Đề thi HSG tỉnh lớp 9 hay có đáp án

Bài 1: Giải hệ phương trình:
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn với mỗi số nguyên lẻ a mà thì n chia hết cho
a
Bài 3:
Cho tam giác nhon ABC nội tiếp đường tròn (O), AD, BE, CF là ba đường cao. Đường thẳng EF
cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt đường tròn (O) tại điểm M.
1) Chứng minh rằng 4 điểm A, M, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
2) 2) Gọi N là trung điểm cạnh BC và H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng
Bài 4: Chứng minh rằng:
Bài 5:
Mỗi ô vuông đơn vị của bảng kích thước 10x10 được ghi một số nguyên dương không vượt quá
10 sao cho bất kì hai số nào ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bảng
là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần.
LỜI GIẢI
Bài 1:
* Với , thay vào pt (1), ta được : x=0, x=-2, x=-5
x = 0 => y = 4
x = -2 => y = 6
x = -5 => y=9
* Với , thay vào pt (1), ta được: x=0, x=-2, x=19
x = 0 => y = 4
x = -2 => y = -6
x = 19 => y = 99
Vậy: nghiệm của hệ đã cho là (0;4); (-2;6); (-2;-6); (-5;9), (19; 99)
Bài 2
Gọi a là số lẻ lớn nhất mà
Khi đó
Nếu thì là các ước lẻ của n. Các số này nguyên tố cùng nhau đôi một nên Suy ra
Do đó a=1 hoặc a=3 hoặc a=5
+ Nếu a=1 thì
+ Nếu a=3 thì

+ Nếu a=5 thì
Vậy tất cả các số nguyên dương n cần tìm là:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 30, 45
Bài 3
1) Tứ giác ABCD nội tiếp, P là giao điểm của AB và CD.
=> PA.PB=PC.PD
* Tương tự tứ giác AMBC nội tiếp => GM.GA=GB.GC
*Tứ giác BFEC nội tiếp => GB.GC= GF.GE
Suy ra GF.GE=GM.GA
Do đó: Tứ giác AMFE nội tiếp
2) Theo kết quả phần 1 và tứ giác AEHF nội tiếp suy ra M nằm trên đường tròn đường kính
AH, do đó
Tia MH cắt lại đường tròn tại K, khi đó do
·
AMK
= 90
0
neen AK là đường kính của (O).
Suy ra => do đó BHCK là hình bình hành => KH đi qua N
Khi đó M, H, N thẳng hàng.
Trong tam giác GAN có hai đường cao AD, NM cắt nhau tại H, nên H là trực lâm của tam giác
GAN. Suy ra
Bài 4
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Bài 5:
Trên mối hình vuông con, kích thước 2x2 chỉ có không quá một số chia hết cho2, cũng vậy, có
không quá một số chia hết cho 3.

Lát kín bảng bởi 25 hình vuông, kích thức 2x2, có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2, có nhiều nhất
25 số chia hết cho 3. Do đó, có ít nhất 50 số còn lại không chia hết cho 2, cũng không chia hết
cho 3. Vì vậy, chúng phải là một trong các số 1, 5, 7.
Vậy, theo nguyên lý Dirichlet, có một số xuất hiện ít nhất 17 lần.