4 dạng Toán SỐ PHỨC tiêu biểu trong các đề thi ĐẠI HỌC (Có lời giải)

1
SỐ PHỨC: BỐN DẠNG TOÁN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Bài viết nho nhỏ này nhằm đem lại cho các em học sinh cách nhìn tường
m inh hơn về các dạng toán Số phức trong đề thi tuy ển sinh. T oán về Số phức là
loại toán dễ lấy điểm nếu chúng ta nắm được nhữ ng kiến thức cơ bản về số phức
và rè n luy ện kỹ năng giải toán của m ình thông qua c ác dạng toán.
Dạng 1: Tổng hợp về kỹ năng cộn g, trừ, nhân, ch ia số phức.
Dạng toán này chủ yếu kiểm tra khả năng tính toán của thí sinh, kết hợ p với
một số kiến thức khác về Môđun của Số phức, Số phức liên hợ p, phần thực và phần
ảo c ủa Số phức …
VD1: Tìm phần ảo c ủa số phức z, biết :
   
2
2 1 2z i i  
.
(ĐH-A-cơ bản-2010)
Giải:
Ta có
      
2
2 1 2 1 2 2 1 2 5 2z i i i i i       
.
Suy ra
52zi
. Phần ảo của số phức z là :
2
.
VD2: Cho số phức z thỏa m ãn :
 
3
13

1
i
z
i



. Tìm m ôđun của số phức
z iz
.
(ĐH-A-nâng ca o-2010)
Giải:
Ta có
     
3 2 3
1 3 1 3. 3 3. 3 3
1 3. 3 9 3 3 8
1 1 1 1
i i i i
ii
z
i i i i
   
   
   
   

 
  
 

8 1 8 1
44
1 1 2
ii
i
ii
   
    

.
Suy ra
44zi  
. Nên ta c ó
 
4 4 4 4 8 8z iz i i i i         
.
viet-student.com
DeThi.Viet-Student.Com - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH m󰗜i nh󰖦t - C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày
DeThi.Viet-Student.Com - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH m󰗜i nh󰖦t - C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày
2
Vậy
22
8 8 8 2z iz   
.
VD3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3
13
1
i
z

i







.
(ĐH-B-nâ ng cao-2011)
Giải:
Ta có
   
 
23
3
1 3. 3 3. 3 3
1 3 1 3. 3 9 3 3 8
1 2 1 2 2 2 2
i i i
i i i
z
i i i i i
  

    
   


     



 
8 2 2
8
22
2 2 8
i
i
i
  

   

.
Vậy số phức z có phần thực là 2 và phần ảo là 2.
VD4: Cho số phức z thỏa m ãn
 
 
2 1 2
2 7 8
1
i
i z i
i

   

. Tìm m ôđun của số phức
w1zi  

.
(ĐH-D-cơ bản-2012)
Giải:
Ta có
 
 
2 1 2
2 7 8
1
i
i z i
i

   

 
  
  
2 1 2 1
2 7 8
11
ii
i z i
ii

    


 
 

23
2 7 8
2
i
i z i

    
 
2 4 7i z i   
47
2
i
z
i



  
4 7 2
5
ii
z


15 10
5
i
z



32zi  
.
Nên ta có
w1zi  
3 2 1 4 3i i i     
.
Vậy
22
w 3 4 5  
.
viet-student.com
Trần Tuấn Anh – Mail:
3
Dạng 2: Tìm số phức thỏa m ãn một hoặc một vài đ iều k iện nào đó.
Những bài toán dạng này thườ ng cho trong điều kiện có chứa z,
z
,
z
…Để
giải quyết các bài toán dạng này, thông thường chúng ta đặt
 
,,z x yi x y  
rồi
dựa theo điều kiệ n của bài toán ta xác định x, y. Từ đó ta tìm được z và các yêu
cầu khác của bài toán.
* Lưu ý: Việc giải bài toán dạng này thường quy về việc giải phương trình, hệ
phương trình. M à chúng ta thành lập phư ơng trình, hệ phương trình bằng cách á p
dụng tính c hất sa u:
'
''

'
xx
x yi x y i
yy


   



( hai số phức bằng nhau).
VD1: Tìm tất cả các số phức z, biết :
2
2
z z z
.
(ĐH-A-cơ bản-2011)
Giải:
Gọi
 
,,z x yi x y  
. Ta có
2
2
z z z
 


 
2

2
22
x yi x y x yi     
2 2 2 2
2x y xyi x y x yi      
2 2 2 2
2
x y x y x
xy y

   




2
20
(2 1) 0
yx
yx






0
0
x
y








hoặc
1
2
1
2
x
y










hoặc
1
2
1
2
x

y











.
Vậy
0z 
hoặc
11
22
zi


hoặc
11
22
zi


.
VD2: Cho số phức z thỏa m ãn
 

5
2
1
zi
i
z



. Tính m ôđun của số phức
2
w1zz  
.
DeThi.Viet-Student.Com - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH m󰗜i nh󰖦t - C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày
viet-student.com
Trần Tuấn Anh – Mail:
4
(ĐH-A-nâng ca o-2012)
Giải:
Gọi
 
,,z x yi x y  
. Ta có
 
5
2
1
zi
i
z




 
5
2
1
x yi i
i
x yi

  

    
5 1 2x yi i x yi i      
     
5 5 1 2 1 1 2x y i x y x y i         


 
   
5 2 1
5 1 1 2
x x y
y x y
  





    


32
76
xy
xy




  

1
1
x
y






.

Do đó
1zi
. Suy ra
 
2

2
w 1 1 1 1 2 3z z i i i         
.
Vậy
22
w 2 3 2 3 13i    
.
VD3: Tìm số phức z thỏa m ãn:
2z 
và
2
z
là số thuần ảo.
(ĐH-D-cơ bản-2010)
Giải:
Gọi
 
,,z x yi x y  
. Ta có
22
z x y
và
2 2 2
2z x y xyi
. Từ y êu cầu của bài
toán ta có:
2 2 2
22
2 2 2
22

21
2
01
0
x y x
xy
x y y
xy


  

  

  
  





.
Vậy các số phức cần tìm là: 1+ i ; 1 – i ; -1 – i ; - 1 + i .
VD4: Tìm số phức z thỏa m ãn:
 
2 10zi  
và
. 25zz
.
(ĐH-B-cơ bản-2009)

Giải:
Gọi
 
,,z x yi x y  
. Ta có
 
2 10zi  
 
2 10x yi i    
 
2 1 10x y i    
   
22
2 1 10xy    
   
22
2 1 10xy    
(1)
viet-student.com
DeThi.Viet-Student.Com - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH m󰗜i nh󰖦t - C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày
5
Lại có
  
22
. 25 25 25z z x yi x yi x y       
(2). Từ (1) và (2) ta có hệ phương
trình:
   
22
22

22
22
4 2 5
2 1 10
25
25
x y x y
xy
xy
xy


   
   









2 2 2 2
4 2 20 10 2
25 25
x y y x
x y x y
   




   

 
2
2
10 2
10 2 25
yx
xx





  


2
10 2
5 40 75 0
yx
xx




  


10 2
3
5
yx
x
x












3
4
5
0
x
y
x
y


















.
Vậy
34zi
hoặc
5z 
.

Dạng 3: Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa m ãn điều k iện nào đ ó.
Đường lối để giải dạng toán này gần giống như cách giải Dạng 2. Chúng ta
cũng đặt
 
,,z x yi x y  
rồi dựa theo điều kiện của bài toán ta xác định biểu
thức thể hiệ n quan hệ giữa x và y. Từ đặc điểm của biểu thức quan hệ giữa x và y
ta có kết luận về tập hợp điểm cần tìm.
VD1: Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
m ãn:

 
1z i i z  
. (ĐH-B-cơ bản-2010)
Giải: Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức
 
,,z x yi x y  
là
 
;M x y
. Ta có
 
1z i i z  
  
1x yi i i x yi     
 
x yi i x y y x i      
   
1x y i x y y x i      
     
2 2 2
2
1x y x y y x      
 
2
2 2 2
2 1 0 1 2x y y x y        
.
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình
 
2

2
12xy  
.
VD2: Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
m ãn:
 
3 4 2zi  
. (ĐH-D-cơ bản-2009)
viet-student.com
DeThi.Viet-Student.Com - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH m󰗜i nh󰖦t - C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày
6
Giải: Trong m ặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức
 
,,z x yi x y  
là
 
;M x y
. Ta có
 
3 4 2zi  
 
3 4 2x yi i    
   
3 4 2x y i    
       
2 2 2 2
3 4 2 3 4 4x y x y         
.
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình
   

22
3 4 4xy   
.
Dạng 4: Giải phươn g trình với biến số p hức
Trong đề thi, chúng ta thường gặp phươ ng trình bậc hai với biến số phức m à
cách giải đã được sách giáo khoa hướng dẫn rồi. Sau đây ta xét các ví dụ minh
họa trích từ đề thi Đ ại học.
VD1: Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm của phương trình
2
2 10 0zz  
. Tính giá trị của
biểu thức
22
12
A z z
. (ĐH-A-cơ bản-2009)
Giải: Xét phương trình
2
2 10 0zz  
, ta có:
2
36 36i   
. Suy ra nghiệm của
phương trình là
1
26

13
2
i
zi

   
;
2
26
13
2
i
zi

   
.
Vậy ta có
     
22
22
2 2 2
2
12
1 3 1 3 20A z z
   
         
   
   
.
VD2: Cho số phức z thỏa m ãn

2
2(1 ) 2 0z i z i   
. Tìm phần thực và phầ n ảo của
1
z
. (CĐ-nâng cao-2011)
Giải: Ta c ó:
 
2
2(1 ) 8 0ii     
. Suy ra nghiệm của phương trình là
1zi
.
  
1 1 1 1 1
1 1 1 2 2
i
i
z i i i

    
  
.
Vậy phần thực của
1
z
là
1
2
, phần ảo c ủa

1
z
là
1
2

.
Cách khác:
viet-student.com
DeThi.Viet-Student.Com - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH m󰗜i nh󰖦t - C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày
7
Ta có
2
2(1 ) 2 0z i z i   
22
2(1 ) (1 ) 0z i z i     
 
2
(1 ) 0zi   
(1 ) 0zi   
1zi  
  
1 1 1 1 1
1 1 1 2 2
i
i
z i i i

    
  

.
Vậy phần thực của
1
z
là
1
2
, phần ảo c ủa
1
z
là
1
2

.
Bài viết củ a: Tr ần Tuấn Anh (Giáo viên Toán)
ĐT: 0974.48.48.58
Mail: Tr anTuanAn
viet-student.com
DeThi.Viet-Student.Com - Đ󰗂 Thi Th󰗮 ĐH m󰗜i nh󰖦t - C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày