Đề thi thử và cách giải môn toán thầy đặng thành nam (3)

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
1!
H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6)
DW&()L"I&X)/Y)Z[)*7\]*)
V1US)#4%)().+\*^\.*^])
L4_%)1%E&)$U6)`U%()^a*)@4b#c)24W&1)2d)#4_%)1%E&)1%E")>K)
e%f&)4g)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.))
Bh=)^)i.c*)>%d6jF)Cho!hàm!số!

y = x
4
− 2x
2
+1 (1)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Tìm!m!để!phương!trình!

x
4
− 2x
2
= m
có!bốn!
nghiệm!phân!biệt.!!
2. Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt.!
Bh=).)i^c*)>%d6jF)
a) Giải!phương!trình!

log

2
(x
2
+ 6x +1)− log
2
x
2
+1 =
3
2
+ log
2
(x +1)
.!
b) Giải!phương!trình!

sin 2x −
π
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟

⎟
cos2x = 2 2 cos x +
π
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!!
Bh=)7)i^c*)>%d6jF!Tính!tích!phân!

I = x
2
−7x + 6 dx
0
4
∫
.!
Bh=)k)i^c*)>%d6jF)
a) Tìm!số!phức!z!thoả!mãn!

z −1− i.z = 1

!và!

z
2
− 3
là!số!thuần!ảo.!!!
b) Cho!số!tự!nhiên!n!lớn!hơn!2!và!khai!triển!

x
n
−
nx
2
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
n
= a
0

+ a
1
x + + a
n
2
x
n
2
.!Tìm!số!hạng!
chứa!

x
20
trong!khai!triển,!biết!

4a
n
2
−2n+2
+ a
n
2
−3n+6
= 0
.!
Bh=)])i^c*)>%d6jF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật!ABCD,!

AB = 2a,AD = a
.!Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AB,!mặt!phẳng!(SAC)!và!(SDM)!cùng!vuông!góc!
với!mặt!đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SC!tạo!với!mặt!đáy!góc!

60
0
.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!
và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!CM,SA.!!
Bh=)-)i^c*)>%d6jF!Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(3;3;1),!B(0;2;1)!và!
mặt!phẳng!

(P ) : x + y + z −7 = 0
.!Viết!phương!trình!đường!thẳng!d!nằm!trong!(P)!và!cách!đều!
hai!điểm!A,B.!Tìm!toạ!độ!điểm!M!trên!d!để!tam!giác!MAB!có!diện!tích!nhỏ!nhất.!!
Bh=),)i^c*)>%d6jF!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!hình!vuông!ABCD.!Gọi!F!là!điểm!trên!
cạnh!AB!thoả!mãn!

7BF = 5FA
,!đường!thẳng!đi!qua!trung!điểm!E!của!cạnh!AD!và!trọng!tâm!
G!của!tam!giác!ABC!có!phương!trình!là!

11x −7 y + 6 = 0
.!Biết!

F −
13
6
;
3
2
⎛
⎝
⎜

⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
!và!đỉnh!B!có!tung!độ!
âm.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!hình!vuông!ABCD.!
Bh=)a)i^c*)>%d6jF!Giải!hệ!phương!trình!

(x − y + 2xy )( y − x )x
2
= 1
2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4) + y − x = 2x + x
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
.!
Bh=)+)i^c*)>%d6j.!Cho!a,b,c!là!các!số!thực!dương.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức!

P =

(a + b)
3
(2(a + b)(a
2
+ b
2
)
3
+
(b + c )
3
2(b + c )(b
2
+ c
2
)
3
+
(c + a)
3
2(c + a)(c
2
+ a
2
)
3
−16.
ab + bc + ca
ab + bc + ca +1
.!

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
2!
lll!mLlll)
PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
L4E&1)>%d6)#<n&1)o&1)94")#p&1)3)&4q()
Bh=)^()H4J"):I#)^c*)>%d6X)Lr6)6)*c])>%d6X)^F.()*c])>%d6)
Bh=).().F^)GU).F.)6s%)3)*c])>%d6)
Bh=)k()E)GU)`)6s%)3)*c])>%d6)
Bh=)^)i.c*)>%d6jF)Cho!hàm!số!

y = x
4
− 2x
2
+1 (1)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!Tìm!m!để!phương!trình!

x
4
− 2x
2
= m
có!bốn!
nghiệm!phân!biệt.!!
2. Viết!phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt.!
1. Bước!khảo!sát!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!học!sinh!tự!làm.!
+)!Phương!trình!tương!đương!với:

m +1 = x
4
− 2x
2
+1
.!
Vậy!số!nghiệm!của!phương!trình!là!số!giao!điểm!của!đường!
thẳng!

y = m +1
với!đồ!thị!hàm!số!(1).!
Dựa!vào!đồ!thị!hàm!số!suy!ra!để!phương!trình!có!3!nghiệm!phân!
biệt!khi!và!chỉ!khi!

0 < m +1 <1 ⇔ −1< m < 0
.!!!!
!
!
2. Giả!sử!tiếp!điểm!

M (m;m
4
− 2m
2
+1)
.!
Phương!trình!tiếp!tuyến!d!của!(1)!tại!M!là!

y = 4(m

3
− m)(x − m) + m
4
− 2m
2
+1
.!
Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm!của!d!và!(1):!
!

x
4
− 2x
2
+1 = 4(m
3
− m)(x −m) + m
4
− 2m
2
+1
⇔ (x −m)
2
(x
2
+ 2mx + 3m
2
− 2) = 0
⇔
x = m

x
2
+ 2mx + 3m
2
− 2 = 0 (2)
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
Để!d!tiếp!xúc!với!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!khi!(2)!có!nghiệm!khép!khác!m.!

⇔
Δ' = m
2
−(3m
2
− 2) = 0
−m ≠ m
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
m = −1
m =1
⎡

⎣
⎢
⎢
.!
Từ!đó!suy!ra!có!một!tiếp!tuyến!duy!nhất!thoả!mãn!bài!toán!là!

d : y = 0
.!!!!
Bh=).)i^c*)>%d6jF)
a) Giải!phương!trình!

log
2
(x
2
+ 6x +1)− log
2
x
2
+1 =
3
2
+ log
2
(x +1)
.!
b) Giải!phương!trình!

sin 2x −
π

3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
cos2x = 2 2 cos x +
π
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!!
1. Điều!kiện:!

x +1 > 0
x
2
+ 6x +1 > 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔ x > 2 2 − 3
.!
Phương!trình!tương!đương!với:!!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
3!

log
2
x
2
+ 6x +1
x
2
+1
= log
2

2 2(x +1)
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⇔
x
2
+ 6x +1
x
2
+1
= 2 2(x +1) ⇔ 2 2(x
2
+1)(x +1) = x
2
+ 6x +1
⇔ 2 2(x
2
+1)(x +1) = 3(x +1)
2
−2(x
2
+1)
⇔ 3.
x +1
x
2

+1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
−2 2.
x +1
x
2
+1
−2 = 0
.!
Đặt!

t =
x +1
x
2
+1
> 0

phương!trình!trở!thành:!
!

3t
2
− 2 2t −2 = 0 ⇔
t = 2(t / m)
t = −
2
3
(l )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Vậy!

x +1
x
2
+1
= 2 ⇔ (x +1)
2
= 2(x
2
+1) ⇔ (x −1)

2
= 0 ⇔ x = 1
.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất!

x = 1
.!
B4b)3F!Phát!hiện!tính!đẳng!cấp!của!phương!trình!vô!tỷ.!!!!!
2. !Phương!trình!tương!đương!với:!

sin 2x −
π
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
(cos
2
x −sin
2
x ) = 2(cosx −sin x )

⇔ (cosx −sin x ) 2−(cosx + sin x )sin 2x −
π
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
= 0
⇔ (cosx −sin x ) 2 −sin x +

π
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.sin 2x −
π
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎛

⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
= 0
⇔ cos x −sin x = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x =
π
4
+ kπ,k ∈ !
.!
Bởi!vì!

2 −sin x +
π
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞

⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.sin 2x −
π
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
≥ 2 − sin x +
π
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞

⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.sin 2x −
π
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
≥ 2 −1 > 0
.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!!

x =
π
4
+ kπ,k ∈ !
.!!
Bh=)7)i^c*)>%d6jF!Tính!tích!phân!

I = x
2
−7x + 6 dx
0
4
∫
.!
Ta!có:!!
!

I = (x
2
−7x + 6)dx
0
1
∫
− (x
2
−7x + 6)dx
1
4
∫
=
x
3
3
−
7x
2

2
+ 6x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
1
0
−
x
3
3
−
7x
2
2
+ 6x
⎛
⎝
⎜
⎜

⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
4
1
=
17
6
+
27
2
=
49
3
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
4!
Vậy!

I =
49
3

.!!
Bh=)k)i^c*)>%d6jF)
a) Tìm!số!phức!z!thoả!mãn!

z −1− i.z = 1
!và!

z
2
− 3
là!số!thuần!ảo.!!!
b) Cho!số!tự!nhiên!n!lớn!hơn!2!và!khai!triển!

x
n
−
nx
2
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟

⎟
⎟
n
= a
0
+ a
1
x + + a
n
2
x
n
2
.!Tìm!số!hạng!
chứa!

x
20
trong!khai!triển,!biết!

4a
n
2
−2n+2
+ a
n
2
−3n+6
= 0
.!

a) Giả!sử!

z = x + y.i(x, y ∈ !)
!theo!giải!thiết!ta!có:!

x + yi −1−(x − yi).i = 1 ⇔ (x − y −1) + ( y − x )i = 1
⇔ (x − y −1)
2
+ ( y − x)
2
= 1 ⇔ 2(x − y)
2
− 2(x − y) = 0 ⇔
x = y
x − y =1
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
+)!Ta!có!

z
2
− 3 = (x + yi)
2
− 3 = x
2
− y
2

− 3+ 2xy.i
.!
Vì!

z
2
− 3
là!số!thuần!ảo!nên!

x
2
− y
2
− 3 = 0;2xy ≠ 0
.!
Vì!vậy!ta!có!hệ!

x
2
− y
2
−3 = 0
x = y
x − y−1 = 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎧
⎨

⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
x = 2
y = 1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ z = 2 + i
.!
Vậy!số!phức!cần!tìm!là!

z = 2 + i
.!!!!!!!!
b)!Cho!khai!triển!

x
n
−

nx
2
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
n
= a
0
+ a
1
x + + a
n
2
x
n
2
(n > 2)
.!Tìm!số!hạng!chứa!

x
20
trong!khai!
triển,!biết!

4a
n
2
−2n+2
+ a
n
2
−3n+6
= 0
.!
Ta!có!

x
n
−
nx
2
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞

⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
n
= (−1)
k
.
n
k
2
k
C
n
k
x
n(n−k )+2k
k=0
n
∑
.!
Suy!ra!

a
n
2
−2n+2
=

n
2
4
C
n
2
=
n
3
(n −1)
8
;a
n
2
−3n+6
= −
n
3
8
C
n
3
= −
n
4
(n −1)(n − 2)
48
.!
Vì!vậy!theo!giả!thiết!ta!có:!
!

4.
n
3
(n −1)
8
−
n
4
(n −1)(n − 2)
48
= 0 ⇔ n(n − 2) − 24 = 0 ⇔
n = 6(t / m)
n = −4(l )
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
Vậy!số!hạng!cần!tìm!là!

(−1)
4
.
6
4
2
4
C
6

4
x
20
= 19200x
20
.!
Bh=)])i^c*)>%d6jF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!chữ!nhật!ABCD,!

AB = 2a,AD = a
.!Gọi!M!là!trung!điểm!cạnh!AB,!mặt!phẳng!(SAC)!và!(SDM)!cùng!góc!với!mặt!
đáy!(ABCD).!Cạnh!bên!SC!tạo!với!mặt!đáy!góc!

60
0
.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!và!
khoảng!cách!giữa!hai!đường!thẳng!CM,SA.!!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
"!
!
#$%!&!'(!)%*+!,% !/0*!12!3(!456!789!:*!&!'(!;:$<)!;=.!
;*.!)%>/!1?4!3(!

SH ⊥ (ABCD)
@!
A*!/B!

CH =
2

3
AC =
2
3
4a
2
+ a
2
=
2a 5
3
@!

SH = CH .tan60
0
=
2a 5
3
. 3 =
2a 15
3
@!
CD!3E9!

V
S .ABCD
=
1
3
SH .AB.AD =

1
3
.
2a 15
3
.2a.a =
4a
3
15
9
@!!!!!
#$%!F!'(!;:8<)!,% !246!/B!152F!'(!GD<G!HD<G!G(<G@!
CD!3E9!25II1F!789!:*!25IIJK1FL@!
CD!3E9!

d (CM ;SA) = d (CM ;(SAN )) = d(C;(SAN )) = 3d (H ;(SAN ))
@!
MN!&M!38O<)!)B/!3P%!1F!;Q%!M6!RN!&A!38O<)!)B/!3P%!KM!;Q%!A!789!:*!

HT ⊥ (SAN )
@!
A*.!)%>/!21F!/B!

AN = AD
2
+ DN
2
= a 2
@!
CD!3E9!

!!
HK =
1
3
d C; AN
( )
=
2S
ACN
3AN
=
S
ABCD
6AN
=
2a
2
6.a 2
=
a 2
6
@!!!!!
A*.!)%>/!38O<)!K&M!/B!
!

1
HT
2
=
1

SH
2
+
1
HK
2
=
3
20a
2
+
18
a
2
⇒ HT =
2a 15
33
@!
CD!3E9!

d (CM ;SA) = 3HT =
2a 15
11
@!!!
BH=)-)IJK*)>%L6MF!A:+<)!RGO<)!)%*<!3P%!;:S/!;+Q!,T!UV9W!/G+!G*%!,% !1JXYXYZL6!?J[Y\YZL!3(!
.];!^G_<)!

(P ) : x + y + z −7 = 0
@!C%`;!^Gab<)!;:D<G!,ac<)!;G_<)!d!<e.!;:+<)!JfL!3(!/>/G!,g8!
G*%!,% !16?@!AD.!;+Q!,T!,% !5!;:h<!d!,-!;*.!)%>/!51?!/B!d%i<!;j/G!<Gk!<Gl;@!!

#%m!7n!

C (a;b;7−a −b) ∈ (P )
'(!.T;!,% !;G8T/!d@!
CD!

CA = CB ⇔ (a −3)
2
+ (b − 3)
2
+ (6− a −b)
2
= a
2
+ (b − 2)
2
+ (6− a −b)
2
@!
!

⇔ b = 7− 3a ⇒ C (a;7− 3a;2a)
@!
CD!3E9!,ac<)!;G_<)!d!/B!^Gab<)!;:D<G!

d :
x = t
y = 7−3t
z = 2t
⎧

⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
,t ∈ !
@!
#$%!

M (t;7− 3t;2t )
'(!,% !/o<!;D.@!
A*!/B!

AM
! "!!!
= (t −3;4− 3t;2t −1),BM
! "!!
= (t;5−3t;2t −1)
@!
K89!:*!

AM
! "!!!
,BM
! "!!

⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= (1− 2t;6t −3;10t −15)
@!
MG%!,B!

S
ABC
=
1
2
AM
! "!!!
,BM
! "!!
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
5(28t
2
−68t + 47)
2

=
140 t −
17
14
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+
200
7
2
≥
5 14
7
@!
4l8!He<)!Vm9!:*!RG%!3(!/Gp!RG%

t =
17
14

⇒ M
17
14
;
47
14
;
17
7
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
@!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
q!
CE9!,% !/o<!;D.!'(!

M
17

14
;
47
14
;
17
7
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
@!!
BH=),)IJK*)>%L6MF!A:+<)!.];!^G_<)!;+Q!,T!UV9!/G+!GD<G!38O<)!1?24@!#$%!r!'(!,% !;:h<!
/Q<G!1?!;G+m!.s<!

7BF = 5FA
6!,ac<)!;G_<)!,%!t8*!;:8<)!,% !u!/0*!/Q<G!14!3(!;:$<)!;=.!
#!/0*!;*.!)%>/!1?2!/B!^Gab<)!;:D<G!'(!

11x −7 y + 6 = 0
@!?%`;!

F −
13
6
;
3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
!3(!,p<G!?!/B!;8<)!,T!
=.@!AD.!;+Q!,T!/>/!,p<G!GD<G!38O<)!1?24@!
!
#$%!*!'(!,T!d(%!/Q<G!GD<G!38O<)!1?24@!
A*!/B!!

GE
! "!!
= BE
! "!!
− BG
! "!!

=
1
2
(BA
! "!
+ BD
! "!!
)−
1
3
BD
! "!!
=
3BA
! "!
+ BD
! "!!
6
;
GF
! "!!
= BF
! "!!
− BG
! "!!
=
5
12
BA
! "!

−
1
3
BD
! "!!
=
5BA
! "!
− 4BD
! "!!
12
@!
K89!:*!

72GE
! "!!
.GF
! "!!
= (3BA
! "!
+ BD
! "!!
)(5BA
! "!
− 4BD
! "!!
)
= 15BA
2
−7BA.BD − 4BD

2
= 15a
2
−7a
2
− 8a
2
= 0
@!!!
CD!3E9!#r!38O<)!)B/!3P%!#u@!
A+Q!,T!,% !#!'(!GD<G!/G%`8!/0*!r!;:h<!#u!;G+m!.s<!Gi!

11x −7y + 6 = 0
7 x +
13
6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
+11 y −
3

2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
x = −
1
3
y =

1
3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇒G −
1
3
;
1
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟

⎟
⎟
⎟
@!
A*.!)%>/!?r#!/B!
!

GF
2
= BF
2
+ BG
2
− 2BF .BG cos45
0
⇔
11
2
+ 7
2
36
=
25
144
a
2
+
2a
2
9

− 2.
5a
12
.
a
3
⇔ a = 2 10
@!
#$%!?J*YHL!;*!/B!
!

FB
2
=
25
144
a
2
=
125
18
BG
2
=
2a
2
9
=
80
9

⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
a +
13
6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2

+ b −
3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
=
125
18
a +
1
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠

⎟
⎟
⎟
⎟
2
+ b −
1
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
=
80
9
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
a = −3,b = −1
a = −
13
51
,b =
169
51
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
@!
vw%!/G%`8!3P%!,%g8!R%i<!789!:*!

B(−3;−1),BF
! "!!
=
5

12
BA
! "!
⇒ A(−1;5)
@!
#$%!x!'(!;=.!GD<G!38O<)!/B!

BI
! "!
=
3
2
BG
! "!!
⇒ I (1;1)
@!4+!x!'(!;:8<)!,% !12!<h<!

C (3;−3)
@!
C(!

AD
! "!!
= BC
! "!!
⇒ D(5;3)
@!!!!!!
CE9!;+Q!,T!Hw<!,% !/o<!;D.!'(!1JyZY"L6!?JyXYyZL6!2JXYyXL!3(!4J"YXL@!!
B4N)3F!2B!;G-!/Gz<)!.%<G!#u!38O<)!)B/!#r!He<)!^^!;:S/!;:+<)!;:S/!G+]/!7n!dS<)!,{<G!|}!
f%;*)+!JV~.!;Gh.!3%d~+!'c%!)%m%L@!

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
•!
BH=)O)IJK*)>%L6MF!#%m%!Gi!^Gab<)!;:D<G!

(x − y + 2xy )( y − x )x
2
= 1
2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4) + y − x = 2x + x
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
@!
v%g8!R%i<€!

y ≥ x ≥ 0;2xy + ( y −2x)(x + 2xy − 4) ≥ 0
@!!!
FGE<!;Gl9!

x = 0
RGO<)!;G+m!.s<!Gi!^Gab<)!;:D<G@!
•‚;!3P%!

x > 0
3%`;!'Q%!^Gab<)!;:D<G!daP%!dQ<)€!

2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4) −2x + y − x − x
⇔
2xy −4x
2
+ ( y −2x)(x + 2xy − 4)
2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4) + 2x
+
y −2x
y − x + x
= 0
⇔ (y −2x)
3x + 2xy −4
2xy + ( y − 2x)(x + 2xy − 4) + 2x
+
1
y − x + x
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥

⎥
= 0 ⇔ y = 2x
@!
?ƒ%!3D!;„!^Gab<)!;:D<G!;Gz!<Gl;!/0*!Gi!;*!/B€!

x − y + 2xy =
1
( y − x )x
2
⇔ 3x + 2xy =
1
( y − x )x
2
+ ( y − x) + x + x
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+ x
@!
Kn!dS<)!Hl;!,_<)!;Gz/!15!…#5!;*!/B€!
!

1
( y − x )x
2

+ ( y − x) + x + x ≥ 2
1
( y − x )x
2
.( y − x) + 2 x
≥ 4
1
( y − x )x
2
.y.x
2
4
= 4
@!
K89!:*!

3x + 2xy −4 ≥ x ≥ 0
@!CD!3E9!

3x + 2xy − 4
2xy + ( y − 2x )(x + 2xy − 4) + 2x
+
1
y − x + x
> 0
@!!!!
!CP%!

y = 2x
!;G*9!3(+!^Gab<)!;:D<G!;Gz!<Gl;!/0*!Gi!;*!,a†/€!

!

x
4
= 1 ⇔
x = 1, y = 2(t / m)
x = −1, y = −2(l/)
⎡
⎣
⎢
⎢
@!
CE9!Gi!^Gab<)!;:D<G!/B!<)G%i.!d89!<Gl;!

(x; y) = (1;2)
@!!!
BH=)+)IJK*)>%L6M@!2G+!*6H6/!'(!/>/!7w!;G‡/!dab<)@!AD.!)%>!;:{!<Gk!<Gl;!/0*!H%-8!;Gz/!

P =
(a + b)
3
(2(a + b)(a
2
+ b
2
)
3
+
(b + c )
3

2(b + c )(b
2
+ c
2
)
3
+
(c + a)
3
2(c + a)(c
2
+ a
2
)
3
−16.
ab + bc + ca
ab + bc + ca +1
@!
A*!/Gz<)!.%<G€!

(a + b)
3
(2(a + b)(a
2
+ b
2
)
3
≥ 4ab

@!AGE;!3E9!Hl;!,_<)!;Gz/!;ab<)!,ab<)!3P%€!
!

(a + b)
9
≥128(a + b)(a
2
+ b
2
)a
3
b
3
⇔ (a + b)
8
≥128a
3
b
3
(a
2
+ b
2
)
@!
Kn!dS<)!Hl;!,_<)!;Gz/!15!…#5!;*!/B€!

(a + b)
4
= (a

2
+ b
2
+ 2ab)
2
≥ 8ab(a
2
+ b
2
)
@!
K89!:*!

(a + b)
8
≥ 64a
2
b
2
(a
2
+ b
2
)
2
≥ 64a
2
b
2
(a

2
+ b
2
).2ab =128a
3
b
3
(a
2
+ b
2
)
@!
?l;!,_<)!;Gz/!,ˆ<)6!,_<)!;Gz/!Vm9!:*!RG%!3(!/Gp!RG%!

a = b
@!
Aab<)!;‡!;*!/B€!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
‰!
!

(b + c )
3
2(b + c )(b
2
+ c
2

)
3
≥ 4bc;
(c + a)
3
2(c + a)(c
2
+ a
2
)
3
≥ 4ca
@!
A„!,B!789!:*€!

P ≥ 4(ab + bc + ca)−16
ab + bc + ca
ab + bc + ca +1
@!!!
v];!

t = ab + bc + ca > 0;P ≥ f (t ) = 4t −
16t
t +1
@!
A*!/B!

f '(t) = 4−
16
(t +1)

2
; f '(t) = 0 ⇔ t = 1(t > 0)
@!
A*!/B!Š‹J;L!,Œ%!do8!;„!=.!7*<)!dab<)!RG%!,%!t8*!;•Z!<h<!,Q;!/‡/!;%-8!;Q%!;•Z@!
A„!,B!789!:*!

P ≥ f (t ) ≥ f (1) = −4
@!!!!
v_<)!;Gz/!Vm9!:*!RG%!3(!/Gp!RG%!

a = b = c
ab + bc + ca =1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔ a = b = c =
1
3
@!
CE9!)%>!;:{!<Gk!<Gl;!/0*!f!He<)!yŽ@!
B4N)3F!4+!7+!3P%!H*!^G=<!;Gz/!,o8!/B!^G=<!;Gz/!/8w%!'(!RG>/!<Gl;!3D!3E9!}!;aƒ<)!'(!,><G!)%>!
;GO<)!t8>!J*H•H/•/*L@!!!
!
!
!!
!

!!
!!