đề toán thi thử năm 2015 số 14

SỞ GD VÀ ĐT GIA LAI KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
TRƯỜNG THPT Môn thi: TOÁN
NGUYỄN BỈNH KHIÊM Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số:
3 2
1
x
y
x
-
=
-
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 1y x= - +D
Câu 2.(1,0 điểm)
a) Giải phương trình:
+ = +
2
(sinx cosx) 1 cosx
.
b) Cho số phức
1 3z i= +
. Tìm số nghịch đảo của số phức:
2
.z z z

w
= +
Câu 3.(0,5 điểm) Giải phương trình:
2
1 2
2
log ( 5) 2 log ( 5) 0x x+ + + =
Câu 4.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
( )
( )
2
2 2
1 2 1 4 2 6 3
1 2 4 8 4 4
x y x y x y
x x x x xy

+ + + = + + +


+ − + + + =


Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân:
2
1
0
( )
x
I x x e dx= +

ò
Câu 6.(1,0 điểm) Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân
tại B, SA= a, SB hợp với đáy một góc 30
0
.Tính thể tích của khối chóp S.ABC. và tính khoảng cách giữa
AB và SC.
Câu 7.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 144. Gọi điểm
(2;1)M
là trung điểm của đoạn AB; đường phân giác trong góc A có phương trình
: 3 0AD x y
+ + =
.
Đường thẳng AC tạo với đường thẳng AD góc
ϕ
mà
4
cos
5
ϕ
=
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
biết đỉnh B có tung độ dương.
Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
D
và mặt phẳng
( )
a
lần lượt
có phương trình
3 2 3

:
1 1 3
x y z- - +
= =D
;
( ) : 2 1 0x y z
a
+ - + =
Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng ∆ với mặt phẳng
( )Oxy
. Viết phương trình mặt cầu tâm
A, tiếp xúc với mặt phẳng (α).
Câu 9.(0,5 điểm) Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n
x
x






−
2
2
, biết rằng n là số
nguyên dương thỏa mãn

323
1
24
nnn
ACC
=+
+
.
Câu 10.(1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn
4 4
1
2x y xy
xy
+ + = +
. Tìm giá trị lớn nhất
của
2 2
2 2 3
1 2
1 1
P
xy
x y
= + -
+
+ +
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:

P N V HNG DN CHM KY THI TH THPT QUễC GIA NM 2015
Mụn thi: TON
Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao
Cõu Ni dung im
1a
(1,0)
Hm s:
3 2 2 3
1 1
x x
y
x x
- - +
= =
- -
Tp xỏc nh:
\ {1}D = Ă
o hm:
2
1
0,
( 1)
y x D
x
-
Â
= < " ẻ
-
Hm s nghch bin trờn cỏc khong xỏc nh
( )

;1- Ơ
v
( )
1;+ Ơ
v khụng t cc tr.
0,25
Gii hn v tim cn:
; lim 2 lim 2 2
x x
y y y
- Ơ + Ơđ đ
= - = - = -ị
l tim cn ngang.
;
1 1
lim lim 1
x x
y y x
- +
đ đ
= - Ơ = + Ơ =ị
l tim cn ng.
0,25
Bng bin thiờn
x
1 +
y
Â

y

2

+
2
Giao im vi trc honh:
3
0 2 3 0
2
y x x= - + = =
Giao im vi trc tung: cho
0 3x y= = -ị
Bng giỏ tr: x 0 1/2 1 3/2 2
y 3 4 || 0 1
0,25
th hm s nh hỡnh v bờn õy:
0,25
1b
(1,0)
2 3
( ) :
1
x
C y
x
- +
=
-
Gi
( )
0 0

; ( )M x y Cẻ
l tip im, phng trỡnh tip tuyn ti M cú dng
( )
0 0 0
( )y f x x x y
Â
= - +
Vỡ Tip tuyn song song vi ng thng
: 1y x= - +D
nờn cú h s gúc
0
( ) 1f x
Â
= -
0,25
2
0 0
0
2
0 0
0
1 1 2
1
1 ( 1) 1
1 1 0
( 1)
x x
x
x x
x

ộ ộ
- = =
-
ờ ờ
= - - =
ờ ờ
- = - =
-
ờ ờ
ở ở
0,25
Vi
0 0
2 1x y= = -ị
. pttt l:
1 1( 2) 1y x y x+ = - - = - +
( loi)
0,25
 Với
0 0
0 3x y= = -Þ
. pttt là:
3 1( 0) 3y x y x+ = - - = - -Û
0,25
2a
(0,5)
Ta có:
+ = +
2
(s inx cosx) 1 cosx

⇔ + = +1 2sin xcosx 1 cosx

⇔ =cosx(2 sin x-1) 0
0,25

=

⇔



cosx 0
1
s inx=
2
π
π
π
π
π
π

= +



⇔ + ∈



= +


x k
2
x= k2 (k Z).
6
5
x k2
6
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
0,25
2b
(0,5)
Với
1 3z i= +
, ta có

2 2 2 2 2
. (1 3 ) (1 3 )(1 3 ) 1 6 9 1 9 2 6z z z i i i i i i i
w
= + = + + + - = + + + - = +
0,25

2 2
1 1 2 6 2 6 2 6 1 3
2 6 (2 6 )(2 6 ) 40 20 20
2 36
i i i
i

i i i
i
w
- - -
= = = = = -
+ + -
-
0,25
3
(0,5)
2
1 2
2
log ( 5) 2 log ( 5) 0x x+ + + =
(*)
 Điều kiện:
2
5 0
5 0 5
5 0
x
x x
x
ì
ï
+ >
ï
ï
+ > > -Û Û
í

ï
+ >
ï
ï
î
 Khi đó,
1
2 2
1 2 2
2
2
log ( 5) 2 log ( 5) 0 log ( 5) 2 log ( 5) 0x x x x
-
+ + + = + + + =Û
2 2 2 2
2 2 2 2
log ( 5) log ( 5) 0 log ( 5) log ( 5)x x x x- + + + = + = +Û Û
0,25
(nhan)
2 2 2 2
( 5) 5 10 25 5 10 20 2x x x x x x x+ = + + + = + = - = -Û Û Û Û
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất:
2x = -
0,25
4
(1,0)
( )
( )
2
2 2

1 2 1 4 2 6 3 (1)
1 2 4 8 4 4 (2)
x y x y x y
x x x x xy

+ + + = + + +


+ − + + + =


Điều kiện:
2 0x y+ ≥
(1)
( )
2
1 4 2 2 1 6 3 0x y x y x y⇔ − + + + + − + =
( ) ( )
1 4 2
1 4 2 1 4 2 0
2 1 6 3
x y
x y x y
x y x
− −
⇔ + + − − + =
+ + + +
( ) ( )
1
1 4 2 1 4 2 0

2 1 6 3
x y x y
x y x
 
⇔ − − + + + =
 
+ + + +
 
0,25
0,25
Do điều kiên
2 0x y+ ≥
nên
( )
1
1 2 2 0
2 1 6 3
x y
x y x
+ + + >
+ + + +
Suy ra
4 2 1 0 4 2 1x y x y+ − = ⇔ + =
thế vào phương trình (2) ta được
( ) ( ) ( )
2 2
1 2 4 2 4 2 4 1 2 4 2 4 0x x x x x y x x x x+ − + + + = ⇔ + − + + − =
Đặt
( ) ( )
2

1 2 4 2 4f x x x x x= + − + + −
( )
( ) ( )
2
2
2 2
1 4 1
8 7
' 2 4 2 0,
2 4 2 2 4
x x
x x
f x x x x
x x x x
+ −
+ +
= − + + + = > ∀ ∈
− − − −
¡
0,25
Suy ra hàm số đồng biến trên R mà
1
0
2
f
 
=
 ÷
 
nên

1
2
x =
là nghiệm duy nhất
Với
1 1
2 2
x y= ⇒ = −
(thảo đk)
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( )
1 1
; ;
2 2
x y
 
= −
 ÷
 
0,25
5
(1,0)
2 2
1 1 1
2
0 0 0
( )
x x
I x x e dx x dx xe dx A B= + = + = +
ò ò ò

0,25
1
3
0
1
3 3
x
A = =
0,25
2
1
0
x
B xe dx=
ò
 Đặt
2
2 .
2
dt
t x dt x dx xdx= = =Þ Þ
 Đổi cận: x 0 1
t 0 1
0,25
 Vậy,
1
1
0
0
1 1 1 1 1

.
3 2 3 2 3 2 2 2 6
t
t
dt e e e
I e= + = + = + - = -
ò
0,25
6
(1,0)

( )
( )
SA ABC
SA A B
A B ABC
ì
ï
^
ï
^Þ Þ
í
ï
Ì
ï
î
AB là hình
chiếu của SB lên (ABC)
do đó
·

0
30SBA =
 Tam giác SAB vuông tại A nên
·
·
0
cot
. cot
. cot 30 3
A B
SBA
SA
BC A B SA SBA
a a
=
= =Þ
= =
0,25

2
1 1 3
. 3. 3
2 2 2
A BC
a
S A B BC a a= = =
 Vậy, thể tích khối chóp S.ABC là:
2 3
1 1 3
.

3 3 2 2
A B C
a a
V SA S a= = × × =
(đvtt)
0,25
Trong mp(ABC) Kẻ AI//BC và kẻ CI //AB suy ra ABCI là hình vuông cạnh
3a
Trong mp(SAI) kẻ AH vuông góc với SI
Ta có
( )
( ( )
A H SI
A H SIC
A H CI CI SA I
ì
ï
^
ï
^Þ
í
ï
^ ^
ï
î

Nên
( ) ( )
, ;( )d A B SC d A SIC AH= =
0,25

Tam giác SAI vuông tại A nên
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 . . 3 3
2
3
A I SA a a a
A H
A H SA AI
A I SA a a
= + = = =Þ
+ +
Vậy khoảng cách của AB và SC bằng
3
2
a
Học sinh có thể sử dụng phương pháp tọa độ để tìm khoảng cách
0,25
7
(1,0)
Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua AD
'M AC
⇒ ∈
+ Ta có pt
': 1 0MM x y
− − =
+ Gọi
' ( 1; 2)I MM AD I
= ∩ ⇒ = − −
+ Do I là trung điểm

' ' ( 4; 5)MM M⇒ = − −
* Đường thẳng AD có vtpt là
(1;1)n
=
r
0,25
Giả sử đường thẳng AC có vtpt là

2 2
1
( ; ), 0n a b a b
= + ≠
ur
.
+ Theo giả thiết suy ra:
( )
1
2 2
1
2 2
1
.
7
4 4
cos cos , 7 50 7 0
7
5 5
2
n n
a b

a b
n n a ab b
b a
n n
a b
ϕ
=
+

= ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = ⇔

=
+

r ur
r ur
r ur
0,25
Với
7a b
=
, chọn
1 7 :7 33 0b a pt AC x y
= ⇒ = ⇒ + + =
- Điểm
( )
3 0 5
: 5;2
7 33 0 2
x y x

A AD AC A A
x y y
+ + = = −
 
= ∩ ⇒ ⇔ ⇒ = −
 
+ + = =
 
- Điểm
(2;1)M
là trung điểm của AB
( )
9;0B
⇒ =
(loại)
+ Với
7b a
=
, chọn
1 7 pt : 7 39 0a b AC x y
= ⇒ = ⇒ + + =
- Điểm
( )
3 0 3
: 3; 6
7 39 0 6
x y x
A AD AC A A
x y y
+ + = =

 
= ∩ ⇒ ⇔ ⇒ = −
 
+ + = = −
 
- Điểm
(2;1)M
là trung điểm của AB
( )
1;8B
⇒ =
(thỏa mãn đk)
0,25
48
10 2 và pt : 7 15 0 ( '; )
5 2
AB AB x y d M AB⇒ = + − = ⇒ =
;
* Nhận thấy:
'
1 144 1
( '; ). 48 ( ; ) 3. ( '; )
2 3 3
M AB ABC
S d M AB AB S d C AB d M AB
= = = = ⇒ =
V V
Lại vì M’ nằm giữa A, C nên
3 ' ( 18; 3)AC AM C
= ⇒ = − −

uuur uuuuur
Vậy
( )
3; 6A
= −
,
( )
1;8B
=
,
( 18; 3)C
= − −
là các điểm cần tìm.
0,25
8
Mặt phẳng
( )Oxy
có phương trình z = 0
0,25
Thay ptts (1) của
D
vào phương trình z = 0 ta được:
3 3 0 1t t- + = =Û
Suy ra giao điểm của đường thẳng
D
và mp(Oxy) là:
(4;3;0)A
0,25
Mặt cầu tâm A, tiếp xúc với
( )

a
có bán kính
( ,( )) 2 6R d A
a
= = =L
0,5
nên có phương trình:
2 2 2
( 4) ( 3) 24x y z- + - + =
. 0,25
9
(0,5)
Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n
x
x






−
2
2
, biết rằng n là số nguyên
dương thỏa mãn

323
1
24
nnn
ACC
=+
+
.
Ta có
3),2)(1()1(
6
)1(()1(
.424
323
1
≥−−=−+
−+
⇔=+
+
nnnnnn
nnn
ACC
nnn
11
)2(33)1(2
=⇔
−=++⇔
n
nn
(Thỏa điều kiện)

0,25
Khi đó
)2.(
2
.)(
2
11
0
322
11
11
0
112
11
11
2
∑∑
=
−
=
−
−=






−=







−
k
kkk
k
k
kk
xC
x
xC
x
x
Số hạng chứa
7
x
là số hạng ứng với k thỏa mãn
.57322
=⇔=−
kk
Suy ra hệ số của
7
x
là
.14784)2.(
55
11

−=−
C
0,25
10
(1,0)
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn
4 4
1
2x y xy
xy
+ + = +
. Tìm giá trị lớn nhất của
2 2
2 2 3
1 2
1 1
P
xy
x y
= + -
+
+ +
Ta cú
2 2
1
2 2xy x y
xy
+ +
t
0t x y= >

ta c
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
(1)
2 3 2
1
2 2 2 2 1 0 1 1 2 1 0
1
1 2 1 0 1.
2
t t t t t t t t
t
t t t
+ + - - - + - - Ê Ê
- - Ê Ê Ê
0,25
Vi
0, 0x y> >
v
1xy Ê
ta cú
2 2
1 1 2
1
1 1
xy
x y
+ Ê
+
+ +

(1)
Tht vy (1)
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2
1
0
1 1 1
x y xy
x y xy
- -
Ê
+ + +
ỳng do
0, 0x y> >
v
1xy Ê
Khi ú
(2)
4 3 4 3
1 1 2 1 1 2
P
xy xy t t
- = -Ê
+ + + +
0,25
Xột hm s
( )

4 3
1 1 2
f t
t t
= -
+ +
trờn
1
;1
2
ộ ự
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
4 6 5 2 1 1
' 2 0, ;1
2
1 1 2 1 1 2
t t
f t t
t t t t
ộ ự
- + -
ờ ỳ
= + = - < " ẻ
ờ ỳ

ở ỷ
+ + + +
Suy ra
( )
(3)
1 7 1
, ;1
2 6 2
f t f t
ổử ộ ự
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
= "Ê ẻ
ỗ
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
ỗ
ố ứ
ở ỷ
0,25
T (2) v (3) ta cú
7
.
6
P Ê
Du ng thc xy ra khi

1
2
xy =
v
1
2
x y x y= = =
Vy giỏ tr ln nht ca P bng
7
6
t c khi
1
2
x y= =
0,25
*Lu ý
Hc sinh cú li gii khỏc vi ỏp ỏn chm thi nu cú lp lun ỳng da vo SGK hin hnh v cú kt qu
chớnh xỏc n ý no thỡ cho im ti a ý ú; ch cho im n phn hc sinh lm ỳng t trờn xung
di v phn lm bi sau khụng cho im. im ton bi lm trũn s.