Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Lâm Đồng môn Toán

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010-2011

Môn : TOÁN – THCS
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 1 trang) Ngày thi : 18/02/2011
Câu 1: (2,0 điểm ) Rút gọn .
Câu 2:(2,0 điểm) Cho hàm số
y = f(x) = (3m
2
– 7m +5) x – 2011 (*) . Chứng minh hàm số (*)
luôn đồng biến trên R với mọi m.
Câu 3:( 2,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Trên đường
thẳng AB lấy điểm M sao cho A nằm giữa M và B . Từ M kẻ cát tuyến MCD
với đường tròn (O) và tiếp tuyến MT với đường tròn (O’) (T là tiếp điểm)
Chứng minh MC.MD = MT
2
.
Câu 4: (2,0 điểm ) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y – 1 = 0 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 3x
2
+ y
2
.
Câu 5: (1,5 điểm) Chứng minh tổng C = 1 + 2 + 2
2
+ … + 2
2011
chia hết cho 15 .
Câu 6: (1,5 điểm ) Phân tích đa thức x
3

– x
2
– 14x + 24 thành nhân tử .
Câu 7: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình
Câu 8: (1,5 điểm ) Chứng minh D = n(n
+ 1)(n + 2)(n + 3) không phải là số chính phương
với mọi n .
Câu 9: (1,5 điểm ) Cho hai số dương a
và b . Chứng minh .
Câu 10:(1,5 điểm ) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : 2x
2
– xy – y
2
– 8 = 0
Câu 11: (1,5 điểm ) Cho hình thang vuông
ABCD () , có DC = 2AB . Kẻ DH vuông
góc với AC (H, gọi N là trung điểm của CH .
Chứng minh BN vuông góc với DN .
Câu 12: (1,5 điểm). Cho tam giác MNP cân tại M ( ) . Gọi D là giao điểm các đường
phân giác trong của tam giác MNP . Biết DM = cm , DN = 3 cm .
Tính độ dài đoạn MN .
HẾT
Họ và tên thí sinh :…………………………………………… Số báo danh : ………………………
Giám thị 1 :…………………………………………………… Ký tên : …………………………….
Giám thị 2 :…………………………………………………… Ký tên : …………………………….
A 127 48 7 127 48 7= − − +
2
x y z 2
2xy z 4
+ + =



− =

N*∈
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
µ
µ
0
A D 90= =
AC)∈
µ
0
M 90<
2 5
(Thí sinh không được sử dụng máy tính )
SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010-2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN – THCS
Ngày thi 18/02/2011
Câu Hướng dẫn chấm Điểm
Câu 1
(2 điểm )
=
=

0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 2
(2 điểm )
3m
2
– 7m + 5 = 3

Vây f(x) đồng biến trên
R với mọi m
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 3
(2 điểm)
Chứng minh
MC. MD = MA.
MB
Chứng minh
MT
2
= MA. MB
Suy ra MC.MD
= MT
2

0,75 điểm

0,75 điểm
0,5 điểm
Câu 4
(2 điểm )
3x + y – 1 = 0 y = 1 – 3x

Vây GTNN của B là
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 5
(1,5 điểm )
C = 1 + 2 + 2
2
+ … + 2
2011

= (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
) + (2
4
+ 2
5
+ 2
6
+ 2
7

) + …+ ( 2
2008
+ 2
2009
+2
2010
+ 2
2011
)
= (1 + 2 + 2
2
+ 2
3
)+ 2
4
(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
)+ …+2
2008
(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
)
0,5 điểm
0,5 điểm
A 127 48 7 127 48 7= − − +
2 2

(8 3 7) (8 3 7)− − +
| 8 3 7 | | 8 3 7 |− − +
8 3 7 8 3 7 (8>3 7)
6 7
= − − −
= −
2
7 5
m m
3 3
 
− +
 ÷
 
2
2
7 49 60
3 m
6 36 36
7 11
3 m 0 m
6 36
 
 
= − − +
 
 ÷
 
 
 

 
 
= − + > ∀
 
 ÷
 
 
 
⇔
2 2
2
2
2
B 3x (1 3x)
12x 6x 1
1 1
12 x
4 48
1 1 1
12 x
4 4 4
= + −
= − +
 
 
= − +
 
 ÷
 
 

 
 
= − + ≥
 ÷
 
1 1 1
khi x = và y =
4 4 4
= 15 ( 1 + 2
4
+ …+ 2
2008
) chia hết cho 15 0,5 điểm
Câu 6
(1,5 điểm )
x
3
– x
2
– 14x +24
= x
3
+ 4x
2
– 5x
2
– 20x + 6x + 24
= (x + 4) (x
2
– 5x + 6 )

= (x + 4) (x – 2) (x – 3)
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 7
(1,5 điểm )

0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 8
(1,5 điểm )
D = n(n + 1) (n + 2) (n + 3)
= (n
2
+ 3n) (n
2
+ 3n + 2 )
= (n
2
+ 3n)
2
+2 (n
2
+ 3n)
(n
2
+ 3n)
2
< D < (n

2
+ 3n)
2
+2 (n
2
+ 3n) +1
(n
2
+ 3n)
2
< D < (n
2
+ 3n +1)
2
Nên D không phải là số chính phương vì (n
2
+ 3n)
2
và (n
2
+ 3n +1)
2
là 2 số
chính phương liên tiếp
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 9
(1,5 điểm )
Ta có (a – b)

2


Dấu “ = ” xảy ra khi
a = b ( thiếu câu này
không trừ điểm)
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 10
(1,5 điểm)
2x
2
– xy – y
2
– 8 = 0
(2x + y) (x – y) = 8
hoặc
hoặc
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 11
(1,5 điểm )
Gọi M là trung điểm của DH
Chứng minh tứ giác ABNM là
hình bình hành (1)
Chứng minh MN
Suy ra M là trực tâm của (2)
0,25 điểm

0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
2
2 2
2 2
x y z 2 z 2 x y
(2 x y) 2xy 4
2xy z 4 z 2xy 4 z 2 x y
(x 2) (y 2) 0

z 2 x y
x y 2

z 2
+ + = = − −
  
− − = −
⇔ ⇔
  
− = = − = − −
  

− + − =
⇔

= − −

= =


⇔

= −

⇒
⇒
0≥
2 2
2
a b 2ab
(a b) 4ab
a b 4
( vì (a+b)ab >0 )
ab a b
1 1 4
a b a b
⇔ + ≥
⇔ + ≥
+
⇔ ≥
+
⇔ + ≥
+
⇔
⇔
2x y 8
x y 1
+ =



− =

2x y 4
x y 2
+ =


− =

⇔
x 3
y 2
=


=

x 2
y 0
=


=

AM // BN⇒
AD⊥
ADN∆
AM DN⇒ ⊥
Từ (1) và (2)

Câu 12
(1,5 điểm ) Qua M kẻ tia Mx
vuông góc với
MN cắt ND tại E
, kẻ MF
Chứng minh cm
và EF =DF
ME
2
= EF .EN =
EF .(2EF + DN )
cm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
(Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng , giám khảo dựa theo biểu điểm để cho điểm tương ứng )
BN DN⇒ ⊥
ND⊥
¶
µ
1
D E=
MD ME 2 5⇒ = =
2
2
(2 5) EF(2EF 3)
2EF 3EF 20 0
= +
+ − =
(EF 4)(2EF 5) 0

EF 2,5 (vì EF >0)
+ − =
⇒ =
MN 2 11⇒ =