đề toán thi thử lần 1 năm 2015 ischool nha trang

SỞ GD VÀ ĐT KHÁNH HÒA ĐỀ THI THỬ LẦN 1 KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM
2015
TRƯỜNG iSCHOOL NHA TRANG Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
_________________
Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số
.3
23
xxy +−=
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
.53 += xy
Câu 2.(1,0 điểm)
a) Cho góc α thỏa:
π<α<
π
2
2
3
và
4
3
cos =α
. Tính
.
3
cos







α−
π
b) Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phương trình 2z
2
+ 3z + 4 = 0. Tính
.
21
zzM −=
Câu 3.(0,5 điểm) Giải bất phương trình:
.093.823
)1(2
≤+−
+ xx
Câu 4.(1,0 điểm) Giải phương trình:
.16212244
2
−+−=−++ xxxx
Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân
( )
.
1
0
2
∫

+= xdxexI
x
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a,
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 60
0
. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA và SB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ S đến mặt phẳng (DMN).
Câu 7.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC là I(-2;1) và thỏa mãn điều kiện
.90
0
=
∧
AIB
Chân đường cao kẻ từ A đến
BC là D(-1;-1). Đường thẳng AC đi qua M(-1;4). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC,
biết đỉnh A có hoành độ dương.
Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;3;1) và đường thẳng d:
.
21
21
2





−−=
+=

+−=
tz
ty
tx
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng d. Viết phương trình
mặt cầu tâm A và tiếp xúc với d.
Câu 9.(0,5 điểm) Đội cờ đỏ của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học
sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh đi làm nhiệm vụ. Tính xác suất
để trong 4 học sinh được chọn không quá 2 trong 3 lớp trên.
Câu 10.(1,0 điểm) Cho x, y là hai số thực dương và thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
= 1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
.
1
1)1(
1
1)1(






+++









++=
x
y
y
xP
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1a
(1,0đ)
-Tập xác định: D = R.
-Sự biến thiên:
Chiều biến thiên
200';63'
2
=∨=⇔=+−= xxyxxy
.
0,25
Các khoảng nghịch biến: (-∞;0) và (2;+∞); khoảng đồng biến: (0;2).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
= 0; đạt cực đại tại x = 2, y
CĐ

= 4.
Giới hạn tại vô cực:
−∞=+∞=
+∞→
−∞→
x
x
yy lim;lim
0,25
Bảng biến thiên:
x
-∞ 0 2 +∞
y' – 0 + 0 –
y
+∞ 4
0 -∞
0,25
Đồ thị:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
0,25

1b
(1,0đ)
Tiếp tuyến song song với đường thẳng
53 += xy
nên có hệ số góc bằng 3.
0,25
Gọi M(x
0
;y
0
) là tiếp điểm, ta có
10363363
00
2
00
2
0
=⇔=+−⇔=+− xxxxx

0,25
Suy ra M(1;2) 0,25
Phương trình tiếp tuyến là: y = 3x – 1 . 0,25
2a
(0,5đ)
16
7
16
9
1sin1sincos
222

=−=α⇔=α+α
. Vì
π<α<
π
2
2
3
nên
.
4
7
sin0sin −=α⇒<α
0,25
.
8
213
4
7
.
2
3
4
3
.
2
1
sin
3
sincos
3

cos
3
cos
−
=−=α
π
+α
π
=






α−
π
0,25
2b
(0,5đ)
4
233
;
4
233
23
21
i
z
i

z
+−
=
−−
=⇒−=∆
0,25
.
2
23
2
23
21
=⇒−=−⇒ M
i
zz
0,25
3
(0,5đ)
093.823.9093.823
2)1(2
≤+−⇔≤+−
+ xxxx
0,25
.2233393
9
1
22
≤≤−⇔≤≤⇔≤≤⇔
−
x

xx
Vậy bất phương trình có nghiệm là
22 ≤≤− x
.
0,25
4
(1,0đ)
Điều kiện xác định:
.4≥x
Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương
( )
124444
16212)4()4(44
2
2
−−++=−++⇔
−+−−++=−++
xxxx
xxxxx
0,25
Đặt t =
44 −++ xx
, t > 0 ta được



=
−=
⇔=−−
4

)(3
012
2
t
loaïit
tt
0,25
Với t = 4 , ta được



+−=−
≤≤
⇔−=−⇔=−++
22
2
166416
84
816444
xxx
x
xxxx
0,25
.5
5
84
=⇔




=
≤≤
⇔ x
x
x
Vậy nghiệm của phương trình là x = 5.
0,25
5
(1,0đ)
.
3
1
|
3
;
1
0
3
1
0
2
1
0
2
1
0
2
==+=
∫∫∫
x

dxxdxxedxxI
x
0,25
Đặt u = x ⇒ du = dx;
xx
evchoïndxedv
22
2
1
==
0,25
∫∫
+
=−=−=⇒
1
0
2
1
0
2
2
21
0
2
1
0
2
4
1
|

4
1
22
1
|
2
e
e
e
dxee
x
dxxe
xxxx
0,25
Vậy
.
12
73
2
+
=
e
I
0,25
6
(1,0đ)
B
A
N
S

C
M
D
H
0,25
.
3
152

3
1
.
3
1
3
.
a
SAADABSASV
ABCDABCDS
===
0,25
Trong mp(SAD) kẻ SH ⊥ DM, ta có AB ⊥ (SAD) mà MN // AB ⇒ MN ⊥ (SAD) ⇒ MN ⊥ SH
⇒ SH ⊥ (DMN) ⇒ SH = d(S, (DMN))
0,25
∆SHM ~ ∆DAM
31
152
2
.
2

.
22
a
AMAD
DASA
DM
DASA
SH
DM
SM
DA
SH
=
+
==⇒=⇒
.
0,25
7
(1,0đ)
C
B
D
A
I
0,25
DI: 2x + y + 3 = 0. Gọi E = DI ∩ AC ⇒ E(-3;3) ⇒
20=DE
⇒ AD = DC =
402 =DE
A ∈ AC ⇒ A(-9 + 2t; t) ta có:




⇒=
−⇒=
⇔=+−⇔=
)5;1(5
)()1;7(1
02530540
22
At
loaïiAt
ttAD
0,25
E là trung điểm của AC ⇒ C(-7;1)
0,25
BC: x + 3y + 4 = 0 ; BI: 3x + 4y + 2 = 0
B = BC ∩ BI ⇒ B(2;-2)
Vậy A(1;5), B(2;-2), C(-7;1)
0,25
8
(1,0đ)
Đường thẳng d đi qua M(-2;1;-1) và có vectơ chỉ phương
)2;2;1( −=a
,
)2;2;4(=MA
mp(P) đi qua A và chứa d nhận
[ ]
)6;10;8(, −−== MAan
làm vectơ pháp tuyến

0,25
⇒(P): 4x – 5y – 3z + 10 = 0
0,25
Gọi H là hình chiếu của A trên d ⇒ H(-2 + t; 1 + 2t; -1 – 2t),







−−−=⇒=⇔=⇔⊥−−+−+−=
9
26
;
9
10
;
9
32
9
4
0.);22;22;4( AHtaAHaAHtttAH
0,25
Mặt cầu (S) tâm A có bán kính R = AH =
3
210
. Vậy (S):
( ) ( ) ( )
.

9
200
532
222
=−+−+− zyx
0,25
Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ AC là hình chiếu của SC trên
(ABCD) ⇒
0
60=
∧
SCA
1560tan;5
022
aACSAaCDADAC ===+=
000
1354590 =∨=⇒=
∧∧∧
ACBACBAIB
⇒ ∆ADC cân
tại D ⇒ DI ⊥ AC. Đường thẳng AC đi qua M và nhận
)2;1( −=ID
làm vectơ pháp tuyến
⇒ AC: x – 2y + 9 = 0.
9
(0,5đ)
495)(
4
12
==Ω Cn

Gọi A là biến cố : “ 4 học sinh được chọn không quá 2 trong 3 lớp trên”
A⇒
: “ 4 học sinh được chọn là học sinh của cả 3 lớp trên”
Ta có các trường hợp sau:
+ 2 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có
120
1
3
1
4
2
5
=CCC
cách
+ 1 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có
90
1
3
2
4
1
5
=CCC
cách
+ 1 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C có
60
2
3
1
4

1
5
=CCC
cách
.270)( =⇒ An
0,25
.
11
6
)(
)(
)( =
Ω
=⇒
n
An
AP

Vậy xác suất của biến cố A là:
11
5
)(1)( =−= APAP
0,25
10
(1,0đ)
2
11
2
1
2

1
2
11
1
1
1 +








++








++









++






+=+++++++=
yxx
y
y
x
y
y
x
x
x
y
y
xy
x
x
y
P
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
)4(2
2111

2
1
)3(2);2(2
2
1
);1(2
2
1
22
=
+
≥≥








+
≥+≥+≥+
yx
xy
yx
x
y
y
x
y

y
x
x
0,25
423 +≥⇒ P
. Mặt khác dấu đẳng thức đồng thời xảy ra trong (1), (2), (3), (4) khi và chỉ khi









>>=+
=
=
=
0,0;1
2
1
2
1
22
yxyx
yx
y
y
x

x
0,25
2
2
==⇔ yx
. Vậy
.
2
2
423min ==⇔+= yxP
0,25
• Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án
quy định
**************