Trường THPT Nguyễn Huệ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN 8
Năm học 2014
−
2015 Môn: Toán Thời gian: 180 phút
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= − +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tìm tọa độ hai điểm A , B thuộc đồ thị (C) sao cho
( )
0; 2I −
là trung điểm AB .
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình :
4sin5 .sin 2cos4 3x x x= +
.
b) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất . Giả sử súc sắc xuất hiện mặt b chấm . Tính xác
suất để phương trình
2
2 0x bx+ + =
có hai nghiệm phân biệt .
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
2
2
0
( cos )sinx x xdx
π
+
∫
.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm m để hàm số
( )
x
y e x m= +
đạt cực tiểu tại x = 1.
b) Tìm các căn bậc hai của số phức
w
biết
11 13
22 17
5 2
i
w i
i
+
= − +
−
.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
(2;1;5)A
và
(3;4;1)B
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với AB tại B .
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục
Oz
sao cho M cách đều A và mặt phẳng (Oxy).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,
2 2AB a=
.
Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn
2IA IH= −
uur uuur
. Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng
0
60
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và
khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH).
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm
( ) ( )
1;2 ; 3;4A B
và đường
thẳng
: 3 0.d y − =
,Viết phương trình đường tròn
( )
C
đi qua hai điểm
,A B
và cắt đường thẳng
d
tại hai điểm phân biệt
,M N
sao cho
·
0
60MAN =
.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình
( )
( )
2 3 2
5 5 10 7 2 6 2 13 6 32x x x x x x x x− + + + + + ≥ + − +
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho
, ,x y z
là các số thực dương thỏa mãn
( )
2 2
y z x y z+ = +
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 4
1 1 1
1 1 1
P
x y z
x y z
= + + +
+ + +
+ + +
.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Trường THPT Nguyễn Huệ ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 8 trang 1
Nội dung Điểm
Câu 1b Gọi
3 2 3 2
( ;2 3 1), (b;2 3 1)A a a a B b b− + − +
. Có
( )
0; 2I −
là trung điểm của AB và
3 2 3 2 3 2 3 2 2
0
1
2 3 1 2 3 1 4 2 3 1 2 3 1 4 6 6
a b b a b a
b a
a
a a b b a a a a a
+ = = − = −
= −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
= ±
− + + − + = − − + − − + = − − = −
0,75
Với
1 (1;0), ( 1; 4)a A B= ⇒ − −
Với
1 ( 1; 4), (1;0)a A B= − ⇒ − −
0,25
Câu 2a Pt đã cho
( )
3 5
2(cos6 cos4 ) cos4 3 cos6
2 36 3
x x x x x k k
π π
−
⇔ − − = + ⇔ = ⇔ = ± + ∈¢
0,5
Câu 2b Có 6 khả năng xảy ra khi tung súc sắc 0,25
Pt có 2 nghiệm phân biệt
{ }
2
0 8 0 3;4;5;6b b⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ ∈
. Xác suất cần tìm
2
3
P =
0,25
Câu 3
2
2 2
0 0
sin cos sinI x xdx x xdx
π π
= +
∫ ∫
. Đặt
2
2 2
1 2
0 0
sin , cos sinI x xdx I x xdx
π π
= =
∫ ∫
0,25
2
1
0
sinI x xdx
π
=
∫
. Đặt
2
2 2
1
0 0
0
cos cos sin 1
sin cos
u x du dx
I x x xdx x
dv xdx v x
π
π π
= =
⇒ ⇒ = − + = =
= = −
∫
0,25
Đặt
1
3
0 1
2 2
2
1 0
0
1
cos ( )
3 3
t
x t I t dt t dt= ⇒ = − = = =
∫ ∫
. Vậy
1 4
1
3 3
I = + =
.
0,5
Câu 4a Có
' ( ) ( 1) '' ( 1) ( 2)
x x x x x x
y e x m e e x m y e x m e e x m= + + = + + ⇒ = + + + = + +
.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
'(1) 0 (1 1) 0 2y e m m⇒ = ⇔ + + = ⇔ = −
0,25
Với
2 '' . ''(1) 0 1
x
m y e x y e x= − ⇒ = ⇒ = > ⇒ =
là điểm cực tiểu ( thỏa mãn ) .Vậy
2m
= −
0,25
Câu 4b
2
21 20 (2 5 )w i i= − + = +
. Các căn bậc hai của số
w
là
2 5i+
và
2 5i− −
0,5
Câu 5a (P) đi qua
(3;4;1)B
có véctơ pháp tuyến
( )
1;3; 4 ( ): 3 4 11 0AB P x y z− ⇒ + − − =
uuur
0,5
Câu 5b
(0;0; )M Oz M t∈ ⇒
. Ta có
( )
2
( ,( )) 5 ( 5) 3 0;0;3AM d M Oxy t t t M= ⇔ + − = ⇔ = ⇔
0,5
Câu 6 Ta có
2 2 2 2
4 5HC IC HI a a a= + = + =
.
( )
·
·
0
, 60SC ABC SCH= =
. Xét
SHC∆
có
0
.tan 60 15SH HC a= =
0,25
2
1
. 4
2
ABC
S AB AC a= =
. Ta có
3
.
1 4 15
.
3 3
S ABC ABC
a
V S SH
∆
= =
0,25
( ) ( )
( )
;BI SAH d B SAH BI a⊥ ⇒ = =
.Gọi M là trung điểm SI .
Ta có
( ) ( )
( )
/ / ,
2
a
MK BI MK SAH d K SAH MK⇒ ⊥ ⇒ = =
0,5
Câu 7. Gọi
( )
2 2
: 2 2 0C x y ax by c+ − − + =
(đk
2 2
0)a b c+ − >
( ) ( )
( ) ( )
1;2
5 2 4 0 5
25 6 8 0 15 2
3;4
A C
a b c b a
a b c c a
B C
∈
− − + = = −
⇔ ⇒
− − + = = −
∈
.Vậy
( )
; 5I a a− +
bán kính
( ) ( )
( )
2
2 2
5 15 2 2 4 5R a a a a a= + − − − = − +
0,25
Trường THPT Nguyễn Huệ ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 8 trang 2
·
0
60MAN =
. Suy ra
·
·
·
0 0
120 30MIN I MN I NM= ⇒ = =
hạ
( ) ( )
1
,
2
IH d IH d I d R⊥ ⇒ = =
0,25
( )
2 2
1
2 2 4 5 4 3 0 1 3
2
a a a a a a a⇔ − = − + ⇔ − + = ⇒ = ∨ =
0,25
Khi
1a
=
ta có đường tròn
( )
2 2
: 2 8 13 0C x y x y+ − − + =
( loại do
,I A
khác phía đường thẳng
d
)
Khi
3a
=
⇒
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
: 6 4 9 0 : 3 2 4C x y x y C x y+ − − + = ⇔ − + − =
(t/ mãn)
0,25
Câu 8 Điều kiện
2x ≥ −
. Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
( ) ( )
2 2 3 2
(5 5 10) 7 3 (2 6) 2 2 3(5 5 10) 2(2 6) 13 6 32x x x x x x x x x x x− + + − + + + − + − + + + ≥ + − +
( ) ( )
2 3 2
(5 5 10) 7 3 (2 6) 2 2 2 5 10 0x x x x x x x x⇔ − + + − + + + − − + − + ≥
0,25
( )
2
2
5 5 10 2 6
2 5 0
7 3 2 2
x x x
x x
x x
− + +
⇔ − + − − ≥
÷
+ + + +
(*)
0,25
Do
1 1
2 2 2 2
2
2 2
x x
x
≥ − ⇒ + + ≥ ⇒ ≤
+ +
và vì
2 6 0x + >
2 6 2 6
3
2
2 2
x x
x
x
+ +
⇒ ≤ = +
+ +
(1)
Do
2x ≥ − ⇒
1 1
7 3 5 3 5
5
7 3
x
x
+ + ≥ + > ⇒ <
+ +
và vì
2
5 5 10 0x x x− + > ∀ ∈¡
2 2 2
2 2
5 5 10 5 5 10 5 5 10
2 5 3
5
7 3 7 3
x x x x x x
x x x x
x x
− + − + − +
⇒ < = − + ⇒ − − < − −
+ + + +
(2)
Từ (1) và (2)
2
2
5 5 10 2 6
5 0
7 3 2 2
x x x
x
x x
− + +
⇒ + − − <
+ + + +
. Do đó (*)
2 0 2x x⇔ − ≤ ⇔ ≤
0,25
Kết hợp điều kiện
2 2 2x x
≥ − ⇒ − ≤ ≤
. 0,25
Câu 9 Ta có
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2y z y z x y z x y z+ ≤ + ⇒ + ≤ +
( ) ( )
2
2
2x y z y z y z
x
⇔ + ≤ + ⇒ + ≤
Theo BĐT Côsi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1 1 2
1 1 2 1 1 2
4 4
y z y z y z
x
+ + ≤ + + ⇔ + + ≤ +
÷
( ) ( )
( )
2
2
1
1 1
x
y z
x
+
⇔ + + ≤
( ) ( )
( )
2
2
1
1 1
1
x
y z
x
⇔ ≥
+ +
+
(1)
( ) ( )
( )
2
2
4 4
(1 ) 1 1
1
x
x y z
x
⇔ ≥
+ + +
+
(2)
Lại có theo BĐT Côsi
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1
2
1 1 1 1y z y z
+ ≥
+ + + +
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1 2
1 1
1 1
y z
y z
⇔ + ≥
+ +
+ +
(3) . Từ (1) và (2)
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
1 1 2
1 1 1
x
y z x
⇒ + ≥
+ + +
(4)
0,5
Từ (2) và (4)
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 3
1 2 4
1 1 1
x x
P
x x x
⇒ ≥ + +
+ + +
( )
3 2
3
2 6 1
1
x x x
P
x
+ + +
⇔ ≥
+
0,25
Xét hàm số
( )
3 2
3
2 6 1
( )
1
x x x
f x
x
+ + +
=
+
trên
( )
0;+∞
. Ta có
( )
4
10 2 1
( ) 0
5
1
x
f x x
x
−
′
= = ⇒ =
+
Lập BBT
1 91
( )
5 108
P f x f
≥ ≥ =
÷
. Vậy GTNN của .
91 1
; 5
108 5
P x y z= ⇔ = = =
.
0,25