Đề thi học phần toán cao cấp A1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (92.45 KB, 4 trang )

THI HC PHN TON CAO CP A
1

(Thi gian lm bi 120 phỳt)

Cõu 1
( 2,0 im)
Gii h phng trỡnh:

=++
=++
=++
93334
822232
723
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx

Cõu 2
( 3,0 im)
a, Biết phơng trình một cạnh của hình thoi là x + 3y 8 = 0 và phơng trình một
đờng chéo là 2x + y + 4 = 0. Viết phơng trình các cạnh còn lại biết rằng cạnh song

song với cạnh đã cho đi qua điểm (9; 1).
b, Tìm quỹ tích những điểm mà từ đó có thể vẽ đợc hai đờng thẳng vuông góc với
nhau và cùng tiếp xúc với một elip đã cho.
Cõu 3
( 2,0 im)
Cho ba ng thng:
( ) ( ) ( )
3 2 3
3 0
: 1 2 ; ' : ; '' :
4 0
4 4
x t x t
x y z
d y t d y t d
x y z
z t z t
= + = +

+ =

= + =

+ + =

= =

Vit phng trỡnh ng thng ct hai ng thng u v song song vi ng thng
th ba.
Cõu 4
(3,0 im)
a, Tớnh gii hn:

3
0
1 t anx 1 s inx
lim
x
x

+ +

b, Xột s liờn tc ca hm s ti im x = 0:

ln(1 ) ln(1 )
, 0
( )
2 , 0
x x
x
f x
x
x
+

=

=

P N THI HC PHN TON CAO CP A
1

ỏp ỏn
Thang
im
Cõu 1
(2,0)

9
8
7
33341
22232
11123

11
6
7

00028
00014
11123

1
6
7
00000
00014
11123
.
Từ đây suy ra hệ vô nghiệm.

1,0

1,0

Câu 2
(3,0)

a, Đặt a: x + 3y 8 = 0 là đờng thẳng AB, m: 2x + y + 4 = 0 là đờng chéo
AC, điểm M(9; 1) thuộc cạnh CD và I là tâm hình thoi ABCD.
+ Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ:
( )
4;4A
04y2x
083yx

=++
=+
.
+ Phơng trình CD là: (x + 9) + 3(y + 1) = 0

x + 3y + 12 = 0.

A
B
C
D
a
m
I
M

+ Toạ độ C là nghiệm của hệ:
4)C(0;

04y2x
0123yx

=++
=++
.
Từ đó suy ra toạ độ trung điểm I của AC là I(2; 0).
+ Đờng chéo BD có phơng trình x = 2 + 2t, y = t hay x 2y + 2 = 0. Từ
đó suy ra toạ độ B là nghiệm của hệ phơng trình:

2)B(2;
02y2x
083yx

=+
=+
.
+ D đối xứng với B qua I nên suy ra D(6; 2). Vậy phơng trình của BC
là:
3x y 4 = 0 và AD là 3x y + 16 = 0.

0,5

0,5

0,5
b, Giả sử đờng thẳng d: Ax + By + C = 0 là một tiếp tuyến của elip (E):
1
b
y
a
x
2

2
2
2
=+
. Đờng thẳng d' vuông góc với d có dạng Bx Ay + D = 0 là tiếp
tuyến của (E). áp dụng điều kiện tiếp xúc ta có:
a
2
A
2
+ b
2
B
2
= C
2
và a
2
B
2
+ b
2
A
2
= D
2
.
Gọi M(x; y) là giao điểm của d và d' thì ta cần tìm quỹ tích những điểm M. Thế
thì toạ độ của M là nghiệm của hệ:

2222
BA
BCAD
y;
BA
BDAC
x
0DAyBx
0CByAx
+

=
+
+
=

=+
=++
.
Xét: x
2
+ y
2
=
2 2
2 2 2 2
AC BD AD BC
A B A B

+

+ =

+ +

2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
A C B D A D B C
(A B )
+ + +
+

=
22
22
22222222
22
22
ba
B
A
AbBaBbAa
B
A
DC
+=
+
+++
=

+
+
.
Hệ thức x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
, chứng tỏ rằng quỹ tích những điểm M mà từ đó có thể
vẽ đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau và cùng tiếp xúc với một elíp
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
đã cho, là một đờng tròn tâm ở gốc toạ độ, bán kính R =
22
ba +
.

0,5

0,5
Cõu 3
(2,0)

Lấy M

d
1
, N

d
2
thì M(3 + t; 1 + 2t; 4t) và N(2 + 3u; u; 4 u).
Đờng thẳng MN có véc tơ chỉ phơng
MN
= (5 + 3u t; 1 u 2t; 4
u 4t). Đờng thẳng d
3
có véc tơ chỉ phơng
3
u

= (2; 2; 4) = 2(1; 1; 2), do đó
MN // d
3
khi và chỉ khi:

2
4tu4
1
2tu1
1
t3u5

=

=

+

Giải hệ phơng trình này ta đợc u = 2 và t = 14. Suy ra M(17; 27; 56),
N(8; 2; 6) và phơng trình đờng thẳng MN cần tìm là:

17 27 56
25 25 50
x y z

= =