Đề thi thử và cách giải môn toán thầy đặng thành nam (2)

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!1!
H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6)
DW&()L"I&X)/Y)Z[)*.\]*)
V1US)#4%)().]\*^\.*^])
L4_%)1%E&)$U6)`U%()^a*)@4b#c)24W&1)2d)#4_%)1%E&)1%E")>K)
e%f&)4g)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.))
Bh=)^)i.c*)>%d6jF)Cho!hàm!số!

y = 2x
3
− 3x
2
+1 (1)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Gọi!A,B!là!2!điểm!cực!trị!của!(1).!Chứng!
minh!rằng!tam!giác!AOB!vuông!cân!(với!O!là!gốc!toạ!độ).!
2. Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!tiếp!xúc!với!(1)!tại!điểm!có!hoành!độ!

x
1
> 0
!và!cắt!(1)!tại!
điểm!có!hoành!độ!

x
2
thoả!mãn!

2x
1
x
2
= −1
.!
Bh=).)i^c*)>%d6jF)Giải!các!phương!trình!!
1.

log
2
(x
2
−1)− log
2
(x +1)
2
=
1
2
log
2
(x − 2)
2
.)
2.

2(1+ sin x)+ 3 cot x = 0
.)
Bh=)7)i^c*)>%d6jF!Tính!tích!phân!

I =
sin3x
1+ cos x
dx
0
π
2
∫
.!
Bh=)k)i^c*)>%d6jF!!
1. Cho!số!phức!z!thoả!mãn!

(1+ i ).z + i.z −1−3i = 0
.!Viết!

z
3
!dưới!dạng!lượng!giác.!
2. Tìm!giá!trị!lớn!nhất!và!nhỏ!nhất!của!hàm!số!

y = −
1
4
x
2
+ ln(x +1)
trên![0;2].!
Bh=)])i^c*)>%d6jF!Cho!hình!chóp!S.ABC!có

AB = a,AC = a 3,BC = 2a,SA = SB = SC
!và!tam!giác!
SBC!vuông.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!SA!và!BC.!!!!!
Bh=)-i^c*)>%d6jF)Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!mặt!phẳng!

(P ) : x + y− z +1= 0
và!
đường!thẳng!

d :
x − 2
1
=
y − 1
−1
=
z −1
−3
.!Tìm!toạ!độ!giao!điểm!I!của!d!và!(P).!Viết!phương!trình!
đường!thẳng!d’!vuông!góc!với!(P)!và!cắt!d!tại!H!sao!cho!

IH =
7 3
9
.d (H ;(P ))
.!!!!)
Bh=),)i^c*)>%d6jF!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!phương!trình!đường!phân!
giác! trong! góc! A! là!

y − 3 = 0

.! Gọi!

M (1;4),N (3;1)
lần! lượt! là! các! điểm!thuộc! các!đường! thẳng!
AB,AC.!Tìm!toạ!độ!các!điểm!B,C!biết!trọng!tâm!tam!giác!ABC!là!điểm!

G
11
3
;
8
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!!!!!
Bh=)a)i^c*)>%d6jF!Giải!hệ!phương!trình!

x (3− y) + y − 2x = 1
x
2

−( x − 2y)x = 5− 2y + 3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
.!
Bh=)+)i^c*)>%d6jF!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!thoả!mãn!

a,b,c ∈ 0;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
;a + b + c = 3
.!Tìm!giá!trị!nhỏ!
nhất!của!biểu!thức!

P =
2
11−a
2
− b
2

− c
2
−
a
3
+ b
3
+ c
3
ab + bc + ca + 5
.!
lll!mLlll)
)
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!2!
HƯỚ NG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN – BÌNH LUẬN
L4E&1)>%d6)#<n&1)o&1())
Bh=)^()^F^i^c])>%d6jX)^F.)i*c])>%d6j)
Bh=).().F^)GU).F.)6p%)3)*c])>%d6)
Bh=)k()kF^X)kF.)6p%)3)i*c])>%d6j)
Bh=)^)i.c*)>%d6jF)Cho!hàm!số!

y = 2x
3
− 3x
2
+1 (1)
.!

1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Gọi!A,B!là!2!điểm!cực!trị!của!(1).!Chứng!
minh!rằng!tam!giác!AOB!vuông!cân!(với!O!là!gốc!toạ!độ).!
2. Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!tiếp!xúc!với!(1)!tại!điểm!có!hoành!độ!

x
1
> 0
!và!cắt!(1)!tại!
điểm!có!hoành!độ!

x
2
thoả!mãn!

x
1
x
2
= −1/ 2
.!
1. Bước!khảo!sát!vẽ!đồ!thị!học!sinh!tự!làm.!
+!Hai!điểm!cực!trị!của!hàm!số!là!

A(0;1),B(1;0) ⇒ A ∈ Oy,B ∈ Ox ⇒ OA ⊥ OB,OA = OB = 1
.!
Vậy!tam!giác!AOB!vuông!cân!tại!O!(đpcm).!
2. Phương!trình!đường!thẳng!d!là!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!điểm!

x
1

.!
Suy!ra!

d : y = 6(x
1
2
− x
1
)(x − x
1
) + 2x
1
3
− 3x
1
2
+1
.!
Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm!của!d!và!(1):!
!

6(x
1
2
− x
1
)(x − x
1
) + 2x
1

3
−3x
1
2
+1 = 2x
3
−3x
2
+1
⇔ 2(x
3
− x
1
3
)−3(x
2
− x
1
2
)−6(x
1
2
− x
1
)(x − x
1
)= 0
⇔ (x − x
1
)(2x

2
+ (2x
1
−3)x − 4x
1
2
+ 3x
1
) = 0
⇔ (x − x
1
)
2
(2x + 4x
1
−3) = 0 ⇔
x = x
1
x =
3−4x
1
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Ta!phải!có!

x
2
=
3− 4x
1
2
;x
1
≠ x
2
⇔ x
1
≠
1
2
.!
Theo!giả!thiết!ta!có:!
!

x
1
.
3−4x
1
2
= −
1
2
⇔ 4x

1
2
−3x
1
−1 = 0 ⇔
x
1
= 1(t / m)
x
1
= −
1
4
(l )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Suy!ra!tiếp!điểm!M(1;0)!và!có!đường!thẳng!d!cần!tìm!là!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!M!suy!ra!d:

y = 0
.!!!!
Bh=).)i^c*)>%d6jF)Giải!các!phương!trình!!
1.

log
2

(x
2
−1)− log
2
(x +1)
2
=
1
2
log
2
(x − 2)
2
.)
2.

2(1+ sin x)+ 3 cot x = 0
.)
1. Điều!kiện:!

x
2
−1 > 0
x +1 ≠ 0
x −2 ≠ 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
1 < x ≠ 2
x < −1
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
Phương!trình!tương!đương!với:!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!3!

log
2
(x
2
−1)− log
2
(x +1)
2
=
1

2
log
2
(x −2)
2
⇔ log
2
x
2
−1
(x +1)
2
= log
2
x −2 ⇔ log
2
x −1
x +1
= log
2
x −2
⇔
x −1
x +1
= x −2 ⇔
x > 2
x −1
x +1
= x −2
⎧

⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
x < 2
x −1
x +1
= −x + 2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x = − 3
x = 3
x =1+ 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!

x = − 3;x = 3; x =1+ 2
.!!
2. Điều!kiện:!

sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ,k ∈ !
.!
Phương!trình!tương!đương!với:!

!

2(1+ sin x ) + 3.
cos x
sin x
= 0 ⇔ 2sin x (1+ sin x) = − 3 cos x
⇒ 4sin
2
x(1+ sin x )
2
= 3cos
2
x = 3(1−sin
2
x )
⇔ (sin x +1)(2sin x −1)(2sin
2
x + 3sin x +3) = 0
⇔
sin x = −1
sin x =
1
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔

x = −
π
2
+ k2π
x =
π
6
+ k2π
x =
5π
6
+ k2π
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Thử!lại!chỉ!nhận!nghiệm!

x = −
π
2

+ k2π; x =
5π
6
+ k2π
.!!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!

x = −
π
2
+ k2π; x =
5π
6
+ k2π,k ∈ !
.!!
B4b)3F!Có!thể!đưa!về!pt!với!tan(x/2)!như!sau:!
!

4sin
x
2
cos
x
2
sin
x
2
+ cos
x
2

⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ 3 cos
2
x
2
−sin
2
x
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟

⎟
⎟
⎟
= 0
⇔ 4tan
x
2
tan
x
2
+1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ 3 1+ tan
2
x
2
−tan
2

x
2
(1+ tan
2
x
2
)
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= 0
⇔ tan
x
2
= −1;tan
x
2
= 2+ 3 ⇔ x = −
π
2
+ k2π; x =

5π
6
+ k2π,k ∈ !
.!!
V4;&)qr#F!Phương!trình!lượng!giác!hình!thức!khá!đơn!giản!nhưng!đòi!hỏi!kỹ!năng!xử!lý!nhất!
định.!Trong!trường!hợp!phương!trình!chỉ!có!sinx,!cosx!mà!không!phân!tích!được!thành!nhân!
tử!có!thể!bình!phương!hai!vế!để!đưa!về!phương!trình!đa!thức!một!ẩn!(của!sinx!hoặc!của!cosx).!
Bh=)7)i^c*)>%d6jF!Tính!tích!phân!

I =
sin3x
1+ cos x
dx
0
π
2
∫
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!4!
Ta!có!:!

I =
3sin x −4sin
3
x
1+ cos x
dx

0
π
2
∫
=
sin x (3−4sin
2
x )
1+ cos x
dx
0
π
2
∫
=
sin x (4 cos
2
x −1)
1+ cos x
dx
0
π
2
∫
.!
Đặt!
!!
t = cos x ⇒ dt = − sin xdx
!và!khi!đó!
!

!!
I =
4t
2
−1
t + 1
dt
0
1
∫
=
4(t
2
−1)+ 3
t + 1
dt
0
1
∫
= 4(t −1)+
3
t + 1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
dt
0

1
∫
= 2t
2
− 4t + 3ln t + 1
( )
1
0
= −2 + 3ln 2
.!!!
Bh=)k)i^c*)>%d6jF!!
1. Cho!số!phức!z!thoả!mãn!

(1+ i ).z + i.z −1−3i = 0
.!Viết!

z
3
!dưới!dạng!lượng!giác.!
2. Tìm!giá!trị!lớn!nhất!và!nhỏ!nhất!của!hàm!số!

y = −
1
4
x
2
+ ln(x +1)
trên![0;2].!
1.!Giả!sử!

z = x + y.i(x, y ∈ !)
theo!giả!thiết!ta!có:!
!

(1+ i)(x + yi) + i.(x − yi)−1−3i = 0
⇔ x −1+ (2x + y− 3)i = 0 ⇔
x −1= 0
2x + y −3 = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x =1
y = 1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ z = 1+ i
.!
Vì!vậy!

z

3
= (1+ i )
3
= −2+ 2i = 2 2 −
1
2
+
1
2
i
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= 2 2 cos
3π
4
+ i sin
3π
4
⎛
⎝

⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!!
2.!Ta!có:!

y ' = −
x
2
+
1
x +1
; y ' = 0 ⇔ 2− x(x +1) = 0 ⇔
x =1∈ 0;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
x = −2 ∉ 0;2
⎡
⎣

⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
.!
Tính!được:!

y(0) = 0; y(1) = ln2−
1
4
; y(2) = ln3−1
.!
Vì!vậy!

y
max
= y(1) = ln2−
1
4
; y
min
= y(0) = 0
.!
Bh=)])i^c*)>%d6jF!Cho!hình!chóp!S.ABC!có

AB = a,AC = a 3,BC = 2a,SA = SB = SC
!và!tam!giác!
SBC!vuông.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABC!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!SA!và!BC.!!!!!
!
Ta!có!

AB
2
+ AC
2
= BC
2
= 4a
2
nên!tam!giác!ABC!vuông!tại!
A.!
Mặt!khác!do!

SA = SB = SC
nên!S!nằm!trên!đường!thẳng!
đi!qua!tâm!đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!ABC!và!vuông!
góc!với!mặt!đáy!(ABC).!
Gọi!H!là!trung!điểm!cạnh!BC,!thì!H!là!tâm!đường!tròn!
ngoại!tiếp!tam!giác!ABC.!Suy!ra!

SH ⊥ (ABC )
.!
Tam!giác!SBC!vuông!nên!

SH =

BC
2
= a
.!
Vì!vậy!

V
S .ABC
=
1
3
SH .S
ABC
=
1
3
.a.
1
2
a.a. 3 =
a
3
3
6
(đvtt).!!!!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!5!
Kẻ!Ax!song!song!với!BC!và!kẻ!HK!vuông!góc!với!Ax!tại!K;!kẻ!HT!vuông!góc!với!SK!tại!T!dễ!có!

HT ⊥ (SAK )
!.!Kẻ!AI!vuông!góc!với!BC!tại!I.!Ta!có!

HK = AI =
AB.AC
BC
=
a.a 3
2a
=
a 3
2
.!
Chú!ý.!

BC //Ax ⇒ d(BC;SA) = d (BC;(SAK )) = d (H ;(SAK )) = HT
.!
Tam!giác!vuông!SHK!có!

1
HT
2
=
1
HK
2
+
1
SH

2
=
4
3a
2
+
1
a
2
⇒ HT =
a 21
7
.!
Vì!vậy!

d (BC;SA) =
a 21
7
.!!!!
Bh=) -) i^c*) >%d6jF) Trong! không! gian! với! trục! toạ! độ! Oxyz! cho! mặt! phẳng!

(P ) : x + y− z +1= 0
và!đường!thẳng!

d :
x − 2
1
=
y − 1
−1

=
z −1
−3
.!Tìm!toạ!độ!giao!điểm!I!của!d!và!
(P).! Viết! phương! trình! đường! thẳng! d’! vuông! góc! với! (P)! và! cắt! d! tại! H! sao! cho!

IH =
7 3
9
.d (H ;(P ))
.!!!!)
Toạ!độ!điểm!I!là!nghiệm!của!hệ:!

x + y − z +1 = 0
x −2
1
=
y −1
−1
=
z −1
−3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⎪
⇔
x + y − z +1 = 0
−(x − 2)− ( y −1) = 0
−3(x −2)− (z −1) = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
x =1
y = 2
z = 4
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪

⎪
.!
Vậy!I(1;2;4).!
Chuyển!d!về!dạng!tham!số!

d :
x = 2+ t
y = 1− t
z = 1−3t
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇒ H (2 + t;1−t;1−3t)
.!
Ta!có!!

d (H ;(P )) =
(2+ t ) + (1− t ) − (1−3t) +1
1
2
+1
2

+ (−1)
2
=
3t + 3
3
;
IH = (t +1)
2
+ (t +1)
2
+ (3t + 3)
2
= 11t
2
+ 22t +11
.!
Theo!giả!thiết!ta!có:!
!

3t + 3
3
.
7 3
9
= 11t
2
+ 22t +11 ⇔ 49(t +1)
2
= 9(11t
2

+ 22t +11) ⇔ t = −1⇒ H (1;2;4)
.!!
Đường!thẳng!cần!tìm!đi!qua!H!và!nhận!véc!tơ!pháp!tuyến!

n
!
= (1;1;−1)
!của!(P)!làm!vtcp.!
Vậy!đường!thẳng!cần!tìm!

d ' :
x −1
1
=
y − 2
1
=
y − 4
−1
.!!
Bh=),)i^c*)>%d6jF!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!phương!trình!đường!phân!
giác! trong! góc! A! là!

y − 3 = 0
.! Gọi!

M (1;4),N (3;1)
lần! lượt! là! các! điểm!thuộc! các!đường! thẳng!
AB,AC.!Tìm!toạ!độ!các!điểm!B,C!biết!trọng!tâm!tam!giác!ABC!là!điểm!

G
11
3
;
8
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!!!!!
Gọi!M’,N’!lần!lượt!là!các!điểm!đối!xứng!của!M,N!qua!phân!giác!trong!góc!A.!Ta!có!M’!thu ộc!
AC,!N’!thuộc!AB.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!6!
Dễ!tìm!được!

M '(1;2),N '(3;5)
.!!
Đường!thẳng!AB!đi!qua!M,N’!có!phương!trình!là!

x − 2 y +7 = 0
.!
Đường!thẳng!AC!đi!qua!điểm!N,M’!có!phương!trình!là!

x + 2 y − 5 = 0
.!
Toạ!độ!điểm!A!là!nghiệm!của!hệ!phương!trình!

x −2y +7 = 0
x + 2y −5 = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x = −1
y = 3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ A(−1;3)
.!

Gọi!

B(2b −7;b) ∈ AB,C (−2c + 5;c ) ∈ AC
.!
Do!G!là!trọng!tâm!tam!giác!ABC!nên:!

−1+ (2b −7) + (−2c + 5) =11
3+ b + c = 8
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
b + c = 5
b − c = 7
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
b = 6
c = −1
⎧
⎨

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒
B(5;6)
C (7;−1)
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
.!
Vậy!toạ!độ!điểm!cần!tìm!là!

B(5;6),C (7;−1)
.!!
V4;&)qr#(! Đề! bài! thầy!chỉ! yêu! cầu! các! em! cần! vận! dụng! tính! chất! đối! xứng! của! điểm! qua!
đường!phân!giác!trong!của!tam!giác.!!
Bh=)a)i^c*)>%d6jF!Giải!hệ!phương!trình!

x (3− y) + y − 2x = 1
x
2
−( x − 2y)x = 5− 2y + 3
⎧
⎨

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
.!
Điều!kiện:!

x ≥ 0; y ≤
5
2
.!!
Nhân!thêm!2!vào!phương!trình!đầu!của!hệ!rồi!cộng!theo!vế!với!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!
được:!!
!

x
2
−( x −2y)x −4x + 6 x −5− 2 x y + 2y − 5−2y = 0
⇔ (x + 2y −5)(x − x +1)+ x − 5−2y = 0
⇔ (x + 2y −5) x − x +1+
1
x + 5− 2y
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜

⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
= 0
⇔ x = 5− 2y do x − x +1+
1
x + 5− 2y
> 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟

.!
Thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!ta!được:!!
!

2.
5− x
2
1− x
( )
−4x +6 x = 2
⇔ (x +1) x = 5x −3 ⇔
x ≥
3
5
x (x +1)
2
= (5x −3)
2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔

x =1
x =11+ 4 7
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
.!
Vậy!hệ!phương!trình!có!2!nghiệm!là!

(x; y) = (1;2); 11+ 4 7;−3− 2 7
( )
.!!
BI94).(!Phương!trình!đầu!của!hệ!ta!có:

( x −1)(2 x + y −1) = 0 ⇔
x =1
y = 1− 2 x
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
.!!
+)!Với!
!!
x = 1 ⇒ y = 2
.!!
+)!Với!
!!

y = 1 − 2 x
!thay!vào!phương!trình!thứ!hai!của!hệ!và!đặt!t=căn(x)!ta!được:!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!7!


t
4
−5t
3
+ 2t
2
−3 = 4t +3
⇔ (t
4
−5t
3
+ 2t
2
−t −3) + (t − 4t +3) = 0
⇔ t
2
−4t −3
( )
(t
2
−t +1) +
t

2
−4t −3
t + 4t +3
= 0
⇔ t
2
−4t −3
( )
t
2
−t +1+
1
t + 4t +3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
= 0 ⇔ t = 2+ 7(t > 0)
.
sU%)#;@)#<n&1)#t)
Giải!hệ!phương!trình!

2y(x − x +1)− 4x + 6 x = 6
x
2
− x x = 5−2y −1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
.!Đ/s:!(x;y)=(1;2).!
Bh=)+)i^c*)>%d6jF!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!thoả!mãn!

a,b,c ∈ 0;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
;a + b + c = 3
.!Tìm!giá!trị!nhỏ!
nhất!của!biểu!thức!

P =
2

11−a
2
− b
2
− c
2
−
a
3
+ b
3
+ c
3
ab + bc + ca + 5
.!
Vì!ba!biến!đối!xứng!nên!không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử!

a = max a,b,c
{ }
⇒ a ∈ 1;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.!
Khi!đó!!!

a

3
+ b
3
+ c
3
≤ a
3
+ (b + c)
3
= a
3
+ (3− a)
3
= 9(a − 2)(a −1)+ 9 ≤ 9
;!
và!

11−a
2
− b
2
− c
2
= 11− (a + b + c )
2
+ 2(ab +bc + ca) = 2(ab + bc + ca +1)
.!
Suy!ra!

P ≥

1
ab + bc + ca +1
−
9
ab + bc + ca + 5
.!
Đặt!

t = ab + bc + ca
.!Ta!có!

P ≥ f (t ) =
1
t +1
−
9
t + 5
.!
Ta!có!

f '(t) =
9
(t + 5)
2
−
1
(t +1)
2
=
8t

2
+ 8t −16
(t +1)
2
(t + 5)
2
> 0
.!
Bởi!vì!

t = ab + bc + ca =
9−a
2
−b
2
− c
2
2
≥
9−a
2
−(b + c )
2
2
= 3a − a
2
= (a − 2)(1−a)+ 2 ≥ 0
.!
Vì!vậy!f(t)!đồng!biến!trên![2;3]!suy!ra!

f (t ) ≥ f (2) = −
20
21
.!
Đẳng!thức!xảy!ra!khi!

a = 2;b = 1;c = 0
hoặc!các!hoán!vị.!
Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!“20/21.!
B4b)3F!Nút!thắt!của!bài!toán!là!đánh!giá!

a
3
+ b
3
+ c
3
≤ 9;ab + bc + ca ≥ 2
.!Nhiều!học!sinh!mắc!sai!
lầm!khi!chỉ!ra!f(t)!đạt!min!tại!t=1.!Bởi!vì!khi!đó!dấu!bằng!không!xảy!ra.!
Ta!có!thể!chỉ!ra!
!!
(2 − a )(2 − b)(2 − c) ≥ 0 ⇒ ab + bc + ca =
4 + abc
2
≥ 2
.!!!
Ngoài!ra!bằng!cách!tương!tự!chứng!minh!được!các!bất!đẳng!thức!khác:!

ab + bc + ca ≥ 2;a

2
+ b
2
+ c
2
≤ 5
;!

a
4
+ b
4
+ c
4
≤17
.!
sU%)#;@)#<n&1)#t)
Cho!a,b,c!là!các!số!thực!thoả!mãn!

a,b,c ∈ 0;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
,a + b + c = 3
.!!
1) Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức!

P =
2
11−a
2
− b
2
− c
2
+
ab + bc + ca
a
3
+ b
3
+ c
3
.!!!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
Page!8!
2) Tìm!giá!trị!lớn!nhất!của!biểu!thức!

P =
a
2
+ b
2
+ c
2

ab + bc + ca
.!
3) Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức!

P =
2(18−a
4
− b
4
− c
4
)
11−a
2
− b
2
− c
2
−
a
3
+ b
3
+ c
3
ab + bc + ca + 7
.!!!
4) Cho!a,b,c! là! các! số!thực!thoả!mãn!

a,b,c ∈ 0;2

⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
;a + b + c = 3
.!Tìm!giá! trị! nhỏ!nhất!của!biểu!
thức!

P =
2
11−a
2
− b
2
− c
2
−
a
3
+ b
3
+ c
3
ab + bc + ca + 7
.!
)
)
)

)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
Lời!giải:!
Không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử!

a = max a,b,c
{ }
⇒ a ∈ 1;2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.!
Khi!đó!!!
!

a
3
+ b
3
+ c
3
≤ a
3
+ (b + c)
3
= a
3
+ (3− a)
3
= 9(a − 2)(a −1)+ 9 ≤ 9
;!
và!

11−a
2
− b
2
− c
2
= 11− (a + b + c )
2
+ 2(ab +bc + ca) = 2(ab + bc + ca +1)
.!