Đề thi chọn học sinh giỏi thi Quốc gia lớp 12 tỉnh Hà Tĩnh năm 2012 - 2013 Vòng 1 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu)
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI
HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN - Vòng 1
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Giải hệ phương trình:

3
2
3
2
2
2
1 x 3
xy y
x 2
1 4
(xy 2) 2y
x x

−
 
+ + =

 ÷

 



+ + = +


Câu 2. Dãy số (a
n
) được xác định:
1 2
a 1, a 2= =
và
n 2 n 1 n
a 2a a 2 n N *
+ +
= − + ∀ ∈
.
Xét xem số
k k 2012 k 2013
u a . a
+ +
=
với
k N *∈
có phải là số hạng của dãy số (a
n
) hay
không?
Câu 3. Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên
2 2 2
2011 2012 2013 0x y− + =

.
Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có H là trực tâm. Gọi A', B', C'
theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các đường thẳng AH, BH, CH với đường tròn
(O). Một điểm D nằm trên đường tròn (D khác các điểm A, B, C, A’, B’, C’). Gọi
A'', B'', C'' lần lượt là giao điểm của DA' với BC, DB' với AC, DC' với AB. Chứng
minh rằng bốn điểm A'', B'', C'' và H thẳng hàng.
Câu 5. Trong kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi toán của một tỉnh có 20 em tham gia. Mỗi
học sinh phải thi 2 vòng, mỗi vòng được gọi là một bài thi. Điểm của mỗi bài thi
được cho là một số tự nhiên từ 1 đến 10. Phương thức chọn đội tuyển là so sánh
kết quả điểm của từng bài thi tương ứng (vòng 1, vòng 2 ) giữa các thí sinh. Thí
sinh A gọi là so sánh được với thí sinh B nếu điểm mỗi bài thi của A không nhỏ
hơn điểm mỗi bài thi tương ứng của B. Biết rằng không có hai thí sinh nào có cùng
cặp điểm số tương ứng. Chứng minh rằng có thể chọn được ba thí sinh A, B, C sao
cho A so sánh được với B và B so sánh được với C.

_____________ HẾT _____________
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: