ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014 2015 Môn thi: Toán

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 03 tháng 10 năm 2014
Câu 1 (3,0 điểm).
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình sau có nghiệm thực duy
nhất:

2
4
4 12 2( 1 3 )x x x x m− + + + − + − =
.
Câu 2 (4,0 điểm).
Cho dãy số
{ }
n
x
thỏa mãn
1 2
*
3
2 1
8 9
,
10 10
,

n
n n
x x
x x x n
+ +





= =
= + ∀ ∈N
.
Tính
lim
n
x
.
Câu 3 (5,0 điểm).
Cho
ABC
∆
không cân, đường tròn nội tiếp
( , )I r
tiếp xúc với các cạnh
, ,BC CA AB
tương ứng tại
, ,D E F
. Gọi
1 1 1

, ,A B C
thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp
của
, ,IBC ICA IAB∆ ∆ ∆
.
a/ Chứng minh rằng các đường thẳng
1 1 1
, ,A D B E C F
đồng quy.
b/ Gọi điểm đồng quy của ba đường thẳng
1 1 1
, ,A D B E C F
là
T
. Giả sử
AT IT
⊥
.
Chứng minh rằng
IT
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác
1 1
IB C
.
Câu 4 (4,0 điểm).
Một số nguyên dương
n
được gọi là “số đẹp” nếu tồn tại các số nguyên dương
, , ,a b c d
sao cho

4 4
4 4
2015
2015
a b
n
c d
+
=
+
.
a/ Chứng minh rằng có vô số “số đẹp”.
b/ Số 2014 có là “số đẹp” hay không ?
Câu 5 (4,0 điểm).
Xét các số nguyên dương
, ,a b c
thỏa mãn
2013a b c+ =
(1). Chứng minh rằng
ta có thể chia tập hợp các số nguyên dương thành 2014 tập con khác tập
∅
, đôi một rời
nhau sao cho cứ ba số
, ,a b c
thỏa mãn (1) thì có ít nhất hai số thuộc cùng một tập con.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh :…………
ĐỀ CHÍNH THỨC