đề tự luyện THPT QG môn toán đề số 8

ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN; ĐỀ 08-BN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1* (2,0 điểm). Cho hàm số
2
(C)
1
x
y
x
+
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2.Cho điểm A(0;a). Tìm a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về
hai phía trục hoành.
Câu 2* (1,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2
3(2.cos cos 2) (3 2cos ).sin
0
2cos 1
x x x x
x
+ − + −
=
+
2. Giải phương trình nghiệm phức:
)(,1
4
Cz

iz
iz
∈=






−
+
Câu 3* (0,5 điểm) Giải phương trình sau:
2
3 3
2log 5log (9 ) 3 0x x− + =
Câu 4 (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
4
2 2 2
2
1
4 5 8 6
x y
y x y
x y

=

+ +



+ + + =

Câu 5* (1,0 điểm). Tính tích phân sau:
3
2
2
1
log
1 3ln
e
x
dx
x x
+
∫
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
, 2AB a AD a
= =
, tam
giác
SAB
cân tại
S
và mặt phẳng
( )SAB

vuông góc với mặt phẳng
( )ABCD
. Biết góc giữa mặt phẳng
( )SAC
và mặt phẳng
( )ABCD
bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
. Gọi
H
là trung điểm cạnh
AB
tính góc giữa hai đường thẳng
CH
và
.SD
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng 0xy cho đường tròn (C): . Viết pt đường
tròn (C’) tâm M(5;1) biết (C’) cắt (C) tại A, B sao cho AB= và bán kính của nó lớn hơn 4.
Câu 8* (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
3 9 6
2 3 2
x y z
+ − −
= =
−
và mặt phẳng (P): . Lập phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông
góc với d và cách d một khoảng bằng

3
238
Câu 9* (0,5 điểm)
Trong mp có bao nhiêu hình chữ nhât được tạo thành từ 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường
thẳng vuông góc với 6 đường thẳng song song đó.
Cõu 10 (1,0 im). Cho các số thực dơng x, y, z thỏa mãn:
1
yz zx xy
x y z
+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
1 1 1
1 1 1
A
x y z
= + +

.
P N
Cõu í Ni dung im
1 1 HS t lm (HS lm cỏc bc) 1
2
k: ,
PT ng thng d qua A v cú hsg k cú dng:
d tip xỳc vi (C) h pt sau cú nghim
0,25
Thay (2) vo (1) ta c:
t
qua A k c 2 tip tuyn cú 2 nghim phõn bit 1

Theo viet ta cú: v
0,25
2 tip im nm v 2 phớa ca trc honh
T (*)
Kt hp vi iu kin (1) ta c: Vi tha món bi toỏn
0,5
2 1
K:
Pt ó cho tng ng vi pt:
0,25
Vậy pt có 2 họ nghiệm hoặc
0,25
2
Đk: khi đó, pt đã cho tương đương
0.25
(1) (t/m)
(2) (t/m)
Vậy pt có tập nghiệm z={-1;0;1}
0.25
3
Giải pt:
2
3 3
2log 5log (9 ) 3 0x x− + =
Đk:x>0
Khi đó pt
2
3 3 3
2
3 3

3
3
2log 5(log 9 log ) 3 0
2log 5log 12 0
log 4
3
log
2
x x
x x
x
x
⇔ − + + =
⇔ − − =
=


⇔
−

=

0.25
3
81
(t/m)
1
9
x
x

=


⇔

=


0.25
4 Hệ pt đã cho tương đương
NX: Nếu y=0 thì từ pt (1) Thay x=0; y=0 vào pt (2) ta được:
(vô lý). Vậy y=0 không thỏa mãn bài toán
0,25
*) chia cả 2 vế của pt (1) cho ta được:
Xét
Có . Vậy đồng biến trên R.
0,25
Từ (*)
Thay vào pt (2) ta được
Vậy hpt có cặp nghiệm duy nhất (x;y)=(1;1)
0,5
5
Đặt
Từ
Đổi cận: với
1 1
2 2
4 2
2 2 4 2
0 0

2 1
( 1 )
(1 ) 2 1
u u
I du du
u u u
−
= − = − +
− − +
∫ ∫
0,25
2 2
4 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 1 2( 1) 1 2 1
*)
2 1 ( 1) 1 ( 1)
2 1 [( 1) ( 1)]
.
4
1 ( 1)
2 1
1 2 1
4
1
( 1)( 1)

( 1) ( 1)
1 3
1 1 1 1
4 4
1 1
( 1) ( 1)
u u
u u u u u
u u
u u
u
u u
u u
u u
u u
− − +
= = +
− + − − −
+ − −
= +
− −
 
 ÷
= + − +
 ÷
−
+ −
− +
 
 

 
 ÷
= + + −
 ÷
 ÷
− +
 
− +
 
0,5

1 1
2 2
2
4 2 2 2
0 0
2 1 1 1 1 3 1 1
( 1 ) 1
4 4 1 1
2 1 ( 1) ( 1)
1
3 5
2
1 1 1 3 | 1|
ln ln 3
4 6
4 1 1 4 | 1|
0
u
I du du

u u
u u u u
u
u
u u u
 
 
−
 
= − + = − + + + −
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
− +
− + − +
 
 
 
 
+
 
 ÷
= − + + + = −
 ÷
 ÷
− + −
 
 
∫ ∫

0,25
6
Vì cân tại S có HA=HB
Mặt khác (SAB)
Ta có:
Trong đó đvdt)
0,25
Trong (ABCD) hạ tại K. (1)
Khi đó (*)
vuông tại B có
Thay vào (*) ta được
Ta có :
Từ (1) và (2) (3)
Từ (1) và (3) góc giữa mặt (SAC) và mặt phẳng đáy là
có
Vậy
0,25
Gọi sao cho A là trung điểm của EH là hình bình hành.
HC//=ED góc giữa SD và CH là góc giữa DE và DS.
vuông tại A nên
vuông tại H nên
vuông tại H nên
0,25
có . Vậy góc giữa DE và DS là với
0,25
7
Từ pt đường tròn (C) Tâm I(1;-2) và R= . Đường tròn (C’) tâm M cắt đường
tròn tại A, B nên AB tại trung điểm H của AB.
Nhận xét : Tồn tại 2 vị trí của AB (hình vẽ) là AB, A’B’ chúng có cùng độ dài là
Các trung điểm H, H’ đối xứng nhau qua tâm I và cùng nằm trên đường thẳng IM.

Ta có : IH’=IH=
Mà nên MH=MI-HI= ; MH’=MI+IH’=
loại)
Vậy (C’) : =43.
0,5
0,5
8
Gọi
chứa . Giả sử tại H. Hạ HK , thì
. Vậy góc AKH nhọn là góc giữa (P) và (Q). Và HK là đoạn
0,25
vuông góc chung của d và nên . Do (Q) vuông góc với d nên (Q) có
dạng:
Với
Với
0,5
9 Gọi A là tập hợp gồm 6 đường thẳng song song
B là tập hợp gồm 8 đường thẳng vuông góc
Mỗi hình chữ nhật được tạo thành gồm 2 đường thẳng trong tập hợp A và 2 đường
thẳng trong tập hợp B.
0.25
Như vậy số hình chữ nhật được tạo thành là
2 2
8 6
. 420C C =
0.25
10
§Æt
, ,
yz zx xy

a b c
x y z
= = =
. Ta cã a, b, c > 0 vµ
2 2 2
1a b c
+ + =
. Ta cã:
1 1 1
3
1 1 1 1 1 1
bc ca ab
A
bc ca ab bc ca ab
= + + = + + +
− − − − − −
. DÔ cã:
0.25
( )
( )
2
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
4
1 2 2
1
2
b c

b c
bc b c
bc
b c b a c a b a c a
+
 
+
≤ = ≤ +
 ÷
−
+ + + + + +
 
−
0.25
t¬ng tù cã:
2 2
2 2 2 2
1
1 2
ca c a
ca
c b a b
 
≤ +
 ÷
−
+ +
 
vµ
2 2

2 2 2 2
1
1 2
ab a b
ab
a c b c
 
≤ +
 ÷
−
+ +
 
0.25
tõ ®ã: A
3 9
3
2 2
≤ + =
. DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = z =1/3
0.25
Chú ý : Học sinh làm cách khác mà vẫn đúng vẫn được điểm tối đa