Đề thi khảo sát chất lượng lần thứ 2 năm học 2014-2015 trường chuyên Vĩnh Phúc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ II
NĂM HỌC 2014 – 2015
(Đề có 01 trang)

Môn : Toán 12; Khối D


Thời gian: 180 phút (Không kể giao đề)

Câu 1.(2.0 điểm) Cho hàm số
32
34y x x   

 
1

a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
 
1
.
b). Với những giá trị nào của tham số
m
thì đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị
của hàm số
 
1
tiếp xúc với đường tròn
     

22
: 1 5C x m y m    
.
Câu 2 (1 điểm) Giải bất phương trình
 
ln 1 sin
2
2
2
log 3 0e x x





  
.
Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân
2
0
sin 2 .cos
1 cos
xx
I dx
x




.

Câu 4 (1 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
 
2
.3
x
y e x
trên đoạn [–2;2].
b) Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp
anh em sinh đôi. Có bao nhiêu cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh trong số 50 học sinh nói
trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi
nào?
Câu 5 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hai đường thẳng
1
:2 3 1 0;d x y  
và
2
:4 5 0d x y  
. Gọi
A
là giao điểm của
1
d
và
2
d
. Tìm toạ độ điểm
B

trên
1
d
và toạ độ điểm
C
trên
2
d
sao cho tam giác
ABC
có trọng tâm
 
3;5G
.
Câu 6 (1điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
 
C
:
   
22
x 1 y 1 25   
, và các điểm
A(7;9), B(0;8)
. Tìm tọa độ điểm
M
thuộc
 
C
sao cho
biểu thức

2P MA MB
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 7 (1 điểm) Cho lăng trụ đều
. ' ' 'ABC A B C
. Biết rằng góc giữa
 
'A BC
và
 
ABC
là
30
0
, tam giác
'A BC
có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
.
Câu 8 (1 điểm) Giải phương trình
2
2 4 9 5 6 7 11 0x x x x      

Câu 9 (1 điểm) Cho các số thực
,,abc
thỏa mãn
. . 1abc
và
14c
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2
1 1 1
1 1 1
Q
abc
= + +
+ + +
.

HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh ; Số báo danh

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 12D- Lần II- Năm học 2014-2015

Câu
ý
Nội dung
Điểm
1


2.0

a

1.0


32

34y x x   

+ Tập xác định:
DR

+ Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2
2
' 3 6 , ' 0
0
x
y x x y
x


    




Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng
 
;2 
và
 
0;
, đồng biến trên
khoảng
 

2;0
.
0,25
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
C (0)
0; 4
Đ
x y y  

Hàm số đạt cực tiểu tại
CT ( 2)
2; 0x y y

   

- Giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
 
   


0,25
- Bảng biến thiên:

x



-2

0


,
y





0





0





y




0

4









0,25
+ Đồ thị : Giám khảo và thí sinh tự vẽ
0,25
b

1.0

Đồ thị hàm số (1) có điểm cực tiểu
 
2;0A 
, điểm cực đại
 
0;4B
.Phương trình đường
thẳng nối hai cực trị của đồ thị hàm số (1) là:
 
:1
24
xy

AB 


 
:2 4 0AB x y   
.

0,25
     
22
: 1 5C x m y m    
có tâm
 
;1I m m
bán kính
5R 

0,25
Đường thẳng
 
AB
tiếp xúc với đường tròn
   
 
;C d I AB R

 
 
2
2

2 1 4
5
21
mm  





0,25
8
35
2
m
m
m


   




Vậy
8m 
hoặc
2m

0,25
2


1.0


Điều kiện:
2
0
30
3
x
xx
x


  




0.25

Ta có

ln (1 sin )
ln 2
2
22

22
2
2
e log (x 3x) 0 e log (x 3x) 0
2 log (x 3x) 0


      
   




0.25

2 2 2 2
2
log (x 3x) 2 x 3x 2 x 3x 4 0 4 x 1             

0,25

So điều kiện, bất phương trình có nghiệm :
   




4 x 3

0 < x 1

0,25
3


1.0


2
22
00
sin2 .cos sinx. os
2
1 cos 1 cos
x x c x
I dx dx
xx






0,25

Đặt
sin x
cos 1
1 cos
02

1
2
dt dx
xt
tx
xt
xt







  

  


  



,

0,25


1 2 2
22

2 1 1
( 1) ( 1) 1
2 2 2 ( 2 )
tt
I dt dt t dt
t t t

     



0,25


2
2
2( 2 ln ) 2ln2 1
1
2
t
tt    

0,25
4


1.0

a

0,5

Hàm số
 
2
.3
x
y e x
liên tục trên đoạn [–2;2]

   
 
 
22
1 2;2
' . 3 .2 . 2 3 ' 0
3 2;2
x x x
x
y e x e x e x x y
x

  
        

   



0,25

Ta thấy
     
2
2
1
1 2 ; 2 ; 2y e y e y
e
    
 
 
 
 
2
-2;2
-2;2
max 2 ;min 1 2y y e y y e     


0,25
b

0,5

Có
3
50
C

cách chọn ra 3 học sinh tùy ý từ 50 học sinh nói trên
Chọn ra 3 học sinh trong số 50 học sinh trên mà trong nhóm có ít nhất một cặp anh em
sinh đôi, nghĩa là trong 3 học sinh được chọn chỉ có 1 cặp anh em sinh đôi

số cạnh
chọn là
11
4 48
.CC




0,25

Vậy đáp số bài toán là
3 1 1
50 4 48
. 19408C C C
(cách)
0,25
5


1,0


Tọa độ điểm
A
là nghiệm của hệ

 
2 3 1 0 1
1;1
4 5 0 1
x y x
A
x y y
   



   



0,25

1
21
;
3
t
B d B t





) ;
 

2
;5 4C d C s s  

0,25

G
là trọng tâm tam giác
ABC

1
3
3
21
5 4 1
3
5
3
ts
t
s








  









0,25

Giải hệ này ta được
61 61 43
( ; )
7 7 7
5 5 55
( ; )
7 7 7
tB
sC












0,25
6


1,0












 
C
có tâm I(1;1) và bán kính R = 5. Ta thấy
10; 5 2 ,IA IB A B  
nằm ngoài đường
tròn
 
C

0,25

Gọi
,EJ
lần lượt là trung điểm của
,IA IE
 
5
E 4;5 ;J ;3
2




.


B
A
J
I
M
E
F
Gọi
F

là trung điểm của IM. Tam giác
IME
cân tại
I EF MJ


Ta có
 
2 2 2 2 2P MA MB EF MB MJ MB BJ      

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
M
thuộc đoạn thẳng
BJ
(Vì
B
nằm ngoài đường tròn
(C);
J
nằm trong đường tròn
 
C
).


0,25

Do đó
P
nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của đường tròn

 
C
và đoạn thẳng BJ.
BJ
có phương trình
2x y 8 0  
.
Tọa độ giao điểm của
BJ
và
 
C
là nghiệm của hệ
   
22
x1
2x y 8 0
y6
x5
x 1 y 1 25
y2




  









   










0,25

.Vì
M
thuộc đoạn
JB
nên
5
1
2
M
x

 
1;6M

Vậy
 
1;6M


0,25
7

.

1,0





Gọi
H
là trung điểm của
BC
 
AA'H
AA' BC
AH BC
BC


  





Tam giác
AA'H
vuông tại
H
0
' 90AHA  

'AHA
là góc giữa hai mặt phẳng
 
'A BC
và (ABC)
0
' 30AHA  

.

0,25
A’
B
H
C’
B’
C
A

Đặt
 
0
3
0'
2 os30
a AH
AB a a AH A H a
c
      

0,25

2
'
8 ' . 16 16 4
A BC
S A H BC a a


      

0,25

Thể tích khối lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
là
2
. ' ' '
3 64 3
'. . 8 3
2 4 8
ABC A B C ABC
aa
V AA S

   


0,25
8


1,0


 
2
2 4 9 5 6 7 11 0 1x x x x      

Điều kiện
5 6 0
6
7 11 0
5
x
x
x









 
   
2
1 2 2 4 2 5 6 3 7 11 0x x x x x x           



0,25

 
 
 
22

2
2
22
2 2 0
2 5 6 3 7 11
2 0 2
11
23
2 5 6 3 7 11
x x x x
xx
x x x x
xx
x x x x
   
     
     

  





     



0,25

Ta có
 
1
2
2
x
x






(thỏa mãn )

0,25

6 1 1 1 1 1 1
2
6 6 6
5
2 5 6 3 7 11 6 13
2 2 3
3
5 5 5
55
x
x x x x

       

  
      
  


 
3
vô nghiệm
Vậy nghiệm của
 
1
là
1
2
x
x











0,25
9

1,0


Từ giả thiết
14c

01abÞ < £

Ta chứng minh được:
22
1 1 2
1 1 1a b ab
+£
+ + +
 
*
.
Thât. vậy ta có

( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
22
2 3 2 3 2 2 2 2
22
3 3 2 2 2 2
1 1 2

2 . 1 2 1 . 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 2 **
a b ab a b
a b ab
ab a a b b ab a b a b
ab a b ab a b a b a b ab a b
+ £ Û + + + £ + +
+ + +
Û + + + + + £ + + +
Û + + £ + + Û - ³ -




0,25
 
**
đúng nên
 
*
đúng.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1
ab
ab








Áp dụng
 
*
ta có
22
2 1 2 1
1 1 1 1
c
Q
ab c c c
£ + = +
+ + + +
.


0,25

Xét hàm
( )
2
21
11
c
fc
cc
=+

++
trên
 
1;4

Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[ ]
2
2
43
2 2 2 2
22
2 2 2
11
2 2 1
2. 2 0 1;4
1
1 1 1 1 1
c c c
c c c c
f c c

c
c c c c c
- + +
- - +
¢
= - = = ³ " Î
+
+ + + + +

()fc
đồng biến trên
 
1;4

( ) ( )
8 1 141 141
4
5 17 85 85
f c f QÞ £ = + = Þ £






0,25


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1

2
4
4
1
1
2
1
4
ab
c
c
abc
ab
ab
ab
c






















  

















Vậy
141
ax
85
mP=

đạt được khi
1
2
4
1
2
4
ab
c
ab
c














  



















0,25

Lưu ý khi chấm bài:
-Đáp án chỉ trình bày một cách nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bướcđó.
-Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó
không được điểm.
-Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
-Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Hết