Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
AN GIANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU
ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (3,0 điểm)
a. Chứng minh rằng
2 3 2 3 2+ − − =
b. Chứng minh rằng nếu a + b + 5c = 0 thì phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) luôn
có hai nghiệm phân biệt.
c. Giải phương trình sau: x³ + 10x
x
+ 16 = 0
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho hàm số: y = 2|x| – 1.
a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b) Tính diện tích tam giác tạo bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
Câu 3. (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình
2x y 2 m
3x 4y 7m 8
+ = +


− = −

(m là tham số)
a. Giải hệ phương trình
b. Tìm m để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x
4
+ y

4
là nhỏ nhất.
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O); M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ
CD; MB cắt AC tại E.
a. Chứng minh rằng góc ODM và góc BEC bù nhau.
b. Chứng minh rằng hai tam giác MAB và MEC đồng dạng. Từ đó suy ra: MC.AB = MB.EC.
c. Chứng minh: MA + MC = MB.
2
.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Vĩnh Long TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM
ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn: Toán (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A =
18 27
9 4 5 9 4 5
2 3
+
− − + +
+
Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình sau:
4 2
x x
x
x
+ = −
+ 4
Câu 3. (2,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x².
b) Tìm tọa độ giao điểm A và B của đồ thị (P) với đường thẳng (d): y = x + 2 bằng phép tính.
c) Tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất.
Câu 4. (2,5 điểm) Cho phương trình: x² + (2m – 5)x – n = 0 (x là ẩn số)
a) Giải phương trình khi m = 1 và n = 4.
b) Tìm m và n để phương trình có hai nghiệm là 2 và –3.
c) Cho m = 5. Tìm n nguyên dương nhỏ nhất để phương trình có nghiệm dương.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Vẽ các đường
cao BE, CF của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BE và CF. Kẻ đường kính BK của đường
tròn (O).
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
c) Đường tròn đường kính AC cắt BE tại M, đường tròn đường kính AB cắt CF tại N. Chứng
minh: AM = AN.
Câu 6. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AC = c và R là bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC thỏa mãn hệ thức R²(b + c)² = a²bc. Xác định hình dạng của tam giác
ABC.
SỞ GD&ĐT LONG AN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2014 – 2015
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (1,5 điểm)
Cho biểu thức P =
x x y y
x y
( xy) :
x y x y
−
−
+
− −

với điều kiện x, y ≥ 0, x ≠ y
a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tìm tất cả các số tự nhiên x, y để P = 3.
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho phương trình x² – x + m = 0. Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình có
hai phân biệt x
1
, x
2
sao cho x
1
< x
2
< 2.
Câu 3. (1,0 điểm)
Giải phương trình x² + 4x + 7 = (x + 4)
2
x 7+
.
Câu 4. (2,5 điểm)
Cho đường tròn tâm (O), đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa A và O, từ H vẽ dây
CD vuông góc với AB. Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M. Gọi N là hình chiếu vuông
góc của M lên đường thẳng AB.
a. Chứng minh: tứ giác MNAC nội tiếp.
b. Chứng minh: NC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c. Τiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng NC tại E. Chứng minh đường EB đi
qua trung điểm của đoạn thẳng CH.
Câu 5. (1,0 điểm)
Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm nay có 529 học sinh đến từ
16 địa phương khác nhau tham dự. Giả sử điểm bài thi môn Toán của mỗi học sinh đều là

số nguyên lớn hơn 4 và bé hơn hoặc bằng 10. Chứng minh rằng luôn tìm được 6 học sinh có
điểm môn Toán giống nhau và cùng đến từ một địa phương.
Câu 6. (1,0 điểm)
Cho các số thực a, b, c, d sao cho 1 ≤ a, b, c, d ≤ 2 và a + b + c + d = 6. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức P = a² + b² + c² + d².
Câu 7. (1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD với AB = a, AD = b. Trên các cạnh AD, AB, BC, CD lần lượt lấy
các điểm E, F, G, H sao cho luôn tạo thành tứ giác EFGH. Gọi P là chu vi tứ giác EFGH. Chứng
minh rằng: P ≥ 2
2 2
a b+
SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2012 – 2013
(Gồm 01 trang) Môn thi: Toán (KHÔNG CHUYÊN)
Thời gian: 120 phút
Ngày thi: 06/07/2012
Câu 1. (2 điểm)
a. Tính giá trị biểu thức
36.81
b. Rút gọn biểu thức:
20 45 3 18 72− + +
Câu 2. (2 điểm)
a. Giải hệ phương trình
2x y 5
x 3y 1
− + =


+ =


b. Tìm m để hệ phương trình
2mx y 5
mx 3y 1
− + =


+ =

vô nghiệm.
Câu 3. (3 điểm)
Cho phương trình x² – 6x + m = 0 (1), với m là tham số.
a. Giải phương trình (1) với m = 4.
b. Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
c. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện sau
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
8x x 12x x 16 x x− − = +
Câu 4. (3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường
tròn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB, N là điểm bất kỳ thuộc đoạn OA. Đường thẳng
vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax tại D và By tại C.
a. Chứng minh góc AMN = góc BMC.
b. Chứng minh ΔANM = ΔBCM.
c. DN cắt AM ở E và CN cắt MB ở F. Chứng minh EF vuông góc với Ax.
SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2012 – 2013

(Gồm 01 trang) Môn thi: Toán (CHUYÊN NV1)
Thời gian: 150 phút
Ngày thi: 06/07/2012
Câu 1. (2 điểm)
Chứng minh rằng có thể biểu diễn lập phương của một số nguyên dương bất kỳ dưới
dạng hiệu của hai số chính phương.
Câu 2. (2 điểm)
Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện a –
ab
– 6b = 0
Tính giá trị của biểu thức sau:
a b
P
a ab b
+
=
+ +
Câu 3. (2 điểm)
Cho x, y là hai số nguyên dương sao cho
2 2
xy x y 71
x y xy 880
+ + =



+ =


Tính giá trị của biểu thức M = x² + y²

Câu 4. (2 điểm)
Cho ΔABC có AC > AB. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác đó tiếp xúc với AB, BC lần
lượt tại D và E. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC, BC. Gọi K là giao điểm MN và AI.
Chứng minh rằng
a. Bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc một đường tròn.
b. Ba điểm D, E, K thẳng hàng.
Câu 5. (2 điểm)
Cho ΔABC ngoại tiếp đường tròn (O; r), cạnh BC tiếp xúc đường tròn tại N. Vẽ đường
kính MN của đường tròn (O; r). AM cắt BC tại G. Chứng minh BN = GC.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2014 – 2015
BẾN TRE MÔN TOÁN CHUYÊN
Đề thi chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (4,0 điểm)
a. Cho biểu thức A =
14 40 56 140
2 5 7
+ + +
+ +
Không dùng máy tính cầm tay hãy tính giá trị biểu thức A.
b. Cho biểu thức B =
2 a ( a 2a 3b) 3b(2 a 3b) 2a 2
a 2 3ab
+ − + − −
+
i) Tìm điều kiện a, b để biểu thức B xác định và rút gọn B.
ii) Tính giá trị biểu thức B khi a = 1 + 3
2
; b = 10 +
11 8
3

Câu 2. (6,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai x² – 2(m – 1)x +2m² – 3m + 1 = 0 (1), với m là tham số thực.
a. Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi 0 ≤ m ≤ 1.
b. Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình (1).
i) Chứng minh |x
1
+ x
2
+ x
1
x
2
| ≤ 9/8.
ii) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn |x
1
– x
2
| = 1
Câu 3. (4,0 điểm)
a. Cho x² – x – 1 = 0. Tính giá trị biểu thức Q =
6 5 4 3
6 3 2
x 3x 3x x 2014
x x 3x 3x 2014
− + − +
− − − +

b. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức
x y z
2
y z x z x y
+ + >
+ + +
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Từ điểm M tùy ý trên
d nằm ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O), trong đó A và B là hai tiếp điểm. Gọi I là
trung điểm của CD.
a. Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp.
b. Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp
ΔCOD.
c. Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
d. Chứng minh rằng
2
2
MD HA
MC HC
=
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2014 – 2015
BẾN TRE MÔN TOÁN (KHÔNG CHUYÊN)
Đề thi chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (2,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau
a. A =
3 3 4 3 4
2 3 1 5 2 3
− +
−
+ −

b. Cho biểu thức B =
x 2 x 2
( )(x x )
x 1
x 2 x 1
+ −
− +
−
+ +
với x > 0 và x ≠ 1.
i) Rút gọn biểu thức B.
ii) Tìm giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên.
Câu 2. (2,5 điểm)
Cho hệ phương trình
mx 2y 1
3x (m 1)y 1
+ =


+ − = −

với m là tham số.
a. Giả hệ phương trình với m = 3.
b. Giải và biện luận hệ phương trình theo m.
c. Tìm giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
Câu 3. (2,0 điểm)
a. Cho phương trình bậc hai x² – mx + m – 1 = 0 (1), với m là tham số.
i) Giải phương trình (1) khi m = 4.
ii) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1

, x
2
thỏa mãn điều kiện
1 2
1 2
x x1 1
x x 2014
+
+ =
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C =
2
2
x 2x 2014
x
− +
với x ≠ 0.
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường kính AD. Gọi M là một điểm
di động trên cung nhỏ AB sao cho M không trùng với A và B.
a. Chứng minh rằng MD là phân giác của góc BMC.
b. Cho AD = 2R. Tính diện tích của tứ giác ABDC.
c. Tính diện tích của hình viên phân giới hạn bởi cung AMB và dây AB theo R.
d. Gọi K là giao điểm của AB và MD, H là giao điểm của AD và MC. Chứng minh ba đường
thẳng AM, DB, HK đồng quy.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2012 – 2013
BẠC LIÊU Môn thi: Toán (CHUYÊN NV2)
Thời gian: 150 phút
Câu 1. (2 điểm)
Chứng minh S = 1³ + 2³ + 3³ + + 50³ chia hết cho 1275
Câu 2. (2 điểm)

Cho số thực x thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x ≤ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
x 1 x
A
2 x 1 x
−
= +
− +
Câu 3. (2 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
4x 5y
2
xy
20x 30y xy 0
+

=



− + =

Câu 4. (2 điểm)
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. Trên AB, AC lần lượt lấy điểm M, N sao
cho BM.BC = BO² và CN.CB = CO².
a. Chứng minh rằng M, N, O là ba điểm thẳng hàng
b. Tam giác ABC phải có điều kiện gì để bốn điểm M, N, C, B cùng thuộc một đường tròn.
Câu 5. (2 điểm)
Cho ngũ giác đều ABCDE, biết AB = a. Chứng minh rằng
(1 5)a
AC .

2
+
=