Thuyết trình LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU

LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU
Nhóm 3
Đàm Minh Lịnh
Vũ Duy Khánh
Nông Thanh Lâm
Phạm Thị Mỹ Linh
Trà Bảo Linh
Lê Minh Kha
Phạm Minh Lộc
Từ Xuân Lộc
Bài toán mở đầu
Bài toán mở đầu
1
1
Định nghĩa bài toán đối ngẫu
Định nghĩa bài toán đối ngẫu
Định lý về đối ngẫu
Định lý về đối ngẫu
Độ lệch bù
Độ lệch bù
Thuật toán đơn hình đối ngẫu
Thuật toán đơn hình đối ngẫu
Ví dụ minh họa
Ví dụ minh họa
2
2
3
3
4
4
5

5
6
6
1. Bài toán mở đầu
Xét một quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc
(1)
Xét phương án không thỏa (nghĩa là một lượng, trong đólà véc tơ
Thay b-vào (1) giải bài toán:
(2)


1. Bài toán mở đầu
Trong đó: y được gọi là nhân tử Lagrange, L(x,y) := được gọi là hàm Lagrange của bài toán (1)
Đặt g(y) là giá trị tối ưu của (2)
g(y)=
Vì chấp nhận được (1) nên =
max g(y), (3)
Biến đổi (3) để được dạng tốt hơn:
g(y)=


1. Bài toán mở đầu
Mặt khác

Thay vào (3) ta được dạng tương đương


(4)

max g(y),

(3)

1. Bài toán mở đầu
Vậy bài toán đối ngẫu của QHTT (1) là QHTT (4)
(1)

→
(4)

1. Bài toán mở đầu
Thành lập bài toán đối ngẫu cho QHTT dạng chuẩn (thêm biến bù)
= b,
Vì biến bù nên mục tiêu trở thành




1. Bài toán mở đầu
Xét trường hợp bài toán gốc không ở dạng chính tắc hoặc dạng chuẩn
Tìm:
+ Cận dưới sát nhất của giá trị mục tiêu tối ưu;
+ Vectơ ở bài toán gốc là tự do về dấu
Vậy bài toán đối ngẫu phải có ràng buộc


1. Bài toán mở đầu
Ví dụ1: Bài toán đối ngẫu của bài toán QHTT dạng chuẩn
f(x) = 20x
1
+ 15x

2
→ min
g(y) = 60y
1
+ 40y
2
+ 60y
3
→max
→







≥≥
≥+
≥+
≥+
0,0
602
40
603
21
21
21
21
xx

xx
xx
xx





≥≥≥
≤++
≤++
0;0;0
152
203
321
321
321
yyy
yyy
yyy
1. Bài toán mở đầu
Ví dụ 2:










≤≥
≤−+
=+−−
≥−+
→+−=
ýtùyxxx
xxx
xxx
xxx
xxxxf
321
321
321
321
321
,0,0
343
642
832
min234)(










≤≥
=−+−
−≥+−
≤+−
→++=
0y,ýtùyy,0y
2yy4y3
3y4y2y
4y3yy2
maxy3y6y8)y(g
321
321
321
321
321
2. định nghĩa bài toán đối ngẫu
Giả sử ma trận A có hàng làvà các cột là .
MIN với ràng buộc MAX với ràng buộc
Nhận xét:
Mỗi ràng buộc ở bài toán gốc, không kể ràng buộc dấu, ứng với một biến của bài toán đối ngẫu.
Mỗi biến của bài toán gốc ứng với một ràng buộc ở bài toán đối ngẫu. Đồng thời các chiếu bất đẳng
thức có quan hệ trực tiếp với nhau và cho bằng bảng sau đây.


2. định nghĩa bài toán đối ngẫu
GỐC MIN MAX ĐỐI NGẪU
Ràng buộc
= Tự do
Biến
Biến

Tự do
Ràng buộc
GỐC MIN MAX ĐỐI NGẪU
Ràng buộc
Biến
Biến
Ràng buộc
Bảng quan hệ giữa biến và ràng buộc của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu
2. định nghĩa bài toán đối ngẫu
Xét ví dụ
Min Max
,



2. định nghĩa bài toán đối ngẫu
Viết lại ở dạng bài toán min và nhân cả ba ràng buộc cuối với -1
Min Max
,
BTĐN bên phải trên của bài toán ĐN trùng với bài toán gốc.


2. định nghĩa bài toán đối ngẫu
Định lý:
Nếu ta biến đổi bài toán đối ngẫu về dạng tương đương là tìm cực tiểu (min) và lập đối ngẫu
của nó, ta nhận được bài toán gốc
3.1 đối ngẫu yếu
Định lý: nếulà nghiệm chấp nhận được của QHTT gốc và y là nghiệm chấp nhận được của QHĐN thì
Chứng minh
Ta đặt

Vì
Do đó
Nhận xét rằng




Do đó

3.1 đối ngẫu yếu
Hệ quả 1:
+ Nếu hàm mục tiêu của QHTT gốc không giới nội dưới, thì BTĐN không có nghiệm chấp nhận.
+ Nếu BTĐN không giới nội trên (hàm mục tiêu) thì BTG không chấp nhận được.
Hệquả 2:
Giả sử và là nghiệm chấp nhận được tương ứng của 2 BTĐN nhau. Nếu thì và phải là nghiệm tối ưu
tương ứng của 2 BT


3.2 đối ngẫu mạnh
Định lý:
Nếu QHTT gốc có nghiệm tối ưu x
*
QHĐN cũng có nghiệm tối ưu y
*
và giá trị mục tiêu tối ưu = nhau
c
T
x
*
= (y

*
)
T
b
3.2 đối ngẫu mạnh
Chứng minh:
min cTx,
Ax ≤ b,
x ≥ 0,
Áp dụng phương pháp đơn hình lên quy hoạch này
c
j
*
= 0 và d
i
*
= 0 với các biến x
j
và w
i
là biến cơ sở . Vì z
*
là giá trị mục tiêu tối ưu
Đặt
Ta sẽ chứng minh y
*
= ( y
1
*
, , y

m
*
) là nghiệm chấp nhận được của bài toán đối ngẫu với (y
*
)
T
b = c
T
x
*
∑ ∑
= =
++=
n
j
m
i
iijj
wdxczz
1 1
'
***
., ,1,
**
midy
ii
=−=
3.2 đối ngẫu mạnh
Các hệ số tương ứng
∑∑∑

===
++=
m
i
ii
n
j
jj
n
j
jj
wdxczxc
1
*
1
**
1
∑ ∑∑
= ==
−−++=
m
i
n
j
jiji
n
j
jj
xabyxcz
1 1

1
*
1
**
))((
∑ ∑∑
= ==
++−=
n
j
j
m
i
ijij
m
i
ii
xaycybz
1
'
1
**
1
**
)(
∑
=
=
m
i

ii
ybz
1
**
,
∑
=
+=
m
i
ijijj
aycc
1
'
**
3.2 đối ngẫu mạnh
Ta có (y
*
)
T
b = c
T
x
*
. Ở từ vựng tối ưu các hệ số của hàm mục tiêu phải không âm, tức c
j
*
≥ 0, j = 1, , n , và d
i
*

≥ 0, i =
1, ,m.
Tức là y
*
là nghiệm chấp nhận được của bài toán đối ngẫu. Do (y
*
)
T
b = c
T
x
*
, y
*
phải là nghiệm tối ưu theo hệ
quả
,, ,1,
1
*
njcay
j
m
i
iji
=≤
∑
=
,, ,1,0
**
midy

ii
=≤−=
3.2 định lý tồn tại
Đối với mỗi cặp quy hoạch đối ngẫu nhau thì có thể xảy ra một trong ba khả năng loại trừ nhau sau
đây:

Cả hai bài toán đều không có phương án

Cả hai bài toán đều có phương án. Khi đó cả hai bài toán đều có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của các
hàm mục tiêu là bằng nhau

Một bài toán có phương án và bài toán kia không có phương án. Khi đó bài toán có phương án sẽ không có
phương án tối ưu và hàm mục tiêu của nó không giới nội trong miền ràng buộc
4 độ lệch bù
Định lý: (Điều kiện độ lệch bù). Giả sử x và y là nghiệm chấp nhận được của bài
toán gốc và bài toán đối ngẫu, tương ứng. Khi đó x và y là tối ưu khi và chỉ khi:
y
i
(a
i
T
x - b
i
) = 0 i (10)
(c
j
– y
T
A
j

)x
j
= 0 j (11)


4 độ lệch bù
Chứng minh:
Đặt u
i
= y
i
(a
i
T
x - b
i
) và v
j
= (c
j
– y
T
A
j
)x
j
Theo bài toán đối ngẫu ta có u
i
≥ 0, v
j

≥ 0 , .
c
T
x – y
T
b = +
Theo định lý đối ngẫu mạnh, nếu x là y là tối ưu thì c
T
x = y
T
b. Do đó u
i
= v
j
i, j. Ngược lại, nếu u
i

= v
j
= 0 I, j thì c
T
x = y
T
b
Điều kiện độ lệch bù
a
i
T
x < b
i

=> y
i
= 0, (12)
y
T
A
j
< c
j
=> x
j
= 0, (13)


4 độ lệch bù
Nhận xét
a) Nếu bài toán gốc ở dạng chính tắt thì (10) luôn thỏa với mọi x chấp nhận
được nên điều kiện độ lệch bù cho quy hoạch chính tắc chỉ còn là:
(c
j
– y
T
A
j
)x
j
= 0 i
b) Điều kiện độ lệch bù có thể cho ta có ngay nghiệm tối ưu của quy hoạch
tuyến tính khi biết nghiệm tối ưu của bài toán đối ngẫu. Hãy xét thí dụ sau
