Đề thi thử và cách giải môn toán thầy đặng thành nam (5)

Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
1!
H4"I)1%J%)>K)L!ML)N=O9)P%E)Q)L4RS()/T&1)L4U&4)VE6)
DW&()L"I&X)/Y)Z[)*\]\*)
V1US)#4%)()*^]*.].*_\)
L4`%)1%E&)$U6)aU%()_b*)@4c#d)24W&1)2e)#4`%)1%E&)1%E")>K)
f%g&)4h)>0&1)23)24"I)489)Q)!"#$%&'()*+,-) ).*.)
Bi=)_)j.d*)>%e6kF!Cho!hàm!số!

y = x
3
− mx
2
+ mx (1)
.!
1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với!

m =1
.!
2. Tìm!m!để!hàm!số!(1)!đạt!cực!đại,!cực!tiểu!tại!

x
1
,x
2
thoả!mãn!

(x
1

− x
2
)
2
= 8
.!!!!!!
Bi=).)j_d*)>%e6kF)Giải!các!phương!trình!!
a)

cos2x − sin x = 3(1+ 2sin x ) cos x
;!b)!

8log
9
(2x + 5) − log
3
(3x −6)
2
+ 4 = 0
.!!!!
Bi=)7)j_d*)>%e6kF!Tính!diện!tích!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!đường!cong!

y = −x
2
+ 4x −3
!và!
đường!thẳng!

y = 3x −9
.!!!

Bi=)^)j_d*)>%e6kF)
a) Cho!số!tự!nhiên!n!và!số!phức!z!thoả!mãn!

(2 + 3i )(z + 2z ) = 2+ 7z
.!Chứng!minh!

w = z
n
+ (z )
n
!là!số!thực.!!!!
b) Để!có!thể!dự!thi!vào!hệ!cử!nhân!sư!phạm!Toán!của!một!trường!đại!học!sư!phạm!trường!ra!
yêu!cầu!bắt!buộc!thí!sinh!làm!bài!thi!riêng!đối!với!môn!Toán!gồm!9!câu!hỏi!trong!đó!có!3!
câu!hỏi!dễ!(!gồm!1!câu!2,0!điểm!và!2!câu!1,0!điểm);!4!câu!hỏi!trung!bình!khá!(mỗi!câu!1,0!
điểm)!và!2!câu!hỏi!khó!(mỗi!câu!1,0!điểm).!Thí!sinh!đạt!yêu!cầu!nếu!được!ít!nhất!8,0!điểm!
trong!đó!bắt!buộc!phải!hoàn!thành!một!câu!hỏi!khó.!Hỏi!có!bao!nhiêu!cách!để!một!thí!sinh!
vượt!qua!bài!thi!riêng.!
Bi=)\)j_d*)>%e6kF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!thoi!cạnh!2a,!

BAD
!
= 60
0
,SA = a
.!Tam!giác!SAB!vuông!tại!S!và!nằm!trong!mặt!phẳng!vuông!góc!với!mặt!
đáy!(ABCD).!Gọi!M,N!lần!lượt!là!trung!điểm!cạnh!AB,BC.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.CDN!và!
côsin!góc!giữa!hai!đường!thẳng!SM!và!DN.!
Bi=)-)j_d*)>%e6kF)Trong!không!gian!với!hệ!tọa!độ!Oxyz!cho!mặt!phẳng!

(P ) : x + z −1 = 0

;!
đường!thẳng

d :
x −3
1
=
y − 4
1
=
z + 8
−4
.!Gọi!A!là!giao!điểm!của!d!và!(P),!C!nằm!trên!(P)!và!B!
nằm!trên!d!sao!cho!

AB = 3 2, ACB
!
= 90
0
,BAC
!
= 30
0
.!Tìm!toạ!độ!điểm!A,C!biết!B!có!hoành!độ!
dương.!
Bi=),)j_d*)>%e6kF!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!diện!tích!
bằng!16!và!đỉnh!A(•3;1).!Gọi!

M
1

2
;−
3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
!là!điểm!thuộc!đoạn!BD!thoả!mãn!

DM = 3BM
.!Đường!
thẳng!CD!đi!qua!điểm!N(1;1).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!B,D!biết!

x
D
> −2
.!!
Bi=)b)j_d*)>%e6kF!Giải!hệ!phương!trình!

(x − y)
2

= 2y
2
+ 8x +1
(x − 2y)(x − y)
2
= (y +1)
2
− 2x
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
.!
Bi=)+)j_d*)>%e6kF!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!thay!đổi!thoả!mãn!

(x − y)
2
+ ( y − z)
2
+ (z − x )
2
= 8
!
và!

x
3

+ y
3
+ z
3
= 1
.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức!

P = x
4
+ y
4
+ z
4
.!
lll!mLlll)
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
2!
)
PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Bi=)_)j.d*)>%e6kF!Cho!hàm!số!

y = x
3
− mx
2
+ mx (1)
.!

1. Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với!

m =1
.!
2. Tìm!m!để!hàm!số!đạt!cực!đại,!cực!tiểu!tại!

x
1
,x
2
thoả!mãn!

(x
1
− x
2
)
2
= 8
.!!!!!!
1. Học!sinh!tự!làm.!
2. Ta!có:!

y ' = 3x
2
− 2mx + m; y ' = 0 ⇔ 3x
2
− 2mx + m = 0 (2)
.!
Để!(1)!có!hai!cực!trị!khi!(2)!có!hai!nghiệm!phân!biệt!

x
1
,x
2
.!
Khi!đó!

Δ' = m
2
−3m > 0 ⇔
m > 3
m < 0
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
Theo!giải!thiết!bài!toán!ta!có:

(x
1
+ x
2
)
2
− 4x
1
x
2

= 8
.!!
Vi!–ét!ta!có:!

x
1
+ x
2
=
2m
3
,x
1
x
2
=
m
3
.!
Vì!vậy!

4m
2
9
−
4m
3
= 8 ⇔ 4m
2
−12m −72 = 0 ⇔

m = 6
m = −3
⎡
⎣
⎢
⎢
(t/m).!
Vậy!

m = −3;m = 6
là!giá!trị!cần!tìm.!!!!!!!
Bi=).)j_d*)>%e6kF))
a) Giải!phương!trình!

cos2x − sin x = 3(1+ 2sin x )cos x
.!
b) Giải!phương!trình!

8log
9
(2x + 5) − log
3
(3x −6)
2
+ 4 = 0
.!!!!
a) Phương!trình!tương!đương!với:!

cos2x −sin x = 3 cosx + 2sin x cos x
( )

⇔ cos2x − 3 sin 2x = sin x + 3 cosx
⇔ cos 2x +
π
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= cos x −
π
6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟

⎟
⇔
2x +
π
3
= x −
π
6
+ k2π
2x +
π
3
= −x +
π
6
+ k2π
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x = −
π
2
+ k2π
x = −

π
18
+ k
2π
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
,k ∈ !
.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!

x = −
π
2
+ k2π; x = −
π
18
+ k
2π
3
,k ∈ !
.!!
b) Điều!kiện:!

−
5
2
< x ≠ 2
.!
Phương!trình!tương!đương!với:!

4log
3
(2x + 5) − 4 log
3
3x −6 + 4 = 0
⇔ log
3
2x + 5
3x −6
= −1⇔
2x + 5
3x −6
=
1
3
⇔ x = −1
.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất!

x = −1
.!!!!!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))

B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
3!
Bi=)7)j_d*)>%e6kF!Tính!diện!tích!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!đường!cong!

y = −x
2
+ 4x −3
!và!
đường!thẳng!

y = 3x −9
.!!!
Phương!trình!giao!điểm:!

−x
2
+ 4x −3 = 3x −9 ⇔ x
2
− x −6 = 0 ⇔
x = −2
x = 3
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
Vì!vậy!

S = x
2

−x −6 dx
−2
3
∫
= (x
2
−x −6)dx
−2
3
∫
=
x
3
3
−
x
2
2
−6x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟

⎟
⎟
3
−2
=
125
6
.!!!
Bi=)^)j_d*)>%e6kF)
a) Cho!số!tự!nhiên!n!và!số!phức!z!thoả!mãn!

(2 + 3i )(z + 2z ) = 2+ 7z
.!Chứng!minh!rằng!

w = z
n
+ (z )
n
!là!số!thực.!!
b) Để!có!thể!dự!thi!vào!hệ!cử!nhân!sư!phạm!Toán!của!một!trường!đại!học!sư!phạm!trường!ra!
yêu!cầu!bắt!buộc!thí!sinh!làm!bài!thi!riêng!đối!với!môn!Toán!gồm!9!câu!hỏi!trong!đó!có!3!
câu!hỏi!dễ!(!gồm!1!câu!2,0!điểm!và!2!câu!1,0!điểm);!4!câu!hỏi!trung!bình!khá!(mỗi!câu!1,0!
điểm)!và!2!câu!hỏi!khó!(mỗi!câu!1,0!điểm).!Thí!sinh!đạt!yêu!cầu!nếu!được!ít!nhất!8,0!điểm!
trong!đó!bắt!buộc!phải!hoàn!thành!một!câu!hỏi!khó.!Hỏi!có!bao!nhiêu!cách!để!một!thí!sinh!
vượt!qua!bài!thi!riêng.!!!
a) Giả!sử!

z = x + y.i(x, y ∈ !)
theo!giả!thiết!ta!có:!
!

(2 + 3i)(x + yi + 2(x − yi)) = 2+ 7(x + yi)
⇔ (2+ 3i)(3x − yi) = 7x + 2+ 7yi
⇔ 6x + 3y + (9x − 2y)i = 7x + 2 + 7yi
⇔
6x + 3y = 7x + 2
9x − 2y = 7y
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x =1
y = 1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ z = 1+ i
.!!
Suy!ra!

z = 2 cos
π

4
+ i.sin
π
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
;z = 2 cos
−π
4
+ i.sin
−π
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠

⎟
⎟
⎟
⎟
.!!
Vì!vậy!!

w = 2 cos
π
4
+ i.sin
π
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢

⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
n
+ 2 cos
−π
4
+ i.sin
−π
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤

⎦
⎥
⎥
⎥
n
= 2
n
2
cos
nπ
4
+ i.sin
nπ
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
+ 2
n
2
cos

−nπ
4
+ i.sin
−nπ
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
= 2.2
n
2
cos
nπ
4
.!
Do!đó!w!là!số!thực!với!mọi!n!tự!nhiên!(đpcm).!
b) Thí!sinh!vượt!qua!bài!thi!riêng!nếu!đạt!8,0!điểm!hoặc!9,0!điểm!hoặc!10,0!điểm!trong!đó!
hoàn!thành!ít!nhất!một!câu!hỏi!khó.!
+)!Thí!sinh!đạt!10,0!điểm!có!duy!nhất!một!cách!thực!hiện.!
+)!Thí!sinh!đạt!9,0!điểm!có!các!khả!năng:!
• Hoàn!thành!2!câu!hỏi!khó,!bỏ!một!câu!hỏi!dễ!loại!1,0!điểm!có!1.1.2=2!cách.!

• Hoàn!thành!2!câu!hỏi!khó,!bỏ!1!câu!hỏi!trung!bình!khá!loại!1,0!điểm!có!1.1.4=4!cách.!
• Hoàn!thành!1!câu!hỏi!khó!và!7!câu!hỏi!mức!dễ!và!trung!bình!khá!có!2.1.1=2!cách.!
Vậy!có!2+4+2=8!cách.!
+)!Thí!sinh!đạt!8,0!điểm!có!các!khả!năng:!
• Hoàn!thành!2!câu!hỏi!khó,!bỏ!một!câu!hỏi!dễ!loại!2,0!điểm!có!1.1.1=1!cách.!
• Hoàn!thành!2!câu!hỏi!khó,!bỏ!2!câu!hỏi!dễ!loại!1,0!điểm!có!1.1.1!=1!cách.!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
4!
• Hoàn!thành!2!câu!hỏi!khó,!bỏ!2!câu!hỏi!trung!bình!khá!có!

1.1.C
4
2
= 6
cách.!!
• Hoàn!thành!2!câu!hỏi!khó,!bỏ!1!câu!hỏi!dễ!loại!1,0!điểm!và!1!câu!hỏi!trung!bình!khá!
loại!1,0!điểm!có!

1.C
2
1
.C
4
1
= 8
cách.!
• Hoàn!thành!1!câu!hỏi!khó!và!bỏ!1!câu!hỏi!dễ!loại!1,0!điểm!có!

1.C
2
1
.C
2
1
= 4
cách.!
• Hoàn!thành!1!câu!hỏi!khó!và!bỏ!1!câu!hỏi!trung!bình!có!

1.C
2
1
.C
4
1
= 8
cách.!
Vậy!có!1+1+6+8+4+8=28!cách.!
Vì!vậy!có!tất!cả!1+8+28=37!cách!để!một!thí!sinh!vượt!qua!bài!thi!riêng.!!!
Bi=)\)j_d*)>%e6kF!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!thoi!cạnh!2a,!

BAD
!
= 60
0
,SA = a
.!Tam!giác!SAB!vuông!tại!S!và!nằm!trong!mặt!phẳng!vuông!góc!với!mặt!
đáy!(ABCD).!Gọi!M,N!lần!lượt!là!trung!điểm!cạnh!AB,BC.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.CDN!và!
côsin!góc!giữa!hai!đường!thẳng!SM!và!DN.!

!
Kẻ!SH!vuông!góc!với!AB!tại!AB,!do!mặt!phẳng!
(SAB)!vuông!góc!với!mặt!phẳng!(ABCD)!nên!

SH ⊥ (ABCD)
.!
Tam!giác!vuông!SAB!có!!

SB = AB
2
−SA
2
= 4a
2
− a
2
= a 3
.!
Và!

SH =
SA.SB
AB
=
a.a 3
2a
=
a 3
2
.!!

Ta!có!

S
CDN
=
1
2
CD.CN .sin DCN
!
=
1
2
.2a.a.sin60
0
=
a
2
3
2
.!
Vì!vậy!

V
S .CDN
=
1
3
SH .S
CDN
=

1
3
.
a 3
2
.
a
2
3
2
=
a
3
4
(đvtt).!
+)!!!Gọi!K!là!trung!điểm!AD,!L!là!trung!điểm!AK!và!I!là!trung!điểm!ML!ta!có!!
!

ML //BK / /DN ⇒ (DN ,SM )
!
= (ML,SM )
!
.!!
Ta!có!

BK = BA
2
+ AK
2
− 2BK .AK .cos60

0
= a 3 ⇒ BK
2
+ AK
2
= AB
2
.!
Vì!vậy!tam!giác!BAK!vuông!tại!K!suy!ra!

BK ⊥ AK ⇒ ML ⊥ AK
.!
Vì!

SM =
AB
2
= SA = a ⇒ H
là!trung!điểm!đoạn!AM.!
Vì!vậy!HI//AK!do!đó!HI!vuông!góc!với!ML.!Mặt!khác!ML!vuông!góc!với!SH!do!vậy!ML!
vuông!góc!với!mặt!phẳng!(SHI)!suy!ra!ML!vuông!góc!với!SI.!
Vì!vậy!góc!!

(DN ,SM )
!
= (ML,SM )
!
= SML
!
.!

Ta!có!

cosSML
!
=
MI
SM
=
ML
2SM
=
BK
4SM
=
a 3
4a
=
3
4
.!
Vậy!

cos(SM ,DN
!
) =
3
4
.!
B4c)3F!Ta!có!thể!sử!dụng!véc!tơ!để!tính!côsin!góc!giữa!hai!đường!thẳng!SM!và!DN!như!sau:!

SM
! "!!
= SH
! "!!
+ HM
! "!!!
= SH
! "!!
+
1
4
AB
! "!!
;DN
! "!!
= DC
! "!!
+CN
! "!!
= AB
! "!!
+
1
2
CB
! "!
.!
Suy!ra!!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))

B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
"!

SM
! "!!
.DN
! "!!
= SH
! "!!
+
1
4
AB
! "!!
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
. AB
! "!!
+
1

2
CB
! "!
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
1
4
AB
2
+
1
8
AB
! "!!
.CB
! "!
= a
2
−

a
2
4
=
3a
2
4
;
SM = a,DN = a 3 ⇒ cos(SM ,DN
#
) =
SM
! "!!
.DN
! "!!
SM .DN
=
3a
2
4
a.a 3
=
3
4
#!!!!!!!!!!!!!
BH=)-)IJK*)>%L6MF)$%&'(!)*+'(!(,-'!./,!*0!12-!34!5678!9*&!:;1!<*='(!

(P ) : x + z −1 = 0
>!
3?@'(!1*='(

d :
x −3
1
=
y − 4
1
=
z + 8
−4
#!A2,!B!CD!(,-&!3,E:!9F-!G!.D!HIJK!L!'M:!1%N'!HIJ!.D!O!
'M:!1%N'!G!P-&!9*&!

AB = 3 2, ACB
!
= 90
0
,BAC
!
= 30
0
#!$Q:!1&R!34!3,E:!BKL!S,T1!O!9U!*&D'*!34!
G?V'(#!
WQ!

A ∈ d ⇒ A a + 3; a + 4; − 4a − 8
( )
.
!$*-7!12-!34!3X'*!B!.D&!<*?V'(!1%Q'*!:;1!<*='(!HIJ!PY7!
%-!

A 1; 2; 0
( )
.
!WQ!

B ∈ d ⇒ B b + 3; b + 4; − 4b −8
( )
.
!$-!9U!

AB = 3 2 ⇔ b + 2
( )
2
+ b + 2
( )
2
+16 b +2
( )
2
=18 ⇔
b =−1
b =−3
⎡
⎣
⎢
⎢
⇔
B 2; 3; − 4
( )

tm x
B
> 0
( )
B 0;1; 4
( )
ktm
( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
#!
$-! 9U!

BC = AB.sin30
0
=
3 2
2
.
!Z;1! )*[9!

d B, P
( )
( )
=
3
2

= BC
#! $\! 3U! PY7! %-! L!CD! *Q'*!9*,TY!
.Y+'(!(U9!9F-!O!CN'HIJ#!!$-!9U!

C 2+ c; 3; −4 + c
( )
∈ P
( )
⇒ c =
3
2
⇒C
7
2
; 3; −
5
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
.

!
W]7!

A 1; 2; 0
( )
, C
7
2
; 3; −
5
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
#!
BH=),)IJK*)>%L6MF!$%&'(!:;1!<*='(!1&R!34!567!9*&!*Q'*!9*^!'*]1!BOL_!9U!G,0'!1`9*!SM'(!ab!
.D!3X'*!BHcd>aJ#!A2,!

M
1
2

;−
3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
!CD!3,E:!1*Y49!3&R'!O_!1*&e!:f'!

DM = 3BM
#!g?@'(!1*='(!
L_!3,!hY-!3,E:!iHa>aJ#!$Q:!1&R!34!9[9!3X'*!OK_!S,T1!

x
D
> −2
#!!
g?@'(!1*='(

AD : a(x + 3) + b(y −1) = 0(a
2
+ b

2
> 0)
#!
WQ!L_!.Y+'(!(U9!./,!B_!'N'!

CD : b(x −1)− a( y −1) = 0
#!!
!
!
!
_&!
!!
DM = 3BM
'N'!

d (M ;AD ) =
DM
DB
.AB =
3
4
AB;d (M ;CD ) =
DM
DB
.BC =
3
4
BC
#!
jY7!%-!

S
ABCD
= AB.BC =
16
9
d (M ;AD ).d (M ;CD ) =16 ⇔ d (M ;AD ).d (M ;CD ) = 9
#!
$-!9Uk!

d (M ;AD ) =
7a / 2− 5b / 2
a
2
+ b
2
;d (M ;CD ) =
−b / 2 + 5a / 2
a
2
+ b
2
#!
WQ!.]7!!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
b!

7a / 2− 5b / 2

a
2
+ b
2
.
−b / 2 + 5a / 2
a
2
+ b
2
= 9
⇔ 36(a
2
+ b
2
) = (7a − 5b)(5a −b) ⇔
a = −b
a = −31b
⎡
⎣
⎢
⎢
#!
l!iTY!

a = −b ⇒ a =1;b = −1 ⇒ AD : x − y + 4 = 0;CD : x + y − 2 = 0
#!
$&R!34!3,E:!_!CD!'(*,0:!9F-!*0!

x − y + 4 = 0

x + y − 2 = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x = −1
y = 3
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒ D(−1;3)
#!!!
$-!9U!

DB
! "!!
=
4
3
DM
! "!!!
= 2;−6

( )
⇒ B (1;−3)
#!
l!iTY!

a = −31b ⇒ a = 31;b = −1 ⇒ AD : 31x − y + 94 = 0;CD : x + 31y− 32 = 0
#!
$&R!34!3,E:!_!CD!'(*,0:!9F-!*0!

31x − y + 94 = 0
x + 31y −32 = 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
x = −
1441
481
y =
543
481
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(l )
#!
W]7!OHa>dJ!.D!_Hca>dJ#!!
BH=)N)IJK*)>%L6MF!A,e,!*0!<*?V'(!1%Q'*!

(x − y)
2
= 2y
2
+ 8x +1
(x − 2y)(x − y)
2
= (y +1)
2
− 2x
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

#!
i*]'!1*m7!

x = 0
)*+'(!CD!'(*,0:!9F-!*0!<*?V'(!1%Q'*k!
W/,!

x ≠ 0
K!.,T1!CR,!*0!<*?V'(!1%Q'*!G?/,!GR'(!
!

x
2
− 2xy = y
2
+1+ 8x
(x −2y)(x
2
− 2xy + y
2
) = y
2
+1+ 2y − 2x
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⇔
x −2y =
y
2
+1
x
+ 8
(x −2y)(x
2
− 2xy + y
2
+1) = y
2
+1− x
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
x −2y =
y
2
+1

x
+ 8
(x −2y) x −2y +
y
2
+1
x
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
y
2
+1
x
−1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪

⎪
⎪
⎪
⎪
#!
g;1!

a = x − 2y;b =
y
2
+1
x
*0!<*?V'(!1%Q'*!1%n!1*D'*k!
!

a = b + 8
a(a + b) = b −1
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇔
a = 3,b = −5
a =
3
2
,b = −

13
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
#!
lJ!W/,!!

a = 3,b = −5 ⇔
x −2y = 3
y
2
+1
x
= −5
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔

x = −1, y = −2
x = −13, y = −8
⎡
⎣
⎢
⎢
#!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
o!
lJ!W/,!

a =
3
2
,b = −
13
2
⇔
x −2y =
3
2
y
2
+1
x
= −
13
2

⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔
x = −
23
2
−3 14, y = −
13
2
−3
7
2
x = −
23
2
+ 3 14, y = −
13
2
+ 3

7
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
#!
W]7!*0!<*?V'(!1%Q'*!9U!Sp'!'(*,0:!CD!

(x; y) = −1;−2
( )
; −13;−8
( )
; −
23
2
−3 14;−
13
2
−3
7
2
⎛
⎝
⎜

⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
; −
23
2
+ 3 14;−
13
2
+ 3
7
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟

⎟
⎟
⎟
⎟
#!!!!
BH=)+)IJK*)>%L6MF!L*&!6K7K8!CD!9[9!Pp!1*q9!1*&e!:f'!

(x − y)
2
+ ( y − z)
2
+ (z − x )
2
= 8
!.D!

x
3
+ y
3
+ z
3
= 1
#!$Q:!(,[!1%r!'*s!'*m1!9F-!S,EY!1*t9!

P = x
4
+ y
4
+ z

4
#!
$*u&!(,e!1*,T1!1-!9Uk!

x
2
+ y
2
+ z
2
− xy − yz − zx = 4 ⇔ (x + y + z)
2
− 3(xy + yz + zx ) = 4
#!
! !
g;1!

t = x + y + z ⇒ xy + yz + zx =
t
2
− 4
3
#!
WD!

x
3
+ y
3
+ z

3
−3xyz =
1
2
(x + y + z) (x − y)
2
+ ( y − z)
2
+ (z − x )
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= 4(x + y + z)
#!
jY7!%-!

xyz =
1− 4t
3
#!!!!
WQ!.]7!!
!

P = (x
2
+ y

2
+ z
2
)
2
−2(x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
)
= (x + y + z)
2
−2(xy + yz + zx)
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
−2 (xy + yz + zx)
2

−2xyz(x + y + z)
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= t
2
−2.
t
2
−4
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
−2
t

2
−4
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
−2t.
1−4t
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥

= −
t
4
9
−
16t
2
9
+
4t
3
+
32
9
#!
W]7!3E!1Q:!(,[!1%r!'*s!'*m1!9F-!I!1-!9*X!9v'!1Q:!3?w9!:,x'!(,[!1%r!9F-!1#!
$-!9Uk!6K7K8!CD!S-!'(*,0:!9F-!<*?V'(!1%Q'*k!

x
3
− tx
2
+
t
2
− 4
3
x −
1− 4t
3

= 0
#!!
gE!<*?V'(!1%Q'*!9U!S-!'(*,0:!)*,!*D:!Pp!9U!9q9!3R,!9q9!1,EY!.D!(,[!1%r!9q9!3R,!.D!(,[!1%r!9q9!
1,EY!1%[,!GmY#!
B4O)3F)

f '(x ) = 3x
2
− 2tx +
t
2
− 4
3
= 0,Δ'
x
= t
2
−(t
2
− 4) = 4 > 0 ⇒
x
1
=
t −2
3
x
2
=
t + 2
3

⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
#!
WQ!.]7!1-!9v'k!

f
x
1
. f
x
2
≤ 0 ⇔ f
t −2
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟

⎟
⎟
. f
t + 2
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
≤ 0 ⇔
t
3
+ 24t + 7
27
.
t
3
+ 24t −25
27
≤ 0
⇔ (t
3

+ 24t + 7)(t −1)(t
2
+ t + 25) ≤ 0 ⇔ t
0
≤ t ≤1
#!
$%&'(!3U!

t
0
CD!'(*,0:!GY7!'*m1!9F-!<*?V'(!1%Q'*!

t
3
+ 24t + 27 = 0(t
0
! −0,29064)
#!
yz1!*D:!Pp!

f (t) = −
t
4
9
−
16t
2
9
+
4t

3
+
32
9
!1%N'!3&R'!

t
0
;1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1-!9U!!
Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!"#$%&'()*+,-) ).*.)) /0&1)23)&456)7)489):%&4)&4;&)<=)>?%)489)@4A)))
B4%)#%C#()DE#4$%&2:FG&)!
{!
!

f '(t) = −
4t
3
9
−
32t
9
+

4
3
; f ''(t ) =
−4t
2
3
−
32
9
< 0
#!
WQ!.]7!

f (t) ≥ min f (t
0
); f (1)
{ }
= f (1) = 3
#!
g='(!1*t9!6e7!%-!)*,!

(x; y; z) = (1;1;−1)
*&;9!9[9!*&['!.r#!
W]7!(,[!1%r!'*s!'*m1!9F-!I!SM'(!d#!!!!
B4O)3F!$-!9U!1*E!9*;'!:,x'!(,[!1%r!9F-!1!SM'(!9[9*!6z1!Sm1!3='(!1*t9!CY+'!3|'(!P-Yk!

(x − y)( y − x )(z − x )
⎡
⎣
⎢

⎤
⎦
⎥
2
≥ 0
!1-!9U!)T1!hYe!1?V'(!1q#!
!