giải một phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS dưới hình thức nêu ra một số cách giải các dạng phương trình vô tỉ.

a. đặt vấn đề.
1. Cơ sở lý luận.
Mục đích của việc giảng dạy bộ môn Đại số THCS là:
- Mở rộng khái niệm về số.
- Biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số (hữu tỉ và vô tỉ).
- Hàm số.
- Phơng trình.
Phơng trình là 1 trong 4 mục đích cần đạt của việc giảng dạy bộ môn Đại
số THCS. Đây là một vấn đề xuyên suốt toàn cấp mang tính chất kỹ thuật có
nhiều áp dụng thực tiễn.
Khái niệm phơng trình đợc hiểu một cách tờng minh theo quan điểm hàm:
là một đẳng thức f(x) = g(x), f và g là hai hàm số xét trên miền xác định chung mà
ta phải tìm giá trị của biến số x sao cho giá trị tơng ứng của hai hàm số bằng nhau.
Có thể nói: T tởng của khái niệm là t tởng hàm, nội dung của khái niệm thể
hiện ở kỹ thuật tìm nghiệm tức là ở việc giải phơng trình. Do vậy biến số có tên là
ẩn số nói lên phần nào nội dung của khái niệm.
Giải một phơng trình là thực hiện liên tiếp các phép biến đổi tơng đơng ph-
ơng trình đã cho để đi đến một phơng trình đơn giản nhất:
A(x) = B(x) x = a (nghiệm)
Vì vậy dạy phơng trình chủ yếu là làm cho học sinh nắm vững kỹ thuật giải
phơng trình(kỹ thuật tìm nghiệm) song không đợc coi nhẹ t tởng của phơng trình là
hàm số.
2. Cơ sở thực tiễn.
Trong chơng trình Đại số cấp 2, phơng trình có dạng nh: Phơng trình bậc nhất
một ẩn số ax + b = 0 (a 0). Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn số, phơng trình bậc 2 một
ẩn số ax
2
+ bx + c = 0 (a 0).
Ngoài ra còn các phơng trình quy về dạng chính tắc nh:
+ Phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức
+ Phơng trình tích dạng: f(x).g(x) .h(x) = 0

+ Phơng trình giải bằng cách đặt ẩn phụ.
+ Phơng trình quy về phơng trình bậc hai.
+ Phơng trình đợc đa về phơng trình bậc nhất.

Trong chơng trình Đại số lớp 9, việc tìm nghiệm của một phơng trình có chứa
ẩn số trong dấu căn(phơng trình vô tỉ) đối với học sinh còn gặp những khó khăn nh
cha trình bày đợc lời giải 1 phơng trình một cách đầy đủ và chính xác, học sinh th-
ờng vi phạm một trong các sai lầm nh: cha tìm tập xác định của phơng trình( điều
kiện có nghĩa của phơng trình) đã thực hiện các phép biến đổi phơng trình nh: bình
phơng hai vế, lập phơng hai vế Hoặc khi chọn đợc nghiệm thì kết luận ngay
không đối chiếu nghiệm với tập xác định để chọn nghiệm rồi kết luận. Học sinh th-
ờng bỏ qua các phép biến đổi tơng đơng một phơng trình với một hệ điều kiện và
trình bày phơng trình rời rạc không theo một quy trình(Angôrit).
Mặt khác, việc định dạng các phơng trình thờng gặp trong chơng trình cũng
nh trong các tài liệu ôn tập tham khảo khác học sinh cha có đợc cách giải phù hợp
với từng dạng đó. Chỉ áp dụng máy móc nh bình phơng liên tục (nhiều lần) các ph-
ơng trình làm cho việc trình bày lời giải dài dòng, thiếu hiệu quả.
Hơn nữa, do thực tế của chơng trình Đại số 9 việc giải phơng trình vô tỉ cũng
chỉ dừng ở những bài tập quen thuộc, đơn điệu nên nhiều giáo viên chủ quan, không
đề cập cho học sinh những dạng phơng trình vô tỉ khác sách giáo khoa và bài tập
quy định, vì thế khi dự thi các kỳ thi học sinh giỏi nhiều học sinh không giải đợc
các phơng trình vô tỉ đòi hỏi vận dụng kiến thức trong chơng trình.
Để khắc phục những tình trạng nói trên, đồng thời nhằm giúp học sinh lớp 9
có đợc một cách nhìn nhận mới về các phơng pháp giải một phơng trình vô tỉ trên
nền tảng các kiến thức cơ bản đã đợc trang bị của cấp học, qua đó giúp các em trau
dồi đợc những phẩm chất trí tuệ nh: tính độc lập, linh oạt, sáng tạo trong quá trình
giải toán, góp phần bồi dỡng các em trở thành học sinh khá, giỏi bộ môn toán ở tr-
ờng THCS. Tôi xin trình bày một số quan điểm của mình về giải một phơng trình vô
tỉ trong chơng trình toán THCS dới hình thức nêu ra một số cách giải các dạng ph-
ơng trình vô tỉ.

B. Nội dung
I/ Các kiến thức cần chú ý khi giải một ph ơng trình vo tỉ.
1. Khái niệm về phơng trình vô tỉ: là một phơng trình đại số có chứa ẩn số trong
dấu căn.
2. Các phép biến đổi tơng đơng, không tơng đơng một phơng trình.
* Khái niệm về hai phơng trình tơng đơng:
Hai phơng trình tơng đơng là hai phơng trình có cùng một tập hợp nghiệm.
- Chú ý:
+ Nếu phơng trình này là hệ quả của phơng trình và ngợc lại thì hai ph-
ơng trình đó tơng đơng.(phơng trình (1) là hệ quả của phơng trình (2) nếu S
1
S
2
với S
1
là tập nghệm của (1); S
2
là tập nghiệm của (2).
+ Mọi phơng trình vo nghiệm đều đợc coi là tơng đơng vì chúng có
cùng tập nghiệm là .
a. Các phép biến đổi tơng đơng các phơng trình:
- Các định lý về biến đổi tơng đơng ở lớp 8.
- Thực hiện biến đổi hằng đẳng ở từng vế của một phơng trình không làm
thay đổi TXĐ của chúng sẽ đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã
cho.
b. Các phép biến đổi có thể dẫn tới hai phơng trình không tơng đơng (dẫn tới
một phơng trình hệ quả).
- Nhân hai vế của một phơng trình với cùng một đa thức chứa ẩn( có thể xuất
hiện nghiệm lạ, nghiệm ngoại lai).
- Chia hai vế của một phơng trình với cùng một đa thức chứa ẩn số( có thể

làm mất nghiệm của phơng trình đầu).
- Cộng vào hai vế của phơng trình đã cho với cùng một phân thức.
- Nâng hai vế của một phơng trình lên cùng một luỹ thừa tự nhiên: m > 1
Nếu m chắn: thì khi nâng hai vế của f
1
(x) = f
2
(x) lên cùng một luỹ thừa
chẵn thì phơng trình mới nhận thêm nghiệm của phơng trình f
1
(x) = - f
2
(x)
vì: [f
1
(x)]
2
= [f
2
(x)]
2




=
=
)()(
)()(
21

21
xfxf
xfxf
Vì thế khi giải phơng trình vô tỉ ta cần thử nghiệm vào phơng trình đầu để
loại bỏ nghiệm ngoại lai( phép bình phơng hai vế của một phơng trình có thể dẫn
đến một phơng trình hệ quả).
3. Những sai lầm thờng gặp khi giải một phơng trình vô tỉ.
- Không đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa mà đã vội bình phơng hai vế
của phơng trình.
- Không đặt điều kiện để biến đổi tơng đơng.
- Khi tìm đợc nghiệm bỏ quên bớc thử lại phơng trình đầu hoặc chọn nghiệm
thích hợp theo điều kiện đã đặt ra mà vội kết luận nghiệm cảu phơng trình vô tỉ.
Ví dụ: Khi gải phơng trình:
1x
-
15 x
=
23 x
(1)
Học sinh giải:
1x
=
15 x
+
23 x
(2)
Bình phơng hai vế:
( )( )
2315223151 ++= xxxxx
(3)

Rút gọn:
21315272
2
+= xxx
(4)
Bình phơng hai vế:
( )
21315449144
22
+=+ xxx
(5)
Rút gọn
042411
2
=+ xx
( )( )
02211 = xx





=
=
2
11
2
x
x
Kết luận:

11
2
1
=x
;
2
2
=x
* Phân tich ssai lầm của học sinh:
+ Học sinh đã không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức là:









023
015
01
x
x
x

3
2
3
1
1
x
x
x

1

x
Nên giá trị
11
2
=x
không là nghiệm của phơng trình (1)
Để khắc phục sai lầm này phải tìm TXĐ của phơng trình từ bớc đầu tiên
+ Học sinh không đặt điều kiện để biến đổi tơng đơng nên (4) không tơng đ-
ơng (5)
Phơng trình (4) chỉ tơng đơng với hệ:
( )

( )



+=

21315472
072
2
2
xxx
x
Phơng trình (5) là hệ quả của phơng trình (4), nó chỉ tơng đơng với (4) với
điều kiện:
7
2
072 xx
, do đó
2
=
x
không là nghiệm của (1).
* Cách giải đúng:
+ Cách 1: Sau khi tìm đợc
11
2
1
=x
và
2

2
=x
thử lại vào phơng trình ban đầu,
phơng trình (1) không có nghiệm đúng. Vậy (1) vô nghiệm.
+ Cách 2: Đặt điều kiện cho phơng trình có nghĩa
1x
(*) sau đó từ (4)
chuyển sang (5) đặt thêm điều kiện
7
2
x
(**), đối chiếu các giá trị
11
2
1
=x
và
2
2
=x
với (*) và (**) ta thấy
1
x
và
2
x
không thoả mãn. Vậy (1) vô nghiệm.
+ Cách 3: Điều kiện x
015115151 <<< xxxxxx

023023 >> xx
Vế trái < 0, vế phải >0, vậy (1) vô nghiệm
* Nói chung để tránh sai lầm cho học sinh khi giải một phơng trình vô tỉ ta
nên hớng học sinh làm theo các bớc sau:
B1: Tìm TXĐ của phơng trình (đặt điều kiện cho phơng trình có nghĩa).
B2: Nâng hai vế phơng trình lên cùng một luỹ thừa, nếu phơng trình còn căn
bậc hai thì đặt tiếp điều kiện, tiếp tục khử căn để đa phơng trình về dạng đã biết
cách giải.
B3: Thử nghiệm theo các điều kiện hoặc theo phơng trình đầu suy ra kết luận
nghiệm.
II/ Các ph ơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ.
1. Sử dụng các phép biến đổi tơng đơng.
a. Dạng:
( )
Axf =
(A là một số hoặc một biểu thức đã biết) (1)
* Công thức giải:
(2)
ở phơng pháp này ta đã biến đổi tơng đơng phơng trình đã cho
( )
Axf =
với
một hệ hỗn hợp, nh vậy nghiệm của (2) chính là nghiệm của (1). Do vậy ta chỉ giải
hệ (2) rồi kết luận nghiệm của (1). Cơ sở của phơng pháp này là dựa vào khái niệm
căn bậc hai số học của
( )
0xf
.
* Chú ý: Khi A< 0 ta kết luận ngay phơng trình
( )

Axf =
vô nghiệm.
* Ví dụ: Khi giải phơng trình
23
2
=+ xx
ta giải nh sau:
( )( )



=
=




=+
=
=+
=+=+=+
4
1
04
01
041
0434323
222
x
x

x
x
xx
xxxxxx
( )
( )



=

=
2
0
Axf
A
Axf
Vậy phơng trình có hai nghiệm là: x
1
= 1; x
2
= -4
ở phơng trình trên không cần thiết phải đặt điều kiện
03
2
+ xx
vì (1) với
(2) trong đó
( ) ( )
0

2
= xfAxf
.
b. Dạng:
( ) ( )
xgxf =

* Công thức giải:
* Ví dụ: Giải phơng trình
12113
2
+=++ xxx
(1)
Ta có (1)
( )





=+






=+

+=++
+

(*)0103
2
1
0103
12
12113
012
2
2
2
2
xx
x
xx
x
xxx
x
Giải (*) ta có:
2;
3
5
21
== xx

3
5
2
3
5
2
1
=











=
=


x
x
x
x
Vậy (1) có nghiệm là
3
5

=x
* Chú ý: Kh chỉ ra đợc g(x) < 0 ta kết luận ngay phơng trình vô nghiệm.
Ví dụ: Giải phơng trình
353
22
=+ xxx
(*)
Vì
030330
222
<< xxx
vậy (*) vô nghiệm.
c. Dạng:
( ) ( )
xgxf =
* Công thức giải:
* Ví dụ: Giải phơng trình
xx =+ 2213
(1)
( ) ( )
( )
( ) ( )
[ ]



=

=
2

0
xgxf
xg
xgxf
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )





=


=
xgxf
xg
xf
xgxf 0
0
Ta có (1)
( )
1
1
2
3
1
2413

02
013
=







=









=+

+
x
x
x
x
xx
x
x

Kết luận: phơng trình có nghiệm x=1
d. Dạng:
( ) ( ) ( )
xgxhxf =+
(1)
( ) ( ) ( )
xgxhxf =+
* Cách giải phơng trình (1):
- B1: Tìm điều kiện cho (1) có nghĩa (TXĐ). (*)
- B2: Bình phơng hai vế của (1)
(1)
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
{ }
xhxfxgxhxf =
2
2
1
(2)
- B3: Đặt điều kiện mới cho (2):
( )
[ ]
( ) ( )
0
2
xhxfxg
(**)
Bình phơng hai vế của (2) đa về một phơng trình (3) đã biết cách giải.
- B4: Giải (3), chọn nghiệm thoả mãn (*) và (**) => Kết luận nghiệm.

* Ví dụ: Giải phơng trình
253 =+ xx
(1)
(1)
523 =++ xx
(2)
Điều kiện:
2
2
3
02
03











+
x
x
x
x
x
(*)

Với
2

x
hai vế không âm, bình phơng hai vế của (2) rồi thu gọn ta có phơng
trình:
xxx =+ 126
2
(3)
(3)
( )
6
6
12
15025
12
126
012
2
2
=



=

=





=+

x
x
x
x
x
xxx
x
x = 6 thoả mãn (*) và (**). Vậy phơng trình có nghiệm là x= 6
* Chú ý: Với phơng trình thuộc dạng (1), khi phơng trình đã cho cha ở dạng
( ) ( ) ( )
xgxhxf =+
mà nh ở ví dụ trên, ta nên biến đổi tơng đơng phơng trình đã
cho về dạng (1), không nên để nguyên phơng trình mà bình phơng hai vế vì cho dù
có điều kiện để phơng trình có nghĩa nhng phép biến đổi không tơng đơng (do hai
vế
3+x
và
25 x
không đồng thời lớn hơn hoặc bằng 0).
Cách giải phơng trình dạng
( ) ( ) ( )
xgxhxf =+

hoàn toàn tơng tự.
Nếu g(x) là một biểu thức của (1) có giá trị âm với mọi x thì ta kết luận ngay
phơng trình (1) vô nghiệm.
e. Dạng:
( ) ( ) ( ) ( )
xkxgxhxf +=+
(1)
* Đây là dạng phơng trình vô tỉ có chứa nhiều căn thức bậc hai, ta có thể tiến
hành các bớc giải nh sau:
B1: Đặt điều kiện cho phơng trình có nghĩa (tìm TXĐ)
( )
( )
( )
( )











0
0
0
0
xk

xg
xh
xf
(*)
B2: Với điều kiện (*) bình phơng hai vế của (1) ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xkxgxkxgxhxfxhxf 22 ++=++
Đa phơng trình về dạng:
( ) ( ) ( )
xHxGxF =+
(2)
B3: Tuỳ theo từng trờng hợp cụ thể giải tiếp (2)
* Ví dụ: Giải phơng trình
0941 =++++ xxxx
(1)
Viết (1) dới dạng (2):
(1)
419 +=+=++ xxxx
(2)
Điều kiện cho (2) có nghĩa:
0x
(*)
Với (*) bình phơng hai vế (2) ta có:
(2)
4592452924
2222
++=++++=++ xxxxxxxx
Vì hai vế lớn hơn hoặc bằng o nên bình phơng hai vế ta có:
xxxxxxxxx =+++=++++ 9459494

2222
(3)

0
09
0
9
0
22
=



=





=+

x
x
x
xxx
x
thoả mãn (*).
Vậy nghiệm của phơng trình là x= 0
Bổ sung: (1)
xxxx +=++ 149

(2)
* Có thế sử dụng một phép biến đổi tơng đơng khác ta có cách giải mới cho
(1) với điều kiện
0x
. Ta nhân cả hai vế của (2) với lợng liên hợp của từng vế ta
có:
(2)
( )( ) ( )( )
xx
xxxx
xx
xxxx
++
+++
=
+++
+++++
1
11
49
4949
(3)
(vì
49 +++ xx

0;
xx ++1
0

)

Nên phép biến đổi từ phơng trình (2):
xxxx +=++ 149
là phép
biến đổi tơng đơng.
(3)
xxxx
xxxx
++=+++
++
=
+++
1549
1
1
49
5
(4)
Cộng vế với vế của (2) và (4) rồi rút gọn ta đợc phơng trình:
xxx 2139 ++=+
Do
99999132130 +++=+++ xxxxxxx
(5)
Nếu
9990
+>+
xxx
nên (5) vô lý. Vậy chỉ có nghiệm x = 0 là nghiệm
của phơng trình đã cho.
2. Phơng pháp đặt ẩn phụ.
* Mục đích của việc đặt ẩn phụ là nhằm đa phơng trình đang xét về một ph-

ơng trình đơn giản hơn (đã biết cách giải). Tuy nhiên, cần phải biết chọn các ẩn phụ
một cách thích hợp phù hợp với đặc thù bài toán đang xét:
Cần chú ý rằng để có thể đặt đợc ẩn phụ có thể thông qua một vài bớc biến
đổi phơng trình đã cho để làm xuất hiện biểu thức cần chọn làm ẩn phụ.
Ví dụ: Nh phơng trình:
xxxx 29313029
22
=+
Ta biến đổi thành:
( )
0130293029
22
=+++ xxxx
Điều kiện:
( )( )





++
1
30
030103029
2
x
x
xxxx
Đặt ẩn phụ:
( )

03029
2
+= txxt
Ta có phơng trình: t
2
+ t- 1= 0
Nhằm giúp học sinh có đợc thói quen áp dụng phơng pháp trên theo hớng
đúng đắn, hợp lý, chống máy móc, rập khuôn phơng pháp này. Nên cần chú ý tới
một số dạng phơng trình vô tỉ thờng gặp sau:
a. Dạng 1: Phơng trình có dạng
( ) ( )
0=++ cxfbxaf
(1)
* Cách giải: Đặt điều kiện cho phơng trình có nghĩa
( )
0xf
(*)
Đặt ẩn phụ:
( ) ( )
0= txft
Giải phơng trình với ẩn mới (t): at
2
+ bt+c = 0
(giải theo cách một phơng trình bậc hai)
Tìm t (chọn t thích hợp)
Giải phơng trình vô tỉ dạng
( )
txf =
Chọn nghiệm theo điều kiện (*) từ đó suy ra nghiệm của phơng trình đã cho.
* Ví dụ: Giải phơng trình

277218213
22
=+++++ xxxx
(1)
(Điều kiện:
077
2
++ xx
)
Trớc hết đa phơng trình (1) về dạng 1:
(1)
( )
23773773
22
=+++++ xxxx
( )
05773773
22
=+++++ xxxx
Đặt :
)0(77
2
++= txxt
Ta có phơng trình ẩn t là: 3t
2
+ 2t- 5= 0
Giải phơng trình này ta có nghiệm:
3
5
;1

21

== tt
(loại)
Giải phơng trình
067177
222
=++=++ xxxxx

6;1
21
== xx
Thử lại điều kiện:
077
2
++ xx
nên hai giá trị x
1
, x
2
thoả mãn.
Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
= -1; x
2
= -6.
* Nhận xét: Cách đặt ẩn phụ
77
2
++= xxt

đã làm cho phơng trình vô tỉ
chuyển về dạng quen thuộc. Phơng pháp đặt ẩn phụ có u thế là hữu tỉ hoá một
phơng trình vô tỉ có nhiều tiện lợi cho việc giải một phơng trình.
b. Dạng 2:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xgxhxfnxhxf =++
(2)
* Cách giải: Để giải dạng 2 ta dùng ẩn phụ
( ) ( )
xhxft +=
(2)

( ) ( ) ( ) ( )
xhxfxhxft 2
2
++=
Rút
( ) ( ) ( ) ( )
xhxftxhxf =
2
thay vào phơng trình (2) rồi rút gọn phơng
trình để đợc phơng trình ẩn mới t.
Giải phơng trình ẩn t sau đó chọn t theo điều kiện.
Giải phơng trình (2) sau đó chọn x theo điều kiện có nghĩa của (2).
* Ví dụ: Giải phơng trình:

xxxxx 2132221
2
=++++
(1)

Đa phơng trình (1) về dạng 2:

( )( )
xxxxx 21321221 =++++
Điều kiện để phơng trình (1) có nghĩa là
2
13
2
0213
02
01








+
x
x
x
x
(*)
Đặt
021 ++= txxt
( )( ) ( )( )
1221221221
22

+=+++++= xtxxxxxxt
Thay vào (1) ta có phơng trình:

01221312
22
=+=++ ttxxtt
(1)
Giải (1) ta có: t
1
= 3; t
2
= -4 (loại)
Giải phơng trình:
92221321
2
=+++=++ xxxxxx
( )
3
3
5
52
5
52
2
2
2
=

=





=

= x
x
x
xxx
x
xxx
X= 3 thoả mãn (*). Vậy phơng trình có một nghiệm duy nhất x= 3.
c. Dạng 3:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
mdxfcxfbxfaxf =++++
(3)
Trong đó:

+=+
+=+
+=+
cbda
dbca
dcba
* Cách giải: Đặt
( ) ( )
0= ttxf
Đa phơng trình về dạng: (t+a)(t+b)(t+c)(t+d) =m

( )( )
[ ]
( )( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
mcdtdctabtbatmdtctbtat =++++++=++++
22
(3)
Đặt ẩn phụ thứ hai để đa phơng trình về dạng cơ bản đã biết cách giải. Có thể
có nhiều cách đặt, chẳng hạn đặt:
( ) ( )
tdcttbaty ++=++=
32
Ta có phơng trình (3)

( )( ) ( )
0
2
=+++=++ mabcdycdabymcdyaby
(Đây là một phơng trình bậc hai đã biết cách giải)
* Ví dụ: Giải phơng trình:
( )( )( )( )
8404321 =++++ xxxx
- Điều kiện:
0x
đặt (
0t
)
Ta có phơng trình ẩn t:
( )( )( )( )
8404321 =++++ tttt
( )( )
[ ]
( )( )
[ ]
( )( )
8406545
8403241
22
=++++
=++++
tttt
tttt
- Đặt ẩn phụ:
055

2
++= ytty
Ta có phơng trình:
( )( )
841840184011
22
===+ yyyy
29841
2,1
== y
Loại y<0 ta có y= 29
- Giải phơng trình:
8;302452955
21
22
===+=++ tttttt
(loại)
- Giải phơng trình:
93 == xx
(thoả mãn điều kiện
0x
)
- Kết luận: Nghiệm của phơng trình ban đầu là x = 9.
* Nhận xét: ở dạng 3 dùng ẩn phụ lần thứ nhất ta đã hữu tỉ hoá phơng trình
đã cho. Song cha có đợc phơng trình ở dạng quen thuộc nhờ đặt ẩn phụ lần hai ta đã
đa phơng trình về dạng phơng trình bậc hai. Cần lu ý trong cách đặt ẩn phụ lần hai
có thể có nhiều cách lựa chọn khác nhau nh: y= t
2
+ 5t+ 4 hoặc y = t
2

+ 5t + 6 hoặc y
= t
2
+ 5t + 5 đó là tính linh hoạt của việc chọn ẩn phụ mà ngời giải cần chú ý.
Nh vậy khi giải một phơng trình bằng cách đặt ẩn phụ ta có thể đặt nhiều ẩn
phụ khác nhau sao cho đích cuối cùng là đa phơng trình ban đầu về dạng quen
thuộc.
3. Phơng pháp hệ phơng trình (Chuyển một phơng trình thành hệ phơng trình tơng
đơng)
* Bên cạnh phơng pháp đặt ẩn phụ để đa về một bài toán khác, có rất nhiều
bài toán cần dùng tới nhiều ẩn số phụ và tuỳ theo từng đặc thù của bài toán đã cho
ta thu đợc các mối liên hệ giữa các đại lợng tơng ứng, chẳng hạn đối với phơng
trình:
( ) ( )
cxfbxfa
mn
=++
(*)
Ta có thể đặt:
( ) ( )
mn
xfbvxfau +== ;
Dẫn tới: (*)



+=+
=+

bavu

cvu
mn
(**)
Nh vậy để tìm nghiệm của (*) ta quy về việc tìm nghiệm của hệ phơng trình
(**). Vì ở đây với điều kiện tồn tại của phơng trình thì phơng trình và hệ phơng
trình đã cho là tơng đơng. Nh thế việc giải một phơng trình không bị gò bó vì nó
thông qua giải một hệ phơng trình tơng đơng, từ nghiệm của hệ phơng trình ta suy
ra nghiệm của phơng trình ban đầu thông qua tập xác định của phơng trình (*).
* Ví dụ 1: Giải phơng trình:
1
2
1
2
1
3
=++ xx
Khi đa ra bài toán này học sinh rất lúng túng về phơng pháp giải vì gặp một
phơng trình vô tỉ không thuần chủng do vế trái vừa chứa căn bậc hai và căn bậc
ba. Song nếu đặt ẩn phụ và tìm cách chuyển phơng trình về một hệ phơng trình tơng
đơng thì việc giải quyết bài toán đợc dễ dàng hơn.
Ta có thể tiến hành giải phơng trình theo phơng trình hệ nh sau:
Điều kiện:
2
1
0
2
1
xx
Đặt:
0

2
1
;
2
1
3
=+= bxbxa
Ta có:
( )
1*
2
1
;
2
1
2323
=+=+= baxbxa
Kết hợp với a + b = 1 ta có hệ phơng trình sau:
( )
( )
2
2
23
3
3
2323
11
1
1
1

1
1
1
bb
ba
ba
ba
ba
ba
ba
=





=
=




=
=




=+
=+

( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( )( )
0310111
01111
2
2
==+
=+
bbbbbb
bbbb

3;1;0
321
=== bbb
(thoả mãn)
Với b = 0 => a = 1 thay vào (*) ta có
2
1
=x
(thoả mãn)
Với b = 1 => a = 0 thay vào (*) ta có
2
1
=x
(thoả mãn)
Với b = 3 => a = -2 thay vào (*) ta có
2

17
=x
(thoả mãn)
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm:

2
17
;
2
1
;
2
1
321
=== xxx
* Ví dụ 2: Giải phơng trình
2
22 xx =
(1)
Nhiều học sinh khi giải phơng trình này thờng dẫn tới lúng túng khi bình ph-
ơng trình hai vế của (1) vì sẽ đợc một phơng trình bậc bốn khó giải.
Ta tận dụng phơng trình hệ cho phơng trình (1):
Điều kiện phơng trình có nghĩa là:
202 xx
Đặt
02 = yxy
Kết hợp với y= 2-x
2
ta có hệ phơng trình

=
=
2
2
2
2
xy
yx
(2)
Trừ vế với vế của hai phơng trình ở hệ (2) ta có phơng trình:
( )( ) ( )
0
22
=+= xyxyxyxyxy

( ) ( )
[ ]
( )( )
0101 =+=+ yxxyxyxy




=
=

=+
=
xy
xy
yx
xy
11
Nếu y= x thử từ y
2
= 2- x ta có phơng trình:
2;102
21
2
===+ xxxx
Loại x= -2 vì x= y= -2 < 0 mà
0y
Với y = 1- x, khi đó từ phơng trình y= 2 - x
2
ta có:

0121
22
== xxxx
Phơng trình này có hai nghiệm là:
2
51
;

2
51
21

=
+
= xx
Đối chiếu với điều kiện của nghiệm:

222202
22
xxxx
Thì
2
51
1
+
=x
không thoả mãn.
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là:
2
51
;1
21

== xx
Nh vậy việc dùng phơng pháp hệ phơng trình đã cho giúp học sinh tìm đợc
cách giải cho bài toán trên một cách hợp lý hơn. Tuy nhiên với bài toán này cần chú
ý điều kiện của nghiệm là:
22

22
2
02
02
2












x
x
x
x
x
Thì việc lựa chọn nghiệm mới chính xác, cho nên ngay từ đầu ta nên tìm hết
điều kiện cho ẩn x. Trên cơ sở tìm điều kiện cho phơng trình có nghĩa và có nghiệm,
nói gọn là tìm điều kiện cho nghiệm số.
4. Phơng pháp bất đẳng thức.
Thực chất của phơng pháp này là dựa vào bất đẳng thức để đánh giá hai vế
của một phơng trình vô tỉ, từ đó suy ra nghiệm số của phơng trình đã cho.
Phơng pháp Bất đẳng thức trong việc giải phơng trình vô tỉ đợc thể hiện dới
nhiều dạng:

a. Chứng tỏ tập xác định của hai vế là rời nhau rồi kết luận phơng trình vô
nghiệm.
* Cơ sở của phơng pháp này là chỉ ra tập giá trị của 2 biểu thức ở hai vế của
phơng trình và giao của 2 tập hợp đó là một tập hợp rỗng (). Từ đó kết luận phơng
trình vô nghiệm.
* Ví dụ: Giải phơng trình
23151 = xxx
(1)
Điều kiện để (1) có nghĩa là
1
3
2
5
1
1
023
015
01

x
x
x
x
x
x
x
Với điều kiện
1x
ta đánh giá hai vế của phơng trình:

015115151 xxxxxxx
Mặt khác vế phải của (1)
023023 xx
Nh vậy tập giá trị của vế trái và tập giá trị của vế phải rời nhau. Nên phơng
trình (1) vô nghiệm.
b. Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế (phơng pháp đối lập).
* Cơ sở của phơng pháp này là khi giải phơng trình f(x) = g(x) (*) nên chứng
minh đợc
( )
Axf

và
( )
Axg
với mọi
x
TXĐ của phơng trình (*) thì:

( ) ( )
( )
( )



=
=
=
Axg
Axf
xgxf
ở đây ta đã đánh giá hai vế của phơng trình rồi tìm giá trị của x để hai vé
bằng nhau.
* Ví dụ 1: Giải phơng trình:

222
2314105763 xxxxxx =+++++
(*)
Ta có (*)
( ) ( ) ( )
1291254123
222

++=+++++++ xxxxxx
( ) ( ) ( )
51915413
222
++=+++++ xxx
Vì
( ) ( )
24134413
22
++++ xx

( ) ( )
39159915
22
++++ xx
Suy ra vế trái

5
Do
( ) ( )
55101
22
+++ xx
hay vế phải
5
Từ đó có (*)
101
5
5
==+

=
=
xx
VP
VT
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x= -1.
Điều chú ý ở phơng trình này là: làm cho hai vế đối lập nhau rồi tìm ẩn số
để hai vế đều bằng nhau. Sơ đồ giải nh sau:

( )
( )
( ) ( )
( )
( )

=



=
=
=

x
Axg
Axf
xgxf
Axg
Axf
* Ví dụ 2: Giải phơng trình
32
1
34
2
=

+
x
x
xx
(*)
Điều kiện:
1;0 xx

( )( )
32332
1
31
22
==


xxx

x
xx
Vì
332;3300
2
== xVPxVTxx
Vậy: (*)
0
332
33
2
=





=
=
x
x
x
(thoả mãn điều kiện)
Vậy phơng trình có nghiệm là x= 0.
c. Sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt.
* ở đây ta sử dụng trờng hợp xảy ra dấu = (đẳng thức) của một bất đẳng
thức không chặt. Từ đó suy ra nghiệm của phơng trình đã cho. Vấn đề then chốt ở
chỗ là phải chỉ ra phơng trình là một trờng hợp đặc biệt của bất đẳng thức quen
thuộc dạng
( ) ( )

xgxf
hoặc
( ) ( )
xgxf
từ đó suy ra trờng hợp xảy ra bất đẳng thức
với điều kiện nào. Khi đó sẽ giải đợc phơng trình ban đầu.
* Ví dụ: Giải phơng trình
2
14
14
=

+

x
x
x
x
(*)
Điều kiện: 4x 1 > 0
4
1
x
- Trớc hết ta phải xác định đợc một bất đẳng thức có chứa phơng trình (có
liên quan đến phơng trình cần giải).
- Quan sát phơng trình ta nhận thấy phơng trình có dạng
2=+
a
b
b

a
thuộc một
hằng bất đẳng thức quen thuộc
2+
a
b
b
a
mà ta dễ dàng chứng minh đợc bắt đẳng
thức luôn đúng với mọi a và b cùng dấu. Dấu = xảy ra khi a = b. Hay nói cách
khác đẳng thức xảy ra khi a = b.
Do
0
4
1
>> xx
và
014 >x
Phơng trình có dạng
ba
a
b
b
a
==+ 2
Do đó: (*)
3201414
2
==+= xxxxx
(thoả mãn

4
1
>x
)
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là:
32;32
21
=+= xx
* Nhận xét: Vấn đề quan trọng của phơng pháp này là phải xác định đợc ph-
ơng trình là đẳng thức nào của một bất đẳng thức đã biết (bất đẳng thức chứng minh
đợc) sau đó tìm điều kiện để xảy ra đẳng thức đó trong hằng bất đẳng thức. Do vậy
phơng trình cần giải sẽ tơng đơng với điều kiện để xảy ra = của bất đẳng thức
không chặt.
5. Phơng pháp đoán nghiệm và suy ra sự duy nhất của nghiệm (phơng pháp duy
nhất).
* Cơ sở của phơng pháp này là: để giải một phơng trình ta có thể kiểm
nghiệm trực tiếp một số hữu hạn các giá trị của ẩn số là nghiệm của phơng trình sau
đó chứng minh ngoài nghiệm đó phơng trình không còn nghiệm nào khác.
Nh vậy theo phơng pháp này ta nên làm theo hai bớc sau:
B1: Đoán nhận nghiệm.
B2: Chứng minh tính duy nhất của các nghiệm số.
* Bài toán 1: Giải phơng trình
2
3
+
=
x
x
(1)
Điều kiện để cho phơng trình có nghĩa là

0

x
Ta thấy x= 1 là nghiệm của phơng trình (1).
Chứng minh x= 1 là nghiệm duy nhất của (1).
- Với x >1 ta có:
VPVT
x
x






<
+
>
1
2
3
1
Vậy phơng trình (1) vô nghiệm với x > 1.
- Với x < 1 ta có:
VPVT
x
x

>
+
<
1
2
3
1
Vậy phơng trình (1) vô nghiệm với 0 < x < 1
Kết luận: phơng trình (1) chỉ có duy nhất một nghiệm là x = 1.
* Bài toán 2: Giải phơng trình:
0
11
22
=

+
+

x
x
x
x
(2)
Điều kiện tồn tại của phơng trình: 1- x
2
> 0 -1 < x < 1
Nếu tiến hành giải phơng trình (2) theo các cách thông thờng thì gặp nhiều

khó khăn. Song nếu quan sát kỹ ta thấy ngay phơng trình (2) có một nghiệm x = 0
việc còn lại là chứng minh trong TXĐ - 1 < x < 1 phơng trình (2) không còn
nghiệm nào khác.
- Nếu 0 < x < 1 ta có:
0
0
1
0
1
2
2
>







>

>
+
VT
x
x
x
x
Vậy phơng trình (2) vô nghiệm với 0 < x < 1
- Nếu -1 < x < 0 ta có:

0
0
1
0
1
2
2
<







<

<
+
VT
x
x
x
x
Vậy phơng trình (2) vô nghiệm với -1 < x < 0
Kết luận: phơng trình (2) có một nghiệm duy nhất x= 0
* Bài toán 3: Giải phơng trình
312
3
=++ xx

(3)
Điều kiện để phơng trình có nghĩa
101 + xx
Ta thấy x= 3 nghiệm đúng phơng trình (3).
Ta cần chứng minh phơng trình (3) không còn nghiệm với
3x
- Với x > 3 ta có
3
21
12
3
>





>+
>
VT
x
x
Vậy phơng trình (3) vô nghiệm với x > 3
- Với x < 3 ta có
3
21
12
3
<

<+
<
VT
x
x
Vậy phơng trình (3) vô nghiệm với x < 3
Kết luận: phơng trình (3) có nghiệm duy nhất x = 3
* Nhận xét: Phơng pháp duy nhất nói trên tỏ ra u thế khi học sinh đoán
nhận đợc nghiệm của phơng trình đã cho. Song việc chứng minh tính duy nhất của
nghiệm số cần chú ý: Khi x =

là nghiệm số của phơng trình, ta chứng minh cho

x
không phải là nghiệm số của phơng trình đã cho. Song các giá trị

x
phải
thuộc tập xác định của phơng trình. Nên TXĐ của phơng trình ban đầu có liên quan
tới việc xét các khả năng còn lại của ẩn số x.
Tuy nhiên phơng pháp này vẫn còn áp dụng trong trờng hợp khi nhẩm đợc
nhiều nghiệm của một phơng trình đã cho, chỉ lu ý đến các khả năng còn lại của ẩn
x phải chứng minh cho phơng trình vô nghiệm.
Ví dụ: Khi đoán nhận đợc

==

21
; xx
là hai nghiệm của phơng trình (

<
) thì phải chứng minh các trờng hợp còn lại:






>
<
<<



x
x
x
và x

TXĐ mà phơng trình đã cho đều vô nghiệm thì mới kết
luận đợc phơng trình đã cho có hai nghiệm là

==
21
; xx
6. Phơng pháp tổng bình phơng.

* Cơ sở của phơng pháp này là: nếu đa đợc phơng trình ban đầu về dạng:
( )
0, ,, =tyxf
(1) về dạng:
( ) ( )
0, ,, , ,,
2
1
=++ tyxftyxf
n
thì:
(1)
( )
( )





=
=

0, ,,

0, ,,
1
tyxf
tyxf
n
Thực chất của phơng pháp trên là biến đổi tơng đơng phơng trình đã cho

thành một hệ phơng trình đặc biệt đơn giản hơn dễ tìm đợc nghiệm nhờ vào việc
biến đổi vế trái của (1) thành tổng của các bình phơng.
* Các bài toán áp dụng:
a. Bài toán 1: Giải phơng trình
xxx 16324
2
=+
(1)
Nếu giải phơng trình (1) theo cách bình phơng hai vế của phơng trình học
sinh gặp khó khăn vì (1) dẫn tới một phơng trình bậc 4 khó tìm nghiệm hơn. Ta có
thể áp dụng phơng pháp Tổng bình phơng) nh sau:
Điều kiện phơng trình có nghĩa
0

x
Với điều kiện
0x
ta có (*)
( )
( )
016164168
2
=+++ xxxx

( )
( )
4
2
4
042

04
0424
2
2
=



=
=




=
=

=+
x
x
x
x
x
xx
X= 4 thoả mãn điều kiện
0

x
Vậy phơng trình (1) có một nghiệm x= 4.
b. Bài toán 2: Giải phơng trình:

5634224 ++=+++ tyxtyx
(2)
Đây là một phơng trình vô tỉ có 3 ẩn số x, y, t nên nếu bằng cách giải thông
thờng học sinh gặp khó khăn. Song nếu áp dụng phơng pháp Tổng bình phơng thì
bài toán trở thành đơn giản.
Ta giải bài toán nh sau:
Điều kiện phơng trình có nghĩa là:

















5
3
2
05
03

02
t
y
x
t
y
x
(*)
Với điều kiện trên thì:
(1)
( ) ( ) ( )
93.52542.3231222 +++++ ttyyxx
( ) ( ) ( )
0352312
222
=++ tyx





=
=
=

=
=
=








=
=
=








=
=
=

14
7
3
95

43
12
35
23
12
035
023
012
t
y
x
t
y
x
t
y
x
t
y
x
(thoả mãn đk (*))
Vậy phơng trình (2) có một nghiệm duy nhất





=
=
=

14
7
3
t
y
x
Hay (x, y, t)= (3, 7, 14)
* Nh vậy dùng phơng pháp Tổng bình phơng ta có thể giải một phơng trình
vô tỉ có nhiều ẩn số một cách đơn giản song cần phải chú ý tránh sai lầm cho học
sinh về việc chỉ rõ số nghiệm của phơng trình.
c. Bài toán 3: Giải phơng trình
0
2
3
232 =++ xyxyx
(3)
Bài toán này rất khó khi thực hiện giải bằng phơng pháp thông thờng. Song
nếu tìm cách viết vế trái dới dạng tổng các bình phơng thì bài toán trở nên đơn giản.
Điều kiện phơng trình (3) có nghĩa là:
9;0 yx
Với điều kiện đó ta có:
(3)
( )
0)144(
2
1
1222 =+++++ yyyxyxyx

( ) ( )

=
=








=
=






=
+=

=
=

=+
4
1
4
9
4
1
2
3
2
1
1
012
01
012
2
1
1
22
y
x
y
x
y
yx

y
yx
yyx
Thỏa mãn điều kiện
0;0 yx
Vậy phơng trình (3) có duy nhất một nghiệm là:







=
=
4
1
4
9
y
x
d. Bài toán 4: Một ứng dụng của phơng pháp Tổng bình phơng vào phơng
trình có chứa căn thức ở mẫu thức (ẩn ở dới dấu căn).
Ví dụ: Giải phơng trình
6651382
665
1225
1
9
3

16
=

+

+

zyx
zyx
(4)
Điều kiện để phơng trình có nghĩa:





>
>
>
665
1
3
z
y
x
(*)
Vận dụng Tổng bình phơng ta đa (4) về dạng quen thuộc:
(4)
( )
( )

( )
665
66535
1
12
3
34
2
2
2


+


+



z
z
y
y
x
x

=
=
=








=
=
=

1890
5
19
35665
21
43
z
y
x
z
y
x
(thoả mãn điều kiện (*))
Vậy phơng trình (4) có duy nhất một nghiệm (x, y, z)= (19, 5, 1890)
* Nhận xét: Qua các bài toán ta nhận thấy khi gặp một số phơng trình vô tỉ

không ở dạng mẫu mực việc sử dụng các phơng pháp khác gặp khó khăn. Nếu
viết đợc một vế của phơng trình f(x) = 0 dới dạng
( ) ( ) ( ) ( )
xfxfxfxf
n
22
2
2
1
+++=
thì việc giải phơng trình f(x) = 0 trở thành đơn giản. Đây là một phơng pháp ứng
dụng nhiều đối với các phơng trình đã gặp trong chơng trình phổ thông.
7. Phơng pháp sử dụng biểu thức liên hợp
* Trong khi thực hiện các phép biến đổi tơng đơng một phơng trình vô tỉ ta có
thể nhân (chia) hai vế của phơng trình với biểu thức liên hợp của một trong hai vế
hoặc của cả hai vế của phơng trình đã cho, để đợc một phơng trình đơn giản hơn ph-
ơng trình ban đầu rồi dùng phơng trình ban đầu biến đổi tới một phơng trình đã biết
cách giải.
Tuy nhiên, có trờng hợp ta có thể lợi dụng tế nhị biểu thức liên hợp của
biểu thức có chứa trong dấu căn.
a. Ví dụ 1: Giải phơng trình
235 =+ xx
(1)
Điều kiện:
5x
và
33 xx
Với điều kiện
3

x
ta có
035 >++ xx
là biểu thức liên hợp của vế trái.
Nhân hai vế của (1) với
35 ++ xx
ta có:
(1)
( )
( )
35235 ++=+ xxxx
435 =++ xx
(1)
Cộng vế với vế của (1) và (1) ta đợc phơng trình:

49535652 ==+=+=+ xxxx
(thoả mãn điều kiện).
Vậy phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x= 4
- Với bài toán này dùng biểu thức liên hợp u thế hơn việc bình phơng hai
vế của (1)
b. Ví dụ 2: Giải phơng trình
( ) ( )
10625625
2
=++
x
(2)
- Đây là phơng trình ẩn số lad mũ của một luỹ thừa nằm trong dấu căn nên
việc nâng hai vế lên luỹ thừa sẽ bế tắc, nhng nếu nhận xét tích của hai biểu thức
liên hợp

( )( )
1625625 =+
thì việc giải phơng trình (2) trở nên dễ dàng.
Ta có:
( ) ( )
1625.625
2
=+
x
Nên nếu ta đặt:
( )
t
t
x
1
625625 =+=
Khi đó:
011010
1
)2(
2
=+=+ tt
t
t
Đến đây là có thể tìm đợc t rồi giải tiếp phơng trình:
( )
x
t 625 =
ta tìm đợc x
Ta có:

0110
2
=+ tt
có hai nghiệm





+=
=
625
625
2
1
t
t
- Nếu
( ) ( ) ( )
2625625625625
2
=== x
xx

- Nếu
( ) ( )
625
1
625625625

=+=
xx
( ) ( ) ( ) ( )
2625625625625
21
===

x
xx
Kết luận: Phơng trình có hai nghiệm:
2;2
21
== xx
Bài toán này có thể giới hạn yêu cầu là tìm nghiệm nguyên của (2)
c. Ví dụ 3: Giải phơng trình
xxxx +=++ 149
(3)
Điều kiện:
0

x
với điều kiện này ta có lợng liên hợp của hai vế luôn lớn hơn
0. Ta có thể vừa nhân và chia với lợng liên hợp của hai vế:
(3)
( )( ) ( )( )
xx
xxxx
xx
xxxx
++

+++
=
++
++++

1
11
49
4949
Biến đổi tơng đơng phơng trình trên ta có phơng trình thu gọn là:

xxxx 51549 ++=+++
(3)
Cộng vế với vế của (3) và (3) ta đợc:
xxx 2139 ++=+
(3)
Đến đây ta chỉ đợc ra nghiệm x= 0 thoả mãn điều kiện vì:
9139999990 +>++>++>+> xxxxxxx

+>++ 9213 xxx
(3) vô nghiệm
Vậy x= 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình (3)
- Trong bài toán này ta đã sử dụng nhân và chia với biểu thức liên hợp của hai
vế rồi dẫn tới một phơng trình đơn giản (3), thực hiện cộng vế với vế của (3) và (3)
dẫn đến một phơng trình (3) dễ dàng tìm đợc nghiệm.
* Có thể nói sử dụng biểu thức liên hợp để biến đổi tơng đơng các phơng
trình vô tỉ đợc ứng dụng vào các bài toán giải phơng trình vô tỉ ở dạng phức tạp có
một lợi thế nhất định song cần chú ý cách dùng biểu thức liên hợp phải linh hoạt và
sáng tạo.
8. Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

* Mục đích của phơng pháp này là biến đổi phơng trình đã cho thành một ph-
ơng tình tơng đơng có dạng:
( ) ( ) ( ) ( )
mxgxfmxgxf ==
22

Rồi giải phơng trình chứa giá trị tuyệt đối.
* Ví dụ 1: Giải phơng trình
34412
22
=++++ xxxx
(1)
Biến đổi tơng đơng phơng trình (1) ta có:
( ) ( )
321)1(
22
=++ xx
321 =++ xx
(1)
- Nếu x<-2 ta có:
2202
1101
=+<+
=<
xxx
xxx
Ta có (1)
242321 === xxxx
(loại vì

khoảng đang xét)
- Nếu
12

x
ta có phơng trình 1-x +x+2 = 3 0x = 0 phơng trình có
vô số nghiệm:
12

x
- Nếu x>1 ta có phơng trình
122321
===++
xxxx
(loại vì không
thuộc khoảng đang xét).
Kết luận: Vậy phơng trình có vô số nghiệm là
12

x
* ở bài toán này việc giải phơng trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh
có thể xét 4 trờng hợp về dấu của x-1 và x+2, nên chú ý cho học sinh phải đối chiếu
nghiệm trong từng khoảng và kết luận nghiệm trong toàn trục số.
* Ví dụ 2: Giải phơng trình:
5168143 =++++ xxxx
(2)
Điều kiện:
101

xx

(2)
( ) ( )
53121
22
=+++ xx
53121 =++ xx
53121 =++ xx
13131331 == xxxx
109131013 xxxx
Kết hợp với điều kiện
1

x
ta có nghiệm của phơng trình là:
101

x
- ở bài toán trên việc giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có chú ý tới
việc dùng định nghĩa và tính chất về dấu giá trị tuyệt đối làm cho việc phân chia các
trờng hợp là không cần thiết va lời giải gọn gàng hơn.
* Trên đây là 8 phơng pháp thờng dùng để giải các phơng trình vô tỉ. Tuy
nhiên việc sử dụng các phơng pháp nói trên phải đợc học sinh lựa chọn cho thích
hợp với từng phơng trình thực tế. Song không thể quan trọng hóa và đề cao chất l-
ợng của bất kỳ một phơng pháp nào trong giải phơng trình vô tỉ. Điều quan trọng là
dùng phơng pháp nào mà việc giải một phơng trình đạt hiệu quả nhất (nhanh gọn
nhất). Ta cần chú ý các phơng pháp trên có mối quan hệ mật thiết với nhau nh hai
phơng pháp: Đặt ẩn phụ và phơng pháp hệ phơng trình; phơng pháp hệ phơng trình
và phơng pháp tổng bình phơng Hoặc có khi trong một bài giải phơng trình ta có
thể phối hợp hai hay nhiều phơng pháp nói trên miễn sao đạt hiệu quả cao.
C. Biện pháp thực hiện

1. Thờng xuyên khắc phục những sai lầm thờng mắc cho học sinh khi
dạy về phơng pháp giải phơng trình.
- Không đặt điều kiện để biến đổi tơng đơng.
- Không chọn nghiệm theo các điều kiện đã đặt ra mà kết luận nghiệm cho
phơng trình đã cho.
- Cha phân biệt đợc các phép biến đổi tơng đơng và không tơng đơng (phơng
trình tơng đơng; phơng trình hệ quả), phép biến đổi tơng đơng và phép biến đổi
thành phơng trình hệ quả.
* Nêu cho học sinh các bớc giải một phơng trình vô tỉ theo các thao tác:
+ Bớc 1: Nhận dạng phơng trình, đa phơng trình về dạng quen thuộc (Tìm
TXĐ của phơng trình).
+ Bớc 2: áp dụng phơng pháp giải hợp lý. Giải phơng trình.
+ Bớc 3: Chọn nghiệm và kết luận nghiệm (Thử lại nếu cần).
2. Cung cấp cho học sinh những kiến thức kỹ năng cơ bản có liên quan
đến giải một phơng trình.
- Các định lý về phép biến đổi tơng đơng một phơng trình (lớp 8).
- Chú ý các phép biến đổi tơng đơng có thể dẫn tới hai phơng trình không t-
ơng đơng nh: Bình phơng hai vế của một phơng trình khi cha rõ về dấu của hai vế
(phép biến đổi này chỉ tơng đơng khi hai vế cùng lớn hơn hoặc bằng 0).
Vì



=
=
=
BA
BA
BA
22

nên
BABA ==
22
khi A và B không âm.
Ví dụ: -(5)
2
= 5
2
không
55
=
Chỉ có:
22
BABA ==