Đề thi thử và cách giải môn toán thầy đặng thành nam (4)

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
1!
H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6)
DW&()L"I&X)/Y)Z[)*\]^*)
V1US)#4%)()*_]*.].*_^)
L4`%)1%E&)$U6)aU%()_b*)@4c#d)24W&1)2e)#4`%)1%E&)1%E")>K)
f%g&)4h)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.))
)
Bi=)_)j.d*)>%e6kF)Cho!hàm!số!

y =
(m −1)x − m
2
x − m
(1) ,(m ≠ 1;m ≠ 0)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với!

m = 2
.!
2. Tìm!m!để!đường!thẳng!

y = 2x −1
cắt!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!A,B!sao!cho!tam!giác!OAB!
có!diện!tích!bằng!

3
!!(với!O!là!gốc!toạ!độ).!
Bi=).)j_d*)>%e6kF)

1. Giải!bất!phương!trình!

log
2
x − log
x
64 <1
.!!
2. Giải!phương!trình!

cos4x + 2cosx −3 = 2sin 2x(cosx −sin x − 1)
.!
Bi=)7)j_d*)>%e6kF!Tính!tích!phân!

I =
x
2
− x +1
x
.ln x dx
1
2
∫
.!
Bi=)\)j_d*)>%e6kF)
1. Tìm!nghiệm!phức!của!phương!trình!

z
2
− i.z = 1

.!
2. Một!hộp!đựng!10!chiếc!thẻ!được!đánh!số!từ!0!đến!9.!Lấy!ngẫu!nhiên!ra!3!chiếc!thẻ,!tính!
xác!để!3!chữ!số!trên!3!thẻ!được!lấy!ra!có!thể!ghép!thành!một!số!chia!hết!cho!5.!!!!
Bi=)^)j_d*)>%e6kF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!2a.!Gọi!M,N!lần!
lượt!là!trung!điểm!cạnh!AB,AD,!H!là!giao!điểm!của!CN!và!DM.!Biết!

SH = 3a
và!vuông!góc!
với!mặt!đáy!(ABCD).!Tính!theo!a!thể!tích!khối!chóp!S.CMAD!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!
thẳng!MD!và!SC.!!!
Bi=)-)j_d*)>%e6kF)Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(0;2;1),!B(2;2;0)!và!
mặt!cầu!

(S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2y + 2z − 2 = 0
.!Viết!phương!trình!mặt!phẳng!(P)!đi!qua!A,B!và!tiếp!
xúc!với!(S).!)
Bi=),)j_d*)>%e6kF)Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!phương!trình!
đường!phân!giác!trong!góc!kẻ!từ!A!và!đường!cao!kẻ!từ!B!lần!lượt!là!

3x + y = 0;x − y − 2 = 0
.!
Giả!sử!điểm!

E (6;4)

là!điểm!đối!xứng!của!B!qua!C.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!tam!giác!ABC.!
Bi=)b)j_d*)>%e6kF)Giải!bất!phương!trình!

(3+ 7x −6
3
)(4 + 7−3x ) ≤−x
2
+ 4x + 21
.!!
Bi=)+)j_d*)>%e6kF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn!

x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
= 3
.!Tìm!giá!trị!
nhỏ!nhất!của!biểu!thức!

P = 64
x + y
x + y + z +1

⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
3
+
96z
2
(xyz + 3)
2
+
27
x + y + z
.!!!
)
lll!mLlll)
)

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
2!

PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
)
Bi=)_)j.d*)>%e6kF)Cho!hàm!số!

y =
(m −1)x − m
2
x − m
(1) ,(m ≠ 1;m ≠ 0)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với!

m = 2
.!
2. Tìm!m!để!đường!thẳng!

y = 2x −1
cắt!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!A,B!sao!cho!tam!giác!OAB!
có!diện!tích!bằng!

3
!!(với!O!là!gốc!toạ!độ).!
1. Học!sinh!tự!làm.!
2. Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm:!

y =
(m −1)x − m
2
x − m
= 2x −1 ⇔ 2x

2
− 3mx + m + m
2
= 0 (2)
.!
Để!đường!thẳng!d!cắt!(1)!tại!hai!điểm!phân!biệt!khi!(2)!có!hai!nghiệm!phân!biệt!

x
1
,x
2
≠ m
.!

⇔
Δ = 9m
2
−8(m + m
2
) > 0
2m
2
−3m
2
+ m + m
2
≠ 0
⎧
⎨
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
m > 8
m < 0
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
Khi!đó!toạ!độ!hai!giao!điểm!là:

A(x
1
;2x
1
−1),B(x
2
;2x
2
−1)
;!và!!
!

AB
2
= 5(x
2

− x
1
)
2
= 5 (x
1
+ x
2
)
2
− 4x
1
x
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
!.!
Theo!Vi‚ét!ta!có:!

x
1
+ x
2
=
3m
2

;x
1
x
2
=
m + m
2
2
⇒ AB
2
= 5
9m
2
4
− 2(m + m
2
)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
5(m
2
−8m)
4

.!
Và!

d (O;AB ) =
2.0−0−1
2
2
+1
2
=
1
5
⇒ S
OAB
2
=
AB
2
.d
2
(O; AB )
4
=
m
2
−8m
16
= 3 ⇔
m = −4
m =12

⎡
⎣
⎢
⎢
(t/m).!
Vậy!giá!trị!cần!tìm!của!m!là!

m = −4;m = 12
.!!
Bi=).)j_d*)>%e6kF)
1. Giải!bất!phương!trình!

log
2
x − log
x
64 <1
.!!
2. Giải!phương!trình!

cos4x + 2cosx −3 = 2sin 2x(cosx −sin x − 1)
.!
1. Điều!kiện:!

0 < x ≠ 1
.!
Bất!phương!trình!tương!đương!với:

log
2

x −6log
x
2 <1
.!!
Đặt!

t = log
2
x
bất!phương!trình!trở!thành:!

t −
6
t
<1⇔
t
2
−t −6
t
< 0 ⇔
(t + 2)(t − 3)
t
< 0 ⇔
0 < t < 3
t < −2
⎡
⎣
⎢
⎢
⇔

0 < log
2
x < 3
log
2
x < −2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⇔
1< x < 8
x <
1
4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Kết!hợp!với!điều!kiện!suy!ra!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là!

S = 0;
1
4
⎛
⎝

⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
∪ (1;8)
.!!!!!
2. Phương!trình!tương!đương!với:!
!

sin
2
2x + sin2x (cos x −sin x −1)+1− cos x = 0 (1)
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
3!
Coi!đây!là!phương!trình!bâc!hai!của!sin2x!ta!có!
!

Δ
sin2x
= (cos x −sin x −1)
2

− 4(1−cos x ) = −(sin x + cos x −1)
2
≤ 0
.!
Vì!vậy!

(1) ⇔
sin x + cosx −1= 0
sin2x = −
cos x −sin x −1
2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⇔
sin x + cosx −1= 0
sin2x = sin x
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⇔
sin x = 0
cos x = 1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔ x = k2π
.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!

x = k2π,k ∈ !
.!!!!
BI94).(!Ta!có!thể!đánh!giá!phương!trình!như!sau:!

cos4x + 2cosx −3 = 2sin2x (cos x −sin x −1)
−2sin
2
2x + 2cos x − 2 = 2sin2x cosx − 2sin 2x(sin x +1)
⇔ sin
2
2x + 2sin 2x cos x + sin
2
2x − 2sin 2x(sin x +1) = 2cos x − 2
⇔ (sin 2x + cos x )
2
+ (sin2x −sin x −1)

2
= 2cosx − 2+ cos
2
x + (sin x +1)
2
⇔ (sin 2x + cos x )
2
+ (sin x +1− sin 2x )
2
= 2(sin x + cos x )
.!
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!Cauchy!–!Schwarz!ta!có:!
!

(sin 2x + cos x )
2
+ (sin x +1−sin 2x )
2
≥
1
2
sin2x + cosx + sin x +1−sin 2x
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
=

1
2
sin x + cosx +1
( )
2
≥ 2(sin x + cos x )
.!
Đẳng!thức!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi!!

sin x + cos x =1
sin 2x + cos x = sin x +1−sin 2x
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
sin x + cos x =1
sin 2x = sin x
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔ cos x = 1
.!

Bi=)7)j_d*)>%e6kF!Tính!tích!phân!

I =
x
2
− x +1
x
.ln x dx
1
2
∫
.!
Ta!có:!!!!!

I =
x
2
− x +1
x
.ln x dx
1
2
∫
= (x −1)ln x dx
1
2
∫
+
ln x
x

dx
1
2
∫
.!
+)!

K =
ln x
x
dx
1
2
∫
= ln xd (ln x )
1
2
∫
=
ln
2
x
2
2
1
=
ln
2
2
2

.!
+)!

M = (x −1)ln x dx
1
2
∫
.!Đặt!

u = ln x
dv = (x −1)dx
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒
du =
dx
x
v =
x
2
2
− x
⎧
⎨
⎪

⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
.!
Suy!ra!

M =
x
2
2
−x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟

⎟
ln x
2
1
−
x
2
−1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
dx
1
2
∫
= −
x
2
4
−x
⎛

⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
1
=
1
4
.!
Vậy!

I = K + M =
1+ 2 ln
2
2
4
.!!!!!!
Bi=)\)j_d*)>%e6kF)
1. Tìm!nghiệm!phức!của!phương!trình!

z

2
− i.z = 1
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
4!
2. Một!hộp!đựng!10!chiếc!thẻ!được!đánh!số!từ!0!đến!9.!Lấy!ngẫu!nhiên!ra!3!chiếc!thẻ,!tính!
xác!để!3!chữ!số!trên!3!thẻ!được!lấy!ra!có!thể!ghép!thành!một!số!chia!hết!cho!5.!!!!
1. Giả!sử!

z = x + y.i(x, y ∈ !)
.!
Theo!giả!thiết!bài!toán!ta!có:!
!

(x + yi)
2
−i(x − yi) =1 ⇔ x
2
− y
2
− y + (2xy − x)i = 1
⇔
x
2
− y
2
− y =1
2xy − x = 0

⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x = −
7
2
, y =
1
2
x =
7
2
, y =
1
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Vậy!có!hai!số!phức!thoả!mãn!là!

z = −
7
2
+
1
2
i,z =
7
2
+
1
2
i
.!!!
2. Để!3!chữ!số!trên!ba!thẻ!lấy!ra!có!thể!ghép!thành!một!số!chia!hết!cho!5!thì!trong!ba!thẻ!phải!
lấy!được!thẻ!mang!chữ!số!0!hoặc!thẻ!mang!chữ!số!5.!
+)!Lấy!tuỳ!ý!3!thẻ!có!

C
10
3
cách.!
+)!Số!cách!lấy!ra!3!thẻ!không!gồm!thẻ!mang!chữ!số!0!và!5!là!

C
8
3
.!
+)!Số!cách!lấy!ra!3!thẻ!gồm!có!thẻ!mang!chữ!số!0!hoặc!mang!chữ!số!5!là!

C
10
3
−C
8
3
.!
Vậy!xác!suất!cần!tính!là!

P =
C
10
3
−C
8
3
C
10
3
=
8
15
.!
B4c)3F!Bài!toán!có!thể!hỏi!là!một!số!chia!hết!cho!3,!khi!đó!tổng!3!chữ!số!trên!ba!thẻ!chia!hết!
cho!3.!
Bi=)^)j_d*)>%e6kF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!2a.!Gọi!M,N!lần!
lượt!là!trung!điểm!cạnh!AB,AD,!H!là!giao!điểm!của!CN!và!DM.!Biết!

SH = 3a

và!vuông!góc!
với!mặt!đáy!(ABCD).!Tính!theo!a!thể!tích!khối!chóp!S.CMAD!và!khoảng!cách!giữa!hai!đường!
thẳng!MD!và!SC.!!!
!
Ta!có!

S
CMAD
= S
ABCD
−S
CBM
= 4a
2
−
1
2
.2a.a = 3a
2
.!
Vì!vậy!

V
S .CMDA
=
1
3
SA.S
CMDA
=

1
3
.3a.3a
2
= 3a
3
.!!!
Dựng!hình!bình!hành!DMEC!có!DM//EC!nên!
DM//(SCE).!
Vì!vậy!

d (DM ;SC ) = d (DM ;(SCE )) = d (H ;(SCE ))
.!!
Ta!có!

DM = AD
2
+ AM
2
= a 5
.!
Chú!ý!DM!vuông!góc!với!CN.!Suy!ra!HC!vuông!góc!với!CE.!Kẻ!HK!vuông!góc!với!SC!tại!K!
thì!

HK ⊥ (SCE )
.!
Tam!giác!vuông!NDC!có!

CH .CN = CD
2

⇒ CH =
4a
2
4a
2
+ a
2
=
4a
5
.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
5!
Tam!giác!vuông!SHC!có!

1
HK
2
=
1
SH
2
+
1
HC
2
=
1

9a
2
+
5
16a
2
⇒ HK =
12 61
61
a
.!
Vì!vậy!

d (DM ;SC ) = HK =
12 61
61
a
.!!!!
Bi=)-)j_d*)>%e6kF)Trong!không!gian!với!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(0;2;1),!B(2;2;0)!và!
mặt!cầu!

(S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
− 2y + 2z − 2 = 0
.!Viết!phương!trình!mặt!phẳng!(P)!đi!qua!A,B!và!tiếp!
xúc!với!(S).!)

Mặt!cầu!(S)!có!tâm!I(0;1;‚1),!bán!kính!bằng!2.!
Mặt!phẳng!(P)!đi!qua!A,!B!có!dạng:!

ax + b(y − 2) + c(z −1) = 0,a
2
+ b
2
+ c
2
> 0
.!
Vì!B!thuộc!(P)!nên!

2a− c = 0 ⇔ c = 2a ⇒ (P) : ax + b( y − 2) + 2a(z −1) = 0
.!
Vì!(S)!tiếp!xúc!với!(P)!nên!!

d (I ;(P )) = 2 ⇔
−b − 4a
a
2
+ b
2
+ 4a
2
= 2
⇔ (b + 4a)
2
= 4(5a
2

+ b
2
) ⇔ 4a
2
−8ab + 3b
2
= 0 ⇔
b = 2a
2a = 3b
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
+)!Với!

b = 2a ⇒ (P ) : x + 2y + 2z − 6 = 0
.!
+)!Với!

2a = 3b ⇒ (P ) : 3x + 2y + 6z −10 = 0
.!!!!!!
Bi=),)j_d*)>%e6kF)Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!tam!giác!ABC!có!phương!trình!đường!
phân!giác!trong!góc!kẻ!từ!A!và!đường!cao!kẻ!từ!B!lần!lượt!là!

3x + y = 0;x − y − 2 = 0
.!Giả!sử!
điểm!

E (6;4)

là!điểm!đối!xứng!của!B!qua!C.!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!tam!giác!ABC.!
Giả!sử!đường!phân!giác!trong!AD;!đường!cao!BH.!
Ta!có:!

n
AD
! "!!
= (3;1),n
AC
! "!!
= u
BH
! "!!
= (1;1),n
AB
! "!!
= (a;b),a
2
+ b
2
> 0
.!!
Do!

BAD
!
= CAD
!
⇒
n

AB
" #""
.n
AD
" #""
n
AB
" #""
. n
AD
" #""
=
n
AC
" #""
.n
AD
" #""
n
AC
" #""
. n
AD
" #""
⇔
3a + b
a
2
+ b
2

= 2 2 ⇔
a = b
a = −7b
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
+)!Với!

a = b ⇒ n
AB
! "!!
= (1;1) //n
AC
! "!!
(loại).!
+)!Với!

a = −7b ⇒ n
AB
! "!!
= (7;−1)
.!
Gọi!B(t;t‚2)!thuộc!BH.!Suy!ra!

AB : 7x − y − 6t − 2 = 0
.!
!
Toạ!độ!điểm!A!là!nghiệm!hệ!!!

7x − y −6t − 2 = 0
3x + y = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x =
3t +1
5
y = −
3(3t +1)
5
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⇒ A
3t +1
5
;−
3(3t +1)
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!
Vì!C!là!trung!điểm!BE!nên!

C
t + 6
2
;
t + 2
2
⎛
⎝
⎜

⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⇒ AC
! "!!
=
28−t
10
;
23t +16
10
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.!

Vì!AC!vuông!góc!BH!nên:!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
6!

u
BH
! "!!
.AC
! "!!
= 0 ⇔
28−t
10
+
23t +16
10
= 0 ⇔ 22t + 44 = 0 ⇔ t = −2 ⇒
B(−2;−4)
C (2;0)
A(−1;3)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Vậy!toạ!độ!ba!đỉnh!tam!giác!ABC!là!

A(−1;3),B(−2;−4),C (2;0)
.!!!
Bi=)b)j_d*)>%e6kF)Giải!bất!phương!trình!

(3+ 7x −6
3
)(4 + 7−3x ) ≤−x
2
+ 4x + 21
.!!
Điều!kiện:!

x ≤
7
3
.!
Đặt!

t = 7−3x ≥ 0 ⇒ x =
7−t
2
3
bất!phương!trình!trở!thành:!

(4 + t ) 3+ 7.
7−t
2
3
−6

3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
≤−
7−t
2
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟

⎟
⎟
⎟
2
+ 4.
7−t
2
3
+ 21
⇔ (t + 4) 3+
31−7t
2
3
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
≤

(t
2
+14)(4−t )(t + 4)
9
⇔ 27+ 3 9(31−7t
2
)
3
≤ (t
2
+14)(4−t )
⇔ 3 9(31−7t
2
)
3
≤−t
3
+ 4t
2
−14t + 29
.!
Thực!hiện!nhân!liên!hợp!ta!được:!
!

3 9(31−7t
2
)
3
+ t
2

−7
( )
≤−(t
3
−7t
2
+14t −8)
⇔
3 9(31−7t
2
) + (t
2
−7)
3
( )
(t
2
−7)
2
−(t
2
−7) 9(31−7t
2
)
3
+ 81(31−7t
2
)
2
3

≤−(t
3
−7t
2
+14t −8)
⇔ (t −1)(t −2)(t −4)
3(t +1)(t + 2)(t + 4)
(t
2
−7)
2
−(t
2
−7) 9(31−7t
2
)
3
+ 81(31−7t
2
)
2
3
+1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦

⎥
⎥
⎥
≤ 0
⇔ (t −1)(t −2)(t −4) ≤ 0 ⇔
t ≤1
2 ≤t ≤ 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⇔
7−3x ≤1
2 ≤ 7−3x ≤ 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⇔
x ≥ 2
−3≤ x ≤1
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
Chú!ý!ta!có!

3(t +1)(t + 2)(t + 4)

(t
2
−7)
2
−(t
2
−7) 9(31−7t
2
)
3
+ 81(31−7t
2
)
2
3
+1> 0,∀t ≥ 0
.!!!
Kết!hợp!với!điều!kiện!suy!ra!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là!

S = −3;1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
∪ 2;
7
3
⎡

⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
.!!!
B4c)3F!Trong!trường!hợp!có!hai!căn!thức!có!bậc!khác!nhau!ta!ưu!tiên!phép!đặt!ẩn!phụ!một!ẩn!
(Xem!chi!tiết!Video!lời!giải!hoặc!Bài!giảng!chuyên!đề!Phương!trình!–!bất!phương!trình!vô!tỷ!
trên!www.mcalss.vn!).!
Câu!hỏi!đặt!ra!là!tại!sao!ghép!(t^2‚7)!với!căn!thức!bậc!3?!
Rất!đơn!giản:!Dùng!máy!tính!bỏ!túi!tìm!được!3!nghiệm!của!phương!trình!là!1,2,4!do!vậy!biểu!
thức!ngoài!căn!ta!cần!có!

(t −1)(t − 2)(t − 4) = t
3
−7t
2
+14t −8
.!Do!vậy!so!sánh!với!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
7!

−t
3
+ 4t
2

−14t + 29
!ta!có!

−t
3
+ 4t
2
−14t + 29 = −(t
3
−7t
2
+14t −8)−3t
2
+ 21
.!Vì!vậy!ta!ghép!

3 9(31−7t
2
)
3
−(−3t
2
+ 21) = 3 9(31−7t
2
)
3
+ t
2
−7
⎡

⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
.!!!!!
Bi=)+)j_d*)>%e6kF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn!

x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
= 3
.!Tìm!giá!trị!
nhỏ!nhất!của!biểu!thức!

P = 64
x + y
x + y + z +1
⎛
⎝
⎜

⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
3
+
96z
2
(xyz + 3)
2
+
27
x + y + z
.!!!
B4c)3F)Dự!đoán!dấu!bằng!đạt!tại!

x = y = z = 1
!và!đánh!giá!đưa!về!hàm!của!(x+y+z).!
!Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:!

64
x + y
x + y + z +1
⎛
⎝

⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
3
+ 8 + 8≥ 3 64
x + y
x + y + z +1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
3
.8
2
3

= 48.
x + y
x + y + z +1
;
96z
2
(xyz + 3)
2
+ 6 ≥ 2
96z
2
(xyz + 3)
2
.6 =
48
xyz + 3
!
Suy!ra!

P ≥ 48.
x + y
x + y + z +1
+
48
xyz + 3
+
27
x + y + z
− 22
.!!

nTa!chứng!minh!

x + y + z ≥ xyz + 2
.!
Thật!vậy!không!mất!tính!tổng!quát!giả!sử!

x ≥ y ≥ z ⇒1 ≤ xy ≤ 3
.!
Theo!giả!thiết!ta!có:!
!

z =
3− x
2
y
2
x
2
+ y
2
≤
3− x
2
y
2
2xy
.!
Ta!chỉ!cần!chứng!minh!!

2 xy −2−(xy −1)

3− x
2
y
2
2xy
≥ 0
⇔ (xy −1)
2
xy +1
−
3− x
2
y
2
2xy
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
≥ 0 ⇔ 8xy ≥ (3− x
2
y
2
)( xy +1)

2
.!
Bất!đẳng!thức!đúng!bởi!vì!

(3− x
2
y
2
)( xy +1)
2
≤ (3− x
2
y
2
)( xy + xy )
2
= 4xy(3− x
2
y
2
) ≤ 8xy
.!!!!
Suy!ra!

P ≥ 48.
x + y + z
x + y + z +1
+
27
x + y + z

− 22
.!
Đặt!

t = x + y + z
xét!hàm!số!

f (t ) =
48t
t +1
+
27
t
− 22
ta!có!
!

f '(t ) =
48
(t +1)
2
−
27
t
2
=
3(t −3)(7t + 3)
t
2
(t +1)

2
; f '(t) = 0 ⇔ t = 3(t > 0)
.!
Từ!đó!suy!ra!

P ≥ f (t) ≥ f (3) = 23
.!Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi!

x = y = z = 1
.!
Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!23.!
!
!!
!