 2 4,0 2
x y x y x y
       

0,25

 
 
                 
 

, | 2
2;0 ; 2;1 ; 2;2 ; 1;0 ; 1;1 ; 1;2 ; 0;0 ; 0;1 ; 1;0
A x y x y
    
      

Suy ra
 
 
 
9 3
.
21 7
n A
P A
n
  




0,25
10
Đặt
, , 0, 2
a b
x y x y x y
b c
     

Ta có
   
2 2
2 2
2 1 2 1
4 4
x y
P f x f y
x x y y
 
   
   

Trong đó
 
2
2
2 1
4
t
f t
t t


 
với
 
0;2 .
t


0,25

 
 
  
 
   
 
 
 
2
2
2
2 2
4 2 1
1 13 16 1 104 29
3 29 3
1
8 2 16 2
2 8 16 8
29 3
1 .
16 2
t
t t t t
f t t

t t
t t t t
t

   
      
 
   
  




0,5

Vậy
     
29
2 3 3
16
P f x f y x y
      

Nên
min 3P 
khi
1 .x y a b c    


0,25

Chú ý.
H
ọc
sinh có th
ể sử dụng tọa độ

để giải b
ài toán

6 như sau

Chọn hệ trục tọa độ
 
; , ,M MK MD MS
  
khi đó

 

3
; ;0 , 0; ;0 , 0;0;
2 2
a a
C D a S a
 









 
,

 

3
; ;0 , 0; ;0 , 0;0;
2 2
a a
MC MD a MS a
 



   





 
  
3
.
1 3
3 , .

2 4
S MCD
a
V V MC MD MS
 
  
 
 
  

-Ta có
   
3 3
0; ;0 , ; ;0 0;2 ;0 , ; ;
2 2 2 2
a a a a
A a B AD a SB a
   
 
 
 
      
 
 
 
 
 
   
 

Vậy
 
, .
21
, .
7
,
AD SB MS
a
d AD SB
AD SB
 
 
 
 
 
 
 
  
 