Đề thi thử đại học môn Toán số 54

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 54 )
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số
y x m x
4 2 2
2 1= + +
(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Chứng minh rằng đường thẳng
y x 1= +
luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá
trị của m.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình:
x x x
2 2
2sin 2sin tan
4
π
 
− = −
 ÷
 
2) Giải hệ phương trình:
( )
x x x
2 2 2
3 3 3
2log –4 3 log ( 2) log ( –2) 4+ + − =
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I =

x
dx
x x
3
2
0
sin
cos 3 sin
π
+
∫
Câu IV (1 điểm): Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và
vuông góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc bằng 60
0
. Tính
diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Câu V (1 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
x x x x
f x
x x
4 3 2
2
4 8 8 5
( )
2 2
− + − +
=
− +

II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)

1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có tiêu điểm thứ nhất là
( )
3;0−
và đi qua điểm
M
4 33
1;
5
 
 ÷
 
. Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E).
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d:
x t
y t
z
1
2 2
3

= −

= +


=

. Hãy tìm trên

đường thẳng d các điểm B và C sao cho tam giác ABC đều.
Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh:
n n
n n n n
C C C n C n n
2 1 2 2 2 3 2 2 2
1 2 3 ( ).2
−
+ + + + = +
, trong đó n là số tự nhiên,
n ≥ 1 và
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng AB cắt trục Oy tại
E sao cho
AE EB2=
uuur uuur
. Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm là
G
13
2;
3
 
 ÷
 
. Viết phương trình

cạnh BC.
2) Trong không gian với hệ toạ độ O xyz , cho đường thẳng d:
x y z1 1
3 1 1
− +
= =
và mặt phẳng (P):
x y z2 2 2 0+ − + =
. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất
tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1).
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình:
x y y x
y x
3 3
2 2
4 16
1 5(1 )


+ = +

+ = +


.