Đề thi thử đại học môn Toán năm 20092010 có đáp án kèm theo

sở gd - đt hà nội đề thi thử đại học năm học 2009-2010
trờng thpt phú xuyên a Môn: Toán (Đợt 2)

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số:
1
12


=
x
x
y
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm hai điểm M và N lần lợt thuộc nhánh bên phải và bên trái của (C) sao cho độ dài đoạn
thẳng MN ngắn nhất.
Câu II: (2 điểm)
1. Giải phơng trình:
0
cos
2cos39sin62sin4
22
=
+
x
xxx
2. Giải hệ phơng trình:
2 2
3 3
2 1

2 2
y x
x y y x

=


=


Câu III: (1 điểm) Tính tích phân

+
=
2ln3
0
2
3
)2(
x
e
dx
I
Câu IV: (1 điểm) Cho hệ bất phơng trình:





+++

025255
04
2
2
mxxx
xx
Tìm m để hệ bất phơng trình có nghiệm.
Câu V: (1 điểm) Cho hình chóp SABC có ABC cân ở A, = ( 0 < < 90
0
), AB = a,
SA = SB = SC =
2
2a
. Tính thể tích khối chóp SABC theo a và .
Câu VI: (2 điểm)
1. Cho Elíp (E):
2 2
1
8 4
x y
+ =
và đờng thẳng
( ) : 2 2 0x y + =
. Gọi B, C là giao điểm của (
) và (E). Tìm
( )A E
sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.
2. Cho 3 đờng thẳng:
(d

1
):
1
2
1
1
2
1


=
+
=
zyx
, (d
2
):
2
1
11
2 +
=

=
zyx
, (d
3
):
12
2

3
1
2
9

=

=

z
yx
.
Viết phơng trình đờng thẳng (d) // (d
3
) đồng thời cắt cả hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
).
Câu VII: (1điểm) Cho a, b, c
0

thỏa mãn
2 2 2
3a b c+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3
2 2 2
1 1 1

a b c
P
b c a
= + +
+ + +
Hết
sở gd - đt hà nội đáp án thang điểm
trờng thpt phú xuyên a kỳ thi thử đại học năm học 2009-2010
Môn: Toán , Lần 2
Câu ý Đáp án
I 2
I.1 1
1
a/TXĐ: D = R\ {1}
b/Sự biến thiên:
+Giới hạn: Tính đúng các giới hạn
Đờng thẳng x = 1 và y = 2 lần lợt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
của đồ thị hàm số
0.25
+Đạo hàm:
2
)1(
1
'


=
x
y
< 0 x D Hàm số nghịch biến trên từng

khoảng xác định.
Chú ý: Nếu hs kết luận hàm số nghịch biến trên tập D hay trên tập xác
định thì không cho điểm phần này.
0.25
BBT:
0.25
Đồ thị:
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1;2) của hai đờng tiệm cận là
tâm đối xứng.
0.25
I.2
1
Ta có : y = = 2 +
Vì M và N lần lợt thuộc nhánh bên phải và bên trái của ( C ) nên ta giả sử :
M(1+a; 2 + ) N(1 - b; 2 - ) với a,b > 0.
0.25

)
)(
1
1()()
11
()(
2
2222
ab
ba
ba
baMN ++=+++=
0.25

8
)(
1
.2.)2(
2
22
=
ab
abMN
0.25
MN
min
=
22
a = b =1
Hai điểm cần tìm là: M(2;3) , N(0;1)
0.25
II 2
II.1 1
Điều kiện: cosx 0
Khi đó phơng trình tơng đơng với:
4sin
2
2x + 6sin
2
x - 9 - 3cos2x = 0
4cos
2
2x + 6 cos2x + 2 = 0

0.5




=
=







=
=






=
=

)(
2
1
cos
)(0cos

2
1
1cos2
11cos2
2
1
2cos
12cos
2
2
nhanx
loaix
x
x
x
x
0.25
2







+=
+=

2
3
2
2
3
kx
kx
)(
3
Zkkx +=


Kết luận: phơng trình đã cho có Hai họ nghiệm :
)(
3
Zkkx +=


0.25
II.2
1
Thế 1 = 2y
2
- x
2
từ phơng trình đầu vào phơng trình thứ hai ta đợc :
( )
( )
3 3 2 2 3 2 2 3

2 2 2 2 2 5 0x y y x y x x x y xy y = + + =
0.25
Khi y = 0 thì hệ vô nghiệm
Khi
0y
, chia 2 vế cho
3
0y

3 2
2 2 5 0
x x x
y y y

+ + =
ữ ữ ữ

.
0.25
đặt
x
t
y
=
, ta có:
3 2
2 2 5 0 1t t t t+ + = =
. 0.25
Khi
1t

=
,ta có : HPT
2
1, 1
1
y x
x y x y
y
=


= = = =

=


.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm : x = y = 1 và x = y = -1.
0.25
III
1
Ta có:

+
=
2ln3
0
2
33
3

)2(
xx
x
ee
dxe
I

Đặt: u =
3
x
e

dxedu
x
3
3 =
;
22ln3;10 ==== uxux
0.25


+
=
2
1
2
)2(
3
uu
du

I
=3
du
u
uu





+





+

2
1
2
)2(2
1
)2(4
1
4
1
0.25
= 3
2

1
)2(2
1
2ln
4
1
ln
4
1








+
++
u
uu

0.25

8
1
)
2
3
ln(

4
3
=
Vậy: I
8
1
)
2
3
ln(
4
3
=
0.25
IV 1
Ta có: x
2
- 4x 0 x [0;4]
hệ đã cho có nghiệm
bất phơng trình:
025255
2
+++ mxxx
(1)
có nghiệm trên đoạn [0;4]
0.25
Đặt t =
xx + 55

[ ]

4;00
52
1
52
1
' >

+
+
= x
xx
t
khi x [0;4] thì t [0;2]
0.25
3
Khi đó bất pt (1) trở thành: t + (10 - t
2
) + m 0 (2)
m t
2
- t - 10 = f(t)
ta có: f(t)= 2t-1 f(t)=0 t = 1/2
0.25
Ta có:(1) có nghiệm trên [0;4] (2) có nghiệm trên [0;2] m
Vậy: với m thì hệ đã cho có nghiệm.
0.25
V
1
Gọi H là trung điểm BC. Vì SA = SB = SC hình chiếu I của điểm S trên
(ABC) là tâm đờng tròn ngoại tiếp của ABC.

Mặt khác: ABC cân ở A I AH.
0.25
Trong ABH ta có: HB = AB.sin = a.sin
BC = 2a.sin .
Theo định lí sin ta có: IA = =
0.25
SI
2
= SA
2
- IA
2
= SI =
0.25
V
SABC
= .SI.S
ABC
= .SI AB.AC.sinA =

. sin . (đvtt)
0.25
VI 2
VI.1
1
Gọi A(x;y) (E) . Vì
2 2
1
8 4
x y

+ =
nên ta đặt: x = 2cost và y = 2sint
(với
0 2t


)

2
( ; ) 2 ( ) 1
4
3
d A cos t

= | + + |
0.5
Vì BC không đổi Diện tích tam giác ABC lớn nhất d(A; ) lớn nhất
Ta có: Max d(A;

) = 2 cos(t +)=1 t = A(2; - )
Vậy: A(2; - ) là điểm cần tìm.
0.5
VI.2 1
Gọi A,B lần lợt là giao điểm của đờng thẳng d với các đờng thẳng d
1
và d
2
.
A (d
1

) A(1 + 2t ; -1 + t ; 2 - t ) ; B (d
2
) B( 2 + u ; -u ; -1 + 2u )

AB
= ( -2t + u + 1 ; -t -u +1 ; t + 2u -3 )
đờng thẳng d
3
có véc tơ chỉ phơng
3
U
= (1 ; 2 ; -1)
0.25

Vì (d)//(d
3
)
AB
//
3
U

1
32
2
1
1
12

+

=
+
=
++ ututut
0.25
4
t = ; u = A(4 ; ; ) ; B( ; ; )
đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A và B nên (d) có phơng trình:
1
2
1
2
2
1
1
4


=

=

zy
x
0.25
Vì khi
AB
//
3
U

thì đờng thẳng (d) có thể trùng với đờng thẳng (d
3
) nên ta
sẽ kiểm tra lại:
Thay toạ độ A(4; ; ) (d) vào phơng trình (d
3
) ta đợc:

1
2
1
2
2
3
2
1
1
2
9
4

=

=

( thoả mãn) (d) (d
3
)
Vậy, không có đờng thẳng (d) thoả mãn yêu cầu bài toán.
0.25

VII
1
Theo bất đẳng thức côsi ta có:
2
3
1 b
a
+
+
2
3
1 b
a
+
+
22
1
2
b+

6
2
8
3a
=
2
3
2
a
(1)

2
3
1 c
b
+
+
2
3
1 c
b
+
+
22
1
2
c+

6
2
8
3b
=
2
3
2
b
(2)
2
3
1 a

c
+
+
2
3
1 a
c
+
+
22
1
2
c+

6
2
8
3c
=
2
3
2
c
(3)
0.5
Cộng vế với vế các đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:
2P+
)111(
22
1

222
cba +++++

)(
2
3
222
cba ++
P
2
3
dấu = xảy ra a = b = c = 1
Vậy, Giá trị nhỏ nhất của P là
2
3
0.5
Chú ý: Nếu học sinh làm không giống nh cách đã trình bày trong đáp án mà vẫn đúng thì cũng
cho điểm tối đa của phần đó.
5